計算方法的課后答案

《計算方法》習(xí)題答案第一章 數(shù)值計算中的誤差什么是計算方法？（狹義解釋）一個實際問題利用計算機解決所采取的五個步驟是什么？答：一個實際問題當(dāng)利用計算機來解決時，應(yīng)采取以下五個步驟：10-101-4-3-39-2472-2191-38-2473-223利用九韶算法計算多項式P(x)xx3x54x3處的值，并編程獲得解。P(x)x50x4x3010-101-4-3-39-2472-2191-38-2473-223所以，多項式P(x)xx3x54在x3處的值P(3)223。5．?dāng)⑹稣`差的種類及來源。答：誤差的種類及來源有如下四個方面：時只能用有限次運算的結(jié)果來近似，這樣引起的誤差稱為截斷誤差（或方法誤差。舍入誤差：在數(shù)值計算過程中還會用到一些無窮小數(shù)，而計算機受機器字長似的有理數(shù)來代替。這樣引起的誤差稱為舍入誤差。掌握絕對誤差（限）和相對誤差（限）的定義公式。答：設(shè)x*是某個量的精確值，x是其近似值，則稱差ex*x為近似值x的絕對誤差（簡稱誤差。若存在一個正數(shù)使ex*x，稱這個數(shù)為近似值x的絕對誤差限（簡稱誤差限或精度。r把絕對誤差e與精確值x*之比er

ex*x稱為近似值x的相對誤差，稱xx* *xxx* 為近似值x的相對誤差限ex*r

，由于真值x*是未知的，所以常常用ex*xe來表示相對誤差，于是相對誤差可以從絕對誤差求出。r x x近似值的規(guī)格化表示形式如何？答：一般地，對于一個精確值x*，其近似值x的規(guī)格化形式為x0.xxx12 p

10m，其中x1

0,xi

0,1,2,9(i1,2,p)，p為正整數(shù)，m為整數(shù)。有效數(shù)字的概念是什么？掌握有效數(shù)字與誤差的關(guān)系。答：若近似值x的（絕對）誤差限是它的某一位的半個單位，也就是說該近似值準(zhǔn)確到這一位，且從該位起直到前面第一個非零數(shù)字為止的所有數(shù)字都稱為有效數(shù)字。若近似值x的（絕對）誤差限為ex*x110mn，則稱x為具有n位有效2數(shù)字的有效數(shù)，或稱它精確到10mn位，其中的每一位數(shù)字x,x1 2

,xn

都是x的有效數(shù)字。設(shè)精確值x*的近似值x的規(guī)格化形式為x0.xxx12 p

10m，若x具有n位有效數(shù)字，則其相對誤差限為er

1101n；反之，若x的相對誤差限為2x1e r 2(x1

101n，則x至少有n位有效數(shù)字。對誤差限和有效數(shù)字的位數(shù)。（1）x1

0.024（2）x2

0.41353

57.50x*x*xxex

60000（5）x5

8105；解1）e x*xx*x*xxex

0.0005；er

0.0021；有三位有效數(shù)字。e x*xx*x*xxex

0.00005；er

e x*xx*x*xxex

0.005；er

0.000087；有四位有效數(shù)字。e x*x4 4

0.5；er

0.0000084；有五位有效數(shù)字。）e x5

x ；e5 r

；有六位有效數(shù)字。x* xex1910．為了使 的相對誤差x* xex19解：由e)r

的首位數(shù)是x*有n位有效數(shù)字，由定理4.1可知，相對誤差191 101n 解得n ，即取4位有效數(shù)字，近似數(shù)的相對誤差192 4不超過0.1%。11．已知y Px2 x10033，計算y* p100)及y P(3 3并求x和y的相對誤差。

100 100)2 100)1150 p() (3 3 3p() (y P

1150 28x* x xe(x)xr

0.0101y* y e(y)ye(y)e(y)yr

0.801587．寫出誤差估計的一般公式（以二元函數(shù)z 為例解：二元函數(shù)z 的絕對誤差：f| f|xy

e(y)二元函數(shù)的相對誤差：ef

f

e(y)r z x f|

(x,y)e

z yy f

(x,y)

ze(y)z xr z yr．用電表測得一個電阻兩端的電壓和流過的電流圍分別為V220，I100.1A，求這個電阻的阻值R，并估算其絕對誤差和相對誤差。解：e(V)2，e(I)0.1，又RV,R

1,RV

。所以：e(R)

RRV| )RV(V,I) I

IV II I2| e(I)(V,I)RVRVRI| ) | e(I) 2 0.10.42(V,I) (V,I) 10 100e(R)e(R)r

1.99102。R14．若x*1.030.01,x*0.450.01，計算yx21ex2的近似值，并估計e(y)及1其上界。y(1.03)2

2 1 21e0.4521 1 12222e(y)y*y(x* ex*)(x ex)(x*x)(x*x) (ex*ex)22221 2 1 2 1 1 1 1 2(x(xx)(xx) (e * * x* x2 2

)2.061021e0.01,(x

,x*)1 1

1 2 2 2 2已測得某場地長為l110m，寬d的值為d80m，已知e(l)l*l0.2m，e(d)d*d，試求面積sld的絕對誤差限和相對誤差限。sldsd,sl

l，e(l)l*l0.2m，e(d)d*d?？傻茫?/p>

e(s)

ssl(l,d

e(l)s|d

(l,d

e(d)

(l,d

e(l)

(l,d

e(d)slsd1100.2800.1slsde(s)e(s)r

3.4103。s1）加、減運算：由于xy/x1xy/y1,xy/x1,xy/y1,，所以yex

xyx/xye

xyy

y,exyexey, r

exyx/xyexy/xyey,從而有|exyx/xy|x|r r r r r|y/xy|y|r乘法運算：由于xyy,xy所以eyyexxey,ex y |exy||y||ex|x||ey|除法運算：

xyer

xer

y，從而()()x 由于x x1,x yx ，所以e() e(x)xe(y)，()()x y y y y2 y y y2xe()exry

(x)er

(y)xn

由于x

nxn1，所以exn

nxn1ex,exnr

nexr783x256x104（783

27.982。解：x1

56 (56)24112827.98255.78221xc2 x1

155.782

0.017863x216x103解：x1

16 (16)241187.93715.93721xc2 x1

115.937

0.062747所以較小正根為x0.062747。2In

1xnexdx,n,,104。0（1）證明：IenI ,n4；n n1（2）給出一個數(shù)值穩(wěn)定的算法，并證明算法的穩(wěn)定性。

1xnexdx1xndexe1nxn1exdxenIn 0 0

n1

n1

1(eI)n n設(shè)e I*I，則n n nen1

I*n1

I e1nn1 n1nen2

I*n2

I e1n2n2 n1n21nneI*I e1nn0 0 0 n當(dāng)n無限大時，e越小，所以該算法穩(wěn)定。n用遞推算法計算積分

1 xn dx,n,210，并驗證算法的數(shù)值穩(wěn)定性。n 014x114xnxn1xn1 1

1xn1 1 1

dx (xn1dx dx) In 40 14x 4

014x

4n 4

n1設(shè)e I*I，則0 0 01eI*I e1 1 1 40142e I*I e1422 2 2 0e I*10

I e141010 01410所以該算法是穩(wěn)定的。設(shè)計一個計算f(x)x123x2416x36的最小計算量的算法。解：f(x)x123x2416x36xxx2x4x43x12x1216x12x24什么是數(shù)值穩(wěn)定的算法？數(shù)值計算應(yīng)遵循的六條規(guī)則是什么？答：一個算法如果原始數(shù)據(jù)有誤差（擾動控制，則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的。否則，稱此算法是數(shù)值不穩(wěn)定的。數(shù)值計算應(yīng)遵循的六條規(guī)則是：選用數(shù)值穩(wěn)定的算法（計算公式；盡量避免兩個相近數(shù)相減；盡量避免用絕對值很大的數(shù)作乘數(shù)；盡量避免用絕對值很小的數(shù)作除數(shù)；（）小數(shù)（即合理安排運算順序；簡化計算步驟，減少運算次數(shù)。第二章 非線性方程的數(shù)值解法1．?dāng)⑹隽泓c定理的容。答：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)且f(a)f(b)0，則存在x*(a,b)使f(x*)0，即f(x)在區(qū)間(a,b)存在實的零點，稱區(qū)間[a,b]為方程的有根區(qū)間。2．方程求根的兩個步驟是什么？確定方程有根區(qū)間的方法有哪些？答：第一步確定方程f(x)0的有根區(qū)間。第二步近似根的精確化。確定方程有根區(qū)間的方法有兩種：作圖法和逐步搜索法。3．利用作圖法確定方程f(x)x3x10的有根區(qū)間。解 f(x)x3x1 ：yy101x由于f(0)10,f(2)82150,于是在區(qū)間(0,2)至少有一個根取步長h0.5向右進行根的搜索，即計算 f(0.5),ff的值得到f(0.5)0,f0,f0，從而，原方程的有根區(qū)間縮小為4．利用逐步搜索法確定方程f(x)x33x24x30的有根區(qū)間。f(030f50于是，方程在至少有一個實根，所以，x1h0.5向右進行根的搜索，即計算f(0.5得到f(0.510，從8而，原方程的有根區(qū)間縮小為(1,1)。2x34x2100的有根區(qū)間。解：由于函數(shù)f(x)x34x210的定義域為,，用逐步搜索法：由于f(0100f(2140，于是，方程在(0,2x0,取步長h0.5向右進行根的搜索，即計算f(0.5),ff的值得到f(0.5)0,f(1)0,f(1.5)0，從而原方程的有根區(qū)間縮小為(1,1.5)二分發(fā)的基本思想是什么？解：二分發(fā)的基本思想是將方程f(x)0的有根區(qū)間逐步分半，通過判別f(x)在端點的符號以及零點定理來縮小有根區(qū)間，使在足夠小的區(qū)間使方程f(x)0有且僅有一個根，并滿足給定的精度要求為止。以方程f(x0的有根區(qū)間為b為例f(a0f(b0b分半，用區(qū)間bab將b分為兩個相等2fabfab0x*ab就是方程f(x)0的2 2 2根；否則，若f(ab)0，由于f(x)在左半?yún)^(qū)間a,ab不變號，所以方程的有根區(qū)2 2間變?yōu)閍b,b。同理，若f(ab)0，則方程的有根區(qū)間變?yōu)閍,ab，從而將新2 2 2的有根區(qū)間記為b，且區(qū)間b的長度僅為區(qū)間b的一半，即b

ba。1 1 1 1

1 1 2ab第二步：對壓縮了的有根區(qū)間

a,

又可施行同樣的方法，即用中點1

1將區(qū)1 1 2間a,b再分為兩半，然后通過根的搜索判定所求的根位于哪半個區(qū)間，從而又確定一個1 1新的有根區(qū)間

b

a,b的一半。2 2 1 1如此反復(fù)可得出一系列有根區(qū)間且具有關(guān)系a,ba,ba,b，1 1 k k其中后一個區(qū)間長是前一個區(qū)間長的一半，因此區(qū)間a,bk k

的長度bak

ba，當(dāng)2kk時，區(qū)間bk k

的長度必趨于零，即這些區(qū)間最終收縮于一點x*，顯然x*就是方程f(x)0的根。以方程f(x)0的有根區(qū)間為b，精度要求為，試寫出利用二分法求該方程的近似根所需二分次數(shù)k的計算公式。解：若事先給定的精度要求為

0，則只需x*xk

ba2k1

，即k

baln，ln2此時x就是滿足給定精度要求的近似值，k為二分法的次數(shù)。k用二分法求下列方程在給定的有限區(qū)間及精度要求下的近似值及二分次數(shù)k（編程）（1）f(x)xex2 JD0.0001解：xk

0.852600 k12（2）f(x)x33x24x3 JD0.00001解：xk

1.499992 k15（3）f(x)x34x210 JD0.0005解：xk

1.364746 k10（4）f(x)x3x1 JD0.00005解：xk

1.324707 k13若應(yīng)用二分法求方程exsinx0在區(qū)間上誤差不超過1的近似值，應(yīng)二分2 25多少次？解：其近似根為0.437500，應(yīng)分k5次。迭代法的基本思想是什么？解：迭代法是一種逐次逼近法，首先給定方程f(x)0的一個粗糙的初始近似根x，0然后用一個固定公式反復(fù)校正這個根的近似值使之逐步精確化，直到滿足預(yù)先給定的精度要求為止。迭代法的具體做法如何？解：(1)將方程f(x)0改寫成等價形式x(x),在根x*的附近任取一個初始近似根x。0(2)構(gòu)造近似根序列：將x0

代入(x)計算得到x1

(x0

)，一般x1

x，再把x作101為新的近似根代入(x)得到x2

(x)，重復(fù)上述步驟即可。1迭代法的幾何意義是什么？xyyxp*的x*。設(shè)迭代初值為xyxp，p點的0 0 0 0 0

xyxP

x，0 0 1 0然后過點P引平行線于y軸的直線，并與曲線yx的交點記作p，重復(fù)上述過程可得0 1點列p,p,,p,,他們橫坐標(biāo)依次由迭代公式x k所確定。如果1 2 k k1 k點列p,p,,p,,逐步逼近p*，則迭代過程收斂，否則迭代過程發(fā)散。1 2 k敘述迭代過程收斂定理的容。解：假設(shè)迭代函數(shù)滿足下列兩個條件x有a(x)b；L1x(x)L1。則（1）對任意初值xb迭代過程x (x)均收斂于方程x(x)的根x*，0 k1 k即limxk

x*(k)。(2)誤差事后估計公式為x*x k

x1111

x。k試構(gòu)造收斂的迭代公式求解下列方程：cosxsinx（1）x ； （2）x42x4

2sin(x)（1）將方程xcosxsinx改寫為x4

4，從而得到迭代公式4x k1

2sin(xk4

)4 k0,1,2,。（2）將方程x42xx ln(4x)k。kk

改寫為xln(4x)，從而得到迭代公式判斷迭代法解方程f(x)xln(x2)0在的根時所用的迭代過程的收斂性。解：將方程xln(x2)0改寫為xln(x2)，從而得到迭代公式xk1

ln(xk

2),k0,1,2,。則(x)ln(x2)為迭代函數(shù)。由(x)

1 1，x24646464646用迭代法計算s

的近似值。牛頓法的基本思想是什么？具體做法如何？解：基本思想：牛頓迭代法實質(zhì)上是一種線性化的方法，其基本思想是將非線性方程f(x)0逐步歸結(jié)為某種線性方程來求解的方法。具體做法：設(shè)已知方程f(x)0有近似根x，將f(x)在x作一階泰勒展開，于是方k k程f(x)0可近似地表示為f(xf(x)(xx)0是一個線性方程，設(shè)f(x)0，k k k k則x

f(x) k

f(xk),k0,1,2,。k f(x)k

k1

f(x)k牛頓法的幾何意義是什么？解：牛頓迭代法實質(zhì)上是用過點(x,f(x))的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)x 來逐步逼k k k1近曲線yf(x)與x軸交點的橫坐標(biāo)x*,所以牛頓法又叫切線法。試證：用牛頓法求方程(x22(x)0在x*2是線性收斂的。證明：由牛頓迭代公式x

xf(xk),k0,1,2,，可得，k1

k f(x)k(x)x

f(x)

2x23x6，顯然，(2)0，所以該迭代過程是線性收斂的。f(x) 3x4x3a0，導(dǎo)出求立方根3a的迭代公式，并討論其收斂性。解：設(shè)f

(x)

x3a

0，得牛頓迭代公式為x

xk

x3ak3x2k

,k0,1,，牛頓迭代函數(shù)(x)2x3a，(x)2x32a(3a)01，所以該迭代公式收斂。3x2 3x3正割迭代法的基本思想是什么？具體做法如何？幾何意義是什么？ 解：基本思想：用過兩點(x,f(x))，(x ,f(x )) k k k1 k1牛堆迭代公式中的倒數(shù)f(x)。k具體做法：對方程f(x)0經(jīng)過k次迭代后得到近似根x ，x，從而取k1 kf(x

(f(x)f(x ))) k k

， 于 是 牛 頓 迭 代 公 式 變 為k (xk

x )k1x x

f(xk

(xx

)，此公式為正割法迭代公式。k1

k f(xk

)f(x

) k1

k1 幾何意義：正割迭代法是用過兩點A(x,f(x))，B(x ,f(x ))的直線與x k k k1 k1的橫坐標(biāo)x 來逐步逼近曲線f(x)與x軸交點的橫坐標(biāo)x*，因此正割迭代法又叫割線法。k1簡述正割迭代法與牛頓迭代法的區(qū)別。解牛頓迭代法在計算時只需要一個初值x在計算x 只用到前一步的值但要0 k1計算f(xk

)；而正割法在計算時需要兩個初值x0

x，在計算

k

時要用到前兩次的迭代值x ，x，但不用計算導(dǎo)數(shù)。k1 k30．使迭代法加速的方法有哪些？并分別寫出它們的迭代公式。答：使迭代法加速的方法有艾特肯加速公式和斯蒂芬森方法：艾特肯加速公式：

1

0,1,2,2

211

2 斯蒂芬森方法：

1 2迭代：

,

0,1,2,;

22

0,1,2,.第三章 線性方程組的數(shù)值解法答：線性方程組的數(shù)值解法有兩大類：方程組精確解的算法。即先給定一個初始解向量，然后按新的迭代公式逐步求出解的更準(zhǔn)確值的方法。高斯消去法的基本思想是什么？AXb同解的三角形方程組，而求解三角形方程組就容易了。高斯主元素消去法是在何種情況下提出來的？答：用高斯消去法解線性方程組AXb0序消去法的程序。2xx2x

5 3xx4x7（1）5x1x2x38 ； （2）12

1。x1 2 3

x 2x 2x 1 2 3 3x4x4 2x3x2x01 2 3 1 2 31）將方程組的增廣矩陣進行初等變化，并利用高斯順序消去法得：212 5 21 25 2125 x1 15-11 8 0-7-8-90789x1； 1-3-4-4 0-7-10-13 002 3利用完全主元素消去法得：212 5 5-1 18 5-1 18 5 1 -18 5-1182 1 250 7 890 8 791-3-4-4 1-3-4 -4 0 2 34 0 3 24 5 1 -18 x10 8 79x12； 0 0 5-5

x31 2利用列主元素消去法得：212 5 5-1 18 5-1 18 5-1 18 x15-118

2 1 250 7 890 7 8

x11 21-3-4-4 1-3-4 -4 0 2 34 0 0 510 x2

3（2）將方程組的增廣矩陣進行初等變化，并利用高斯順序消去法得：3 -1 4 7 3 -1 4 7 3 -1 4 7 x2 1-1 2-2 0 5 -2 40 5 -2 4x1； -1 22 -3-2 0 0 1 2 2 0 0 2 1 1

x3 2利用完全主元素消去法得：3-1 47 4 -1374-1374-137-12-2-1-22-1-1031503152 -3-2 0 -

-3 2 0 0 -1 1 1 0 -1 1 1 x14 -1 3 7 3 20 3 1 5x1； 0 0 4 8

x22 1利用列主元素消去法得：-147 3-147-147 3-1475-20 5-2

x2-1 2-2

-1

x11。2 -3-2 0 0 1 2 2 0 0 2 1

2 1

x3 2用矩陣的三角分解法解下列方程組，并掌握三角分解法的編程思路。-2

8x

5

2 3 x

2（1）-418-1618； （2）2

5 2 1。2 x2

x

33-6 2 -20x33

7

3

1 5 x

201）對系數(shù)矩陣A作如下的三角分解：21316 2 -2031根據(jù)矩陣的乘法可得：

00-248-248 00uu12u13-418-16l 111uu32

。22 230 u331u112u112，1u124u124，1u138u138；l21u114l212，l21u121u2218u2210，l21u131u2316u2332；l31u116l313，l31u12l32u222l321，l31u13l32u231u3320u3376。0 02 4 8于是有A21 00 10 -32LU，則原方程組可表示為 3 -10 0 -760 02

8x

5

0 0

521 00

10 -32

18。解方程組Lyb，即

18，得23 x223

1 0y

-1

0

0 -76x

7

-1

y

7329131905 2

8x 5

21

1

，得 y2。解方程組Uxy，即0

10 -32x

2

x95。10

0

0 -76x

10 5232（2）對系數(shù)矩陣A作如下的三角分解：

3821 22 2 3 00u u u 21 22 2 5 2

11 12 13。

1 00 u u 3

1 5 l

l 1032

0 u33根據(jù)矩陣的乘法可得：， ， 1u 1u 1 1u 2u 2 1u 3u ， ， 11 11 12 12 13 13， l u 2l 2 l u 1u 5u ， 21 11 21 21 12 22 22； l u 1u 2u 4 l u 3l ； 21 13 23 23 31 11 31， l u l u 1l 5 l u l u 1u 5u ， 31 12 32 22 32 31 13 32 23 33 330 01 2 3于是有A21 00 1 -4LU，則原方程組可表示為 3 -50 0-240 0

2 3x

0 0

21 00 1 -41。解方程組Lyb，即21 01，得33 x2 y2 33-

0

0-24x

20

-

y

20

3x 14

1

1

，得 y10。解方程組Uxy，即0

1 -

x2

10

x2。3723

0

0-24x

3-10-1003-10-24-0-35-1002-10-12-10-12-1002-10-12-10-12

2 x 6 1

1 （1）-1

x20；

-1

x21。0 x

0

0 x

240 3 04

0 3 14 x 41）由ALU得：

x 2 -1 0 0

0 0 0

0 0 -1 2 -1

0

0 00

0 2 2 2 。0-12-10-12-100-12

00 0 1 3 3 0 0 4 4

0 0 0 1于是有1

2,1

11

1,2

1,2 1

22

3,22

12

2,3

1,3 2

23

4,3

3

13,3 4 4 3

24

5。42 0 0 0

13 3 -1 0 0

21 2

1 從而Lyf為

4 y20y3。Uxy為0 -1

0

1 3

3 4 54

40 -1 4

15 1

1

4- 0 0

2

5 2 x

1 3 2 1

0 1 - 0 x 3 53 2 ，解得x 。 x

1

20 0 1 -33

4x

4 5 4 1 10 0 0 1 5 5ALU得：

2 -1 0 0

0 0 0

0 0 -13 -1

0

0 00

0 2 2 2 。0 -2 4 -3 0

00 0 1 3 3 0 0 -

0 0 4 4

0 0 0 1于是有1

2,1

11

1,2

1,2 1

32

5,22

12

2,5

2,3 2

43

16,5

3,3

315,3 16 4 3

54

35。162 0 0 0 35 y 65

8-1 0 0

1 5 2 y 1 從而Lyf為16

2 y3。Uxy為0 -2

0y 2 5

3 1

8 35y4

340 - 1

163

142

35- 0 0

35 2 x

8 74 2

1 5 0 1 - 0 x 355 23，解得x 。 x

9 0 0 1 -15

3 8 16x 34

7 4

340 0 0 1

35

35設(shè)x

x,x1

,,xn

TRn，掌握常用向量數(shù)的定義式x

,x ,x1

,x。P解：x1

xx1 2

xn

nx；ii1x xi

maxx1

,x,,x2

（又叫最大數(shù)）x2x(P

1nxPPnii1

1x2x2x2x2x21 2 nnii18．已知x，計算x,x ,x,x 。1 2 P解：x1

xx1

xn

nxii1

5；x maxxi

max,xx1 x

,,xn

3；x2x2x2x2x21 2 n2

(ni1

x2)2 ；111i111x(P

xP)Pii1

1(23P)P。9．設(shè)A(a) Rnn，掌握常用矩陣數(shù)的定義式A,A ,A,A 。ijnn 1 2 F解：A1

maxna ；iji1x maxna ； ijj1A (ATA)；2 maxn 1A F

i,j

a2)2。ij10．已知A2 -1，計算A,A

,A,A 。解：A1x

30 30maxnaiji1maxnaijj1

5；3；

1 2 F (ATA)max72 (ATA)max72102n 1 A F

i,j

a2)ij

14。1）雅可比迭代法Jacob）超松弛迭代法5x設(shè)有方程組

2xx2 4

1220x2

x 2x2 3x3x10x31 2 3寫出用JacobiJacobix0.4x0.2x2.4解：該方程組可化為：10.25x20.5x35 ，從而得到Jacobi迭代法的公式：xx20.2

1x0.3

3x0.33 1 2x(k1)0.4x(k)0.2x(k)2.41 2 3

X D U LX Dbx(k0.25x(k)0.5x(k)5

(k 1( ) (k) 1，2 1 3x(k1)0.2x(k)0.3x(k)0.33 1 25 0 0 0 21

0 0 0

12 其中：D0 4 0，U0 0 2，L-1 0 0，b200 0 10 0 0 0 2 -3 0 3 5 2 1 （2）用Jacobi迭代法解此方程組是收斂的。因為系數(shù)矩陣A-1

是嚴(yán)格對角占優(yōu)陣，所以Jacobi迭代法收斂。

2 -31020x2x3x

24設(shè)有方程組x 1x 28

3121 2 32x3x15x301 2 3寫出用G-S（2）G-S迭代法是否收斂？為什么？x0.1x

0.15x1.2解：該方程組可化為：1 2 3x1.5，從而得到G-S迭代法的公式：x 0.125x 0.125x2 1 30.133x0.2x23 1 2x(k1)0.1x(k)0.15x(k)1.21 2 3x(k1)0.125x(k1)0.125x(k)1.5，2 1 3x(k1)0.133x(k1)0.2x(k1)23 1 2

20 2 3 用G-S迭代法解此方程組是收斂的。因為系數(shù)矩陣A1 8 1是嚴(yán)格對角占 2 -315 優(yōu)陣，所以G-S迭代法收斂。x8x15．設(shè)有方程組102

0x739 8x x x 1 2 39xxx71 2 3怎樣改變方程的順序使Jacobi迭代法和G-S迭代法均收斂。9xxx

7 9 -1 -1解：將方程組變化成1

3 7 ，此時系數(shù)矩陣 -18 01x 8x01

A 為嚴(yán)2 3 x0x9x8 -1 0 9 1 2 3格對角占優(yōu)矩陣，所以Jacobi迭代法和G-S迭代法均收斂。 1x(k) (bax(k)16．設(shè)方程組a

xaxb

(aa

0，迭代公式為

a 1 122111

122 1 11

11ax121

axb222 2

x(k)1(bax(k1))2

a 2 211aa2112aa2112aa1122(kxk

收斂的充要條件是

1。a a

0

0 0 a 證明：由題設(shè)知：A

12

12，所以：a a21 22

00aa1221aa1221aa1122

a a22 a -12

0 0 0a 0 1

a a 迭代矩陣B11

12

11，

，所以由迭0 a a22 21

0 Baa21 0a22代法收斂的充要條件(B)1(k)aa2112aa1122是 aa2112aa1122

x 收斂的充要條件簡述迭代法的基本定理的容。答：設(shè)有方程組 XBXf，對于任意初始解向量 X(0)及任意f，迭代公式X(k1)BX(k)f收斂的充要條件是(B)1。AACondAA1220．已知A-1

-1 03 -1，求A ，Cond(A) (P)和(A)的值 P PlimCond(A)n

0 -1 2。解：A1

5；由(AAT)1,4,16。所以A2A 5。5 1 18 4 8

4； 因為：A11 1 1，所以Cond(A) 4 2 4 1 1

Cond(A)2

16,Cond(A)

5。8 4 8(A)1,2,4(A)4。121．設(shè)A

1 1 n

A1(A

Cond(A

(n)。1nn 1 1nn

為正整數(shù)n n n1n

n Cond

n

( )

)解：A1n

-n

( ) 4

CondA n 。n n n1.000

1.001

2.00122．分析方程組1.000

1.000

12.000的性態(tài)，并求其精確解；當(dāng)右端項擾動2 x 2為(2.000,2.000)T時，求其精確解，并計算解的相對誤差。解：由Cond(A)20001，所以該方程組為病態(tài)方程組。其精確解為(1,1)T；當(dāng)右端項擾動為(2.000,2.000)T時，其精確解為(2,0)Te(X)AA1e(b)2000e(b)。

，解的相對誤差為r r r

第四章 插值法yf(x在區(qū)間[abax0

x x1

b上的yyyP(xP(x)y(in成立，則稱0 1, n i iP(x)為f(x)的插值函數(shù)，點x，x,，x0 1 n

稱為插值節(jié)點，區(qū)間[a,b]稱為插值區(qū)間，滿足的條件P(x)y(i0,1,,n)稱為插值條件，求插值函數(shù)P(x)的方法稱為插值方法。i i（簡稱插值法。3P(x使之滿足插值條件：2, P(2)4, P(3)12, P3.P(x)aaxax2ax3，則根據(jù)條件得：0 1 2 3aaaa0 1 2

2 a0

6a2a4a8a4 a150 1 2 3 ，解得：1 ，a9a27a12 a90 1 2 3 2a4a1 2

12a33

a23所以：P(x)615x9x22x3知數(shù)據(jù)表x知數(shù)據(jù)表xi-112f(x)i-304求f(x)的2次插值多項式P(x)。P(x)aaxax2，則根據(jù)條件得：0 1 2a7aaa

0 3 a 0 aaa aaa

3 ，0 1 2

1 2a2a4a40 1 2

a52 67 3 5所以：P(x)

x x23 2 6已知數(shù)據(jù)表x已知數(shù)據(jù)表xi0235f(x)i1-3-42寫出f(x3Lx；3寫出f(x3N(x。3）L(x)yl(x)yl(x)yl(x)yl(x)，其中3 00 11 22 33l(x)0 1 2xl(x)0 1 2xx)(xx)(3 ；l(x)xx) 1 0xx)(0 1 0 20 31 0

)(xx

) (x

)(xx2

)(xx)3 ；xx1

)(x1

x)3(xx

)(xx)(xx

) (x

)(xx)(xx)l(x)2

(xx2

0)(x0

1x)(x1

3x3

；l(x)3

(xx3

0)(x0

1x)(x1

2x)2。所以：L(x)1x32x222x1。3（2）

5 3 15N(x)f(0)f0,2(x0)3f0,2,3(x0)(x2)f0,2,3,5(x0)(x2)(x3)1 1 1 1 12x x(x2) x(x2)(x x3 x2 x3 5 5 3 151 1 1 1 xixif(x)i0123415112553列出差分表；寫出f(xN4(x0th；x0.5的值；xf(x)yxf(x)y2y3y4yiiiiii011542116232514864453281460（2）f(x)的牛頓向前插值多項式N(x4 0

th)y0

ty0

t(t2

2y0

t(t1)(t2) y

t(t1)(t2)(t3) y014tt(t1)t(t1)(t2)t32t25t1；（3）x0.5，t0.5，代入上式中得：N(0.5)t32t25t13.125；4（4）Rn

(x)t(t1)(t2)(t3)(t4)h5f(n1)(),(0,4)。5!已知數(shù)據(jù)表x已知數(shù)據(jù)表xi01234f(x)i15112553列出差分表；寫出f(xN(xth；4 4x3.5的值；寫出其余項。）xxy2y3y4yif(x)i53251151iiii432102814641482660（2）f(x)的牛頓向后插值多項式N(xth)ytyt(t1)t(t2)3yt(t2)(t4y4 443223!14!05328t7t(t1)t(t1)(t2)t310t237t53；3x5t.5N(3.)t310t237t5336.875；4（4）Rn

(x)t(t1)(t2)(t3)(t4)h5f(n1)(),(0,4)。5!熟練掌握n1個節(jié)點的n次拉格朗日插值多項式Ln有的規(guī)律性）及其插值余項的形式。

(x)的表達形式（其中的基函數(shù)所具解：設(shè)函數(shù)yf(x)在n1個點x0yf(x)(k0,1,2,...,n)。k k

x...x1

處的函數(shù)值為作一個次數(shù)不超過n的插值多項式Ln(x)使得Ln(x)在這些點xi處滿足插值條件Ln(xk)yk(k0,1,2,...,n)。首先構(gòu)造n次插值基函數(shù)l(x)(k0,1,2,...,n)。n次插值基函數(shù)kl(x)(k0,1,2,...,n)k(xx

)(xx)...(xx

)(xx

)...(xx) nn

0,1,2,...,)l(x)k (xk

0x)(x

1x)...(x

k1xk

)(xk

k1xk

)...(xk

x)k n。nL(x)nnk0

y(x使之滿足插值條件L(x)y(knL(xn次拉kk n k k n格朗日插值多項式。其余項為：Rn

(x)

f(n1)()(x)。(n1)!n1個節(jié)點的n次牛頓插值多項式N(x)的表達形式及其插值余項的形式。nf[x

]f(x

為函數(shù)f(xxf[x

,x]

f(x)f(x)1 0i i

0 1 xx1 0為函數(shù)f(xxx的一階差商。0 1f[x

,x,x]

f[x,x1

]f[x0

,x1

為函數(shù)f(x

,x,

的二階差商。0 1 2

xx2 0

0 1 2用 n1

差 商 的 差 商 來 定

n 階 差 商f[x

,x,...,x]

f[x,x1

,...,xn

]f[x0

,x,...,1

]n10 1 n

xxn 0f(x)f(x0

)f[x0

,x](xx1

)f[x0

,x,x1

](xx0

)(xx)1f[x0

,x,,x1

](xx0

)(xx)(xx1

n1

)Rn

(x)其中Rn

f[x,x0

,x,,x1

](xx0

)(xx)(xx1

n1

)(xx)n就是用牛頓插值多項式Nn式的余項。

(x)近似代替f(x)所產(chǎn)生的截斷誤差，稱R(x)為牛頓差值多項n式的表達形式及相應(yīng)插值余項的形式。y=f(xxxih上的值yf(x)(i,3h為步長i 0 i i的常數(shù)。 稱函數(shù)f(x)在每一個小區(qū)間[x,x ]上的增量y y為函數(shù)yf(x)在點x i i1 i1 i i分，記為y，即yy y。i i i1 i，即一階差分的差分y y稱為二階差分，記為y 2yy y。，即i1 i i i i1 i用n1階差分的差分來定義n階差分nyn1y n1yi i1 i牛頓向前插值多項式：xx0

t(t1)2y

t(t1)(tn1)nyN(x0

th)y0

ty0

0 0余項：R(x)t(t1)(tn1)(tn)hn1f(n1)()(n1)!n牛頓向后插值多項式：xxn

tht(t1)2y

t(t1)(tn1)nyN(xn

th)yn

n1

n20余項：R(x)t(t1)(tn1)(tn)hn1f(n1)()(n1)!n已知數(shù)據(jù)表已知數(shù)據(jù)表x-101if(x)i-101f(x)i010求滿足條件的埃爾米特插值多項式P(x)。解：當(dāng)x(1,0)時，設(shè)P(x)a0a1xa2x2a3x3，則P(x)a12a2x3a3x2，將條件代入得：aaaa0 1 2

1 a00a0 a10

，所以P(x)xx2

x3；12a2a12a113a3

0 a2a23

11同理，可得當(dāng)x(0,1)時，P(x)1x31x2x；5 5xx2x3, x1所以，P(x) 15x35x2x, x()設(shè)f(x)x4為插值節(jié)點的三次插值多項式。L(x)l(xyl(xyl(xyl(xy，其中3 0 0 1 1 2 2 3 3x(x1)(x2) (x1)(x1)(x2)l0(x)(10)(11)(12)；l1(x)(01)(01)(02)；(x1)(x0)(x2) (x1)(x0)(xl(x)2

2)

； l(x) ；3 (20)(2y1,y0,y1,y16。0 1 2 3則：P(x)2x32x24x，其余項為3 3R(x)n

f(4)()(x1)x(x1)(x2)(x1)x(x1)(x2)。4!12S(x)x3x2,2x3bx2cx

0x1是以0,1,2為節(jié)點的三次樣條函數(shù)，求b1x2和c的值。解：由三次樣條函數(shù)的定義可得：f(10)f(10),f(10)f(10)。即：3262bc，解得：b2。6212c3第五章 曲線擬合的最小二乘法簡述曲線擬合的概念。答：所謂的曲線擬合就是從給定的數(shù)據(jù)集(x,y)(i1,2,，m)中找出總體規(guī)律性，并i i構(gòu)造一條能反映這種規(guī)律的曲線P(x)P(x)P(xP(xy(i1,2,m按某種標(biāo)準(zhǔn)達i i i到最小。 Px 2答：通常采用

( 2)2

(m[( ) ])1

min既根據(jù)“是偏差的平方和m 2 i i i1 im 最小”的原則(稱為最小二乘原則)來選取擬合曲線P(x),稱根據(jù)最小二乘原則來選擇擬合曲線P(x)的方法為曲線擬合的最小二乘法。知數(shù)據(jù)表：x知數(shù)據(jù)表：xi1234f(x)i1.952.402.833.30試求最小二乘一次擬合多項式p(x)abx。解：根據(jù)給定的數(shù)據(jù)表，建立法方程組：S Sa 0 101 1S Sb 1 1其中：S0

x04；Si 1

x110，Si

x230，ii1 i1 i1T0

y10.48，Ti

xy28.44。iii1 i1解得：a1.5 ，所以P(x)1.50.448x。b0.448已知數(shù)據(jù)表：xx01234if(x)i15112553試求次數(shù)不高于4的最小二乘擬合多項式P(x)。解：根據(jù)給定的數(shù)據(jù)表，建立法方程組：S Sa 0 101 1S Sb 1 1其中：S0

4i0

x05；Si 1

4i0

x110，Si

4i0

x230，iT0

y95，Ti

xy314。iii0 i0解得：a5.8，所以得到最小二乘一次擬合多項式P(x)5.812.4x。b12.4同理可得二次擬合法方程組：S S Sa 0

2

0，其中：213 S1 S2 S3b 213 S2

S Sc TS0

x05；Si 1

x110，Si

x230，Si

x3100，ii0 i0 i0 i0S

x4354，

y95，

4x

314，

x2

1122。4 i 0 i

ii

i ii0 i0 i0 i0a2.2解得：b3.6，所以得到最小二乘二次擬合多項式P(x)2.23.6x4x2。c4

第六章 數(shù)值積分答：將f(x)用簡單的函數(shù)近似代替是構(gòu)造數(shù)值積分算法的基本思想。2．掌握代數(shù)精度的概念，掌握證明某個求積公式具有m次代數(shù)精度的方法。答：若求積公式bf(x)dxnAakak0

f(xk

)對f(x)xi(i,m)能精確成立，但對f(x)xm1不精確成立，則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度。試確定求積公式1f(x)dxf( 3)f(3)的代數(shù)精度。3 3解：將f(x)1代入求積公式的兩邊得：左邊=2=右邊，所以成立。同理，可將f(x)x,x2,x3代入求積公式兩邊，公式成立。但將f(x)x4代入其公式不成立。所以，該求積公式具有3次代數(shù)精度。證明求積公式hf(x)dx2hf(0hf(hh2

f(0)具有2次代數(shù)精度。0 3 3 6證明：將f(x)1代入公式兩邊得：左邊=h=右邊；將f(x)xh2=右邊；2h3將f(x)x2代入公式兩邊得：左= =右邊；h33將f(x)x3代入公式兩邊得：左邊=所以該公式具有2次代數(shù)精度。5．確定一個具有3次代數(shù)精度的求積公式

h4右邊h4；4 33f(x)dxA

f(0)

f

f(2)

f(3)0 0 1 2 3解：由代數(shù)精度的定義，將f(x)1,x,x2,x3分別代入公式得：AAAA3

A30 80 1 2 39 9A2

3A

A1

3 2 解得：1 8，該求積公式為：A4A9A9 91 2 381

A2 8A8A

27A 3431 2 3

A3 83f(x)dx3f(9f9f(3f。) 0 ) 6．熟練掌握插值型求積公式bf(x)dxnAakak0

f(xk

中求積系數(shù)k

的求法。

b

(x)dx

b (xx0)(xx)(xxk1)(xxk1)(xxn) dx1k a1

a(xk

x)(x

x)(x

xk

)(xk

xk

)(xk

x)n(k0,1,2,,n)用辛普生公式計算積分1exdx，并估計截斷誤差。0解：設(shè)f(x)ex，a0,b1；f(0)1,f(1)0.6,f(1)0.372由辛普生公式有：S1[f(0)4f(1)f0.6286 2f() ba其截斷誤差為：[f]b (xa)(x )(xb)dxa 21f)x(x1)(x)dx,(。0 2用定義確定求積公式2f(x)dxA

f(0)

f

f(2)中的待定系數(shù)A,A,A，0 0 1 2并指出該公式的代數(shù)精度。解：由插值型求積公式可知：

0 1 2Ab

(xdx

(xx)(xx)(xx )(xx )(xx)0 1 kkn dxk ak

a(xk

x)(x

x)(x

xk

)(xk

xk

)(xk

x)n所以：A0

2(x)(x2)dx1；0(02) 3A

x(x

dx4；1 02) 3A

x(x

dx1。2 0(20)(23將f(x)1代入公式兩邊得：左邊=2=右邊；將f(x)x代入公式兩邊得：左邊=2=右邊；8將f(x)x2代入公式兩邊得：左邊=3

=右邊；將f(x)x3代入公式兩邊得：左邊=4=右邊；32 20將f(x)x4代入公式兩邊得：左邊=所以該公式具有3次代數(shù)精度。

右邊 。5 3確定求積公式2h2h

f(x)dxA0

f(h)A1

f(0)A2

f(h)中的代數(shù)系數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構(gòu)造出的求積公式所具有的代數(shù)精度。解：將f(x)1,x,x2分別代入公式得：AAA

A8h0 30 1 2 4hAhA0 解得：A h，該求積公式為： 0 2

1 3h2A

h2

3h3 A8h 0 2

2 32h2h

f(x)dx8hf(h)4hf(0)8hf(h)3 3 3該公式對f(x)x3成立，但對f(x