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數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用姓名甘國(guó)優(yōu)指引教師趙慧煒中文摘要:數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中一種非常普遍的證題的措施,其應(yīng)用極為廣泛.本次重要簡(jiǎn)述了數(shù)學(xué)歸納法的簡(jiǎn)略環(huán)節(jié):觀測(cè)(摸索)﹑歸納﹑猜想﹑證明于一體的數(shù)學(xué)思想,體現(xiàn)出數(shù)學(xué)歸納法的證題思路.并歸納總結(jié)了數(shù)學(xué)歸納法解決代數(shù)恒等式﹑幾何等方面的某些簡(jiǎn)樸應(yīng)用問(wèn)題的措施,相應(yīng)用中常用的誤區(qū)加以剖析,以及簡(jiǎn)介某些證題措施技巧,有助于提高對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用能力.核心詞:數(shù)學(xué)歸納法;環(huán)節(jié);證明措施.Abstract:Mathematicalinductionisacommonevidencemethodinmathematics,itishaveverybroadapplication.Inthispaper,authorresearchintothestepoftheMathematicalinduction,itincludessummariz,evidenceandguessembodytheideaoftheevidenceofmathematicalinduction.Alsoathere,wesummarizthemethodofthemathematicalinductionapplicationinsolvealgebraidentities,geometric,orderandportfolio,andsoon.alsoanalyzethecommonerrorsonapplicationandintoductskilloftheproof,proofofskillsintroduced.ItishelptoincreasedtheleveloftheMathematicalinduction’sapplication.Keywords:Mathematicalinduction;Steps;Proof.引言演繹和歸納是人在思維過(guò)程中兩個(gè)完全相反的過(guò)程.同步又是數(shù)學(xué)思維中兩種基本的措施.數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)證明措施,她有著其她措施所不能替代的作用,也是證明與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種完全歸納法.我們?cè)趯W(xué)習(xí)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)具有兩個(gè)條件:①當(dāng)時(shí),這個(gè)命題為對(duì)的的(奠基),②當(dāng)時(shí),這個(gè)命題也為對(duì)的的.推出當(dāng)時(shí),這個(gè)命題也為對(duì)的的(遞推).通過(guò)“遞推”鏈接,實(shí)現(xiàn)從特殊到一般的轉(zhuǎn)化,抽象的進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納.一方面我們要理解歸納法與數(shù)學(xué)歸納法的思想,由思想轉(zhuǎn)換為思路來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.固然我們?cè)谥袑W(xué)所學(xué)習(xí)的比較淺顯,因此需要進(jìn)行整頓疏通總結(jié),并學(xué)以致用其思想,在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)所需的某些問(wèn)題進(jìn)行整頓,理解數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)代數(shù)及幾何問(wèn)題方面的應(yīng)用更深刻總結(jié)數(shù)學(xué)歸納法的重難點(diǎn)及解題技巧,選用典型例題來(lái)體現(xiàn)這一思想,抓住其最基本的環(huán)節(jié)并掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明措施.1數(shù)學(xué)歸納法的概論1.1數(shù)學(xué)常用證明措施數(shù)學(xué)是門(mén)極其注重學(xué)習(xí)措施的學(xué)科,數(shù)學(xué)恒等式的證明使這些措施體現(xiàn)的完美無(wú)缺,而常用的數(shù)學(xué)證明措施有如下幾種;1.1.1演繹推理由一般推理到特殊的推理措施稱(chēng)為演繹推理,又叫演繹法.1.1.2歸納推理由特殊到一般的推理措施稱(chēng)為歸納推理法,又叫歸納法.其中歸納法又分為完全歸納法與不完全歸納法.1.1.3完全歸納法探討事物的所有特殊狀況后得出一般結(jié)論的推理措施稱(chēng)為完全歸納法,又叫枚舉法.1.1.4不完全歸納法由某類(lèi)事物中一部分事物所具有的某種屬性,推出此類(lèi)事物所有都具有這種屬性的歸納推理措施稱(chēng)為不完全歸納法.1.1.5數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法證明是與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種特殊措施.(在高中數(shù)學(xué)中常用來(lái)證明不等式成立和數(shù)列通項(xiàng)公式成立)1.2數(shù)學(xué)歸納法的定義數(shù)學(xué)歸納法定義:是一種先得出首個(gè)例子的對(duì)的性,再通過(guò)遞推的方式證明命題與否對(duì)的的一種措施.它是以考察特殊、個(gè)別的狀況后作出的判斷作為基本.再?gòu)倪@些個(gè)別狀況的判斷歸納出一般的結(jié)論,也可以說(shuō),它是從特殊到一般的推理措施.即當(dāng)n=1對(duì)的時(shí),若在n=k對(duì)的的狀況下,n=k+l也是對(duì)的的,便可遞推下去.雖然我們沒(méi)有對(duì)所有的自然數(shù)逐個(gè)的加以驗(yàn)證,但事實(shí)上,這種遞推就已經(jīng)把所有自然數(shù)都驗(yàn)證了,這種措施就是數(shù)學(xué)歸納法.2數(shù)學(xué)歸納法的背景與原理2.1背景數(shù)學(xué)歸納法最早的痕跡可以在古希臘時(shí)代和印度的著作中找到絲縷痕跡,如歐幾里德素?cái)?shù)無(wú)限的證明中和印度婆什迦羅的“循環(huán)措施”都可以找到這種痕跡.有資料和數(shù)據(jù)表白,在中世紀(jì)伊斯蘭數(shù)學(xué)中就已經(jīng)比較清晰、廣泛地使用了數(shù)學(xué)歸納法中歸納推理.而數(shù)學(xué)歸納法真正明確使用的是意大利數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和工程師莫洛里科斯,而她也尚未對(duì)數(shù)學(xué)歸納法證明中的歸納奠基和歸納推理兩個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行清晰的論述.真正清晰數(shù)學(xué)歸納法證明這兩步的應(yīng)是17世紀(jì)的數(shù)學(xué)家帕斯卡,最早是她將數(shù)學(xué)歸納法的證明用兩步擬定下來(lái).而“數(shù)學(xué)歸納法”名稱(chēng)是英國(guó)數(shù)學(xué)家提出的,

并由英國(guó)教科書(shū)作者普遍使用并推廣.

數(shù)學(xué)歸納法的嚴(yán)格建立,是對(duì)無(wú)窮概念有較深刻的結(jié)識(shí)和數(shù)的理論充足發(fā)展后才得以完畢.十七世紀(jì)后,數(shù)學(xué)歸納法有了明晰的框架,后來(lái)發(fā)展出了最小數(shù)原理、第一和第二數(shù)學(xué)歸納法、遞減歸納法、螺旋歸納法、倒推納法、跳躍歸納法、雙重甚至多重歸納法等多種形式的數(shù)學(xué)歸納法.至1889年意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾刊登《算術(shù)原理新措施》,給出自然數(shù)的公理體系,使數(shù)學(xué)歸納法有了一種合理、精確的理論基本.歸納法的邏輯是指從有限的特殊事例推出一般性結(jié)論的推理措施,從肯定全體對(duì)象中的有限的個(gè)別事物到肯定全體對(duì)象.但數(shù)學(xué)歸納法并不具有這些特性.演繹法是由一般到具體結(jié)論的推理措施,演繹推動(dòng)的前提必然蘊(yùn)涵結(jié)論。從數(shù)學(xué)歸納法的推理過(guò)程來(lái)考察,還是從它的理論根據(jù)來(lái)考察,數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)上都是一種演繹法?,F(xiàn)代美國(guó)數(shù)學(xué)家波利亞有這樣評(píng)論“數(shù)學(xué)歸納法”:“歸納法是通過(guò)對(duì)特例進(jìn)行觀測(cè)和綜合后以發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律的過(guò)程.它僅在數(shù)學(xué)中用以證明某類(lèi)定理.從名稱(chēng)上看,兩者有聯(lián)系,

但兩者在邏輯方面的聯(lián)系很少。而兩者之間尚有某種實(shí)際聯(lián)系;我們常把兩種措施一起使用.”2.2原理所有數(shù)學(xué)都始于計(jì)數(shù),計(jì)數(shù)就是把要計(jì)數(shù)的對(duì)象集合與幾種起始自然數(shù)一一相應(yīng)的過(guò)程.我們用表達(dá)自然數(shù)這個(gè)無(wú)限集合,自然數(shù)的一種基本性質(zhì)是良序性,下面將對(duì)自然數(shù)的良序性進(jìn)行形式化的論述,并且把它作為一種有關(guān)的公理.對(duì)于任何系統(tǒng),公理是無(wú)需證明即為真的命題.為了對(duì)一種系統(tǒng)(這里指自然數(shù))進(jìn)行推理,一方面需要對(duì)該系統(tǒng)做某些假設(shè).盡管這些基本的假設(shè)常常不容易一眼就看出,但它應(yīng)當(dāng)是“合理的”和“顯而易見(jiàn)為真的”.良序原理:自然數(shù)集的每個(gè)非空子集均有一種最小元素.顯而易見(jiàn),自然數(shù)的任何子集都可以通過(guò)列出實(shí)際元素的方式給定,雖然對(duì)于不易直接定義的集合,該定理仍然有效.例如,當(dāng)和可取任意整數(shù)時(shí),考慮所示的所有自然數(shù)集合.從定義看該集合的范疇并不明顯,但是根據(jù)良序原理,由于該集合非空(注意這很重要),集合中必有一種通過(guò)該方式表達(dá)的最小自然數(shù).(固然,求具體的最小自然數(shù)的值是此外一回事.注意良序原理保證有一種最小數(shù)存在,但絕對(duì)沒(méi)說(shuō)如何去計(jì)算它.)從數(shù)學(xué)歸納法的發(fā)現(xiàn)、發(fā)展到應(yīng)用;從數(shù)學(xué)歸納法理論基本到實(shí)際教學(xué);從數(shù)學(xué)歸納法的邏輯基本到學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法時(shí)遇到的心理問(wèn)題。要清晰有關(guān)知識(shí)又何止這些呢?事實(shí)上,只有清晰理解每一種知識(shí)點(diǎn)的來(lái)龍去脈和每一種知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用范疇,以及每一種知識(shí)點(diǎn)的因此然,方能更好去解決問(wèn)題.3數(shù)學(xué)歸納法的環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)歸納法的環(huán)節(jié),若把需證明的命題記作p(n),那么數(shù)學(xué)歸納法的環(huán)節(jié)為:(1)證明當(dāng)n=1時(shí),p(n=1)成立.(2)假設(shè)n=k(且k0)時(shí),命題成立,即p(k)成立.證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.(3)根據(jù)(1)、(2)當(dāng)k0且時(shí),即p(n)成立.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí),以上這三個(gè)環(huán)節(jié)是必不可少的,環(huán)節(jié)(1)時(shí)是對(duì)的的奠基環(huán)節(jié),稱(chēng)之為歸納基本,環(huán)節(jié)(2)反映了遞推關(guān)系,即命題的對(duì)的性具有傳遞性作用.環(huán)節(jié)(3)是將環(huán)節(jié)(1)與環(huán)節(jié)(2)組合完畢數(shù)學(xué)歸納法中遞推的所有過(guò)程,因此三個(gè)環(huán)節(jié)必不可少.4易錯(cuò)分析剛剛接觸數(shù)學(xué)歸納法時(shí)容易浮現(xiàn)對(duì)環(huán)節(jié)把握不清的現(xiàn)象,下面針對(duì)幾種常用錯(cuò)誤進(jìn)行分析.4.1弄不清屆時(shí)的式子變化例1:用數(shù)學(xué)歸納法證明:,從“”到“”左端需增乘的代數(shù)式為:A.B.C.D.錯(cuò)誤解法:時(shí),式子左端,時(shí),式子左端為故選B.分析:時(shí),左端第一種因式也有所變化,不能簡(jiǎn)樸地看背面的因式.對(duì)的解法:當(dāng)時(shí),左端為為從到持續(xù)整數(shù)的乘積.4.2運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)忽視了時(shí)的假設(shè)條件.例2:用數(shù)學(xué)歸納法證明:時(shí),錯(cuò)解:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=,右邊=,等式成立.(2)假設(shè),時(shí),等式成立.即則當(dāng)時(shí),===.因此時(shí),等式成立綜上所述當(dāng)時(shí),成立分析:在證明等式成立時(shí),沒(méi)有用到歸納假設(shè)正解:(1)當(dāng)時(shí),左邊===右邊,等式成立.(2)假設(shè),時(shí),等式成立,====.因此時(shí),等式也成立.綜上所述,對(duì)一切,都成立.?dāng)?shù)學(xué)歸納法要運(yùn)用“歸納假設(shè)”,沒(méi)有“歸納假設(shè)”的證明不是數(shù)學(xué)歸納法.5運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的典型例題例3:用數(shù)學(xué)歸納法證明:=,分析:本題第一步的驗(yàn)證要取,在第二步的證明中應(yīng)在歸納假設(shè)的基本上對(duì)的地使用正切的和角公式.證明:(1)當(dāng)時(shí),右邊=====左邊則等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)時(shí),等式成立,即=.==.點(diǎn)評(píng):本題在第(2)步的證明過(guò)程中使用了正切和差角的變形形式,即1=.因此在用數(shù)學(xué)歸納法證明三角命題時(shí),應(yīng)針對(duì)時(shí)命題的特性,合理地選擇和使用三角公式.證明三角恒等式時(shí),常動(dòng)用有關(guān)三角知識(shí)、三角公式及三角的變換法.例4:求證:證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),等式左邊=,右邊=,等式成立.(2)假設(shè)時(shí)等式成立,即由(1)和(2)可知等式均成立.6中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)歸納法的用途在討論波及正數(shù)無(wú)限性的問(wèn)題時(shí)數(shù)學(xué)歸納法是一種及其重要的措施,在中學(xué)數(shù)學(xué)中它的作用和地位可以用三個(gè)方面來(lái)體現(xiàn):(1)中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多重要結(jié)論,如等比數(shù)列的的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和公式、等差數(shù)列與,二項(xiàng)公式定理等等都可以用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.而完全歸納法得到的某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題,也常應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明它們的對(duì)的性.(2)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可以證明許多數(shù)學(xué)問(wèn)題.既可以開(kāi)闊眼界,又可以受到推理論證的訓(xùn)練.對(duì)于某些用常規(guī)的分析終合法不好證明的題,用數(shù)學(xué)歸納法往往會(huì)得到某些意想不到的好成果.(3)在進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)數(shù)學(xué)歸納法會(huì)常常用到,因此掌握這種措施可覺(jué)得此后的高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下一種良好的基本.7數(shù)學(xué)歸納法在幾何方面的應(yīng)用7.1數(shù)學(xué)歸納法在幾何中的意義歸納法是由特殊得出一般結(jié)論的歸納推理措施,一般性結(jié)論的對(duì)的性是依托個(gè)別結(jié)論的對(duì)的性.因此數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)是證明命題對(duì)于一切自然數(shù)都是真命題.它在本質(zhì)是與數(shù)的概念聯(lián)系在一起的,因此數(shù)學(xué)歸納法可以應(yīng)用到數(shù)學(xué)的各個(gè)分支,在幾何中也不例外.?dāng)?shù)學(xué)歸納法是用于證明與自然數(shù)n有關(guān)命題的對(duì)的性措施.它的操作環(huán)節(jié)簡(jiǎn)樸、明確,證明過(guò)程一般可分如下兩個(gè)環(huán)節(jié):1.對(duì)于命題故意義的最小值,直接驗(yàn)證命題是對(duì)的的.2.證明如果命題對(duì)任一自然數(shù)成立,那么論斷必然成立.7.2數(shù)學(xué)歸納法在幾何中的應(yīng)用7.2.1應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法作計(jì)算例5:平面上有圓心在同始終線(xiàn)上的半圓,其中任意兩個(gè)都相交,且都在直線(xiàn)的同側(cè),問(wèn)這些半圓被所有的交點(diǎn)最多提成多少段圓弧?解:設(shè)半圓的交點(diǎn)最多將半圓提成若干段圓弧,如下圖所示.圖1圖2圖3容易發(fā)現(xiàn)由此可以猜想n個(gè)半圓互相提成圓弧段最多有證明:由題意知(1)當(dāng)n=2時(shí),結(jié)論成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,(平面內(nèi)滿(mǎn)足條件的k個(gè)半圓互相提成的圓弧最多有.)那么當(dāng)n=k+1時(shí),第k+1個(gè)半圓與原k個(gè)半圓均相交,可獲得最多圓弧段,任意三個(gè)半圓不能交于一點(diǎn),因此第k+1個(gè)半圓把原k個(gè)半圓中每個(gè)半圓的某一段圓弧都一分為二,這樣就多余了k條圓弧;而原k個(gè)半圓又把第k+1個(gè)半圓提成了k+1段圓弧,這樣又多余了k+1條圓弧.故.這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.根據(jù)(1)和(2)可知,滿(mǎn)足條件的n個(gè)半圓被所有交點(diǎn)最多提成段圓?。?結(jié)論數(shù)學(xué)歸納法重要針對(duì)某些與自然N的有關(guān)命題,因此在證明和自然數(shù)N有關(guān)的恒等式子中有著不可替代的作用,用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),要注意它的兩個(gè)環(huán)節(jié)必不可少,第一步命題遞推的基本,第二步是命題遞推的根據(jù),也是證明的核心和難點(diǎn),同步,數(shù)學(xué)歸納法的證題環(huán)節(jié)和格式是數(shù)學(xué)歸納法的特性,如n=k時(shí)的假設(shè)是第二步證明n=k+1的“已知”,證明時(shí)一定要用到它,否則就不是數(shù)學(xué)歸納法,在證明時(shí)命題成立,要用到某些技巧,如:一湊假設(shè),二湊結(jié)論,不等式的放縮、等價(jià)轉(zhuǎn)化、拆項(xiàng)、加減項(xiàng)等,但這些解題技巧需在實(shí)踐中不斷積累和總結(jié),證明三角恒等式時(shí)常用到有關(guān)三角公式、三角知識(shí)以及三角的轉(zhuǎn)換等.通過(guò)這些變換可更簡(jiǎn)樸便捷的讓命題得證.總的來(lái)說(shuō)記住三句話(huà):“遞推基本不可少,歸納假設(shè)要用到,寫(xiě)結(jié)論時(shí)莫忘掉”,我們這樣才可以較好的運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法.數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)證題措施,更是中學(xué)數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)知識(shí)之一,它在開(kāi)闊眼界,訓(xùn)練推理能力等諸多方面有著很大的協(xié)助.在中學(xué)數(shù)學(xué)中,數(shù)學(xué)歸納法對(duì)于許多重要的結(jié)論,如等比數(shù)列的的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式、二項(xiàng)公式定理以及差數(shù)列等,都可以用數(shù)學(xué)歸納法加以證明,這樣既可以加深對(duì)教材的熟悉又可以加深知識(shí)的理解.固然不僅在中學(xué)數(shù)學(xué)中,在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過(guò)程中,數(shù)學(xué)歸納法也是一種不可缺少的措施。同步借助數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行幾何教學(xué),便于學(xué)生一步步理解命題的內(nèi)涵,進(jìn)而容易找到n與n+1的關(guān)系,這樣可以精確地解決問(wèn)題。數(shù)學(xué)歸納法在幾

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