2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》全文課件

球的半徑r的棱長a有什么關(guān)系？.ra球與多面體的內(nèi)切、外接球的半徑r.ra球與多面體的內(nèi)切、外接如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么稱這個(gè)多面體是球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球稱為多面體的外接球.有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)，也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn).研究多面體的外接球問題，既要運(yùn)用多面體的知識，又要運(yùn)用球的知識，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關(guān)重要的作用.如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么稱這一、直接法變式題：一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為24，則該球的體積為

.1、求正方體的外接球的有關(guān)問題例1、若棱長為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為

.一、直接法變式題：一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該2、求長方體的外接球的有關(guān)問題例2、一個(gè)長方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長分別為1,2,3，則此球的表面積為

.解析：關(guān)鍵是求出球的半徑，因?yàn)殚L方體內(nèi)接于球，所以它的體對角線正好為球的直徑。長方體體對角線長為，故球的表面積為.變式題：已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積為（）A.B.C.D.C2、求長方體的外接球的有關(guān)問題例2、一個(gè)長方體的各頂點(diǎn)均在同二、球與多面體的接、切定義1：若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，

則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，

這個(gè)球是這個(gè)。定義2：若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，

則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，

這個(gè)球是這個(gè)。一、球體的體積與表面積①②多面體的外接球多面體的內(nèi)切球棱切：一個(gè)幾何體各個(gè)面分別與另一個(gè)幾何體各條棱相切。圖3圖4圖52021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】二、球與多面體的接、切定義1：若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球中截面設(shè)棱長為1球的外切正方體的棱長等于球直徑。ABCDD1C1B1A1O例1

甲球內(nèi)切于正方體的各面，乙球內(nèi)切于該正方體的各條棱，

丙球外接于該正方體，則三球表面面積之比為()

A.1:2:3 B. C. D.球與棱柱的組合體問題中截面設(shè)棱長為1球的外切正方體的棱長等于球直徑。ABCDD1ABCDD1C1B1A1O中截面正方形的對角線等于球的直徑。.球內(nèi)切于正方體的棱設(shè)棱長為12021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】ABCDD1C1B1A1O中截面正方形的對角線等于球的直徑。ABCDD1C1A1OB1對角面球的內(nèi)接正方體的對角線等于球直徑。球外接于正方體設(shè)棱長為1ABCDD1C1A1OB1對角面球的內(nèi)接正方體的對角線等于球ACBPO二、構(gòu)造法

1、構(gòu)造正方體例4、若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是

變式題（浙江高考題）已知球O的面上四點(diǎn)A、B、C、D，

則球O的體積等于

圖42021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】ACBPO二、構(gòu)造法

1、構(gòu)造正方體例4、若三棱錐的三條側(cè)棱ABCDOABCDO求正多面體外接球的半徑求正方體外接球的半徑例5、求棱長為a的正四面體P–ABC的外接球的表面積。變式題：1、一個(gè)四面體的所有棱長都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（）A.B.C.D.

AABCDOABCDO求正多面體外接球的半徑求正方體外接球的半

2、在等腰梯形ABCD中，

E為AB的中點(diǎn)，將分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點(diǎn)P，則三棱錐P-DCE的外接球的體積為（）

圖3C2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】

2、在等腰梯形ABCD中，2、構(gòu)造長方體已知點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)球面上，，則B、C兩點(diǎn)間的球面距離是

.圖52021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】2、構(gòu)造長方體已知點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)球面上，三、確定球心位置法在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AC沿將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B-AC-D，則四面體ABCD的外接球的體積為(

)

Ｃ2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】三、確定球心位置法在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，A四、公式法一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為３，則這個(gè)球的體積為解：設(shè)正六棱柱的底面邊長為x，高為h，則有∴正六棱柱的底面圓的半徑，球心到底面的距離.∴外接球的半徑小結(jié)本題是運(yùn)用公式求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公式.思考題：半徑為R的球的外切圓柱(球與圓柱的側(cè)面、兩底面都相切)的表面積為________，體積為________．2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】四、公式法一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已五、構(gòu)造直角三角形

例13、求棱長為1的正四面體外接球的體積．2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】五、構(gòu)造直角三角形

例13、求棱長為1的正四面體外接球的體積六、尋求軸截面圓半徑法正四棱錐S-ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為，點(diǎn)S,A,B,C,D都在同一球面上，則此球的體積為

.解設(shè)正四棱錐的底面中心為，外接球的球心為O，如圖3所示.∴由球的截面的性質(zhì)，可得又，∴球心O必在所在的直線上.∴的外接圓就是外接球的一個(gè)軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑.在中，由

是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.故2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】六、尋求軸截面圓半徑法正四棱錐S-ABCD的底面邊長和各側(cè)幾何體的內(nèi)切球

正四面體的棱長為a，則其內(nèi)切球和外接球的半徑是多少？

圖1解：如圖1所示，設(shè)點(diǎn)o是內(nèi)切球的球心，正四面體棱長為a．由圖形的對稱性知，點(diǎn)o也是外接球的球心．設(shè)內(nèi)切球半徑為r，外接球半徑為R．正四面體的表面積正四面體的體積在中，即，得得2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】幾何體的內(nèi)切球

正四面體的棱長為a，則其內(nèi)切球和外接球的半徑【點(diǎn)評】由于正四面體本身的對稱性可知，內(nèi)切球和外接球的兩個(gè)球心是重合的，為正四面體高的四等分點(diǎn)，即內(nèi)切球的半徑為(h為正四面體的高)，且外接球的半徑，從而可以通過截面圖中建立棱長與半徑之間的關(guān)系。(1)正多面體存在內(nèi)切球且正多面體的中心為內(nèi)切球的球心．(2)求多面體內(nèi)切球半徑，往往可用“等體積法”．(3)正四面體內(nèi)切球半徑是高的，外接球半徑是高的.(4)并非所有多面體都有內(nèi)切球(或外接球)．2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】【點(diǎn)評】由于正四面體本身的對稱性可知，內(nèi)切球和外接球的兩個(gè)球球的旋轉(zhuǎn)定義：1.半圓以它的直徑所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面。2.半圓面以它的直徑所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所成的幾何體叫做球體。(球是旋轉(zhuǎn)體

)3.注意：球面和球體的區(qū)別：球面僅僅是指球的表面，而球體不僅包括球的表面，而且還包括球面所圍成的幾何空間。球心球的半徑球的直徑球的旋轉(zhuǎn)定義：1.半圓以它的直徑所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面球的性質(zhì)性質(zhì)1：用一個(gè)平面去截球，截面是圓面；用一個(gè)平面去截球面，截線是圓。大圓--截面過球心，半徑等于球半徑；小圓--截面不過球心A球的性質(zhì)性質(zhì)1：用一個(gè)平面去截球，截面是圓面；用一個(gè)平面去2、球心和截面圓心的連線垂直于截面OABCDdrR3、球心到截面的距離與球的半徑R及截面的半徑的關(guān)系：性質(zhì)1：用一個(gè)平面去截球，截面是圓面；用一個(gè)平面去截球面，截線是圓。大圓--截面過球心，半徑等于球半徑；小圓--截面不過球心2、球心和截面圓心的連線垂直于截面OABCDdrR3、球心到球的內(nèi)切、外接問題5、體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法。1、內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等。2、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合。3、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合。4、基本方法：構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理。球的內(nèi)切、外接問題5、體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法。1、球的半徑r的棱長a有什么關(guān)系？.ra球與多面體的內(nèi)切、外接球的半徑r.ra球與多面體的內(nèi)切、外接如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么稱這個(gè)多面體是球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球稱為多面體的外接球.有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)，也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn).研究多面體的外接球問題，既要運(yùn)用多面體的知識，又要運(yùn)用球的知識，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關(guān)重要的作用.如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么稱這一、直接法變式題：一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為24，則該球的體積為

.1、求正方體的外接球的有關(guān)問題例1、若棱長為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為

.一、直接法變式題：一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該2、求長方體的外接球的有關(guān)問題例2、一個(gè)長方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長分別為1,2,3，則此球的表面積為

.解析：關(guān)鍵是求出球的半徑，因?yàn)殚L方體內(nèi)接于球，所以它的體對角線正好為球的直徑。長方體體對角線長為，故球的表面積為.變式題：已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積為（）A.B.C.D.C2、求長方體的外接球的有關(guān)問題例2、一個(gè)長方體的各頂點(diǎn)均在同二、球與多面體的接、切定義1：若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，

則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，

這個(gè)球是這個(gè)。定義2：若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，

則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，

這個(gè)球是這個(gè)。一、球體的體積與表面積①②多面體的外接球多面體的內(nèi)切球棱切：一個(gè)幾何體各個(gè)面分別與另一個(gè)幾何體各條棱相切。圖3圖4圖52021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】二、球與多面體的接、切定義1：若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球中截面設(shè)棱長為1球的外切正方體的棱長等于球直徑。ABCDD1C1B1A1O例1

甲球內(nèi)切于正方體的各面，乙球內(nèi)切于該正方體的各條棱，

丙球外接于該正方體，則三球表面面積之比為()

A.1:2:3 B. C. D.球與棱柱的組合體問題中截面設(shè)棱長為1球的外切正方體的棱長等于球直徑。ABCDD1ABCDD1C1B1A1O中截面正方形的對角線等于球的直徑。.球內(nèi)切于正方體的棱設(shè)棱長為12021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】ABCDD1C1B1A1O中截面正方形的對角線等于球的直徑。ABCDD1C1A1OB1對角面球的內(nèi)接正方體的對角線等于球直徑。球外接于正方體設(shè)棱長為1ABCDD1C1A1OB1對角面球的內(nèi)接正方體的對角線等于球ACBPO二、構(gòu)造法

1、構(gòu)造正方體例4、若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是

變式題（浙江高考題）已知球O的面上四點(diǎn)A、B、C、D，

則球O的體積等于

圖42021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】ACBPO二、構(gòu)造法

1、構(gòu)造正方體例4、若三棱錐的三條側(cè)棱ABCDOABCDO求正多面體外接球的半徑求正方體外接球的半徑例5、求棱長為a的正四面體P–ABC的外接球的表面積。變式題：1、一個(gè)四面體的所有棱長都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（）A.B.C.D.

AABCDOABCDO求正多面體外接球的半徑求正方體外接球的半

2、在等腰梯形ABCD中，

E為AB的中點(diǎn)，將分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點(diǎn)P，則三棱錐P-DCE的外接球的體積為（）

圖3C2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】

2、在等腰梯形ABCD中，2、構(gòu)造長方體已知點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)球面上，，則B、C兩點(diǎn)間的球面距離是

.圖52021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】2、構(gòu)造長方體已知點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)球面上，三、確定球心位置法在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AC沿將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B-AC-D，則四面體ABCD的外接球的體積為(

)

Ｃ2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】三、確定球心位置法在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，A四、公式法一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為３，則這個(gè)球的體積為解：設(shè)正六棱柱的底面邊長為x，高為h，則有∴正六棱柱的底面圓的半徑，球心到底面的距離.∴外接球的半徑小結(jié)本題是運(yùn)用公式求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公式.思考題：半徑為R的球的外切圓柱(球與圓柱的側(cè)面、兩底面都相切)的表面積為________，體積為________．2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】四、公式法一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已五、構(gòu)造直角三角形

例13、求棱長為1的正四面體外接球的體積．2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】五、構(gòu)造直角三角形

例13、求棱長為1的正四面體外接球的體積六、尋求軸截面圓半徑法正四棱錐S-ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為，點(diǎn)S,A,B,C,D都在同一球面上，則此球的體積為

.解設(shè)正四棱錐的底面中心為，外接球的球心為O，如圖3所示.∴由球的截面的性質(zhì)，可得又，∴球心O必在所在的直線上.∴的外接圓就是外接球的一個(gè)軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑.在中，由

是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.故2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】六、尋求軸截面圓半徑法正四棱錐S-ABCD的底面邊長和各側(cè)幾何體的內(nèi)切球

正四面體的棱長為a，則其內(nèi)切球和外接球的半徑是多少？

圖1解：如圖1所示，設(shè)點(diǎn)o是內(nèi)切球的球心，正四面體棱長為a．由圖形的對稱性知，點(diǎn)o也是外接球的球心．設(shè)內(nèi)切球半徑為r，外接球半徑為R．正四面體的表面積正四面體的體積在中，即，得得2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】2021屆高三一輪復(fù)習(xí)專題《球的內(nèi)切和外接問題》PPT全文課件【完美課件】幾何體的內(nèi)切球

正四面體的棱長為a，則其內(nèi)切球和外接球的半徑【點(diǎn)評】由于正四面體本身的對稱性可知，內(nèi)切球和外接球的兩個(gè)球心是重