線性代數(shù)-向量空間

一、向量空間的概念定義1設(shè)V

為n

維向量的集合，如果集合V非空，且集合V對于加法及乘數(shù)兩種運算封閉，那么就稱集合V為向量空間．說明1．集合V

對于加法及乘數(shù)兩種運算封閉指若

V

,

V

,則

V

;若

V

,

R,則

V

.2．n

維向量的集合Rn

是一個向量空間.例1

3

維向量的全體R

3

,是一個向量空間.乘3維向量仍然是3維向量，它們都屬于R3

.類似地，n維向量的全體Rn，也是一個向量空間.因為任意兩個3維向量之和仍然是3維向量,數(shù)例2判別下列集合是否為向量空間.

T2

n

2

n

,,,,,0

R1解V1是向量空間.因為對于V1的任意兩個元素

TnT2

n

0,

a

,,

a2,

0,

b

,,

b1

V

,12

2

VTnn有

0,a

b

,,a

b1V

.2Tn

0,

a

,,

a例3判別下列集合是否為向量空間.Tx2

,,

xn

RnV

2解因為若

1,a2

,,an

V

,T2則2

2,2a2

,,2an

V

.T2V2不是向量空間.例4

設(shè)a,b為兩個已知的n維向量，集合V

x

a

b

,

R解

V是一個向量空間.因為若x1

1a

1bx2

2a

2b

則有x1

x2

(1

2

)a

(1

2

)b

V

,kx1

(k1

)a

(k1

)b

V

.這個向量空間稱為由向量a,b所生成的向量空間.V

x

1a1

2a2

m

am

1

,2

,,m

R一般地，由向量組a1

,a2

,,am所生成的向量空間為V1

x

1a1V2

x

1b1試證：V1

V2

.

2a2

mam

1

,2

,,m

R

2b2

sbs

1

,

2

,

s

R例5

設(shè)向量組a1

,,am與向量組b1

,,bs等價，記證設(shè)x

V1，則x可由a1

,,am線性表示.因a1

,,am

可由b1

,,bs

線性表示，故x可由b1

,,bs

線性表示，所以x

V2

.這就是說，若x

V1，則x

V2因此V1

V2

.類似地可證:若x

V2

,則x

V1

,因此V2

V1

.因為V1

V2，V2

V1，所以V1

V2

.定義2

設(shè)有向量空間V1及V2，若向量空間V1

V2，就說V1

是V2

的子空間．實例設(shè)V

是由n

維向量所組成的向量空間，顯然V

Rn所以V總是Rn的子空間.二、子空間定義3

設(shè)

V

是向量空間，如果

r

個向量

1

,2

,,r

V，且滿足1

,2

,,r

線性無關(guān);V中任一向量都可由1

,2

,,r

線性表示.那末，向量組

,

,,

就稱為向量V

的一個1

2

r基，r

稱為向量空間V

的維數(shù)，并稱V

為r

維向量空間．三、向量空間的基與維數(shù)說明只含有零向量的向量空間稱為0維向量空間，因此它沒有基．若把向量空間V

看作向量組，那末V

的基就是向量組的最大無關(guān)組,V的維數(shù)就是向量組的秩.若向量組1,2

,,r是向量空間V

的一個基，則V

可表示為V

x

,,

R1

1

2

2

r

r

1

r2

2

2

1A

(a1

,a2

,a3

)

2

1

2

,

1

22

1

4

4B

(b1

,b2

)

0

3,驗證a

,a

,a

,是R3的一個基，并把b

,b

用這個基1

2

3

1

2線性表示.例6

設(shè)矩陣解

要證a

,

a

,

a

是R3的一個基，只要證a

,

a

,

a1

2

3

1

2

3線性無關(guān)，即只要證A

~

E

.設(shè)

b1

x11a1

x21a2

x31a3

,b2

x12a1

x22a2

x32a3，即31 32

x

xx22

,x12

x11(b1

,b2

)

(a1

,a2

,a3

)

x21記作B

AX

.3則a1

,a2

,a3為R

的一個基，且當(dāng)A變?yōu)镋時，B變?yōu)閄

A1

B.對矩陣(AB)施行初等行變換，若A能變?yōu)镋，2

2

2

1

1

4

1

2

0

3

1

2

2

4(

AB)

22

1

1

1

1

3

2

1

2

0

3

1

2

2

432

311

(r

r

r

)~5

0

1

1

1

1

3

0

3

0

2

33

3

52

1

1

1

1

3

2

1

2

0

3

1

2

2

413(r1

r2

r3

)~r3

r1r2

2r1~

0

1

1

111

0r2

(3)3r

~

3

0

1

1

0

33r3

r1r2

2r1~

11

0 1 00 01

0

1

0r2

(3)3r

~

3r1

r3r

~r3

2因有A

~b1

,b2

(１．向量空間的概念：向量的集合對加法及數(shù)乘兩種運算封閉；由向量組生成的向量空間．２．子空間的概念．３．向量空間的基和維數(shù)：求向量空間基和維數(shù)的方法．四、小結(jié)設(shè)V

x

(,a)b運算如下:加法數(shù)乘

ab

R,,定義加法與數(shù)乘V:(,(),,(a)

ccbadb)d,