小學(xué)數(shù)學(xué)講義秋季五年級超常第7講蝴蝶模型超常體系

站牌級秋季級寒假和正方體級秋季級秋季級暑假模型四邊形蝴蝶；梯形蝴蝶；共邊定理釋義第9級下超常體系教師版1引入解數(shù)學(xué)題不能沒有聯(lián)想，通過聯(lián)想把眼前的問題、圖形與熟悉的問題、圖形進(jìn)行類比，將該類問題通過化歸成一個(gè)模型，在以后的解決類似的題目時(shí)直接利用結(jié)論，縮短思維量，從而快速解決點(diǎn).點(diǎn)回顧比例模型:(1) 同底,面積比等于高之比．

SABCSBCE

(2) 同高,面積比等于底之比．ABDACD

1.如圖,三角形ABC中BC的高AD長7厘米,三角形BCE中BC的高EF長3厘米．并且已知SABC70平方厘米,則SBCE____2 第9級下超常體系教師版 B D F 【分析】同底,面積比等于高之比．高之比AD:EF=7:3=70:30,所以SBCE30cm22.如圖,在直角三角形ABC中,AD:AC=2:3,SABC60,則SBCD____B 【分析】同底,面積比等于高之比．高之比AC:CD=AC:(AC-AD)=3:1=60:20,所以

SBCD

3.如圖,B,C,D,E在一條直線上,且BC:CD:DE=4:3:2,已知SABC20,則SABE___ 【分析】同高,面積比等于底之比．SABE204(432)45.4.如圖,四邊形土地的總面積是48平方米,三條線把它分成了4個(gè)小三角形,其中

2個(gè)小三角形的【分析】在同底的情況下,右邊兩個(gè)三角形的高之比為7:9,因此左邊兩個(gè)三角形的高之比也為7:9.同底,高之比為面積比．因此最大的三角形的面積為97(4879)18(平方米)第9級下超常體系教師版3AOAOOCSS SS : : 1 2目標(biāo)1、會證明蝴蝶模型;2、掌握蝴蝶模型的結(jié)論;3、能從圖形中抽離或構(gòu)造出蝴蝶模型解題.精講一、任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶模型”)：DA

O

B

S:SS:S或者1 2 4

CSSSS②1 3 2

4

蝴蝶模型為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個(gè)途徑．通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系．二、梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶模型”)：S1

S2

O

S4D b

SS

S:SS:S或者

SSSS；

S:S:S:S:S1 3 2 4

a2:b2:ab:ab:(ab)24 第9級下超常體系教師版 思路1如圖,證明梯形蝴蝶模型的結(jié)論.

S2S1O

S4

D b C

SS

S:SS:S或者

SSSS；

S:S:S:S:S1 3 2 4

a2:b2:ab:ab:(ab)2【分析】證明:(1)因?yàn)锳B∥CD,所以SACDSBCD(同底等高的兩三角形面積相等),所以SACDSCODSBCDSCOD,即S2S4 (2)如右圖,設(shè)BO=x,DO=y.由比例模型可知: 1 4,所以S2 S3

S:SS:S或者 SSSS SS (3)14 ,所以1 4 ABC SS

,所以xa.同理可得:y

.由 鳥頭模型可知

S AO x a a 1 y b b b2S:S:S:S:S1 3 2 4

a2:b2:ab:ab:(ab)2(注:任意四邊形的蝴蝶模型的證明和(2)的證明類似;沙漏的證明與(3)題的證明類似.)2分的面積是________平方厘米.第9級下超常體系教師版5

△BHC面積相等，那么陰影部分的面積恰好為正方形ABCD的一半即18平方厘米.【鋪墊】如圖（1），梯形ABCD中，AB平行于CD，O為對角線的交點(diǎn).因?yàn)镾ACDSBCD，所以SACDSCODSBCDSCOD，進(jìn)而可得：SAODSBOC.根據(jù)以上內(nèi)容回答下列問題： 【分析】（1）6

SABC

圖（5）【分析】（1）50 3如下圖，梯形ABCD的AB平行于CD，對角線AC，BD交于O，已知△AOB與△BOC的面積分別為25平方厘米與35平方厘米，那么梯形ABCD的面積是多少平方厘米．A 25

35D 6 第9級下超常體系教師版 【分析】根據(jù)梯形蝴蝶模型，SAOB:SBOCa2:ab25:35，可得a:b5:7，再根據(jù)梯形蝴蝶模型，SAOB:SDOCa2:b252:7225:49，所以SDOC49(平方厘米)．那么梯形ABCD的面積為25353549144(平方厘米)．或者根據(jù)梯形蝴蝶模型的性質(zhì)，Sab2572144(平方厘米)．《幾何原本》歐幾里得在公元前300年左右，曾經(jīng)到亞歷山大城教學(xué)，是一位受人尊敬的、溫良敦厚的教育家。他酷愛數(shù)學(xué)，深知柏拉圖的一些幾何原理。他非常詳盡的搜集了當(dāng)時(shí)所能知道的幾何事實(shí)，按照柏拉圖和亞里士多德提出的關(guān)于邏輯推理的方法，整理成一門有著嚴(yán)密系統(tǒng)《幾何原本》的偉大歷史意義在于，它是用公理法建立起演繹的數(shù)學(xué)體系的最早典范。在知識都是從最初的幾個(gè)假設(shè)出發(fā)、運(yùn)用邏輯推理的方法展開和敘述的。也就是說，從《幾何原本》發(fā)表開始，幾何才真正成為了一個(gè)有著比較嚴(yán)密的理論系統(tǒng)和科方法的學(xué)科。歐幾里得的《幾何原本》共有十三卷，其中第一卷講三角形全等的條件，三角形邊和角的大小關(guān)系，平行線理論，三角形和多角形等積（面積相等）的條件；第二卷講如何把三角形變成等積的正方形；第三卷講圓；第四卷討論內(nèi)接和外切多邊形；第六卷講相似多邊形理論；第五、第七、第八、第九、第十卷講述比例和算術(shù)的理論；最后講述立體幾何的內(nèi)容。從這些內(nèi)容可以看出，目前屬于中小學(xué)課程里的初等幾何的主要內(nèi)容已經(jīng)完全包含在《幾何原本》里了。因此長期以來，人們都認(rèn)為《幾何原本》是兩千多年來傳播幾何知識的標(biāo)準(zhǔn)教幾何學(xué)，人們把它叫做歐幾里得幾何學(xué)，或簡稱為歐式幾何。4如圖，長方形ABCD被CE、DF分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形OFBC的面積為_____平方厘米．A E 2 F B AE 2 F 5 O ? 5 O D 8 C D 8 【分析】連接DE、CF．四邊形EDCF為梯形，所以SEODSFOC，又根據(jù)蝴蝶模型，

SEOFSCOD

SEODSFOCEOF

2816，所以

SEOD4(平第9級下超常體系教師版7方厘米)，SECD4812(平方厘米)．那么長方形ABCD的面積為12224平方厘米，四邊形OFBC的面積為245289(平方厘米)．5圖中，ABCD和CGEF是兩個(gè)正方形，AG和CF相交于H，已知CH等于CF的三分之一，三角形CHG的面積等于6平方厘米，求五邊形ABGEF的面積.F E F

∵SHCG6，所以SAHF6（蝴蝶翅膀）CH為HF長度的一半，所以△HCG的面積為△HFG面積的一半，SHFG12.SFCG61218.進(jìn)而可知大正方形的面積為18×2=36，所以CG=6.又因?yàn)镾HCG6，所以CH=2，HF=6-2=4∵SAHF6，∴AD=3，總面積為：36＋3×3＋3×（6-3）÷2=49.5.6 A B (學(xué)案對應(yīng):超常3) 12，

13.5，ABD的面積為：

BO:ODSABC:SACD

2:3.54:7

SABO

SABD

7如圖，正方形ABCD的面積是64平方厘米，正方形CEFG的面積是36平方厘米，DF與BG相交8 第9級下超常體系教師版

【分析】6482,3662由蝴蝶模型可知．SBDFSBCD64232平方厘米．而SBFG

SBDG

DGBC

56平方厘米．由任意 S四邊形的蝴蝶模型可知： BDG

18 56

S

SBDF

28 289 方厘米8

CD2AB，點(diǎn)E、F分別是AD和BC的中點(diǎn)，已知陰影四邊形EMFN的面積是54平方厘米，則梯形ABCD的面積是多少平方厘米．

A

MN

B

F

C

S6

S5

S4

(學(xué)案對應(yīng):帶號4)【分析】CD2ABAB:EF:CD1:1.5:22:3:4注意到，

AEF,DEF

等高，因此AEFDEF設(shè)S1:S2:S3:S4:a4:6:9:6:1；S5:S6:S7:S8:b9:12:16:12:1.那么，6a9a9b12b 又，

SS9a9b54cm23

，a

3.5cm2,b2.5cm2梯形BCD

25a49b210cm2第9級下超常體系教師版9AOAOOCSS SS : : 1 2104，把小正三角形旋轉(zhuǎn)180度，就可以看出來。點(diǎn)總結(jié)一、任意四邊形中的比例關(guān)系DA

O

B

S:SS:S或者SSSS1 2 4 3 1 3 2 4 二、梯形中比例關(guān)系：10第9級下超常體系教師版 S1

S2

O

S4D b

SS ②S1:S2S4:S3或者S1S3S2S4③S1:S3:S2:S4:S梯形a2:b2:ab:ab:(ab)21.如圖，已知正方形ABCD的邊長是12厘米，E是CD邊上的中點(diǎn)，連接對角線AC，交BE于點(diǎn)O，則三角形AOB的面積是多少平方厘米.【分析】根據(jù)梯形蝴蝶模型，在梯形ABCE中，

22

SABCE

SABCE

SABCD

SABCD

平方厘米2.如圖，正方形ABCD面積為3平方厘米，M是AD邊上的中點(diǎn)．求圖中陰影部分的面積．B CGA M D【分析】因?yàn)镸是AD邊上的中點(diǎn)，所以AM:BC1:2，根據(jù)梯形蝴蝶模型可以知道

123

份，所以正方形的面積為1224312份，

S 224陰影S 陰影正方形

1:3

S 陰影方厘米3.右圖中ABCD是梯形，ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是 平方厘米．第9級下超常體系教師版11A D A 9 21 21 4 B E C B E 【分析】連接AE．

SOCD

S

根據(jù)蝴蝶模型，SOCDSOAESOCESOAD4936，故SOCD236，所以SOCD6(平方厘米)．4.如圖，梯形ABCD中，AOD、COB的面積分別為1.2和2.7，求梯形ABCD的面積．A B 【分析】根據(jù)梯形蝴蝶模型，

S :SAOD

a2:b2

1.2:2.74:9

，所以a:b2:3，SAOD:SAOB

a2:aba:b2:3，

SAOB

SCOD 梯形ABCD5.如圖所示，BD、CF將長方形ABCD分成4塊，DEF的面積是4平方厘米，CED的面積是6平方厘米．問：四邊形ABEF的面積是多少平方厘米？A F D A F 4E

6

4E

6B C B 66649(平方厘米)，所以長方形的面積為96230(平方厘米)．四邊形ABEF的面積為3046911(平方厘米)．EF 4 2 ED 法2:由題意可知，EC63，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，EBEC 面積為：

9(平方厘米)．則三角形CBD面積為15平方厘米，長方形面積為15230(平方厘米)．四邊形ABEF的面積為3046911(平方厘米)．6.如圖所示，ABCD是梯形，ADE面積是1.8，ABF的面積是9,BCF的面積是27．那么陰影AEC面積是多少？12第9級下超常體系教師版 【分析】根據(jù)梯形蝴蝶模型，可以得到 AFB

SAFDSBFC

，而

S

積變換)，所AFD

AFB SBFC

AEF

ADF

AED

31.81.2,而SAFB:SBFCAF:FC9:271:3,所以陰影AEC的面積是：SAECSAEF41.244.8．7.平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于一點(diǎn)O.E是AD中點(diǎn)，F(xiàn)是AB中點(diǎn).CE交BD于點(diǎn)M，CF交BD于點(diǎn)N.求陰影部分面積占平行四邊形面積的幾分之幾？ ON 【分析】連接OE、OF則OECD,OF

122 ，同理，梯形OFBC中，陰影部分面積是梯形面積的

.因此，

(SOEDCSOFBC

SABCD

SABCD8.如圖，ABCD是一個(gè)四邊形，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)．如果△ASM、△MTB與△DSN的 D A ASSM N M B T B C 【分析】連接MN、AC、BD．由于M是AB的中點(diǎn)，所以AMN與BMN的面積相等，而MTB比ASM的面積大1，面積相等，那么CTN的面積比DSN的面積大1，所以CTN的面積為9．ASD

，BTC的面積為63要使這兩個(gè)三角形的面積為整數(shù)，a可以為1，3或7．邊形BMDN的面積，即：6 97aa18

，得48632a1a1

第9級下超常體系教師版13EDBTC的面積分別為8、6、9．小結(jié)：本題中“且圖中所有三角形的面積均為整數(shù)”這個(gè)條件是多余的．作業(yè)1.如圖，因?yàn)?1

4

1 4，可得到 2

SSSS.根據(jù)此結(jié)論，試 回答下列問題：(1)若S110，S220，S340，則S4___2 OC5，

S110，則

S4___3 OC9，

SABD20，則

SBCD

S3 【分析】（1）20（2）25 （3）456.36平方厘米.連接BE交AD于P，再連接PC.則圖中陰影部分的面積是____平方厘米.

FAB

CPDC

AB

SEBD

SEAD所以，陰影部分的面積為16.363.18（平方厘米）2 3.如圖所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，對角線AC，BD相交于點(diǎn)

14第9級下超常體系教師版 D OA 【分析】根據(jù)題意，AB=5，CD=3，CD:AB=3:5，則根據(jù)蝴蝶模型，SDOC:SAOD:SAOB:SCOB

a2:ab:b2:ab

9:15:25:15

令SAOB=25份，則梯形ABCD共有：9+15+25+15=64份.所以1份為：4÷64=1則三角形OAB的面積為116×25=2516.4.如圖，長方形中，若三角形1的面積與三角形3的面積比為

4:5，四邊形2的面積為36，則三 【分析】做輔助線如下：利用梯形蝴蝶模型，這樣發(fā)現(xiàn)四邊形2分成左右兩邊，其面積正好等于三

36

5.如圖，在一個(gè)邊長為6的正方形中，放入一個(gè)邊長為2的正方形，保持與原正方形的邊平行，現(xiàn)在分別連接大正方形的一個(gè)頂點(diǎn)與小正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，形成了圖中的陰影圖形，那么陰影部分的面積為 【分析】本題中小正方形的位置不確定，所以可以通過取特殊值的方法來快速求解，也可以采用梯蝴蝶模型來解決一般情況．法1：取特殊值，使得兩個(gè)正方形的中心相重合，如右圖所示，圖中四個(gè)空白三角形的高662214．為6，上底、下底之比為2:61:3，根據(jù)梯形蝴蝶模型，這四個(gè)梯形每個(gè)梯形中的四個(gè)小三角形的面積之比為12:(13):(13):321:3:3:9，所以每個(gè)梯形中的空白三角形占該梯積之和的7 16，那么陰影部分的面積為16(62)14．第9級下超常體系教師版156.如圖，每個(gè)小方格的邊長都是1，求三角形ABC的面積．

2:5

，且BD∥CE，所以DA:AC

2:5

SABC

，由畢克定理可得:SDBC1 SABC 2 注:畢克定理:正方形格點(diǎn)多邊形的面積=(N 界格點(diǎn)數(shù)7.如圖，邊長為1的正方形ABCD中，

BE2EC，CFFD，求三角形AEG的面積．A D A G B

E

FC

B

E

FC【分析】連接EF．

BE2EC，CFFD，所以

SDEF

111(232

)SABCD

SABCD

SAED

AG:GF

11212

6:1，

SAGD

6SGDF

SADF

ABCD

SAGE

SAED

BCD

ABCD 8.如圖，正六邊形面積為6，那么陰影部分面積為多少？

16第9級下超常體系教師版 【分析】連接陰影圖形的長對角線，此時(shí)六邊形被平分為兩半，根據(jù)正六邊形的特殊性質(zhì)，和梯形6．班學(xué)案積等于三角形BOC面積的3，求三角形AOD與三角形BOC的面積之比． 【分析】根據(jù)梯形蝴蝶模型，

S AOB

2:3

，可以求出a:b2:3，再根據(jù)梯形蝴蝶模型，SAOD:SBOCa2:b222:324:9．(方厘米)，陰影部分的面積是多少平方厘米？A D 8 16 2 O2B E C 【分析】連接AE．

SOCD

S

OCD OCE

2816，故

SOCD216，所以SOCD4(平方厘米)．另解：在平行四邊形ABED中，

SADE

SABED

所以SAOESADESAOD1284(平方厘米)，根據(jù)梯形蝴蝶模型，陰影部分的面積為8244(平方厘米)．31

第9級下超常體系教師版17 【分析】由格點(diǎn)面積公式可得SABD1 11.5,SBCD11 SABC3 13.5,由 ABD

1.5 得:ABO

3.5 323 【超常班學(xué)案4】如圖，長方形ABCD中，BE:EC2:3，DF:FC1:2，三角形DFG的面積為2平方厘米，求長方形ABCD的面積．

【分析】連接AE，F(xiàn)E．因?yàn)锽E:EC2:3,DF:FC1:2，

311()S長方形ABCD532

長方形ABCD

因?yàn)?/p>

SAED長方形BCD

，根據(jù)蝴蝶模型結(jié)論：

AG:GF

11210

5:1

，所以S

SAFD12．因?yàn)?/p>

SAFD長方形BCD

，所以長方形ABCD的面積（也可以設(shè)份數(shù)，總體為30份，可以推算出，SDFG是56份）123班學(xué)案陰影部分的面積.18第9級下超常體系教師版 【分析】因?yàn)镋,F是DC邊上的三等分點(diǎn)，所以EF:AB1:3,設(shè)

△OFB

份,

AOB

份,S

S△BCF

份,因此正方形的面積為44(13)224份，

S 陰影

S 陰影正方形

6:241:4

S 陰影

平方厘米的面積．

【分析】連接AC交BD于O點(diǎn)，并連接PO．如圖所示，可得PO//DC，所以DPO與CPO面積相等(同底等高)，所以有:SBPO

SBPO

SPDO BPD

SBOC

BCDa,所以BP