空間立體幾何典型例題分析講解

-----.可修編..z.空間立體幾何考試*圍：***；考試時間：100分鐘；命題人：***考前須知：1．答題前填寫好自己的**、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷〔選擇題〕請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、選擇題〔題型注釋〕1．如圖，球O是棱長為1的正方體ABCB-A1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1〔A〕〔B〕〔C〕(D〕2．一個幾何體的三視圖如下圖,且其側(cè)視圖是一個等邊三角形,則這個幾何的體積為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3．*幾何體的三視圖及尺寸如圖示，則該幾何體的外表積為〔〕A.B.C.D.4．*簡單幾何體的三視圖如下圖，其正視圖．側(cè)視圖．俯視圖均為直角三角形，面積分別是1，2，4，則這個幾何體的體積為()側(cè)視圖正視圖側(cè)視圖正視圖俯視圖A． B． C．4 D．85．一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積〔單位：c〕為〔〕〔A〕48+12〔B〕48+24〔C〕36+12〔D〕36+246．一個幾何體的三視圖如下圖，則該幾何體的體積為〔〕俯視圖111俯視圖1111正(主)視圖側(cè)(左)視圖1A．2B．1C．D．7．正方形的邊長為4，點位邊的中點，沿折疊成一個三棱錐〔使重合于點〕，則三棱錐的外接球外表積為A.B.C.D.8．球的外表積為20SKIPIF1<0，球面上有A、B、C三點，如果AB=AC=2，BC=2SKIPIF1<0，則球心到平面ABC的距離為 〔〕 A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．29．設(shè)四面體的四個面的面積分別為S1,S2,S3,S4，它們的最大值為S，記SKIPIF1<0，則有 〔〕 A．2<SKIPIF1<0≤4 B．3<SKIPIF1<0≤4 C．2.5<SKIPIF1<0≤4.5 D．3.5<SKIPIF1<0≤5.510．假設(shè)一個三角形，采用斜二測畫法作出其直觀圖，其直觀圖面積是原三角形面積的A倍B倍C2倍D倍11．在中，〔如以下圖〕，假設(shè)將繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是A.B.C.D.12．在三棱錐中,底面，，，，，,則點到平面的距離是()A．B．C．D．13．一個外表積為36π的球外切于一圓柱，則圓柱的外表積為〔〕A、45π B、27πC、36π D、54π14．如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正方體，則這個半球體積與正方體的體積之比為〔〕A、B、C、D、15．兩個球的體積之比是，則這兩個球的外表積之比是〔〕A、B、C、D、16．甲球與*立方體的各個面都相切，乙球與這個立方體的各條棱都相切，丙球過這個立方體的所有頂點，則甲、乙、丙三球的半徑的平方之比為〔〕A、1∶2∶3 B、1∶∶C、1∶∶D、1∶2∶317．假設(shè)球的大圓面積擴大為原來的3倍，則它的體積擴大為原來的〔〕倍A、3B、9C、27D、318．球內(nèi)接正方體的外表積與球的外表積的比為〔〕A、2:B、3:C、4:D、6:19．球的體積是π，則此球的外表積是〔〕A、12π B、16π C、π D、π20．在長方體，底面是邊長為的正方形，高為，則點到截面的距離為()A．B．C．D．21．直三棱柱中，各側(cè)棱和底面的邊長均為，點是上任意一點，連接，則三棱錐的體積為〔〕A．B．C．D．22．各頂點都在一個球面上的正四棱柱〔其底面是正方形，且側(cè)棱垂直于底面〕高為，體積為，則這個球的外表積是〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．23．中心角為135°的扇形，其面積為B，其圍成的圓錐的全面積為A，則A：B為〔〕A．11：8 B．3：8C．8：3 D．13：824．與正方體各面都相切的球，它的外表積與正方體的外表積之比為〔〕A． B． C． D．25．直徑為10cm的一個大金屬球，熔化后鑄成假設(shè)干個直徑為2cm的小球，如果不計損耗，可鑄成這樣的小球的個數(shù)為〔〕A．5 B．15 C．25 D．12526．一個球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐〔圓錐的軸截面為正三角形〕的體積之比〔〕A．2：3：5B．2：3：4C．3：5：8 D．4：6：927．兩個球體積之和為12π，且這兩個球大圓周長之和為6π，則這兩球半徑之差是〔〕A． B．1 C．2 D．328．直三棱柱各側(cè)棱和底面邊長均為a，點D是CC′上任意一點，連結(jié)A′B，BD，A′D，AD，則三棱錐A—A′BD的體積〔〕A． B． C． D．29．將一個邊長為a的正方體，切成27個全等的小正方體，則外表積增加了〔〕A． B．12a2C．18a230．球的體積與其外表積的數(shù)值相等，則球的半徑等于〔〕A． B．1 C．2 D．331．假設(shè)正棱錐底面邊長與側(cè)棱長相等，則該棱錐一定不是〔〕A．三棱錐 B．四棱錐 C．五棱錐 D．六棱錐第II卷〔非選擇題〕請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分二、填空題〔題型注釋〕32．一個空間幾何體的三視圖(單位：)如下圖，則該幾何體的體積為_______．33．一個四面體所有棱長都為,四個頂點在同一球面上，則此球外表積為。34．如圖，平面四邊形中，，，將其沿對角線折成四面體，使平面平面，假設(shè)四面體頂點在同一個球面上，則該球的體積為．35．如圖，一個空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均為全等的等腰直角三角形，且直角三角形的直角邊長為1，則這個幾何體的體積為____________cm3．36．三個球的半徑之比為1∶2∶3，則最大球的體積是其他兩個球的體積之和的____倍37．湖結(jié)冰時，一個球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一個直徑為24cm,深為8cm的空穴，則該球的半徑為38．如圖，一個底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水、假設(shè)放入一個半徑為r的實心鐵球，水面高度恰好升高r，則39．把一個大的金屬球外表涂漆，需油漆2.4kg，假設(shè)把這個金屬球熔化，制成64個半徑相等的小金屬球〔設(shè)損耗為零〕，將這些小金屬球外表涂漆，需用油漆。40．球O的一個小圓O/的面積為25，O到此小圓截面的距離是12，則這個球的外表積為。41．有6根細(xì)木棒，其中較長的兩根分別為，，其余4根均為，用它們搭成三棱錐，則其中兩條較長的棱所在的直線所成的角的余弦值為.42．在右圖所示的是一個正方體的展開圖，在原來的正方體中，有以下命題：①AB與EF所在的直線平行；②AB與CD所在的直線異面；③MN與BF所在的直線成60°角；④MN與CD所在的直線互相垂直.其中正確的命題是__________ENAFCBENAFCBDM43．為邊長為的正三角形所在平面外一點且，則到的距離為______。44．空間四邊形中，分別是的中點，則與的位置關(guān)系是_____________；四邊形是__________形；當(dāng)___________時，四邊形是菱形；當(dāng)___________時，四邊形是矩形；當(dāng)___________時，四邊形是正方形45．正三棱錐的側(cè)面積為18cm,高為3cm.求它的體積．46．球的外表積擴大為原來的4倍，則它的體積擴大為原來的___________倍47．正六棱錐的高為4cm，最長的對角線為cm，則它的側(cè)面積為_________．評卷人得分三、解答題〔題型注釋〕48．〔此題總分值14分〕如圖，正三棱柱—的底面邊長是，是側(cè)棱的中點，直線與側(cè)面所成的角為．⑴求此正三棱柱的側(cè)棱長；⑵求二面角的平面角的正切值；⑶求直線與平面的所成角的正弦值．49．如圖，⊥平面，是矩形，，，點是的中點，點在邊上移動．(1)求三棱錐的體積；(2)當(dāng)點為的中點時，試判斷與平面的位置關(guān)系，并說明理由；(3)證明：無論點在邊的何處，都有.50．〔此題總分值12分〕如圖，軸截面為邊長是2的正方形的圓柱內(nèi)有一個三棱柱，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且是圓的直徑．〔1〕求三棱柱的體積；〔2〕證明：平面⊥平面51．正三棱錐P—ABC的側(cè)棱長為l，兩側(cè)棱的夾角為2，求它的外接球的體積。52．：球的半徑為R，要在球內(nèi)作一內(nèi)接圓柱，問這個圓柱的底面半徑和高為何值時，它的側(cè)面積最大？53．在球心同側(cè)有相距9cm的兩個平行截面，它們的面積分別是49π和400π、求球的外表積、54．如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長的3，側(cè)棱AA1=D是CB延長線上一點，且BD=BC.〔Ⅰ〕求證：直線BC1//平面AB1D；〔Ⅱ〕求二面角B1—AD—B的大小；〔Ⅲ〕求三棱錐C1—ABB1的體積.-----.可修編..z.參考答案1．A【解析】試題分析：根據(jù)正方體的幾何特征知，平面ACD1是邊長為的正三角形，且球與與以點D為公共點的三個面的切點恰為三角形ACD1三邊的中點，故所求截面的面積是該正三角形的內(nèi)切圓的面積，則由圖得，△ACD1內(nèi)切圓的半徑是×tan30°=，則所求的截面圓的面積是π××=，應(yīng)選A．考點：正方體及其內(nèi)接球的幾何特征點評：中檔題，關(guān)鍵是想象出截面圖的形狀，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題。2．D【解析】試題分析：觀察三視圖知，該幾何體是半個圓錐與一個四棱錐的組合體。因為，其側(cè)視圖是一個邊長為2的等邊三角形,所有，幾何體高為。圓錐底半徑為1，四棱錐底面邊長為2，故其體積為，，選D。考點：三視圖，體積計算。點評：簡單題，三視圖問題，關(guān)鍵是理解三視圖的畫法規(guī)則，應(yīng)用"長對正，高平齊，寬相等〞，確定數(shù)據(jù)。認(rèn)識幾何體的幾何特征，是解題的關(guān)鍵之一。3．【解析】D試題分析：由三視圖可知，該幾何體是一個圓錐，底面圓的半徑為1，高為，所以圓錐的母線長為3，所以圓錐的外表積為考點：本小題主要考察根據(jù)三視圖識別幾何體和圓錐外表積的計算，考察學(xué)生的空間想象能力和運算求解能力.點評：解決此類問題，關(guān)鍵是根據(jù)三視圖正確復(fù)原幾何體.4．A【解析】試題分析：由三視圖可知，該幾何體是一個底面是直角三角形，有一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐，設(shè)底面直角三角形的兩條直角邊分別為，垂直于底面的側(cè)棱長為，所以，所以該三棱錐的體積為考點：本小題主要考察三視圖的應(yīng)用和三棱錐體積的計算，考察學(xué)生的空間想象能力和運算求解能力.點評：解決此類問題關(guān)鍵是根據(jù)三視圖正確復(fù)原幾何體.5．A【解析】試題分析：由三視圖可知，該幾何體是一個三棱錐，所以全面積為考點：本小題主要考察三視圖和空間幾何體的外表積的計算，考察學(xué)生的空間想象能力和運算求解能力.點評：求解與三視圖有關(guān)的問題，關(guān)鍵是正確復(fù)原幾何體.6．C【解析】試題分析：由三視圖可知，該幾何體是有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，該幾何體的高是1，底面是對角線為的正方形，所以該幾何體的體積為考點：本小題主要考察幾何體的三視圖的識別和應(yīng)用以及四棱錐體積的計算，考察學(xué)生的空間想象能力和運算求解能力.點評：解決與三視圖有關(guān)的問題，關(guān)鍵是由三視圖正確復(fù)原幾何體.7．A【解析】試題分析：折疊后的三棱錐中兩兩垂直，所以三棱錐的外接球與以為臨邊的長方體外接球是一樣的，球的直徑等于長方體體對角線，考點：三棱錐外接球點評：解此題的關(guān)鍵點在于利用兩兩垂直將三棱錐外接球轉(zhuǎn)化為長方體外接球8．A【解析】由球的外表積公式可知,所以因為AB=AC=2，BC=2SKIPIF1<0，所以所以,所以球心到平面ABC的距離為.9．A【解析】當(dāng)S1=S2=S3=S4=S時，λ=4；當(dāng)高趨向于零時，λ無限接近210．B【解析】根據(jù)斜二側(cè)畫法可知，平行與*軸的不變，y軸的縮為原來的一半，則一個三角形，采用斜二測畫法作出其直觀圖，其直觀圖面積是原三角形面積的倍，選B.11．D【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的概念可知，中，，假設(shè)將繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積大圓錐減去小的圓錐的體積，則可知是，選D.12．B【解析】因為三棱錐中,底面，，，，，,則點到平面的距離是，選B13．D【解析】因為球的外表積為36π，所以球的半徑為3，因為該球外切于圓柱，所以圓柱的底面半徑為3，高為6，所以圓柱的外表積.14．B【解析】假設(shè)正方體的棱長為，半球的半徑為R，在直角三角形中，，。15．B【解析】設(shè)半徑分別為r,R;則應(yīng)選B16．A【解析】設(shè)立方體棱長為a,甲，乙，丙三個球半徑分別為則則應(yīng)選A17．D【解析】設(shè)球擴大前后半徑為r,R;則擴大后體積為應(yīng)選D18．A【解析】假設(shè)正方體的棱長為，則球的半徑為，。19．B【解析】設(shè)球的半徑為R,則，所以，球的外表積。20．C【解析】利用三棱錐的體積變換：，則21．B【解析】22．C【解析】正四棱柱的底面積為，正四棱柱的底面的邊長為，正四棱柱的底面的對角線為，正四棱柱的對角線為，而球的直徑等于正四棱柱的對角線，即，23．A【解析】設(shè)扇形半徑為R,則圓錐底面圓半徑為r,則所以所以應(yīng)選A24．B【解析】設(shè)正方體棱長為a,球半徑為r;由條件知則球外表積正方體的外表積之比為應(yīng)選B25．D【解析】設(shè)個數(shù)為則應(yīng)選D26．D【解析】設(shè)球的半徑為：1，則球的外切圓柱的底面半徑為：1，高為：2，球的外切等邊圓錐的底面半徑為：，圓錐的高為：3所以球的體積為：圓柱的體積：2×π12=2π圓錐的體積：一個球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐〔圓錐的軸截面為正三角形〕的體積之比：2π：3π即4：6：9應(yīng)選D27．B【解析】28．C【解析】如圖，由題意得；三棱錐A-A1BD的體積等于三棱錐B-AA1D的體積．所以：=應(yīng)選C.29．B【解析】27個全等的小正方體的棱長為邊長為a的正方體的外表積為27個全等的小正方體的外表積和為則外表積增加了。應(yīng)選B30．D【解析】設(shè)球半徑為則應(yīng)選D31．D【解析】正四面體，正方體，正五棱錐的底面邊長與側(cè)棱長相等。因為正六邊形的中心到各個頂點的距離相等且等于正六邊形的邊長，所以不存在底面邊長和側(cè)棱長相等的六棱錐，應(yīng)選D32．【解析】試題分析：由三視圖可知，該幾何體是一個底面是邊長為2的正方形，由一條長度為2的側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，所以該四棱錐的體積為考點：本小題主要考察空間幾何體的三視圖和空間幾何體的體積的計算，考察學(xué)生的空間想象能力和運算求解能力.點評：求解與三視圖有關(guān)的幾何問題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖正確復(fù)原幾何體.33．【解析】試題分析：顯然該四面體是一個正四面體，把這個正四面體置于一個正方體中，在棱長為1的正方體中，由四個頂點組成的四面體的所有棱長均為,從而四面體的外接球就是正方體的外接球，由于正方體的體對角線長為，所以球的半徑為，所以球的外表積為考點：本小題主要考察四面體與外接球的關(guān)系和球的外表積的計算，考察學(xué)生的空間想象能力和運算求解能力.點評：此題的解法很特殊但是很有效，其實借助規(guī)則的幾何體進展解題是常用的解題方法.34．【解析】試題分析：由題意可知，,所以假設(shè)四面體頂點在同一個球面上，則為球的直徑，所以所以球的半徑為，由球的體積公式可知該球的體積為考點：本小題主要考察球內(nèi)接多面體，球的體積等，考察學(xué)生的空間想象能力和運算求解能力.點評：此題屬于比擬根底的題目，正確求出球的半徑是解題的關(guān)鍵.35．【解析】試題分析：由三視圖可知，該幾何體是一個三棱錐，該三棱錐底面為直角邊為1的等腰直角三角形，由一條側(cè)棱垂直于底面，長度為1，所以該幾何體的體積為考點：本小題主要考察由幾何體的三視圖復(fù)原幾何體和空間幾何體的體積計算，考察學(xué)生的空間想象能力和運算求解能力.點評：解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖復(fù)原幾何體，另外有時此類題目還考察外表積的計算.36．3【解析】不妨三個球半徑分別為1,2,3；則最大球的體積為其他兩個球的體積之和為則最大球的體積是其他兩個球的體積之和的3倍.37．13cm【解析】設(shè)球半徑為R，則解得38．【解析】根據(jù)題意可得：，所以39．9、6kg【解析】設(shè)大的金屬球半徑為R,64個半徑相等的小金屬球半徑為r;，則于是64個半徑相等的小金屬球的外表積和是大的金屬球外表積的4倍；所以需用油漆40．676【解析】因為小圓O/的面積為25，所以小圓O/的半徑為5，球的半徑，所以球的外表積。41．或0【解析】依題意可得，三棱錐中較長的兩條棱長為，設(shè)這兩條棱所在直線的所成角為。假設(shè)這兩條棱相交，則這兩條棱長所在面的第三條棱長為，由余弦定理可得。假設(shè)這兩條棱異面，如圖，不妨設(shè)，取中點，連接。因為，所以有，從而有面，所以，則42．②④【解析】由展開圖可知，各點在正方體中的位置如下由圖可知，且異面，①不正確；與異面，②正確；，③不正確；，④正確43．【解析】如圖，設(shè)是點在平面內(nèi)射影，連接并延長交于點。因為，所以點是的中心。因為是邊長為的正三角形，所以，而，所以面，從而可得，所以長為點到距離。而是邊長為的正三角形，是中點，所以可得44．異面直線；平行四邊形；；；且【解析】由圖可知，為異面直線。因為分別是中點，所以。同理可得，所以，則四邊形是平行四邊形。由上可得，當(dāng)四邊形是菱形時，，即，所以可得。當(dāng)四邊形是矩形時，，因為，所以可得。當(dāng)四邊形是正方形時，有且，從而可得且45．cm3【解析】設(shè)底面邊長為，斜高為則，解得所以正三棱錐的體積為46．8【解析】設(shè)球半徑為擴大后球半徑為則于是擴大后體積為所以它的體積擴大為原來的8倍.47．cm【解析】由條件知：正六棱錐底面邊長為則斜高為所以正六棱錐的側(cè)面積為48．〔1〕〔2〕3〔3〕【解析】試題分析：〔1〕設(shè)正三棱柱—的側(cè)棱長為．取中點，連接．是正三角形，．又底面?zhèn)让?，且交線為．側(cè)面．連，則直線與側(cè)面所成的角為．在中，，解得．此正三棱柱的側(cè)棱長為．……4分〔2〕過作于，連，側(cè)面．為二面角的平面角．在中，，又，．又在中，．……9分〔3〕由〔2〕可知，平面,平面平面，且交線為，過作于，則平面．在中，．為中點，點到平面的距離為．……14分考點：本小題主要考察空間幾何體中，直線與平面所成的角和二面角的求解和計算，考察學(xué)生的空間想象能力和運算求解能力.點評：求解線面角和二面角時，關(guān)鍵是先作出所求的角，證明所作的角即為要求的角，然后再計算，計算時還要注意各個角的取值*圍.49．(1)(2)平面(3)分別證明，，所以⊥平面，進而【解析】試題分析：(1)三棱錐的體積＝＝·＝.……4分(2)當(dāng)點為的中點時，與平面平行．∵在中，分別為、的中點，∴，又平面，平面，∴平面.……9分(3)證明：∵⊥平面，平面，∴，又，，平面，平面.又平面，∴.又，點是的中點，∴，又,平面，∴⊥平面.∵平面，∴.……14分考點：本小題主要考察三棱錐體積的計算、線面平行、線面垂直等的證明，考察學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力.點評：計算三棱錐體積時，注意可以根據(jù)需要讓任何一個面作底面，還經(jīng)常利用等體積法求三棱錐的高.50．〔1〕；〔2〕見解析?！窘馕觥勘驹囶}主要是考察了空間幾何體的體積和面面垂直的證明的