微積分第四版微分方程與差分方程簡(jiǎn)介課件

第九章微分方程與差分方程簡(jiǎn)介第九章微分方程與1第一節(jié)微分方程的一般概念在工程技術(shù)，力學(xué)與物理學(xué)等自然科學(xué)以及經(jīng)濟(jì)學(xué)與管理學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域中，經(jīng)常需要確定變量間的函數(shù)關(guān)系.在很多情況下，必須建立不僅包含這些函數(shù)本身，而且還包含著這些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程或方程組才有可能確定這些函數(shù)關(guān)系，這樣的方程就是微分方程.在本章中將要介紹微分方程的一些基本概念，還要學(xué)習(xí)最重要的幾類一階微分方程與二階常系數(shù)線性微分方程的解法以及它們的簡(jiǎn)單應(yīng)用.第一節(jié)微分方程的一般概念在工程技術(shù)，力學(xué)與物理學(xué)等自2定義含有自變量，自變量的未知函數(shù)以及未知函數(shù)的若干階導(dǎo)數(shù)或微分的函數(shù)方程稱為微分方程.定義出現(xiàn)在微分方程中的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)或微分的階數(shù)，稱為微分方程的階.未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程，未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程.在本書中只討論常微分方程，如下例：一階二階一階定義含有自變量，自變量的未知函數(shù)以及未知函數(shù)的若干階導(dǎo)數(shù)3定義使方程成為恒等式的函數(shù)稱微分方程的解。微分方程的解的分類：(1)通解：微分方程的解中含有任意常數(shù),且獨(dú)立任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同。(2)特解：不含任意常數(shù)的解。定解條件：用來確定任意常數(shù)的條件。定義使方程成為恒等式的函數(shù)稱微分方程的解。微分方程的解的4初始條件：規(guī)定微分方程中的未知函數(shù)及其若干階導(dǎo)數(shù)在某一點(diǎn)處的取值。過定點(diǎn)的積分曲線;一階:二階:過定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線。初值問題：求微分方程滿足初始條件的解的問題。初始條件：規(guī)定微分方程中的未知函數(shù)及其若干階導(dǎo)數(shù)在某一點(diǎn)處的5解例設(shè)曲線通過點(diǎn)(1,3),且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程。設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知(1,3)解例設(shè)曲線通過點(diǎn)(1,3),且其上任一點(diǎn)處的切線斜率6第二節(jié)一階微分方程引例微分方程兩邊積分即可。分離變量，改寫成兩邊積分，通解為(一)可分離變量的一階微分方程第二節(jié)一階微分方程引例微分方程兩邊積分即可。分離變量，改7(一)可分離變量的一階微分方程為微分方程的通解。兩邊積分,為可分離變量的方程。稱則第二節(jié)一階微分方程(一)可分離變量的一階微分方程為微分方程的通解。兩邊積分,為8可分離的微分方程的解法

(1)分離變量

g(y)dyf(x)dx

(2)兩邊同時(shí)積分

其中c是任意常數(shù)

這就是可分離變量微分方程的通解

可分離的微分方程的解法其中c是任意常數(shù)這就是可分離變量9解例解例10解可簡(jiǎn)寫為：例解可簡(jiǎn)寫為：例11解練習(xí)解練習(xí)12解例解例13為所求通解.解例為所求通解.解例14解例分離變量，兩邊積分通解為

所求特解為數(shù)學(xué)建模解例分離變量，兩邊積分通解為所求特解為數(shù)學(xué)建模15(二)齊次方程的微分方程稱為齊次方程。形如例如可化為可化為(二)齊次方程的微分方程稱為齊次方程。形如例如可化為可化為16齊次方程的解法

齊次方程的解法17例解此題不能分離變量,

是齊次方程,例解此題不能分離變量,是齊次方程,18例解原方程變形為

例解原方程變形為19微積分第四版微分方程與差分方程簡(jiǎn)介課件20練習(xí)解是齊次方程,原方程變形為

練習(xí)解是齊次方程,原方程變形為21微積分第四版微分方程與差分方程簡(jiǎn)介課件22(三)一階線性微分方程一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:上述方程稱為齊次的.上述方程稱為非齊次的.例如線性的,非齊次非線性的.(三)一階線性微分方程一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:上述方程稱23齊次方程的通解為1、線性齊次方程一階線性微分方程的解法：使用分離變量法齊次方程的通解為1、線性齊次方程一階線性微分方程的解法：使用242、線性非齊次方程常數(shù)變易法：作變換積分得所以原方程的通解為:2、線性非齊次方程常數(shù)變易法：作變換積分得所以原方程的通解為25解例通解為

解例通解為26解例通解為

解例通解為27解方程改寫為所以所求解為

一階線性方程，例解方程改寫為所以所求解為一階線性方程，例28解這是一階線性微分方程，通解為

練習(xí)解這是一階線性微分方程，通解為練習(xí)29解例解例30數(shù)學(xué)建模--價(jià)格調(diào)整模型

設(shè)某商品的價(jià)格主要取決于市場(chǎng)供求關(guān)系，或者說供給量S與需求量D只與該商品的價(jià)格p有關(guān)。設(shè)數(shù)學(xué)建模--價(jià)格調(diào)整模型設(shè)某商品的價(jià)格主要取決于市場(chǎng)供求關(guān)31其中k為正的常數(shù)，用來反映價(jià)格的調(diào)整速度。

于是上述價(jià)格調(diào)整模型的解為其中k為正的常數(shù)，用來反映價(jià)格的調(diào)整速度。于是上述價(jià)格32第三節(jié)幾種二階微分方程(一)最簡(jiǎn)單的二階微分方程解例解法：兩邊積分兩次即可。形如積分一次得再積分一次，得通解為第三節(jié)幾種二階微分方程(一)最簡(jiǎn)單的二階微分方程解例解法33(二)一階微分方程解例(二)一階微分方程解例34解練習(xí)這是一階線性微分方程，通解為

所以原方程通解為解練習(xí)這是一階線性微分方程，通解為所以原方程通解為35(三)把y

視為自變量(三)把y視為自變量36解例代入原方程,得

積分得通解為

解例代入原方程,得積分得通解為37積分得通解為

本題還可用下面的簡(jiǎn)單解法：解例積分得通解為本題還可用下面的簡(jiǎn)單解法：解例38解練習(xí)代入原方程,得

解練習(xí)代入原方程,得39微積分第四版微分方程與差分方程簡(jiǎn)介課件40第四節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性齊次微分方程其中p,q是常數(shù).二階常系數(shù)線性非齊次微分方程第四節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性齊次微分方程其41(一)二階常系數(shù)齊次線性方程解的性質(zhì)及求解法1、方程(1)的任意兩個(gè)解的和仍是(1)的解；證所以(一)二階常系數(shù)齊次線性方程解的性質(zhì)及求解法1、方程(1)的422、方程(1)的任意一個(gè)解的常數(shù)倍仍是(1)的解。證所以(一)二階常系數(shù)齊次線性方程解的性質(zhì)及求解法1、方程(1)的任意兩個(gè)解的和仍是(1)的解；2、方程(1)的任意一個(gè)解的常數(shù)倍仍是(1)的解。證所以(一43也是(1)的解，(稱線性無關(guān)),則上式為(1)的通解.定理12、方程(1)的任意一個(gè)解的常數(shù)倍仍是(1)的解。(一)二階常系數(shù)齊次線性方程解的性質(zhì)及求解法1、方程(1)的任意兩個(gè)解的和仍是(1)的解；也是(1)的解，(稱線性無關(guān)),則上式為(1)的通解.定理144代數(shù)方程(3)稱為微分方程(1)的特征方程，它的根稱為特征根.

代數(shù)方程(3)稱為微分方程(1)的特征方程，它的根稱為特征根45情形1

則特征方程(3)有兩個(gè)相異的實(shí)根

故它們線性無關(guān),

因此(1)的通解為

情形1則特征方程(3)有兩個(gè)相異的實(shí)根故它們線性無關(guān),46情形2

需要求另一個(gè)特解則特征方程(3)有兩個(gè)相等的實(shí)根

于是(1)的通解為

情形2需要求另一個(gè)特解則特征方程(3)有兩個(gè)相等的實(shí)根于47由歐拉公式知，情形3

則特征方程(3)有一對(duì)共軛復(fù)根

仍然是(1)的解,

且線性無關(guān),

所以方程(1)的通解為

由疊加原理,

由歐拉公式知，情形348二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法：特征方程特征根的情況通解的表達(dá)式二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法：特征方程特征根的情況通解49解特征方程為故所求通解為例例解特征方程為解得故所求通解為特征根為解特征方程為故所求通解為例例解特征方程為解得故所求通解為特征50解特征方程為故通解為例特征根為解特征方程為故通解為例特征根為51訓(xùn)練：求下列微分方程的通解解解方程通解為特征方程特征根解通解為通解為訓(xùn)練：求下列微分方程的通解解解方程通解為特征方程特征根解通解52(二)二階常系數(shù)非齊次線性方程解的性質(zhì)及解法1、方程(2)的任意兩個(gè)解的差是(1)的解；證所以(二)二階常系數(shù)非齊次線性方程解的性質(zhì)及解法1、方程(2)的532、方程(1)的一個(gè)解加上方程(2)的一個(gè)解是(2)的解.證所以(二)二階常系數(shù)非齊次線性方程解的性質(zhì)及解法2、方程(1)的一個(gè)解加上方程(2)的一個(gè)解是(2)的解.證54對(duì)應(yīng)齊次方程定理2那么方程(2)的通解為問題歸結(jié)為求方程(2)的一個(gè)特解。只討論

f

(x)的兩種類型。用待定系數(shù)法求解。二階常系數(shù)非齊次線性方程的解法：對(duì)應(yīng)齊次方程定理2那么方程(2)的通解為問題歸結(jié)為求方程(255則則56情形1

若λ

不是特征根,

即情形2

若λ

是特征方程的單根,即情形1若λ不是特征根,即情形2若λ是特征方程的單根57情形3

若λ是特征方程的二重根,即情形3若λ是特征方程的二重根,即58綜上討論設(shè)特解為其中綜上討論設(shè)特解為其中59解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根例代入原方程,得

設(shè)特解為解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根例代入原方程,得設(shè)特解為60解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根練習(xí)代入原方程,得

設(shè)特解為解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根練習(xí)代入原方程,得設(shè)特解為61例解例解62解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根例代入原方程,得所以設(shè)特解為解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根例代入原方程,得所以設(shè)特解63注意：現(xiàn)即即得這樣比代入原方程要簡(jiǎn)便得多。解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根例所以設(shè)特解為注意：現(xiàn)即即得這樣比代入原方程要簡(jiǎn)便得多。解對(duì)應(yīng)齊次方程通解64訓(xùn)練：求下列微分方程的通解解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得訓(xùn)練：求下列微分方程的通解解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代65解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得66解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得67可以證明，方程(2)具有如下形式的特解：可以證明，方程(2)具有如下形式的特解：68解例所求通解為

對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得

解例所求通解為對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得69解例所求通解為

對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得

解例所求通解為對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得70訓(xùn)練解對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為

所以設(shè)特解為訓(xùn)練解對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為所以設(shè)特解為71第五節(jié)差分方程的一般概念微分方程刻劃了自變量

x是連續(xù)變化的過程中變量

y的變化率，在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，有些自變量往往不是連續(xù)變化的，而是取一系列離散的值,例如按年、月、日等，此時(shí)要描述這種自變量是離散的變化關(guān)系就是本節(jié)要介紹的差分方程。顯然微分方程和差分方程是兩類不同的方程，但它們有許多共同點(diǎn)，因此與微分方程對(duì)照，采用類比的方法是學(xué)習(xí)差分方程有效的方法。第五節(jié)差分方程的一般概念微分方程刻劃了自變量x是72(一)差分概念

一階差分：三階差分：(一)差分概念一階差分：三階差分：73一般地，k

階差分定義為例1一般地，k階差分定義為例174(二)差分方程的一般概念

定義(二)差分方程的一般概念定義75差分方程的解：定義若一個(gè)函數(shù)代入差分方程后，方程兩邊恒等，則稱此函數(shù)為該差分方程的解。若差分方程的解中含有相互獨(dú)立的任意常數(shù)且個(gè)數(shù)恰好等于差分方程的階數(shù)，則稱該解為差分方程的通解。差分方程滿足初始條件的解稱為該問題的特解。差分方程的解：定義若一個(gè)函數(shù)代入差分方程后，方程兩邊恒76第六節(jié)一階和二階常系數(shù)線性差分方程(一)一階常系數(shù)線性差分方程標(biāo)準(zhǔn)形式時(shí)有定義。為一階常系數(shù)齊次線性差分方程，否則，稱為一階常系數(shù)非齊次線性差分方程。(1)(2)(2)稱為(1)對(duì)應(yīng)的齊次線性差分方程。第六節(jié)一階和二階常系數(shù)線性差分方程(一)一階常系數(shù)線性差分77(1)(2)不難證明，(2)的通解為C為任意常數(shù).可以證明,一階常系數(shù)線性差分方程的通解與一階線性微分方程有相同的結(jié)構(gòu)，即有定理(一階常系數(shù)線性差分方程通解的結(jié)構(gòu))一階常系數(shù)線性差分方程(1)的通解可表示為(1)(2)不難證明，(2)的通解為C為任意常數(shù).78當(dāng)

f(x)是多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和差或乘積時(shí)，一般可用待定系數(shù)法求(2)的一個(gè)特解.討論三種情形：情形1情形2情形3當(dāng)f(x)是多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以79例1的通解.解代入方程得得特解為從而通解為C為任意常數(shù).例1的通解.解代入方程得得特解為從而通解為C為任意常數(shù).80代入方程得例2的通解.解沒有這樣的特解。代入方程得例2的通解.解沒有這樣的特解。81例2的通解.解代入方程得得特解為從而通解為C為任意常數(shù).例2的通解.解代入方程得得特解為從而通解為C為任意常數(shù).82系數(shù)

a

的取值系數(shù)a的取值83代入方程得例3解得特解為從而通解為C為任意常數(shù).代入方程得例3解得特解為從而通解為C為任意常數(shù).84代入方程得不存在這樣的特解。例4解代入方程得不存在這樣的特解。例4解85代入方程得例4解得特解為從而通解為C為任意常數(shù).代入方程得例4解得特解為從而通解為C為任意常數(shù).86d與系數(shù)

a

的關(guān)系d與系數(shù)a的關(guān)系87代入方程得例5解得特解為通解為C為任意常數(shù)。代入方程得例5解得特解為通解為C為任意常數(shù)。88如果所給差分方程不是標(biāo)準(zhǔn)形式的，必須首先把它化為標(biāo)準(zhǔn)形式才能應(yīng)用上面給出的通解公式和選取特解的有關(guān)結(jié)論.如果所給差分方程不是標(biāo)準(zhǔn)形式的，必須首先把它化為標(biāo)準(zhǔn)89(二)二階常系數(shù)線性差分方程標(biāo)準(zhǔn)形式時(shí)有定義.為二階常系數(shù)齊次線性差分方程，否則，稱為二階常系數(shù)非齊次線性差分方程.(1)(2)(2)稱為(1)對(duì)應(yīng)的齊次線性差分方程.(二)二階常系數(shù)線性差分方程標(biāo)準(zhǔn)形式時(shí)有定義.為二階常90二階常系數(shù)齊次差分線性方程解的性質(zhì)1、方程(2)的任意兩個(gè)解的和仍是(2)的解；2、方程(2)的任意一個(gè)解的常數(shù)倍仍是(2)的解；也是(2)的解.(稱線性無關(guān)),則上式為(2)的通解.定理1(2)二階常系數(shù)齊次差分線性方程解的性質(zhì)1、方程(2)的任意兩個(gè)解91對(duì)應(yīng)齊次方程二階常系數(shù)非齊次線性差分方程解的性質(zhì)1、方程(1)的任意一個(gè)解加上方程(2)的任意一個(gè)解是(1)的解；2、方程(1)的任意兩個(gè)解之差是(2)的解

。定理2那么方程(1)的通解為(1)(2)對(duì)應(yīng)齊次方程二階常系數(shù)非齊次線性差分方程解的性質(zhì)1、方程(192二階常系數(shù)齊次線性差分方程的解法代數(shù)方程(3)稱為差分方程(2)的特征方程,它的根稱為特征根(或特征值).

(3)(2)二階常系數(shù)齊次線性差分方程的解法代數(shù)方程(3)稱為差93故它們線性無關(guān),

因此(2)的通解為

(3)情形1

故它們線性無關(guān),因此(2)的通解為(3)情形194情形2

則特征方程(3)有兩個(gè)相等的實(shí)根

于是(2)的通解為

情形2則特征方程(3)有兩個(gè)相等的實(shí)根于是(2)的通解為95情形3

可以證明,是(2)的解，且線性無關(guān)，所以方程(2)的通解為

則特征方程(3)有一對(duì)共軛復(fù)根

其中情形3可以證明,是(2)的解，且線性無關(guān)，所以方程(2)的96小結(jié)特征根的情況通解的表達(dá)式實(shí)根實(shí)根復(fù)根小結(jié)特征根的情況通解的表達(dá)式實(shí)根實(shí)根復(fù)根97解特征方程為故所求通解為例1例2解特征方程為解得故所求通解為特征根為解特征方程為故所求通解為例1例2解特征方程為解得故所求通解為98解特征方程為故所求通解為例3解特征方程為故所求通解為例399二階常系數(shù)非齊次線性差分方程的解法(1)對(duì)應(yīng)齊次方程那么方程(1)的通解為(2)問題歸結(jié)為求方程(1)的一個(gè)特解。用待定系數(shù)法求解。二階常系數(shù)非齊次線性差分方程的解法(1)對(duì)應(yīng)齊次方程那么方程100微積分第四版微分方程與差分方程簡(jiǎn)介課件101解已求出對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為故原方程通解為例4代入原差分方程得解已求出對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為故原方程通解為例4代入原差分方程102解已求出對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為故原方程通解為例5代入原差分方程得解已求出對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為故原方程通解為例5代入原差分方程103解所以對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為故原方程通解為例6代入原差分方程得特征方程為特征根為解所以對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為故原方程通解為例6代入原差分方程得104解所以對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為故原方程通解為例7代入原差分方程得特征方程為特征根為解所以對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為故原方程通解為例7代入原差分方程得105ENDENDENDEND106第九章微分方程與差分方程簡(jiǎn)介第九章微分方程與107第一節(jié)微分方程的一般概念在工程技術(shù)，力學(xué)與物理學(xué)等自然科學(xué)以及經(jīng)濟(jì)學(xué)與管理學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域中，經(jīng)常需要確定變量間的函數(shù)關(guān)系.在很多情況下，必須建立不僅包含這些函數(shù)本身，而且還包含著這些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程或方程組才有可能確定這些函數(shù)關(guān)系，這樣的方程就是微分方程.在本章中將要介紹微分方程的一些基本概念，還要學(xué)習(xí)最重要的幾類一階微分方程與二階常系數(shù)線性微分方程的解法以及它們的簡(jiǎn)單應(yīng)用.第一節(jié)微分方程的一般概念在工程技術(shù)，力學(xué)與物理學(xué)等自108定義含有自變量，自變量的未知函數(shù)以及未知函數(shù)的若干階導(dǎo)數(shù)或微分的函數(shù)方程稱為微分方程.定義出現(xiàn)在微分方程中的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)或微分的階數(shù)，稱為微分方程的階.未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程，未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程.在本書中只討論常微分方程，如下例：一階二階一階定義含有自變量，自變量的未知函數(shù)以及未知函數(shù)的若干階導(dǎo)數(shù)109定義使方程成為恒等式的函數(shù)稱微分方程的解。微分方程的解的分類：(1)通解：微分方程的解中含有任意常數(shù),且獨(dú)立任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同。(2)特解：不含任意常數(shù)的解。定解條件：用來確定任意常數(shù)的條件。定義使方程成為恒等式的函數(shù)稱微分方程的解。微分方程的解的110初始條件：規(guī)定微分方程中的未知函數(shù)及其若干階導(dǎo)數(shù)在某一點(diǎn)處的取值。過定點(diǎn)的積分曲線;一階:二階:過定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線。初值問題：求微分方程滿足初始條件的解的問題。初始條件：規(guī)定微分方程中的未知函數(shù)及其若干階導(dǎo)數(shù)在某一點(diǎn)處的111解例設(shè)曲線通過點(diǎn)(1,3),且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程。設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知(1,3)解例設(shè)曲線通過點(diǎn)(1,3),且其上任一點(diǎn)處的切線斜率112第二節(jié)一階微分方程引例微分方程兩邊積分即可。分離變量，改寫成兩邊積分，通解為(一)可分離變量的一階微分方程第二節(jié)一階微分方程引例微分方程兩邊積分即可。分離變量，改113(一)可分離變量的一階微分方程為微分方程的通解。兩邊積分,為可分離變量的方程。稱則第二節(jié)一階微分方程(一)可分離變量的一階微分方程為微分方程的通解。兩邊積分,為114可分離的微分方程的解法

(1)分離變量

g(y)dyf(x)dx

(2)兩邊同時(shí)積分

其中c是任意常數(shù)

這就是可分離變量微分方程的通解

可分離的微分方程的解法其中c是任意常數(shù)這就是可分離變量115解例解例116解可簡(jiǎn)寫為：例解可簡(jiǎn)寫為：例117解練習(xí)解練習(xí)118解例解例119為所求通解.解例為所求通解.解例120解例分離變量，兩邊積分通解為

所求特解為數(shù)學(xué)建模解例分離變量，兩邊積分通解為所求特解為數(shù)學(xué)建模121(二)齊次方程的微分方程稱為齊次方程。形如例如可化為可化為(二)齊次方程的微分方程稱為齊次方程。形如例如可化為可化為122齊次方程的解法

齊次方程的解法123例解此題不能分離變量,

是齊次方程,例解此題不能分離變量,是齊次方程,124例解原方程變形為

例解原方程變形為125微積分第四版微分方程與差分方程簡(jiǎn)介課件126練習(xí)解是齊次方程,原方程變形為

練習(xí)解是齊次方程,原方程變形為127微積分第四版微分方程與差分方程簡(jiǎn)介課件128(三)一階線性微分方程一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:上述方程稱為齊次的.上述方程稱為非齊次的.例如線性的,非齊次非線性的.(三)一階線性微分方程一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:上述方程稱129齊次方程的通解為1、線性齊次方程一階線性微分方程的解法：使用分離變量法齊次方程的通解為1、線性齊次方程一階線性微分方程的解法：使用1302、線性非齊次方程常數(shù)變易法：作變換積分得所以原方程的通解為:2、線性非齊次方程常數(shù)變易法：作變換積分得所以原方程的通解為131解例通解為

解例通解為132解例通解為

解例通解為133解方程改寫為所以所求解為

一階線性方程，例解方程改寫為所以所求解為一階線性方程，例134解這是一階線性微分方程，通解為

練習(xí)解這是一階線性微分方程，通解為練習(xí)135解例解例136數(shù)學(xué)建模--價(jià)格調(diào)整模型

設(shè)某商品的價(jià)格主要取決于市場(chǎng)供求關(guān)系，或者說供給量S與需求量D只與該商品的價(jià)格p有關(guān)。設(shè)數(shù)學(xué)建模--價(jià)格調(diào)整模型設(shè)某商品的價(jià)格主要取決于市場(chǎng)供求關(guān)137其中k為正的常數(shù)，用來反映價(jià)格的調(diào)整速度。

于是上述價(jià)格調(diào)整模型的解為其中k為正的常數(shù)，用來反映價(jià)格的調(diào)整速度。于是上述價(jià)格138第三節(jié)幾種二階微分方程(一)最簡(jiǎn)單的二階微分方程解例解法：兩邊積分兩次即可。形如積分一次得再積分一次，得通解為第三節(jié)幾種二階微分方程(一)最簡(jiǎn)單的二階微分方程解例解法139(二)一階微分方程解例(二)一階微分方程解例140解練習(xí)這是一階線性微分方程，通解為

所以原方程通解為解練習(xí)這是一階線性微分方程，通解為所以原方程通解為141(三)把y

視為自變量(三)把y視為自變量142解例代入原方程,得

積分得通解為

解例代入原方程,得積分得通解為143積分得通解為

本題還可用下面的簡(jiǎn)單解法：解例積分得通解為本題還可用下面的簡(jiǎn)單解法：解例144解練習(xí)代入原方程,得

解練習(xí)代入原方程,得145微積分第四版微分方程與差分方程簡(jiǎn)介課件146第四節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性齊次微分方程其中p,q是常數(shù).二階常系數(shù)線性非齊次微分方程第四節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性齊次微分方程其147(一)二階常系數(shù)齊次線性方程解的性質(zhì)及求解法1、方程(1)的任意兩個(gè)解的和仍是(1)的解；證所以(一)二階常系數(shù)齊次線性方程解的性質(zhì)及求解法1、方程(1)的1482、方程(1)的任意一個(gè)解的常數(shù)倍仍是(1)的解。證所以(一)二階常系數(shù)齊次線性方程解的性質(zhì)及求解法1、方程(1)的任意兩個(gè)解的和仍是(1)的解；2、方程(1)的任意一個(gè)解的常數(shù)倍仍是(1)的解。證所以(一149也是(1)的解，(稱線性無關(guān)),則上式為(1)的通解.定理12、方程(1)的任意一個(gè)解的常數(shù)倍仍是(1)的解。(一)二階常系數(shù)齊次線性方程解的性質(zhì)及求解法1、方程(1)的任意兩個(gè)解的和仍是(1)的解；也是(1)的解，(稱線性無關(guān)),則上式為(1)的通解.定理1150代數(shù)方程(3)稱為微分方程(1)的特征方程，它的根稱為特征根.

代數(shù)方程(3)稱為微分方程(1)的特征方程，它的根稱為特征根151情形1

則特征方程(3)有兩個(gè)相異的實(shí)根

故它們線性無關(guān),

因此(1)的通解為

情形1則特征方程(3)有兩個(gè)相異的實(shí)根故它們線性無關(guān),152情形2

需要求另一個(gè)特解則特征方程(3)有兩個(gè)相等的實(shí)根

于是(1)的通解為

情形2需要求另一個(gè)特解則特征方程(3)有兩個(gè)相等的實(shí)根于153由歐拉公式知，情形3

則特征方程(3)有一對(duì)共軛復(fù)根

仍然是(1)的解,

且線性無關(guān),

所以方程(1)的通解為

由疊加原理,

由歐拉公式知，情形3154二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法：特征方程特征根的情況通解的表達(dá)式二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法：特征方程特征根的情況通解155解特征方程為故所求通解為例例解特征方程為解得故所求通解為特征根為解特征方程為故所求通解為例例解特征方程為解得故所求通解為特征156解特征方程為故通解為例特征根為解特征方程為故通解為例特征根為157訓(xùn)練：求下列微分方程的通解解解方程通解為特征方程特征根解通解為通解為訓(xùn)練：求下列微分方程的通解解解方程通解為特征方程特征根解通解158(二)二階常系數(shù)非齊次線性方程解的性質(zhì)及解法1、方程(2)的任意兩個(gè)解的差是(1)的解；證所以(二)二階常系數(shù)非齊次線性方程解的性質(zhì)及解法1、方程(2)的1592、方程(1)的一個(gè)解加上方程(2)的一個(gè)解是(2)的解.證所以(二)二階常系數(shù)非齊次線性方程解的性質(zhì)及解法2、方程(1)的一個(gè)解加上方程(2)的一個(gè)解是(2)的解.證160對(duì)應(yīng)齊次方程定理2那么方程(2)的通解為問題歸結(jié)為求方程(2)的一個(gè)特解。只討論

f

(x)的兩種類型。用待定系數(shù)法求解。二階常系數(shù)非齊次線性方程的解法：對(duì)應(yīng)齊次方程定理2那么方程(2)的通解為問題歸結(jié)為求方程(2161則則162情形1

若λ

不是特征根,

即情形2

若λ

是特征方程的單根,即情形1若λ不是特征根,即情形2若λ是特征方程的單根163情形3

若λ是特征方程的二重根,即情形3若λ是特征方程的二重根,即164綜上討論設(shè)特解為其中綜上討論設(shè)特解為其中165解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根例代入原方程,得

設(shè)特解為解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根例代入原方程,得設(shè)特解為166解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根練習(xí)代入原方程,得

設(shè)特解為解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根練習(xí)代入原方程,得設(shè)特解為167例解例解168解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根例代入原方程,得所以設(shè)特解為解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根例代入原方程,得所以設(shè)特解169注意：現(xiàn)即即得這樣比代入原方程要簡(jiǎn)便得多。解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根例所以設(shè)特解為注意：現(xiàn)即即得這樣比代入原方程要簡(jiǎn)便得多。解對(duì)應(yīng)齊次方程通解170訓(xùn)練：求下列微分方程的通解解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得訓(xùn)練：求下列微分方程的通解解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代171解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得172解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得173可以證明，方程(2)具有如下形式的特解：可以證明，方程(2)具有如下形式的特解：174解例所求通解為

對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得

解例所求通解為對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得175解例所求通解為

對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得

解例所求通解為對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得176訓(xùn)練解對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為

所以設(shè)特解為訓(xùn)練解對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為所以設(shè)特解為177第五節(jié)差分方程的一般概念微分方程刻劃了自變量

x是連續(xù)變化的過程中變量

y的變化率，在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，有些自變量往往不是連續(xù)變化的，而是取一系列離散的值,例如按年、月、日等，此時(shí)要描述這種自變量是離散的變化關(guān)系就是本節(jié)要介紹的差分方程。顯然微分方程和差分方程是兩類不同的方程，但它們有許多共同點(diǎn)，因此與微分方程對(duì)照，采用類比的方法是學(xué)習(xí)差分方程有效的方法。第五節(jié)差分方程的一般概念微分方程刻劃了自變量x是178(一)差分概念

一階差分：三階差分：(一)差分概念一階差分：三階差分：179一般地，k

階差分定義為例1一般地，k階差分定義為例1180(二)差分方程的一般概念

定義(二)差分方程的一般概念定義181差分方程的解：定義若一個(gè)函數(shù)代入差分方程后，方程兩邊恒等，則稱此函數(shù)為該差分方程的解。若差分方程的解中含有相互獨(dú)立的任意常數(shù)且個(gè)數(shù)恰好等于差分方程的階數(shù)，則稱該解為差分方程的通解。差分方程滿足初始條件的解稱為該問題的特解。差分方程的解：定義若一個(gè)函數(shù)代入差分方程后，方程兩邊恒182第六節(jié)一階和二階常系數(shù)線性差分方程(一)一階常系數(shù)線性差分方程標(biāo)準(zhǔn)形式時(shí)有定義。為一階常系數(shù)齊次線性差分方程，否則，稱為一階常系數(shù)非齊次線性差分方程。(1)(2)(2)稱為(1)對(duì)應(yīng)的齊次線性差分方程。第六節(jié)一階和二階常系數(shù)線性差分方程(一)一階常系數(shù)線性差分183(1)(2)不難證明，(2)的通解為C為任意常數(shù).可以證明,一階常系數(shù)線性差分方程的通解與一階線性微分方程有相同的結(jié)構(gòu)，即有定理(一階常系數(shù)線性差分方程通解的結(jié)構(gòu))一階常系數(shù)線性差分方程(1)的通解可表示為(1)(2)不難證明，(2)的通解為C為任意常數(shù).184當(dāng)

f(x)是多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和差或乘積時(shí)，一般可用待定系數(shù)法求(2)的一個(gè)特解.討論三種情形：情形1情形2情形3當(dāng)f(x)是多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以185例1的通解.解代入方程得得特解為從而通解為C為任意常數(shù).例1的通解.解代入方程得得特解為從而通解為C為任意常數(shù).186代入方程得例2的通解.解沒有這樣的特解。代入方程得例2的通解.解沒有這樣的特解。187例2的通解.解代入方程得得特解為從而通解為C為任意常數(shù).例2的通解.解代入方程得得特解為從而通解為C為任意常數(shù).188系數(shù)

a

的取值系數(shù)a的取值189代入方程得例3解得特解為從而通解為C為任意常數(shù).代入方程得例3解得特解為從而通解為C為任意常數(shù).190代入方程得不存在這樣的特解。例4解代入方程得不存在這樣的特解。例4解191代入方程得例4解得特解為從而通解為C為任意常數(shù).代入方程得例4解得特解為從而通解為C為任意常數(shù).192d與系數(shù)

a

的關(guān)系d與系數(shù)a的關(guān)系193代入方程得例5解得特解為通解為C為任意常