數(shù)學(xué)文化教案

數(shù)學(xué)文化第0章關(guān)于“數(shù)學(xué)文化”課《數(shù)學(xué)文化》這門(mén)課不是以數(shù)學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)為線(xiàn)索進(jìn)行教學(xué)，而是以比較淺顯的知識(shí)為載體，講授數(shù)學(xué)的思想、精神、方法，旨在提高大學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)、文化素質(zhì)和思想素質(zhì)。該課程講究科學(xué)素質(zhì)教育與人文素質(zhì)教育的有機(jī)融合。今天第一堂課講序言，介紹數(shù)學(xué)文化課，主要有5個(gè)內(nèi)容。以及“數(shù)學(xué)文化”課的開(kāi)設(shè)，"數(shù)學(xué)文化"課的上法，和“數(shù)學(xué)文化”課的考核與評(píng)分。第三周每堂課安排一位同學(xué)演講，時(shí)間大概15-20分鐘。一、"數(shù)學(xué)文化”一詞的使用“數(shù)學(xué)文化”一詞在世界上出現(xiàn)已經(jīng)有二三十年了，在中國(guó)，比較早的是1990年北大鄧東皋先生的一本書(shū)--《數(shù)學(xué)文化》里邊，還有武漢大學(xué)前校長(zhǎng)，數(shù)學(xué)家齊民有先生。對(duì)許多人來(lái)說(shuō)，"數(shù)學(xué)文化”一詞是陌生的，近年來(lái)使用頻率才大大增加，說(shuō)明他是有生命力的，說(shuō)明許多人更愿意從文化角度來(lái)關(guān)注數(shù)學(xué)，更愿意強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。中華人民共和國(guó)教育部2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，有四個(gè)地方用較大的篇幅談到“數(shù)學(xué)文化"，說(shuō)明這一詞已在官方文件中正式使用。2002年，北京國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)期間，陳省身先生為"中國(guó)少年數(shù)學(xué)論壇"活動(dòng)題詞"數(shù)學(xué)好玩"，鼓勵(lì)青少年喜愛(ài)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)。二、什么是“教學(xué)文化”？對(duì)這一詞的理解，不同的學(xué)者從不同的角度有不同的理解。到目前為止還沒(méi)有哪一位學(xué)者給出數(shù)學(xué)文化這個(gè)詞的定義，得到所有人的共識(shí)。首先看"文化"。有狹義和廣義兩種說(shuō)法。最狹窄的一種就是說(shuō)文化就是知識(shí)，說(shuō)一個(gè)人有文化，就是說(shuō)他有知識(shí)，這是最狹義的，還有好多好多，我就不在這兒列舉了，但是各個(gè)詞典，關(guān)于文化這個(gè)詞的廣義的解釋?zhuān)疾畈欢唷Ｎ幕侨祟?lèi)社會(huì)，歷史實(shí)踐過(guò)程中所創(chuàng)造的，物質(zhì)財(cái)富和精神財(cái)富的積淀，有相對(duì)的穩(wěn)定性，是一種上層建筑，還包含數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)與人文的交叉、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系這是文化的廣義的解釋。“數(shù)學(xué)文化”也有狹義和廣義兩種說(shuō)法。簡(jiǎn)單地說(shuō)“數(shù)學(xué)文化”課的宗旨就是要提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。一個(gè)人從小學(xué)到大學(xué)要學(xué)十幾年的數(shù)學(xué)，但并不是學(xué)的時(shí)間越長(zhǎng)，而掌握數(shù)學(xué)的精髓，相反，大多數(shù)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的思想精神了解的比較膚淺，數(shù)學(xué)素養(yǎng)較差，他們認(rèn)為只要會(huì)做題，能應(yīng)付考試，就可以了。教師在這個(gè)教學(xué)活動(dòng)當(dāng)中，往往先把自己變成類(lèi)型題的，有效解題者和熟練操作工，什么意思呢？就是說(shuō)，拿到一道題以后，馬上能判斷這道題是哪種類(lèi)型，然后這種類(lèi)型，分幾步可以解出來(lái)，然后就能把這個(gè)題完成，再努力把學(xué)生也變成這種，類(lèi)型題的有效解題者和熟練操作工，這個(gè)對(duì)于考試確實(shí)是有用的，能提高分，但是對(duì)于了解數(shù)學(xué)的思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的素養(yǎng),是有所欠缺的，所以我們大學(xué)教師常常會(huì)感到，中學(xué)輸送來(lái)的好學(xué)生，很會(huì)做習(xí)題，但是不大善于學(xué)數(shù)學(xué)，那么實(shí)際上，學(xué)生畢業(yè)以后走入社會(huì)，如果不是在，與數(shù)學(xué)相關(guān)的領(lǐng)域工作，那么學(xué)過(guò)的那些數(shù)學(xué)定理，公式，解題方法，可能大多用不上， 很快多少年就忘掉了。我們?cè)?jīng)在一個(gè)，教學(xué)研究的項(xiàng)目里邊，做過(guò)問(wèn)卷調(diào)查，就是四十歲上下的這些人回答，說(shuō)我十三年的數(shù)學(xué)白學(xué)了，一大批人這樣回答，說(shuō)我畢業(yè)以后，我就沒(méi)用過(guò)一個(gè)數(shù)學(xué)定理，一個(gè)數(shù)學(xué)公式，我十三年的數(shù)學(xué)白學(xué)了，可能他確實(shí)沒(méi)有用過(guò)，一個(gè)數(shù)學(xué)定理一個(gè)數(shù)學(xué)公式，但是絕不是十三年數(shù)學(xué)白學(xué)了，因?yàn)槔蠋熢谑甑臄?shù)學(xué)課當(dāng)中，除了教給你數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)公式以外，還教給了你它背后的數(shù)學(xué)思想，提高了你的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這些數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在你參加工作以后，無(wú)論是有意識(shí)的還是無(wú)意識(shí)的， 一定是用過(guò)的，不會(huì)是沒(méi)用過(guò)的，而且數(shù)學(xué)素養(yǎng)的不同，也一定對(duì)你的工作的效果的不同是有影響的。一位數(shù)學(xué)教育家說(shuō)，不管人們從事什么工作，深深銘刻在頭中的數(shù)學(xué)的思想精神，數(shù)學(xué)的思維方法和看問(wèn)題的著眼點(diǎn)等，都會(huì)隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使人們終身受益。耐人尋味的是，在數(shù)學(xué)文化這個(gè)詞被日益廣泛地使用的時(shí)候，跟它相對(duì)應(yīng)的物理文化化學(xué)文化，生物文化，天文文化這樣一些詞，并沒(méi)有得到如此廣泛地使用，并不是說(shuō)它沒(méi)有被使用，而是沒(méi)有得到如此廣泛地使用，那么什么原因呢？我想，它的原因是因?yàn)?，?shù)學(xué)的研究對(duì)象，和那些自然科學(xué)的研究對(duì)象，有本質(zhì)的區(qū)別，每一門(mén)不同的科學(xué)，當(dāng)然都有它不同的研究對(duì)象，但現(xiàn)在說(shuō)的是本質(zhì)的區(qū)別，其他的自然科學(xué)，無(wú)論是哪個(gè)自然科學(xué),它的研究對(duì)象都是某種物質(zhì)，某種物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)形態(tài)。我們拿物理來(lái)舉例。力學(xué)，電學(xué)，光學(xué)，熱學(xué)，原子物理學(xué)，都有具體的物質(zhì)和物質(zhì)運(yùn)動(dòng)形態(tài)作為它的研究對(duì)象?；瘜W(xué)也是如此。生物學(xué)也是如此。天文學(xué)也是如此。但是如果問(wèn)你數(shù)學(xué)呢？數(shù)學(xué)是以哪種物質(zhì)？哪種物質(zhì)運(yùn)動(dòng)形態(tài)？作為它的研究對(duì)象呢？你怎么回答？很難回答。你說(shuō)不上是哪種物質(zhì)，哪種物質(zhì)運(yùn)動(dòng)形態(tài)，作為數(shù)學(xué)的研究對(duì)象。數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是，從眾多的物質(zhì)和眾多的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)形態(tài)當(dāng)中，抽象出來(lái)的，是人腦的產(chǎn)物。你說(shuō)數(shù)學(xué)研究這圓吧，客觀世界里邊有太陽(yáng)，有月亮，有車(chē)輪，但是并沒(méi)有數(shù)學(xué)里研究的這個(gè)圓，數(shù)學(xué)這個(gè)圓是人腦的產(chǎn)物，所以數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是人，跟人相關(guān)系的，文化也是跟人相關(guān)系的，所以這個(gè)數(shù)學(xué)文化被廣泛使用。我想是有這樣的道理，就是數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，和那些具體的，自然科學(xué)的研究對(duì)象很不一樣，是人腦的產(chǎn)物，所以數(shù)學(xué)它具有超越具體科學(xué)，和普遍適用的特征，具有公共基礎(chǔ)的地位。特別是不同的，社會(huì)現(xiàn)象和自然現(xiàn)象，在某一方面，可能遵循同樣的數(shù)學(xué)規(guī)律，所以數(shù)學(xué)它既用到不同的自然科學(xué)里邊，也用到不同的社會(huì)科學(xué)里邊。這個(gè)反映出來(lái)，社會(huì)現(xiàn)象與自然現(xiàn)象可能在數(shù)量關(guān)系上有某種共性，所以數(shù)學(xué)就超越了具體的社會(huì)科學(xué)和自然科學(xué)，成為聯(lián)系各種科學(xué)的紐帶。所以有許多學(xué)者認(rèn)為，科學(xué)不是簡(jiǎn)單地分成自然科學(xué)，社會(huì)科學(xué)。這樣兩大類(lèi)，而把這個(gè)數(shù)學(xué)科學(xué)也作為一個(gè)跟其他的自然科學(xué)不是在一個(gè)層次上，而是有一種超越的味道。像錢(qián)學(xué)森大學(xué)者。這是在十幾二十年以前，在人民大會(huì)堂講話(huà)的時(shí)候，就提出過(guò)這樣的觀點(diǎn)。像丁石孫，我不知道。原來(lái)北大的校長(zhǎng)，各位知道不知道這位，他也有這樣類(lèi)似的觀點(diǎn)，當(dāng)然這樣的觀點(diǎn)是逐漸在得到學(xué)者的共識(shí)。像我們上個(gè)世紀(jì)90年代以后，全國(guó)從數(shù)學(xué)系很多成立了叫數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院。像北大也是，南開(kāi)大學(xué)也是，它不叫數(shù)學(xué)學(xué)院，叫數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院。就數(shù)學(xué)科學(xué)這四個(gè)字成一個(gè)詞，這是跟這個(gè)有關(guān)系。有兩句耐人尋味的話(huà)："一個(gè)人不識(shí)字可以生活，但是若不識(shí)數(shù)，就很難生活了"。"一個(gè)國(guó)家科學(xué)的進(jìn)步，可以用它消耗的數(shù)學(xué)來(lái)度量”。前一句通俗易懂，卻頗為深刻。后一句比較高雅，有非常精彩?？梢钥醋鍪菑目陬^與書(shū)面兩種方式對(duì)數(shù)學(xué)文化的一個(gè)定位。三、數(shù)學(xué)文化的特征（1）思維性數(shù)學(xué)是研究的任務(wù)，主要是應(yīng)用人類(lèi)關(guān)于現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的思維成果。因此，思維是數(shù)學(xué)的靈魂。數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是思維的教學(xué)，思維教學(xué)應(yīng)貫穿于整個(gè)教學(xué)之中。（2）數(shù)量化是數(shù)學(xué)文化區(qū)別于其他文化的顯著特點(diǎn)之一，也是區(qū)分個(gè)人是否具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的標(biāo)尺之一。（3）發(fā)展性數(shù)學(xué)家始終處于"尋求完美一打破完美一尋求新的完美”的循環(huán)之中，而每一個(gè)這樣的循環(huán)，都是不斷遞進(jìn)，拓寬的這樣一個(gè)過(guò)程。大量的新數(shù)學(xué)分支由此涌現(xiàn)出來(lái)并得到應(yīng)用。由于數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)才有了越來(lái)越強(qiáng)大的生命力。（4）實(shí)用性人人必須，人人必用的一種工具，學(xué)習(xí)他是為了利用它。任何領(lǐng)域與數(shù)學(xué)都有一種我中有你，你中有我的水乳交融的關(guān)系。（5）育人性數(shù)學(xué)培養(yǎng)人們的思維能力，良好的品質(zhì)和世界觀。與人文科學(xué)和自然科學(xué)相輔相成。四、數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵數(shù)學(xué)文化的理性精神一第一次數(shù)學(xué)危機(jī)之后，人們就意識(shí)到直觀不可靠，數(shù)學(xué)的理性精神發(fā)展起來(lái)。因此在教學(xué)中應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考、用于批判的精神。數(shù)學(xué)文化的人文精神一數(shù)學(xué)文化應(yīng)用性的體現(xiàn)—數(shù)學(xué)來(lái)源于社會(huì)生活和生產(chǎn)實(shí)際，是從人們生活、生產(chǎn)過(guò)程的經(jīng)驗(yàn)中抽象概括出來(lái)的一門(mén)關(guān)于空間形式和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科。小到日常生活中的銀行存款、助學(xué)貸款、購(gòu)房分期付款、商品減價(jià)、買(mǎi)彩票、股票，達(dá)到火箭發(fā)射，宇宙航行等都用到數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)中的每一次重大發(fā)現(xiàn)都給人以豐富的啟迪。如非歐幾何用于相對(duì)論，改變了人們的時(shí)空觀念。數(shù)論用于密碼破譯，更使這門(mén)古老的數(shù)學(xué)分支大放異彩。數(shù)學(xué)文化的相對(duì)穩(wěn)定與延續(xù)性--由于數(shù)學(xué)文化是一個(gè)延續(xù)的、積極的、不斷進(jìn)步的整體，因而其基本成分在某一特定時(shí)期具有相對(duì)不變性；由于數(shù)學(xué)有其特殊的價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)和發(fā)展規(guī)律，相對(duì)于整個(gè)文化環(huán)境而言，數(shù)學(xué)的發(fā)展具有一定的獨(dú)立性。戰(zhàn)爭(zhēng)、災(zāi)害因素在某種程度上會(huì)影響他的進(jìn)程，卻無(wú)法改變他的方向。數(shù)學(xué)文化的反思、批判和完善一三次數(shù)學(xué)危機(jī)每一次都促使對(duì)自己進(jìn)行反思、批判，從而使數(shù)學(xué)不斷完善，向前跨進(jìn)了一大步。數(shù)學(xué)文化的世界性五、數(shù)學(xué)文化的價(jià)值數(shù)學(xué)是一種精密的思維工具數(shù)學(xué)是一種科學(xué)的語(yǔ)言一數(shù)學(xué)是一種符號(hào)語(yǔ)言，他可以擺脫自然語(yǔ)言的多義性。數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔性，有助于思維效率的提高；數(shù)學(xué)語(yǔ)言也便于量的比較，便于數(shù)量分析；數(shù)學(xué)語(yǔ)言還可以探討自然法則的更深層面，而這是其他語(yǔ)言不可能做到的。所以我們說(shuō)數(shù)學(xué)以一種科學(xué)的語(yǔ)言。數(shù)學(xué)家高斯：“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)學(xué)也是科學(xué)的女仆。”前一句話(huà)突出了數(shù)學(xué)的精密思維，后一句話(huà)強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)為其他學(xué)科服務(wù)。哲學(xué)家康德：“我堅(jiān)決認(rèn)為，任何一門(mén)自然學(xué)科，只有它數(shù)學(xué)化后，才能稱(chēng)得上是真正的科學(xué)?！瘪R克思：“一種科學(xué)只有在成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才能達(dá)到真正完美的地步?！睌?shù)學(xué)是理性的藝術(shù)數(shù)學(xué)與藝術(shù)是人類(lèi)創(chuàng)造的兩個(gè)截然不同的文化產(chǎn)品。數(shù)學(xué)中強(qiáng)調(diào)邏輯思維，藝術(shù)強(qiáng)調(diào)形象思維。然而,數(shù)學(xué)與藝術(shù)又有相似之處。五線(xiàn)譜、二維畫(huà)布上反映三維空間的實(shí)體，繪畫(huà)中的“透視學(xué)”，達(dá)芬奇：“任何人的研究，如果沒(méi)有經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)的證明，就不可能成為真正的科學(xué)?！苯?jì)算機(jī)技術(shù)將數(shù)學(xué)與美術(shù)結(jié)合起來(lái)—簡(jiǎn)單公式和線(xiàn)條多次迭代得到奇妙的美術(shù)作品--“分形幾何”；“計(jì)算機(jī)美術(shù)”數(shù)學(xué)是人類(lèi)文化的重要組成部分六、哈工大“數(shù)學(xué)文化”課的開(kāi)設(shè)1.開(kāi)課的概況.開(kāi)課的初衷.開(kāi)課的指導(dǎo)思想數(shù)學(xué)不僅是一種重要的“工具"，也是一種思維模式，即"數(shù)學(xué)方式的理性思維”；數(shù)學(xué)不僅是一門(mén)科學(xué)，也是一種文化，即"數(shù)學(xué)文化"；數(shù)學(xué)不僅是一些知識(shí)，也是一種素質(zhì)，即“數(shù)學(xué)素質(zhì)"。在提高一個(gè)人的推理能力、抽象能力、分析能力和創(chuàng)造能力方面，數(shù)學(xué)訓(xùn)練的作用，是其他訓(xùn)練難以替代的。.學(xué)生從課程中可能的收獲了解數(shù)學(xué)的思想；引起對(duì)數(shù)學(xué)的興趣；學(xué)會(huì)以數(shù)學(xué)方式的理性思維觀察世界的方法。.重視數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)七、“數(shù)學(xué)文化”課的上法.內(nèi)容和預(yù)備知識(shí)與一般數(shù)學(xué)課的區(qū)別---一般的數(shù)學(xué)課，是以數(shù)學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)為線(xiàn)索來(lái)組織材料，進(jìn)行教學(xué)。“數(shù)學(xué)文化"課，則可以從數(shù)學(xué)典故、數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想等角度切入，并以它們?yōu)榫€(xiàn)索來(lái)組織材料，進(jìn)行教學(xué)。一般的數(shù)學(xué)課，是以講授數(shù)學(xué)的理論知識(shí)及其應(yīng)用為主要目的。"數(shù)學(xué)文化”課雖然要以知識(shí)為載體，卻并不以傳授數(shù)學(xué)理論知識(shí)為主要目的，而是以教授數(shù)學(xué)思想為主，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)為主。人“數(shù)學(xué)文化”課的考核與評(píng)分1、讀書(shū)報(bào)告.上臺(tái)演講第一章概述第一節(jié)數(shù)學(xué)是什么一、數(shù)學(xué)的“定義”恩格斯：數(shù)學(xué)是研究（現(xiàn)實(shí)世界中）的數(shù)量關(guān)系與空間形式的一門(mén)科學(xué)。.古今數(shù)學(xué)家的說(shuō)法（美）R.柯朗（《數(shù)學(xué)是什么》）：“數(shù)學(xué)，作為人類(lèi)智慧的一種表達(dá)形式，反映生動(dòng)活潑的意念，深入細(xì)致的思考，以及完美和諧的愿望，它的基礎(chǔ)是邏輯和直覺(jué)，分析和推理，共性和個(gè)性。”（法）E.波萊爾：“數(shù)學(xué)是我們確切知道我們?cè)谡f(shuō)什么，并肯定我們說(shuō)的是否對(duì)的唯一的一門(mén)科學(xué)。”（英）羅素：“數(shù)學(xué)是所有形如p蘊(yùn)含q的命題的類(lèi)"而最前面的命題p是否對(duì)，卻無(wú)法判斷。因此“數(shù)學(xué)是我們永遠(yuǎn)不知道我們?cè)谡f(shuō)什么，也不知道我們說(shuō)的是否對(duì)的一門(mén)學(xué)科?！?數(shù)學(xué)的15個(gè)“定義”1）哲學(xué)說(shuō)2）符號(hào)說(shuō)一數(shù)學(xué)是一種高級(jí)語(yǔ)言，是符號(hào)的世界。3）科學(xué)說(shuō)一數(shù)學(xué)是精密的科學(xué)，"數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后”4）工具說(shuō)一數(shù)學(xué)是其他所有知識(shí)工具的源泉5）邏輯說(shuō)一數(shù)學(xué)推理依靠邏輯，"數(shù)學(xué)為其證明所具有的邏輯性而驕傲"。6）創(chuàng)新說(shuō)一數(shù)學(xué)是一種創(chuàng)新，如發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)、提出微積分、創(chuàng)立非歐幾何。7）直覺(jué)說(shuō)一數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是人的直覺(jué)，數(shù)學(xué)主要是有那些直覺(jué)能力強(qiáng)的人們推進(jìn)的。8）集合說(shuō)一數(shù)學(xué)各個(gè)分支的內(nèi)容都可以用集合論的語(yǔ)言表述。9）結(jié)構(gòu)說(shuō)（關(guān)系說(shuō)）--強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)的結(jié)構(gòu)方面及聯(lián)系方面，”數(shù)學(xué)是一種關(guān)系學(xué)"。10）模型說(shuō)一數(shù)學(xué)就是研究各種形式的模型，如微積分是物體運(yùn)動(dòng)的模型，概率論是偶然與必然現(xiàn)象的模型，歐式幾何是現(xiàn)實(shí)空間的模型，非歐幾何是非歐空間的模型。11）活動(dòng)說(shuō)一數(shù)學(xué)是人類(lèi)最重要的活動(dòng)之一。12）精神說(shuō)一數(shù)學(xué)不僅是一種技巧，更是一種精神，特別是理性的精神。13）審美說(shuō)一數(shù)學(xué)家無(wú)論是選擇題材還是判斷能否成功的標(biāo)準(zhǔn)，主要是美學(xué)的原則。14）藝術(shù)說(shuō)一數(shù)學(xué)是一門(mén)藝術(shù)。15）萬(wàn)物皆數(shù)說(shuō)一數(shù)的規(guī)律是世界的根本規(guī)律，一切都可以歸結(jié)為整數(shù)與整數(shù)比。哲學(xué)說(shuō)---代表人物亞里士多德和歐幾里德，亞里士多德曾說(shuō)："新的思想家把數(shù)學(xué)和哲學(xué)看做是相同的?！惫畔ＥD的許多數(shù)學(xué)家同時(shí)也是哲學(xué)家。二、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)抽象性一是所有各門(mén)科學(xué)都具有的性質(zhì)，沒(méi)有抽象就沒(méi)有科學(xué)。那么為什么把抽象說(shuō)成是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)那？第一，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象本身就是抽象的；數(shù)學(xué)不同于物理、化學(xué)等學(xué)科，這些學(xué)科都研究具體的物質(zhì)和具體的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)形態(tài)。例如物理中的電學(xué)、光學(xué)、熱學(xué)等。數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是從具體的物質(zhì)和物質(zhì)運(yùn)動(dòng)形態(tài)中抽象出來(lái)的，是人腦的產(chǎn)物。第二，在數(shù)學(xué)的抽象中只保留量的關(guān)系和空間形式而舍棄了其他一切；第三，數(shù)學(xué)的抽象是一級(jí)一級(jí)逐步提高的，它們所達(dá)到的抽象程度大大超過(guò)了其它學(xué)科中的抽象；5個(gè)蘋(píng)果，5條魚(yú)、5個(gè)人等抽象出5的概念。到越高的層次，抽象的程度也越高。例如從人類(lèi)生存的現(xiàn)實(shí)空間抽象出三維歐式空間，進(jìn)一步抽象出n維線(xiàn)性空間乃至無(wú)窮維線(xiàn)性空間。第四，核心數(shù)學(xué)主要處理抽象概念和它們的相互關(guān)系。舉例：哥尼斯堡七橋問(wèn)題俄羅斯的加里寧格勒在18世紀(jì)時(shí)稱(chēng)為哥尼斯堡。有一條河（普累格爾河）穿過(guò)該城。河中心有一座美麗的小島。這條河和兩條支流把包含島區(qū)在內(nèi)的全程分為四個(gè)區(qū)域：島區(qū)（A）,東區(qū)（B）,南區(qū)（C）,北區(qū)（D）。有七座橋橫跨這條河及其支流，連接了這四個(gè)區(qū)域。問(wèn)題：能不能找到一條路線(xiàn)，使得散步時(shí)不重復(fù)地走遍這七座橋？1736年29歲的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉向圣彼得堡科學(xué)院遞交了一份題為《哥尼斯堡的七座橋》的論文。論文的開(kāi)頭：討論長(zhǎng)短大小的幾何學(xué)分支，一直被人們熱心地研究者，但是還有一個(gè)至今幾乎完全沒(méi)有探索過(guò)的分支，一直被人們熱心地研究者，但是還有一個(gè)至今幾乎完全沒(méi)有探索過(guò)的分支，萊布尼茲最先提到他，稱(chēng)之“位置的幾何學(xué)”。這個(gè)幾何學(xué)分支討論只與位置有關(guān)的關(guān)系，研究位置的性質(zhì)。它未考慮長(zhǎng)短大小，也不牽涉量的計(jì)算。但至今未有過(guò)令人滿(mǎn)意的定義來(lái)刻畫(huà)這門(mén)位置幾何學(xué)的課題和方法?！边@一數(shù)學(xué)分支現(xiàn)代稱(chēng)為“拓?fù)鋵W(xué)”。理論上需要解決的問(wèn)題是：找到"一個(gè)圖形是一筆畫(huà)”的充分必要條件，并對(duì)一筆畫(huà)的圖形給出一筆畫(huà)的方法。每個(gè)點(diǎn)都是若干條線(xiàn)的端點(diǎn)。圖形上的點(diǎn)分成兩類(lèi)。一類(lèi)是某個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)有偶數(shù)條，稱(chēng)此點(diǎn)為偶頂點(diǎn)；另一類(lèi)以某點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)有奇數(shù)條，稱(chēng)為奇頂點(diǎn)。要想不重復(fù)第一筆畫(huà)出某圖形，除去起始點(diǎn)和終止點(diǎn)兩個(gè)點(diǎn)外，其余每個(gè)點(diǎn)，如果畫(huà)進(jìn)去一條線(xiàn)，就一定要畫(huà)出來(lái)一條線(xiàn)，從而都必須是偶頂點(diǎn)。于是“一筆畫(huà)"的必要條件是"圖形中奇頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0或2”（當(dāng)起始點(diǎn)和終止點(diǎn)重合時(shí)，奇頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為0?而七橋問(wèn)題中有四個(gè)奇頂點(diǎn)，所以，無(wú)解。>^確性數(shù)學(xué)的精確性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)推理的邏輯嚴(yán)格性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定無(wú)疑性。漢克爾說(shuō)：“在大多數(shù)科學(xué)里，一代人要推倒另一代人所修筑的東西，只有數(shù)學(xué)，每一代人都能在舊建筑上增添一層新樓?！币淮艘频沽硪淮怂拗臇|西 作為對(duì)照的三個(gè)例子：①電子管電路一半導(dǎo)體電路一集成電路不是局部的變革，也不是在原來(lái)基礎(chǔ)上的改進(jìn)，而是徹底的以舊換新。②托勒密地心說(shuō)一哥白尼日心說(shuō)一開(kāi)普勒三定律③高溫超導(dǎo)的上界（朱經(jīng)武） 30°K-90°K-120°K-240°K實(shí)驗(yàn)超導(dǎo)學(xué)家改進(jìn)理論超導(dǎo)學(xué)家提出的理論上界。數(shù)學(xué)定理只要是證明無(wú)誤的，就總是正確的，后人對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展，只能是在原有基礎(chǔ)上的發(fā)展，而不會(huì)是推倒重來(lái)。>應(yīng)用的廣泛性華羅庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，數(shù)學(xué)無(wú)處不在。例子：③哈雷彗星的發(fā)現(xiàn)； ②海王星的發(fā)現(xiàn)； ③電磁波的發(fā)現(xiàn)。三.數(shù)學(xué)與其它領(lǐng)域的聯(lián)系1.數(shù)學(xué)與教育數(shù)學(xué)對(duì)于受教育者，不僅僅是學(xué)會(huì)一門(mén)課程、一門(mén)知識(shí)、更重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思想、方法、精神；把數(shù)學(xué)作為成才的基本素質(zhì)要求。1）波利亞："讓我們教猜想吧!”現(xiàn)在的教學(xué)過(guò)于形式化，脫離實(shí)際，常采用定義、定理、證明、例題的模式完成教學(xué)。教學(xué)過(guò)程過(guò)多的注意定理證明的細(xì)節(jié)，而不大注意定理的來(lái)由。波利亞還說(shuō)："在數(shù)學(xué)家證明一個(gè)定理之前，必須猜想到這個(gè)定理；在他完成證明的細(xì)節(jié)之前，必須先猜想出證明的主導(dǎo)思想?！笔聦?shí)上，教育并不總是在讓學(xué)生認(rèn)知，教育在很大程度上是讓學(xué)生欣賞，只有這樣，才有最佳的教育效益。2）作為數(shù)學(xué)教授的大學(xué)校長(zhǎng)：2?數(shù)學(xué)與文學(xué)1）用數(shù)學(xué)方法對(duì)作品和語(yǔ)言進(jìn)行寫(xiě)作風(fēng)格分析、詞匯相關(guān)程度和句型頻譜分析3.數(shù)學(xué)與史學(xué)1）史衡學(xué)數(shù)學(xué)的介入，使史學(xué)的研究成果更加客觀、嚴(yán)謹(jǐn)，較多地排除了人為因素。2）考古對(duì)數(shù)學(xué)史研究的推進(jìn)1986年上海陸家咀發(fā)現(xiàn)元朝玉掛，談祥柏教授研究后發(fā)現(xiàn)，它是一個(gè)四階完全幻方。過(guò)去以為只有印度歷史上才有這種“完全幻方二4敖學(xué)與哲學(xué)