2022年數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用姓名甘國優(yōu)指引教師趙慧煒中文摘要：數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中一種非常普遍的證題的措施，其應(yīng)用極為廣泛．本次重要簡述了數(shù)學(xué)歸納法的簡略環(huán)節(jié)：觀測（摸索）﹑歸納﹑猜想﹑證明于一體的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)歸納法的證題思路．并歸納總結(jié)了數(shù)學(xué)歸納法解決代數(shù)恒等式﹑幾何等方面的某些簡樸應(yīng)用問題的措施，相應(yīng)用中常用的誤區(qū)加以剖析，以及簡介某些證題措施技巧，有助于提高對數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用能力．核心詞：數(shù)學(xué)歸納法；環(huán)節(jié);證明措施．Abstract:Mathematicalinductionisacommonevidencemethodinmathematics,itishaveverybroadapplication.Inthispaper,authorresearchintothestepoftheMathematicalinduction,itincludessummariz，evidenceandguessembodytheideaoftheevidenceofmathematicalinduction.Alsoathere,wesummarizthemethodofthemathematicalinductionapplicationinsolvealgebraidentities,geometric,orderandportfolio,andsoon.alsoanalyzethecommonerrorsonapplicationandintoductskilloftheproof,proofofskillsintroduced.ItishelptoincreasedtheleveloftheMathematicalinduction’sapplication．Keywords：Mathematicalinduction;Steps;Proof.引言演繹和歸納是人在思維過程中兩個完全相反的過程.同步又是數(shù)學(xué)思維中兩種基本的措施.數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)證明措施，她有著其她措施所不能替代的作用，也是證明與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種完全歸納法.我們在學(xué)習(xí)運用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)具有兩個條件：①當(dāng)時，這個命題為對的的（奠基），②當(dāng)時，這個命題也為對的的．推出當(dāng)時，這個命題也為對的的（遞推）．通過“遞推”鏈接，實現(xiàn)從特殊到一般的轉(zhuǎn)化，抽象的進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納.一方面我們要理解歸納法與數(shù)學(xué)歸納法的思想，由思想轉(zhuǎn)換為思路來解決實際問題.固然我們在中學(xué)所學(xué)習(xí)的比較淺顯，因此需要進(jìn)行整頓疏通總結(jié)，并學(xué)以致用其思想，在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時所需的某些問題進(jìn)行整頓,理解數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)代數(shù)及幾何問題方面的應(yīng)用更深刻總結(jié)數(shù)學(xué)歸納法的重難點及解題技巧，選用典型例題來體現(xiàn)這一思想，抓住其最基本的環(huán)節(jié)并掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明措施．1數(shù)學(xué)歸納法的概論1.1數(shù)學(xué)常用證明措施數(shù)學(xué)是門極其注重學(xué)習(xí)措施的學(xué)科,數(shù)學(xué)恒等式的證明使這些措施體現(xiàn)的完美無缺，而常用的數(shù)學(xué)證明措施有如下幾種；1.1.1演繹推理由一般推理到特殊的推理措施稱為演繹推理，又叫演繹法．1.1.2歸納推理由特殊到一般的推理措施稱為歸納推理法，又叫歸納法．其中歸納法又分為完全歸納法與不完全歸納法．1.1.3完全歸納法探討事物的所有特殊狀況后得出一般結(jié)論的推理措施稱為完全歸納法，又叫枚舉法．1.1.4不完全歸納法由某類事物中一部分事物所具有的某種屬性，推出此類事物所有都具有這種屬性的歸納推理措施稱為不完全歸納法．1.1.5數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法證明是與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種特殊措施．（在高中數(shù)學(xué)中常用來證明不等式成立和數(shù)列通項公式成立）1.2數(shù)學(xué)歸納法的定義數(shù)學(xué)歸納法定義:是一種先得出首個例子的對的性,再通過遞推的方式證明命題與否對的的一種措施．它是以考察特殊、個別的狀況后作出的判斷作為基本.再從這些個別狀況的判斷歸納出一般的結(jié)論,也可以說,它是從特殊到一般的推理措施.即當(dāng)n=1對的時,若在n=k對的的狀況下,n=k+l也是對的的,便可遞推下去.雖然我們沒有對所有的自然數(shù)逐個的加以驗證,但事實上,這種遞推就已經(jīng)把所有自然數(shù)都驗證了,這種措施就是數(shù)學(xué)歸納法.2數(shù)學(xué)歸納法的背景與原理2.1背景數(shù)學(xué)歸納法最早的痕跡可以在古希臘時代和印度的著作中找到絲縷痕跡，如歐幾里德素數(shù)無限的證明中和印度婆什迦羅的“循環(huán)措施”都可以找到這種痕跡．有資料和數(shù)據(jù)表白，在中世紀(jì)伊斯蘭數(shù)學(xué)中就已經(jīng)比較清晰、廣泛地使用了數(shù)學(xué)歸納法中歸納推理．而數(shù)學(xué)歸納法真正明確使用的是意大利數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和工程師莫洛里科斯，而她也尚未對數(shù)學(xué)歸納法證明中的歸納奠基和歸納推理兩個環(huán)節(jié)進(jìn)行清晰的論述．真正清晰數(shù)學(xué)歸納法證明這兩步的應(yīng)是17世紀(jì)的數(shù)學(xué)家帕斯卡，最早是她將數(shù)學(xué)歸納法的證明用兩步擬定下來.而“數(shù)學(xué)歸納法”名稱是英國數(shù)學(xué)家提出的,

并由英國教科書作者普遍使用并推廣．

數(shù)學(xué)歸納法的嚴(yán)格建立，是對無窮概念有較深刻的結(jié)識和數(shù)的理論充足發(fā)展后才得以完畢．十七世紀(jì)后，數(shù)學(xué)歸納法有了明晰的框架，后來發(fā)展出了最小數(shù)原理、第一和第二數(shù)學(xué)歸納法、遞減歸納法、螺旋歸納法、倒推納法、跳躍歸納法、雙重甚至多重歸納法等多種形式的數(shù)學(xué)歸納法．至1889年意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾刊登《算術(shù)原理新措施》，給出自然數(shù)的公理體系，使數(shù)學(xué)歸納法有了一種合理、精確的理論基本．歸納法的邏輯是指從有限的特殊事例推出一般性結(jié)論的推理措施，從肯定全體對象中的有限的個別事物到肯定全體對象．但數(shù)學(xué)歸納法并不具有這些特性．演繹法是由一般到具體結(jié)論的推理措施，演繹推動的前提必然蘊(yùn)涵結(jié)論。從數(shù)學(xué)歸納法的推理過程來考察，還是從它的理論根據(jù)來考察，數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)上都是一種演繹法。現(xiàn)代美國數(shù)學(xué)家波利亞有這樣評論“數(shù)學(xué)歸納法”：“歸納法是通過對特例進(jìn)行觀測和綜合后以發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律的過程.它僅在數(shù)學(xué)中用以證明某類定理．從名稱上看，兩者有聯(lián)系,

但兩者在邏輯方面的聯(lián)系很少。而兩者之間尚有某種實際聯(lián)系；我們常把兩種措施一起使用．”2.2原理所有數(shù)學(xué)都始于計數(shù)，計數(shù)就是把要計數(shù)的對象集合與幾種起始自然數(shù)一一相應(yīng)的過程.我們用表達(dá)自然數(shù)這個無限集合，自然數(shù)的一種基本性質(zhì)是良序性，下面將對自然數(shù)的良序性進(jìn)行形式化的論述，并且把它作為一種有關(guān)的公理.對于任何系統(tǒng)，公理是無需證明即為真的命題.為了對一種系統(tǒng)（這里指自然數(shù)）進(jìn)行推理，一方面需要對該系統(tǒng)做某些假設(shè).盡管這些基本的假設(shè)常常不容易一眼就看出，但它應(yīng)當(dāng)是“合理的”和“顯而易見為真的”.良序原理：自然數(shù)集的每個非空子集均有一種最小元素.顯而易見，自然數(shù)的任何子集都可以通過列出實際元素的方式給定，雖然對于不易直接定義的集合，該定理仍然有效.例如，當(dāng)和可取任意整數(shù)時，考慮所示的所有自然數(shù)集合.從定義看該集合的范疇并不明顯，但是根據(jù)良序原理，由于該集合非空（注意這很重要），集合中必有一種通過該方式表達(dá)的最小自然數(shù).（固然，求具體的最小自然數(shù)的值是此外一回事.注意良序原理保證有一種最小數(shù)存在，但絕對沒說如何去計算它.）從數(shù)學(xué)歸納法的發(fā)現(xiàn)、發(fā)展到應(yīng)用；從數(shù)學(xué)歸納法理論基本到實際教學(xué)；從數(shù)學(xué)歸納法的邏輯基本到學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法時遇到的心理問題。要清晰有關(guān)知識又何止這些呢?事實上,只有清晰理解每一種知識點的來龍去脈和每一種知識點的應(yīng)用范疇,以及每一種知識點的因此然,方能更好去解決問題．3數(shù)學(xué)歸納法的環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)歸納法的環(huán)節(jié),若把需證明的命題記作ｐ(n),那么數(shù)學(xué)歸納法的環(huán)節(jié)為:(1)證明當(dāng)n=1時,p(n=1)成立．(2)假設(shè)n=k(且k0)時,命題成立,即p(k)成立.證明當(dāng)n=k+1時命題也成立．(3)根據(jù)(1)、(2)當(dāng)k0且時,即p(n)成立．運用數(shù)學(xué)歸納法證題時,以上這三個環(huán)節(jié)是必不可少的,環(huán)節(jié)(1)時是對的的奠基環(huán)節(jié),稱之為歸納基本,環(huán)節(jié)(2)反映了遞推關(guān)系,即命題的對的性具有傳遞性作用．環(huán)節(jié)(3)是將環(huán)節(jié)(1)與環(huán)節(jié)(2)組合完畢數(shù)學(xué)歸納法中遞推的所有過程,因此三個環(huán)節(jié)必不可少．4易錯分析剛剛接觸數(shù)學(xué)歸納法時容易浮現(xiàn)對環(huán)節(jié)把握不清的現(xiàn)象,下面針對幾種常用錯誤進(jìn)行分析．4.1弄不清屆時的式子變化例1:用數(shù)學(xué)歸納法證明:,從“”到“”左端需增乘的代數(shù)式為：A.B.C.D.錯誤解法：時，式子左端，時，式子左端為故選B．分析：時，左端第一種因式也有所變化，不能簡樸地看背面的因式．對的解法：當(dāng)時，左端為為從到持續(xù)整數(shù)的乘積．4.2運用數(shù)學(xué)歸納法時忽視了時的假設(shè)條件．例2:用數(shù)學(xué)歸納法證明：時，錯解：(1)當(dāng)n=1時，左邊=,右邊=,等式成立．(2)假設(shè)，時，等式成立．即則當(dāng)時，===.因此時，等式成立綜上所述當(dāng)時，成立分析：在證明等式成立時，沒有用到歸納假設(shè)正解：(1)當(dāng)時，左邊===右邊，等式成立．(2)假設(shè)，時，等式成立，====.因此時，等式也成立.綜上所述，對一切，都成立．?dāng)?shù)學(xué)歸納法要運用“歸納假設(shè)”，沒有“歸納假設(shè)”的證明不是數(shù)學(xué)歸納法．5運用數(shù)學(xué)歸納法的典型例題例3:用數(shù)學(xué)歸納法證明：=，分析：本題第一步的驗證要取，在第二步的證明中應(yīng)在歸納假設(shè)的基本上對的地使用正切的和角公式．證明：(1)當(dāng)時，右邊=====左邊則等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)時，等式成立，即=.==.點評：本題在第(2)步的證明過程中使用了正切和差角的變形形式，即1=.因此在用數(shù)學(xué)歸納法證明三角命題時，應(yīng)針對時命題的特性，合理地選擇和使用三角公式．證明三角恒等式時,常動用有關(guān)三角知識、三角公式及三角的變換法.例4:求證:證明:(1)當(dāng)n=1時,等式左邊=,右邊=,等式成立.(2)假設(shè)時等式成立,即由(1)和(2)可知等式均成立．6中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)歸納法的用途在討論波及正數(shù)無限性的問題時數(shù)學(xué)歸納法是一種及其重要的措施,在中學(xué)數(shù)學(xué)中它的作用和地位可以用三個方面來體現(xiàn):(1)中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多重要結(jié)論,如等比數(shù)列的的通項公式前n項和公式、等差數(shù)列與,二項公式定理等等都可以用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.而完全歸納法得到的某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題,也常應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法來證明它們的對的性．(2)運用數(shù)學(xué)歸納法可以證明許多數(shù)學(xué)問題.既可以開闊眼界,又可以受到推理論證的訓(xùn)練.對于某些用常規(guī)的分析終合法不好證明的題,用數(shù)學(xué)歸納法往往會得到某些意想不到的好成果．(3)在進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時數(shù)學(xué)歸納法會常常用到,因此掌握這種措施可覺得此后的高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下一種良好的基本.7數(shù)學(xué)歸納法在幾何方面的應(yīng)用7.1數(shù)學(xué)歸納法在幾何中的意義歸納法是由特殊得出一般結(jié)論的歸納推理措施，一般性結(jié)論的對的性是依托個別結(jié)論的對的性．因此數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì)是證明命題對于一切自然數(shù)都是真命題．它在本質(zhì)是與數(shù)的概念聯(lián)系在一起的，因此數(shù)學(xué)歸納法可以應(yīng)用到數(shù)學(xué)的各個分支，在幾何中也不例外．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是用于證明與自然數(shù)n有關(guān)命題的對的性措施．它的操作環(huán)節(jié)簡樸、明確，證明過程一般可分如下兩個環(huán)節(jié):1.對于命題故意義的最小值，直接驗證命題是對的的．2.證明如果命題對任一自然數(shù)成立，那么論斷必然成立．7.2數(shù)學(xué)歸納法在幾何中的應(yīng)用7.2.1應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法作計算例5：平面上有圓心在同始終線上的半圓，其中任意兩個都相交，且都在直線的同側(cè)，問這些半圓被所有的交點最多提成多少段圓弧?解:設(shè)半圓的交點最多將半圓提成若干段圓弧，如下圖所示.圖1圖2圖3容易發(fā)現(xiàn)由此可以猜想n個半圓互相提成圓弧段最多有證明:由題意知(1)當(dāng)n=2時，結(jié)論成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時，結(jié)論成立，（平面內(nèi)滿足條件的k個半圓互相提成的圓弧最多有.）那么當(dāng)n=k+1時，第k+1個半圓與原k個半圓均相交，可獲得最多圓弧段，任意三個半圓不能交于一點，因此第k+1個半圓把原k個半圓中每個半圓的某一段圓弧都一分為二，這樣就多余了k條圓弧;而原k個半圓又把第k+1個半圓提成了k+1段圓弧，這樣又多余了k+1條圓?。剩@就是說，當(dāng)n=k+1時結(jié)論也成立．根據(jù)(1)和(2)可知，滿足條件的n個半圓被所有交點最多提成段圓?。?結(jié)論數(shù)學(xué)歸納法重要針對某些與自然N的有關(guān)命題,因此在證明和自然數(shù)N有關(guān)的恒等式子中有著不可替代的作用,用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問題時,要注意它的兩個環(huán)節(jié)必不可少,第一步命題遞推的基本,第二步是命題遞推的根據(jù),也是證明的核心和難點,同步,數(shù)學(xué)歸納法的證題環(huán)節(jié)和格式是數(shù)學(xué)歸納法的特性,如n=k時的假設(shè)是第二步證明n=k+1的“已知”,證明時一定要用到它,否則就不是數(shù)學(xué)歸納法,在證明時命題成立,要用到某些技巧,如:一湊假設(shè),二湊結(jié)論,不等式的放縮、等價轉(zhuǎn)化、拆項、加減項等，但這些解題技巧需在實踐中不斷積累和總結(jié),證明三角恒等式時常用到有關(guān)三角公式、三角知識以及三角的轉(zhuǎn)換等.通過這些變換可更簡樸便捷的讓命題得證.總的來說記住三句話：“遞推基本不可少，歸納假設(shè)要用到，寫結(jié)論時莫忘掉”,我們這樣才可以較好的運用數(shù)學(xué)歸納法.數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)證題措施,更是中學(xué)數(shù)學(xué)的重難點知識之一,它在開闊眼界,訓(xùn)練推理能力等諸多方面有著很大的協(xié)助.在中學(xué)數(shù)學(xué)中,數(shù)學(xué)歸納法對于許多重要的結(jié)論,如等比數(shù)列的的通項公式與前n項和公式、二項公式定理以及差數(shù)列等,都可以用數(shù)學(xué)歸納法加以證明,這樣既可以加深對教材的熟悉又可以加深知識的理解.固然不僅在中學(xué)數(shù)學(xué)中,在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過程中,數(shù)學(xué)歸納法也是一種不可缺少的措施。同步借助數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行幾何教學(xué)，便于學(xué)生一步步理解命題的內(nèi)涵，進(jìn)而容易找到n與n+1的關(guān)系，這樣可以精確地解決問題。數(shù)學(xué)歸納法在幾