新版高中數(shù)學(xué)北師大版必修2課件142等角定理與異面直線所成的角

第2課時等角定理與異面直線所成的角第2課時等角定理與異面直線所成的角新版高中數(shù)學(xué)北師大版必修2課件142等角定理與異面直線所成的角1.等角定理空間中,如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補(bǔ).名師點撥等角定理的符號語言與圖形語言及作用.(1)圖形語言:如圖①②所示.(2)符號語言:已知OA∥O'A',OB∥O'B',則∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=180°.(3)作用:判斷或證明兩個角相等或互補(bǔ).1.等角定理名師點撥等角定理的符號語言與圖形語言及作用.【做一做1】

空間兩個角α,β的兩邊分別對應(yīng)平行,且方向相同,若α=50°,則β等于(

)A.50° B.130°C.40° D.50°或130°解析:由等角定理知β與α相等.答案:A【做一做1】空間兩個角α,β的兩邊分別對應(yīng)平行,且方向相同2.異面直線所成的角

如圖所示,過空間任意一點P分別引兩條異面直線a,b的平行線l1,l2(a∥l1,b∥l2),這兩條相交直線所成的銳角(或直角)就是異面直線a,b所成的角.如果兩條異面直線所成的角是直角,我們稱這兩條直線互相垂直.記作:a⊥b.2.異面直線所成的角如圖所示,過空間任意一點P分別引兩條異

做一做2

如圖所示,在四面體ABCD中,E,F,G分別為BC,AD,DB的中點,若AB與CD所成的角為60°,則∠FGE=

.

解析:因為E,F,G分別為BC,AD,DB的中點,所以FG∥AB,EG∥DC,所以∠FGE=60°或120°.答案:60°或120°做一做2如圖所示,在四面體ABCD中,E,F,G分3.空間四邊形四個頂點不在同一平面內(nèi)的四邊形叫作空間四邊形.思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)若一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行,且方向相同,則這兩個角相等.(

)(2)若一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行,且有一組對邊方向相同,另一組對邊方向相反,則這兩個角互補(bǔ).(

)(3)若一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行,則這兩個角相等.(

)(4)若一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行,且方向相反,則這兩個角互補(bǔ).(

)(5)兩條異面直線所成角的范圍為[0°,90°).(

)√√×××3.空間四邊形思考辨析√√×××探究一探究二一題多解

探究一等角定理的應(yīng)用

【例1】

如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分別是棱AD和A1D1的中點.求證:(1)四邊形BB1M1M為平行四邊形;(2)∠BMC=∠B1M1C1.分析:本題是在正方體中研究問題,(1)欲證四邊形BB1M1M是平行四邊形,可證其一組對邊平行且相等;(2)可結(jié)合(1)利用定理證明或利用三角形全等證明.探究一探究二一題多解探究一等角定理的應(yīng)用

(1)四邊探究一探究二一題多解證明:(1)在正方形ADD1A1中,∵M(jìn),M1分別為AD,A1D1的中點,∴MM1=AA1,MM1∥AA1.又∵AA1=BB1,AA1∥BB1,∴MM1=BB1,且MM1∥BB1.∴四邊形BB1M1M為平行四邊形.(2)方法一:由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形,∴B1M1∥BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形,∴C1M1∥CM.由平面幾何知識可知,∠BMC和∠B1M1C1都是銳角,∴∠BMC=∠B1M1C1.探究一探究二一題多解證明:(1)在正方形ADD1A1中,∵M(jìn)探究一探究二一題多解方法二:由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形,∴B1M1=BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形.∴C1M1=CM.又B1C1=BC,∴△BCM≌△B1C1M1.∴∠BMC=∠B1M1C1.反思感悟1.要明確等角定理的兩個條件,即兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行,并且方向相同,這兩個條件缺一不可.2.空間中證明兩個角相等,可以利用等角定理,也可以利用三角形的相似或全等,還可以利用平行四邊形的對角相等.在利用等角定理時,關(guān)鍵是弄清楚兩個角對應(yīng)邊的關(guān)系.探究一探究二一題多解方法二:由(1)知四邊形BB1M1M為平探究一探究二一題多解變式訓(xùn)練1在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,P分別為邊A1C1,AC和AB的中點.求證:∠PNA1=∠BCM.證明:因為P,N分別為AB,AC的中點,所以PN∥BC.①又M,N分別為A1C1,AC的中點,所以A1MNC.所以四邊形A1NCM為平行四邊形,故A1N∥MC.②由①②及∠PNA1與∠BCM對應(yīng)邊方向相同,得∠PNA1=∠BCM.探究一探究二一題多解變式訓(xùn)練1在三棱柱ABC-A1B1C1中探究一探究二一題多解探究二求兩條異面直線所成的角【例2】

如圖所示,已知正方體ABCD-A'B'C'D'.(1)哪些棱所在的直線與直線BC'是異面直線?(2)求異面直線AD'與B'C,BC'與CD'所成角的大小以及A'C與AB所成角的正切值.分析:(1)按照異面直線的定義進(jìn)行判斷;(2)根據(jù)異面直線所成角的定義進(jìn)行求解.探究一探究二一題多解探究二求兩條異面直線所成的角探究一探究二一題多解解:(1)所在直線與BC'是異面直線的棱有:AA',DD',A'B',DC,AD,A'D'.(2)因為AD'∥BC',所以AD'與B'C所成的角就是BC'與B'C所成的角.因為BC'⊥B'C,所以AD'與B'C所成的角等于90°.因為A'B∥CD',所以BC'與CD'所成的角就是BC'與A'B所成的角.因為△A'C'B是等邊三角形,所以∠A'BC'=60°,故BC'與CD'所成角的大小為60°.因為AB∥CD,所以∠A'CD就是異面直線A'C與AB所成的角.在△A'CD中,若設(shè)正方體的棱長為a,探究一探究二一題多解解:(1)所在直線與BC'是異面直線的棱探究一探究二一題多解反思感悟求異面直線所成的角1.求兩條異面直線所成的角,一般是根據(jù)其定義求解,步驟如下:(1)平移;(2)構(gòu)造三角形;(3)解三角形;(4)作答.2.在所給幾何體中平移直線構(gòu)造異面直線所成的角時,一般是選取其中一條直線上的特殊點,如頂點、棱的中點等.探究一探究二一題多解反思感悟求異面直線所成的角探究一探究二一題多解變式訓(xùn)練2如圖所示,已知三棱錐A-BCD,AD=BC,E,F分別是AB,CD的中點,且EF=AD,求異面直線AD和BC所成角的大小.探究一探究二一題多解變式訓(xùn)練2如圖所示,已知三棱錐A-BCD探究一探究二一題多解解:取AC的中點G,連接EG,FG.因為E,F分別是AB,CD的中點,由異面直線所成角的定義可知∠EGF或其補(bǔ)角即為異面直線AD,BC所成的角.所以異面直線AD和BC所成的角為90°.探究一探究二一題多解解:取AC的中點G,連接EG,FG.由異探究一探究二一題多解【典例】

如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是A1B1,B1C1的中點,求異面直線DB1與EF所成角的大小.分析:要求異面直線所成角的大小,關(guān)鍵是作出異面直線所成的角,把它歸結(jié)到三角形中,通過解三角形就可以得出答案.同時在解題時要注意異面直線所成角的范圍.探究一探究二一題多解【典例】如圖所示,在正方體ABCD-A探究一探究二一題多解解法1(直接平移法)如圖所示.連接A1C1,B1D1交于點O,取DD1的中點G,連接GA1,GC1,OG,則OG∥B1D,EF∥A1C1,故∠GOA1或其補(bǔ)角就是異面直線DB1與EF所成的角.∵GA1=GC1,O為A1C1的中點,∴GO⊥A1C1.∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.探究一探究二一題多解解法1(直接平移法)如圖所示.探究一探究二一題多解∴HF2=EF2+HE2,∴∠HEF=90°,∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.探究一探究二一題多解∴HF2=EF2+HE2,∴∠HEF=9探究一探究二一題多解解法3如圖所示,分別取AA1,CC1的中點M,N,連接MN,則MN∥EF,所以直線MN與DB1所成的角就是異面直線DB1與EF所成的角.連接MB1,DN,DM,B1N,則B1N∥DM,且B1N=DM,∴四邊形DMB1N為平行四邊形,∴MN與B1D必相交,設(shè)交點為P.∴DM2=DP2+MP2,∴∠DPM=90°,即DB1⊥EF,∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.探究一探究二一題多解解法3如圖所示,分別取AA1,CC1的中探究一探究二一題多解解法4(補(bǔ)形法)如圖所示,在原正方體的右側(cè)補(bǔ)上一個同樣的正方體,連接B1Q,DQ,則B1Q∥EF.于是∠DB1Q或其補(bǔ)角就是異面直線DB1與EF所成的角,通過計算,不難得到B1D2+B1Q2=DQ2,故異面直線DB1與EF所成的角為90°.探究一探究二一題多解解法4(補(bǔ)形法)如圖所示,在原正方體的右探究一探究二一題多解名師點評求兩條異面直線所成角大小的步驟:(1)構(gòu)造:選擇適當(dāng)?shù)狞c,平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線,這里的點通常選擇特殊位置的點,如線段的端點或中點,也可以是異面直線中某一直線上的一個特殊點.(2)證明:證明作出的角就是要求的角.(3)計算:求角度,常利用三角形.(4)結(jié)論:若求出的角是銳角或直角,則它就是所求異面直線所成的角;若求出的角是鈍角,則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角.探究一探究二一題多解名師點評求兩條異面直線所成角大小的步驟:123451.若∠AOB=∠A'O'B',OA∥O'A',且OA與O'A'的方向相同,則OB與O'B'(

)A.一定平行且方向相同 B.一定平行且方向相反C.一定不平行

D.不一定平行解析:由于兩角不一定在同一個平面內(nèi)或兩角所在的平面不一定平行,因此OB與O'B'不一定平行.答案:D123451.若∠AOB=∠A'O'B',OA∥O'A',且123452.若一條直線與兩條平行線中的一條為異面直線,則它與另一條(

)A.相交

B.異面C.相交或異面 D.平行解析:在如圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1中,直線AA1與直線B1C1是異面直線,與B1C1平行的直線有A1D1,AD,BC,顯然直線AA1與A1D1相交,與BC異面.答案:C123452.若一條直線與兩條平行線中的一條為異面直線,則它123453.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分別為A1B1,B1C1,BB1的中點,下列說法錯誤的是(

)A.∠BA1C1=∠MEFB.∠A1BC1=∠EMFC.∠B1EM=∠EA1BD.∠EFM=∠A1C1F解析:由等角定理,可知A,B,C均正確.答案:D123453.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,123454.空間中,角A的兩邊和角B的兩邊分別平行,若∠A=70°,則∠B=

.

解析:因為角A的兩邊和角B的兩邊分別平行,所以∠A=∠B或∠A+∠B=180°.因為∠A=70°,所以∠B=70°或∠B=110°.答案:70°或110°123454.空間中,角A的兩邊和角B的兩邊分別平行,若∠A123455.如圖所示,在空間四邊形ABCD中,兩條對邊AB=CD=3,E,F分別是和CD所成的角的大小.123455.如圖所示,在空間四邊形ABCD中,兩條對邊AB12345∴∠EMF(或其補(bǔ)角)為異面直線AB和CD所成的角.∵AB=3,CD=3,∴EM=2,MF=1.又EF=,∴MF2+EF2=EM2,∴∠MFE=90°,∴∠EMF=60°,∴異面直線AB和CD所成的角為60°.12345∴∠EMF(或其補(bǔ)角)為異面直線AB和CD所成的角第2課時等角定理與異面直線所成的角第2課時等角定理與異面直線所成的角新版高中數(shù)學(xué)北師大版必修2課件142等角定理與異面直線所成的角1.等角定理空間中,如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補(bǔ).名師點撥等角定理的符號語言與圖形語言及作用.(1)圖形語言:如圖①②所示.(2)符號語言:已知OA∥O'A',OB∥O'B',則∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=180°.(3)作用:判斷或證明兩個角相等或互補(bǔ).1.等角定理名師點撥等角定理的符號語言與圖形語言及作用.【做一做1】

空間兩個角α,β的兩邊分別對應(yīng)平行,且方向相同,若α=50°,則β等于(

)A.50° B.130°C.40° D.50°或130°解析:由等角定理知β與α相等.答案:A【做一做1】空間兩個角α,β的兩邊分別對應(yīng)平行,且方向相同2.異面直線所成的角

如圖所示,過空間任意一點P分別引兩條異面直線a,b的平行線l1,l2(a∥l1,b∥l2),這兩條相交直線所成的銳角(或直角)就是異面直線a,b所成的角.如果兩條異面直線所成的角是直角,我們稱這兩條直線互相垂直.記作:a⊥b.2.異面直線所成的角如圖所示,過空間任意一點P分別引兩條異

做一做2

如圖所示,在四面體ABCD中,E,F,G分別為BC,AD,DB的中點,若AB與CD所成的角為60°,則∠FGE=

.

解析:因為E,F,G分別為BC,AD,DB的中點,所以FG∥AB,EG∥DC,所以∠FGE=60°或120°.答案:60°或120°做一做2如圖所示,在四面體ABCD中,E,F,G分3.空間四邊形四個頂點不在同一平面內(nèi)的四邊形叫作空間四邊形.思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)若一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行,且方向相同,則這兩個角相等.(

)(2)若一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行,且有一組對邊方向相同,另一組對邊方向相反,則這兩個角互補(bǔ).(

)(3)若一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行,則這兩個角相等.(

)(4)若一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行,且方向相反,則這兩個角互補(bǔ).(

)(5)兩條異面直線所成角的范圍為[0°,90°).(

)√√×××3.空間四邊形思考辨析√√×××探究一探究二一題多解

探究一等角定理的應(yīng)用

【例1】

如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分別是棱AD和A1D1的中點.求證:(1)四邊形BB1M1M為平行四邊形;(2)∠BMC=∠B1M1C1.分析:本題是在正方體中研究問題,(1)欲證四邊形BB1M1M是平行四邊形,可證其一組對邊平行且相等;(2)可結(jié)合(1)利用定理證明或利用三角形全等證明.探究一探究二一題多解探究一等角定理的應(yīng)用

(1)四邊探究一探究二一題多解證明:(1)在正方形ADD1A1中,∵M(jìn),M1分別為AD,A1D1的中點,∴MM1=AA1,MM1∥AA1.又∵AA1=BB1,AA1∥BB1,∴MM1=BB1,且MM1∥BB1.∴四邊形BB1M1M為平行四邊形.(2)方法一:由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形,∴B1M1∥BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形,∴C1M1∥CM.由平面幾何知識可知,∠BMC和∠B1M1C1都是銳角,∴∠BMC=∠B1M1C1.探究一探究二一題多解證明:(1)在正方形ADD1A1中,∵M(jìn)探究一探究二一題多解方法二:由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形,∴B1M1=BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形.∴C1M1=CM.又B1C1=BC,∴△BCM≌△B1C1M1.∴∠BMC=∠B1M1C1.反思感悟1.要明確等角定理的兩個條件,即兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行,并且方向相同,這兩個條件缺一不可.2.空間中證明兩個角相等,可以利用等角定理,也可以利用三角形的相似或全等,還可以利用平行四邊形的對角相等.在利用等角定理時,關(guān)鍵是弄清楚兩個角對應(yīng)邊的關(guān)系.探究一探究二一題多解方法二:由(1)知四邊形BB1M1M為平探究一探究二一題多解變式訓(xùn)練1在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,P分別為邊A1C1,AC和AB的中點.求證:∠PNA1=∠BCM.證明:因為P,N分別為AB,AC的中點,所以PN∥BC.①又M,N分別為A1C1,AC的中點,所以A1MNC.所以四邊形A1NCM為平行四邊形,故A1N∥MC.②由①②及∠PNA1與∠BCM對應(yīng)邊方向相同,得∠PNA1=∠BCM.探究一探究二一題多解變式訓(xùn)練1在三棱柱ABC-A1B1C1中探究一探究二一題多解探究二求兩條異面直線所成的角【例2】

如圖所示,已知正方體ABCD-A'B'C'D'.(1)哪些棱所在的直線與直線BC'是異面直線?(2)求異面直線AD'與B'C,BC'與CD'所成角的大小以及A'C與AB所成角的正切值.分析:(1)按照異面直線的定義進(jìn)行判斷;(2)根據(jù)異面直線所成角的定義進(jìn)行求解.探究一探究二一題多解探究二求兩條異面直線所成的角探究一探究二一題多解解:(1)所在直線與BC'是異面直線的棱有:AA',DD',A'B',DC,AD,A'D'.(2)因為AD'∥BC',所以AD'與B'C所成的角就是BC'與B'C所成的角.因為BC'⊥B'C,所以AD'與B'C所成的角等于90°.因為A'B∥CD',所以BC'與CD'所成的角就是BC'與A'B所成的角.因為△A'C'B是等邊三角形,所以∠A'BC'=60°,故BC'與CD'所成角的大小為60°.因為AB∥CD,所以∠A'CD就是異面直線A'C與AB所成的角.在△A'CD中,若設(shè)正方體的棱長為a,探究一探究二一題多解解:(1)所在直線與BC'是異面直線的棱探究一探究二一題多解反思感悟求異面直線所成的角1.求兩條異面直線所成的角,一般是根據(jù)其定義求解,步驟如下:(1)平移;(2)構(gòu)造三角形;(3)解三角形;(4)作答.2.在所給幾何體中平移直線構(gòu)造異面直線所成的角時,一般是選取其中一條直線上的特殊點,如頂點、棱的中點等.探究一探究二一題多解反思感悟求異面直線所成的角探究一探究二一題多解變式訓(xùn)練2如圖所示,已知三棱錐A-BCD,AD=BC,E,F分別是AB,CD的中點,且EF=AD,求異面直線AD和BC所成角的大小.探究一探究二一題多解變式訓(xùn)練2如圖所示,已知三棱錐A-BCD探究一探究二一題多解解:取AC的中點G,連接EG,FG.因為E,F分別是AB,CD的中點,由異面直線所成角的定義可知∠EGF或其補(bǔ)角即為異面直線AD,BC所成的角.所以異面直線AD和BC所成的角為90°.探究一探究二一題多解解:取AC的中點G,連接EG,FG.由異探究一探究二一題多解【典例】

如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是A1B1,B1C1的中點,求異面直線DB1與EF所成角的大小.分析:要求異面直線所成角的大小,關(guān)鍵是作出異面直線所成的角,把它歸結(jié)到三角形中,通過解三角形就可以得出答案.同時在解題時要注意異面直線所成角的范圍.探究一探究二一題多解【典例】如圖所示,在正方體ABCD-A探究一探究二一題多解解法1(直接平移法)如圖所示.連接A1C1,B1D1交于點O,取DD1的中點G,連接GA1,GC1,OG,則OG∥B1D,EF∥A1C1,故∠GOA1或其補(bǔ)角就是異面直線DB1與EF所成的角.∵GA1=GC1,O為A1C1的中點,∴GO⊥A1C1.∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.探究一探究二一題多解解法1(直接平移法)如圖所示.探究一探究二一題多解∴HF2=EF2+HE2,∴∠HEF=90°,∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.探究一探究二一題多解∴HF2=EF2+HE2,∴∠HEF=9探究一探究二一題多解解法3如圖所示,分別取AA1,CC1的中點M,N,連接MN,則MN∥EF,所以直線MN與DB1所成的角就是異面直線DB1與EF所成的角.連接MB1,DN,DM,B1N,則B1N∥DM,且B1N=DM,∴四邊形DMB1N為平行四邊形,∴MN與B1D必相交,設(shè)交點為P.∴DM2=DP2+MP2,∴∠DPM=90°,即DB1⊥EF,∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.探究一探究二一題多解解法3如圖所示,分別取AA1,CC1的中探究一探究二一題多解解法4(補(bǔ)形法)如圖所示,在原正方體的右側(cè)補(bǔ)上一個同樣的正方體,連接B1Q,DQ,則B1Q∥EF.于是∠DB1Q或其補(bǔ)角就是異面直線DB1與EF所成的角,通過計算,不難得到B1D2+B1Q2=DQ2,故異面直線DB1與EF所成的角為90°.探究一探究二一題多解解法4(補(bǔ)形法)如圖所示,在原正方體的右探究一探究二一題多解名師點評求兩條異面直線所成角大小的步驟:(1)構(gòu)造:選擇適當(dāng)?shù)狞c,平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線,這里的點通常選擇特殊位置的點,如線段的端點或中點,也可以是異面直線中某一直線上的一個特殊點.(2)證明:證明作出的角就是要求的角.(3)計算:求角度,常利用三角形.(4)結(jié)論:若求出的角是銳角或直角,則它就是所求異面直線所成的角;若求出的角是鈍角,則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角.探究一探究二一題多解名師