第十課時(shí)平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(二)

匠心文檔，專屬精選。第十課時(shí)平面向量的數(shù)目積及運(yùn)算律(二)教課目的：掌握平面向量數(shù)目積運(yùn)算規(guī)律，能利用數(shù)目積的5個(gè)重要性質(zhì)及數(shù)目積運(yùn)算規(guī)律解決有關(guān)問題，掌握兩個(gè)向量共線、垂直的幾何判斷，會(huì)證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題.教課要點(diǎn)：平面向量數(shù)目積及運(yùn)算規(guī)律.教課難點(diǎn)：平面向量數(shù)目積的應(yīng)用.教課過程：Ⅰ.復(fù)習(xí)回首上一節(jié)，我們一同學(xué)習(xí)向量數(shù)目積的定義，并一同由定義推證了5個(gè)重要性質(zhì)，并獲得了三個(gè)運(yùn)算律，第一我們對上述內(nèi)容作一簡要回首.這一節(jié)，我們經(jīng)過例題剖析使大家進(jìn)一步熟習(xí)數(shù)目積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律，并掌握它們的應(yīng)用.Ⅱ.講解新課［例1］已知：｜a｜＝3，｜b｜＝6，當(dāng)①a∥b，②a⊥b，③a與b的夾角是60°時(shí)，分別求a·b.剖析：由數(shù)目積的定義可知，它的值是兩向量的模與它們夾角余弦值的乘積，只需能求出它們的夾角，便可求出a·b.解：①當(dāng)a∥b時(shí)，若a與b同向，則它們的夾角＝0°，∴a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os0°＝3×6×118；若a與b反向，則它們的夾角θ＝180°，a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os180°＝3×6×(－1)＝－18；②當(dāng)a⊥b時(shí)，它們的夾角θ＝90°，a·b＝0；③當(dāng)a與b的夾角是60°時(shí)，有1a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os60°＝3×6×＝92評論：兩個(gè)向量的數(shù)目積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是［0°，180°］，所以，當(dāng)a∥b時(shí)，有0°或180°兩種可能.［例2］已知a、b都是非零向量，且a＋3b與7a－5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，求a與b的夾角.剖析：要求a與b的夾角，只需求出a·b與｜a｜，｜b｜即可.解：由已知(a＋3b)⊥(7a－5b)(a＋3b)·(7a－5b)＝07a2＋16a·b－15b2＝0①又(a－4b)⊥(7a－2b)(a－4b)·(7a－2b)＝07a2－30a·b＋8b2＝0②①－②得：46a·b＝23b2即有a·b＝1b2＝1｜b｜2，22將它代入①可得：匠心教育文檔系列17｜a｜2＋8｜b｜2－15｜b｜2＝0即｜a｜2＝｜b｜2有｜a｜＝｜b｜∴若記a與b的夾角為θ，12則cosθ＝a·b＝2｜b｜｜a｜｜b｜｜b｜｜b｜又θ∈［0°，180°］，∴θ＝60°所以a與b的夾角為60°.

匠心文檔，專屬精選。1＝2→→→→［例3］四邊形ABCD中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，試問四邊形ABCD是什么圖形?剖析：四邊形的形狀由邊角關(guān)系確立，要點(diǎn)是由題設(shè)條件演變、計(jì)算該四邊形的邊角量.解：四邊形ABCD是矩形，這是因?yàn)椋阂环矫妫骸遖＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)，∴(a＋b)2＝(c＋d)2即｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝｜c(diǎn)｜2＋2c·d＋｜d｜2因?yàn)閍·b＝c·d，∴｜a｜2＋｜b｜2＝｜c(diǎn)｜2＋｜d｜2①同理有｜a｜2＋｜d｜2＝｜c(diǎn)｜2＋｜b｜2②由①②可得｜a｜＝｜c(diǎn)｜，且｜b｜＝｜d｜即四邊形ABCD兩組對邊分別相等.∴四邊形ABCD是平行四邊形另一方面，由a·b＝b·c，有b·(a－c)＝0，而由平行四邊形ABCD可得a＝－c，代入上式得b·(2a)＝0即a·b＝0，∴a⊥b也即AB⊥BC.綜上所述，四邊形ABCD是矩形.評論：在四邊形中，→，→，→，→是按序首尾相接向量，則其和向量是零向量，(1)ABBCCDDA即a＋b＋c＋d＝0，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用；(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)目積的要點(diǎn)是結(jié)構(gòu)數(shù)目積，因?yàn)閿?shù)目積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系.［例4］已知｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－3，求｜a＋b｜，｜a－b｜.解：∵｜a＋b｜2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×(－3)＋52＝23∴｜a＋b｜＝23，∵(｜a－b｜)2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝22－2×(－3)＋52＝35，∴｜a－b｜＝35.［例5］已知｜a｜＝8，｜b｜＝10，｜a＋b｜＝16，求a與b的夾角θ.解：∵(｜a＋b｜)2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝｜a｜2＋2｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ＋｜b｜2∴162＝82＋2×8×10cosθ＋102，∴cosθ＝2340，∴θ≈55°匠心教育文檔系列2匠心文檔，專屬精選?！?)［例6］在△ABC中，AB＝a，BC＝b，且a·b＜0，則△ABC的形狀是A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不可以確立剖析：本題主要考察兩向量夾角的觀點(diǎn)，應(yīng)防止由a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osB＜0得cosB＜0，從而得B為鈍角，從而錯(cuò)選C.解：由兩向量夾角的觀點(diǎn)，a與b的夾角應(yīng)是180°－Ba·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os(180°－B)＝－｜a｜｜b｜c(diǎn)osB＜0∴cosB＞0又因?yàn)锽∈(0°，180°)所以B為銳角.又因?yàn)榻荁不必定最大，故三角形形狀沒法判斷.所以應(yīng)選D.［例7］設(shè)e1、e2是夾角為45°的兩個(gè)單位向量，且a＝e1＋2e2，b＝2e1＋e2，試求：｜a＋b｜的值.剖析：本題主要考察學(xué)生對單位向量的正確認(rèn)識.解：∵a＋b＝(e1＋2e2)＋(2e1＋e2)＝3(e1＋e2)，∴｜a＋b｜＝｜3(e1212122＋e)｜＝3｜(e＋e)｜＝3（e＋e）＝3e12＋2e1222＝322|e1||e2|cos45|e2|2·e＋e|e1|＝322.［例8］設(shè)｜m｜＝2，｜n｜＝1，向量m與n的夾角為π，若a＝4m－n，b＝m＋2n，2c＝2m－3n，求a2＋3(a·b)－2(b·c)＋1的值.解：∵｜m｜＝2，｜n｜＝1且m⊥n，∴m2＝｜m｜2＝4，n2＝｜n｜＝1，m·n＝0.a2＋3(a·b)－2(b·c)＋1(4m－n)2＋3(4m－n)·(m＋2n)－2(m＋2n)·(2m－3n)＋116m2－8m·n＋n2＋12m2＋24m·n－3n·m－6n2－4m2－6m·n－8n·m＋12n2＋124m2＋7n2＋1＝104..課時(shí)小結(jié)經(jīng)過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握平面向量數(shù)目積的運(yùn)算規(guī)律，掌握兩個(gè)向量共線、垂直的幾何判斷，能利用數(shù)目積的5個(gè)重要性質(zhì)解決有關(guān)問題.Ⅳ.課后作業(yè)課本P83習(xí)題4，7匠心教育文檔系列3匠心文檔，專屬精選。平面向量的數(shù)目積及運(yùn)算律1．設(shè)a，b，c為隨意非0向量，且互相不共線，則真命題為（）（1）（a·b）·c－(c·a)·b＝0（2）|a|－|b|＜|a－b|（3）(b·c)·a－(c·a)·b不與c垂直（4）（3a+2b)(3a－2b)=9|a|2－4|b|2A.（2）（4）B.（2）（3）C.（1）（2）D.（3）（4）2．已知|a|＝3，|b|＝4，（a＋b）·（a＋3b）＝33，則a與b的夾角為（）A.30°B.60°C.120°D.150°→→（）3．△ABC中，AB＝a，BC＝b，且a·b＞0，則△ABC為A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰直角三角形→→→（）4．已知等邊△ABC的邊長為1，且BC＝a，CA＝b，AB＝c，則a·b＋b·c＋c·a等于339A.－2B.2C.0D.45．已知|a|2＝1，|b|2＝2，（a－b)⊥a，則a與b的夾角為（）A.60°B.90°C.45°D.30°6．設(shè)e，e是兩個(gè)單位向量，它們的夾角為60°，則（2e－e）（3e＋2e）＝.1212127．已知|i|＝|j|＝1，i·j＝0，且a＋b＝2i－8j，a－b＝8i＋16j，求a·b＝.8．已知|a|＝3，|b|＝5，假如a∥b，則a·b＝.9．已知a，b，c兩兩垂直，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求r＝a＋b＋c的長及它與a，b，c的夾角的余弦.10．設(shè)a，b為兩個(gè)互相垂直的單位向量，能否存在整數(shù)k，使向量m＝ka＋b與n＝a＋kb的夾角為60°，若存在，求k值；若不存在，說明原因.11．非零向量（a＋3b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，求向量a與b夾角的余弦值.匠心教育文檔系列4匠心文檔，專屬精選。平面向量的數(shù)目積及運(yùn)算律答案1．A2．C3．C4．A5．C6．97．－638．±1529．已知a，b，c兩兩垂直，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求r＝a＋b＋c的長及它與a，b，c的夾角的余弦.解：|r|＝|a＋b＋c|＝（a＋b＋c）21＋4＋9＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝14設(shè)a＋b＋c與a、b、c的夾角分別為θ123，θ，θ則cosθa·（a＋b＋c）11＝|a||a·＋b＋c|＝14同理cosθ2214，cosθ3314＝14＝7＝14.10．設(shè)a，b為兩個(gè)互