2019年微分方程的一般概論與一階微分方程

選擇題：

常微分方程練習(xí)卷（一）微分方程的一般概論與一階微分方程可分離變量的微分方程sinxcosxdy-dlnydx=0的通解( )。(A)yetgx(C) yectgx微分方程(x2y2)dy2xydx0是( )(A)可分離變量的議程dy(C)線(xiàn)性非齊次方程dy微分方程 1xy2xy2滿(mǎn)足初始條件ydxx2 (A)tg(x )2 4x2 (C)tg(x )2 4

(B) yecctgx(D)yectgx1(B)齊次微分方程(D)貝努利方程1的特解為y=( )。x0 (B)ctg(xx2 2 4x2 (D)xtg( )2 4微分方程xyy'x2y2，滿(mǎn)足y的特解( )。xe(A)y22x2(lnx1)

y2

2x2(lnx1)2(lnx2(lnx1)下列微分方程不是微性微分方程式的( )。

yx2(lnx1)(A) (ysinx-sinx-1)dxcosydy0 (B)(1e2x)dy(2exye2x1)exdx2(lnx1) (C) 2y2lndx x

dy tgy(D) dx sinyxdy若微分方程為

tgy

，則其通解( )。dx sinyx1 1 1 1

(sin2x 2

xC)

siny(2sin2

yC)1 (sin2yC)siny1

2sin

(sin2xC)一階線(xiàn)性性分方程dyP(x)yQ(x)的通解( )。dxyeP(x)dx[Q(x)eP(x)dx

C]

yeQ(x)dx[P(x)eQ(x)dxC]yeP(x)dx[Q(x)eP(x)dx

C]

yeQ(x)dx[P(x)eQ(x)dx

C]下列微分方程不是全微分方程的是（ ）(A)eydx(xey2y)dy0 (B)xdxy(14y24x2y4)dy0(C)(3x26xy2)dx(6x2y4y3)dy0

(D)(x y

)dx(y

x )dy0微分方程sinydy1xcosy)cosydx

x0

x2y2 x2y20的特解為（ ）(A)yarcsin 1 (B)yarcsin 1x1 x1(C)yarccos 1 (D)yarccos 1x1 x110.微分方程(3x26xy2)dx(6x2y4y3)dy0的通解為（ ）(A)x33x2y2y4C(B)x33x2y2y4C(C)y33x2y2x4C(D)y33x2y2x4C11.P(xy)dxQ(xy)dy0有積分因子(x,y)，則(x,y)滿(mǎn)足（ ）Q

P

(

Q)(x,y)

P

Q

(

Q)(x,y)x y y x x y y xQ

P0

Q

P

(

Q)(x,y)12.

x yf(x

3x0

x y x yf ( )dt3x3，則f(x)（ ）f 3(A)3e3x1(C)2e3x1

(B)3e3x2(D)3e3x113.

yy(xx2y'xyy2y

x1

1的解，則3y(x)dx（ ）1ln614. 滿(mǎn)足方程f(x)20

ln3 (C)ln7f(x)dxx2的解是f(x)（ ）

(D)ln5(A) ce2xx1

(B)

1e2xx12(C) e2xx12

2(D) ce2

2x1215.

yf(xy'y2x0x0

f'(x0

)0，則（ ）f(xx0

處取極大值

f(xx0

處取極小值f(xx0

處不取極值

f(xx0

處是否取極值16.

f(x)滿(mǎn)足f'(cosx2)sin2xtg2x，那么f(x)（ ） 1

(x2)3C

1

(x2)3Cx2 3 x2 3

1 (x2)3C

1 (x2)3C17.

x2 3設(shè)可微函數(shù)f(x)滿(mǎn)足0

x2 3ft)dxdxtf(xt)dt，那么f(x)等于是（ ）0ex

ex

ex (D) ex答案：1.Ｃ2.Ｂ3.Ａ4.Ｃ5.Ｃ6.Ｂ7.Ｃ8.Ｂ9.Ｄ10.Ａ11.Ａ12.Ｃ13.Ｄ14.Ｂ15.Ｂ16.Ａ17.Ａ通解為yCexx的微分方程。微分方程y'ytgxcosx的通解。x2y'3xy2y2

0的通解。微分方程(xy2)dyydx0的通解。以圓族(x2y2)Cx為積分曲線(xiàn)族的一階微分方程。dy方程族

axbxc可稱(chēng)為

方程，其中若a b

時(shí)，作變換xa，dx axbxc a b1 1 1 1ayb，代入方程后，確定出α、β；變成含變量ξ，η齊次方程；若aa1 可化的方程。

b 時(shí)，作變換b1若P(x,y)Q(x,y)在單連能區(qū)域G內(nèi)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)P(x,y)dxQ(x,y)dy0，則其為全微分方程的充要條件。微分方程(1ex)dy(2exye2x1)exdx0滿(mǎn)足初始條件y(0) 的特解。21微分方程y' 的通解。1xcosysin2y微分方程xdy(2xy2y)dx0的通解。若已知0

f(ux)dx12

f(x1

f(x) 。2x y23x2微分方程 dx dy0的通解。y3 y4xlnxdyylnx)dx0

xe

1的特解。微分方程xydx1(x2y)0滿(mǎn)足初始條件y(0)2的特解。2若函數(shù)f(x)可導(dǎo)且對(duì)任何x,y有f'(xy)eyf(x)exf(y)，f(0)e則函數(shù)f(x) 。解答題：dy求下列微分方程dy⑴ 1xy2xy2，f(0)1dxdy3x，試求：dx

xy xy⑵y'sin sin 2 2⑴方程的通解；⑵過(guò)點(diǎn)（2，5）的特解；⑶與直線(xiàn)y2x1相切的曲線(xiàn)方程。物體在空氣中的冷卻速度與物體的溫差成正比，如果物體在20分釧內(nèi)由100℃冷卻至6030℃（20℃）？求下列可分離變量微分方程的通解：⑴3x25x5y'0 ⑵(1x2)dy(1y2)dx0⑶y'e2xy

⑷y'

cosx3y2ey已知曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（1，1/曲線(xiàn)方程。求下列齊次微分方程的通解：y y⑴y' exx

⑵x2ydx(x3y3)dy0 ⑶xy'xtgyy x

⑷(x22xyy2)dx(x22xyy2)dy0⑸(y x2y2)dxxdy0求下列一階線(xiàn)性方程的特解：⑴(1x2)y'xyy(0)112x⑶y' y1,y(1)0x2

⑵xy'yex

0,y(a)b3H2v飛行，已知速度在垂直方向的vy與地面的距離，求上升高度H與時(shí)間的關(guān)系。

0.21 公里/H表示收音機(jī)2800y'sy(x)

(x)2,supx

(,

yy(x)設(shè)有微分方程

，其中

0,supx1，試求在

內(nèi)的連續(xù)函數(shù)

，使之在(,1)內(nèi)和(1,)內(nèi)都滿(mǎn)足所給方程，且滿(mǎn)足條件y(0)=0。求解下列微分方程：⑴(xyysiny)dx(xcosy)dy0⑶(x22xyy2)y'(x22xyy21)0

⑵(xy2)dx2xydy011 已知x2eysinty1

，求 。dydxtdydxdy求

xy4的通解。dx xy6求方程(y23x2)dy3xydx0滿(mǎn)足y1的特解。x0求曲線(xiàn)方程，使其切線(xiàn)長(zhǎng)那切點(diǎn)和切線(xiàn)與x軸交點(diǎn)之間的線(xiàn)段長(zhǎng)度為常數(shù)。子彈以v0

400m/s的速度打進(jìn)厚度為h=20cm的培墻壁，穿過(guò)后以100m/s的速度而飛出。假定墻壁對(duì)子彈運(yùn)動(dòng)阻力和速度平方成正比，求子彈穿過(guò)墻壁的時(shí)間。一質(zhì)量為mp正比。試求速度、路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。α，求此曲線(xiàn)。求經(jīng)過(guò)點(diǎn)上的曲邊梯形的面積等于該段弧長(zhǎng)的兩倍。x(t)x(s)求具有性質(zhì)x(ts) 的函數(shù)x(t)，已知x'(t)存在。1x(t)x(s)在≤x＜∞上連續(xù)可微，且lim[y'(xy(x)]0limyx。x xyp(xyq(xyn(n0,1)。f(x)在≤x＜∞上連續(xù)且limfx)b（b是某一常數(shù)a＞0y'ayf(x的一切解x當(dāng)x→∞時(shí)趨于b/a；而當(dāng)a＜0時(shí)，方程有且只有一個(gè)解有此性質(zhì)。x≥1f(xf(x)0yf(x，二直線(xiàn)x1,xa(a1)x軸這四者所圍成的圖形繞x軸放置一周所產(chǎn)生的立體體積設(shè)為V(a)，對(duì)于適合(a1)的一切a恒有V(a)=3a2fa)f，試解答下列各問(wèn)：yf(x的微分方程；⑵設(shè)yxz，利用⑴求得的微分方程，試求關(guān)于z的微分方程；⑶當(dāng)f(2)2時(shí)，求f(x)。9mv0豎直上拋，空氣阻力為R=kv