沖刺階段(查缺補(bǔ)漏)試題

.z.2016屆高考備考沖刺階段（查缺補(bǔ)漏）試題數(shù)學(xué)（理科）1.*中學(xué)在高二年級(jí)開設(shè)大學(xué)先修課程《線性代數(shù)》，共有50名同學(xué)選修，其中男同學(xué)30名，女同學(xué)20名.為了對(duì)這門課程的教學(xué)效果進(jìn)行評(píng)估，學(xué)校按性別采用分層抽樣的方法抽取5人進(jìn)行考核.（1）求抽取的5人中男、女同學(xué)的人數(shù)；（2）考核的第一輪是答辯，順序由已抽取的甲、乙等5位同學(xué)按抽簽方式?jīng)Q定.設(shè)甲、乙兩位同學(xué)間隔的人數(shù)為，的分布列為3210求數(shù)學(xué)期望；（3）考核的第二輪是筆試：5位同學(xué)的筆試成績(jī)分別為115，122，105，111，109；結(jié)合第一輪的答辯情況，他們的考核成績(jī)分別為125，132，115，121，119.這5位同學(xué)筆試成績(jī)與考核成績(jī)的方差分別記為，，試比較與的大小.解：（1）抽取的5人中男同學(xué)的人數(shù)為，女同學(xué)的人數(shù)為.（2）由題意可得：.因?yàn)椋?所以.（3）.2().*中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、下周二兩天內(nèi)采摘完畢，基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘．由于下雨會(huì)影響藥材品質(zhì)，基地收益如下表所示：周一無雨無雨有雨有雨周二無雨有雨無雨有雨收益20萬元15萬元10萬元萬元若基地額外聘請(qǐng)工人，可在周一當(dāng)天完成全部采摘任務(wù)．無雨時(shí)收益為20萬元；有雨時(shí)，收益為10萬元．額外聘請(qǐng)工人的成本為萬元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，兩天是否下雨互不影響，基地收益為20萬元的概率為．（1）若不額外聘請(qǐng)工人，寫出基地收益的分布列及基地的預(yù)期收益；（2）該基地是否應(yīng)該外聘工人，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）設(shè)下周一有雨的概率為，由題意，，基地收益的可能取值為，則，，，∴基地收益的分布列為：201510，∴基地的預(yù)期收益為萬元．（2）設(shè)基地額外聘請(qǐng)工人時(shí)的收益為萬元，則其預(yù)期收益（萬元），，綜上，當(dāng)額外聘請(qǐng)工人的成本高于萬元時(shí)，不外聘工人；成本低于萬元時(shí)，外聘工人；成本恰為萬元時(shí)，是否外聘工人均可以．3.高三年級(jí)有500名學(xué)生，為了了解數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)情況，現(xiàn)從中隨機(jī)抽出若干名學(xué)生在一次測(cè)試中的數(shù)學(xué)成績(jī)，制成如下頻率分布表：分組頻數(shù)頻率[85,95)①②[95,105)0.050[105,115)0.200[115,125)120.300[125,135)0.275[135,145)4③[145,155)0.050合計(jì)④根據(jù)上面圖表，①②③④處的數(shù)值分別為①________，②________，③________，④________；(2)在所給的坐標(biāo)系中畫出[85,155]的頻率分布直方圖；(3)根據(jù)題中信息估計(jì)總體平均數(shù)，并估計(jì)總體落在[129,155]中的頻率．解析(1)隨機(jī)抽出的人數(shù)為eq\f(12,0.300)＝40，由統(tǒng)計(jì)知識(shí)知④處應(yīng)填1；③處應(yīng)填eq\f(4,40)＝0.1；②處應(yīng)填1－0.050－0.1－0.275－0.300－0.200－0.050＝0.025；①處應(yīng)填0.025×40＝1.(2)頻率分布直方圖如圖．(3)利用組中值算得平均數(shù)：90×0.025＋100×0.05＋110×0.2＋120×0.3＋130×0.275＋140×0.1＋150×0.05＝122.5；總體落在[129,155]上的頻率為eq\f(6,10)×0.275＋0.1＋0.05＝0.315.4.*中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系，對(duì)該校200名高三學(xué)生的課外體育鍛煉平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，如下表：（平均每天鍛煉的時(shí)間單位：分鐘）平均每天鍛煉的時(shí)間（分鐘）總?cè)藬?shù)203644504010將學(xué)生日均課外課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間在上的學(xué)生評(píng)價(jià)為"課外體育達(dá)標(biāo)”．（Ⅰ）請(qǐng)根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并通過計(jì)算判斷是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為"課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)？課外體育不達(dá)標(biāo)課外體育達(dá)標(biāo)合計(jì)男女20110合計(jì)（Ⅱ）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該校高三學(xué)生中，抽取3名學(xué)生，記被抽取的3名學(xué)生中的"課外體育達(dá)標(biāo)”學(xué)生人數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的數(shù)學(xué)期望和方差．參考公式：，其中0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828參考數(shù)據(jù)：解答：（Ⅰ）課外體育不達(dá)標(biāo)課外體育達(dá)標(biāo)合計(jì)男603090女9020110合計(jì)15050200………5分所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下不能判斷"課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)．………6分（Ⅱ）由表中數(shù)據(jù)可得，抽到"課外體育達(dá)標(biāo)”學(xué)生的頻率為0.25，將頻率視為概率，………8分．………12分5().*市環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽由甲乙兩支代表隊(duì)進(jìn)行總決賽，每隊(duì)各有3名隊(duì)員，首輪比賽每人一道必答題，答對(duì)則為本隊(duì)得1分，答錯(cuò)或者不答都得0分，已知甲隊(duì)3人答對(duì)的概率分別為，乙隊(duì)每人答對(duì)的概率都是，設(shè)每人回答正確與否相互之間沒有影響，用表示甲隊(duì)總得分。（1）求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)列期望；（2）求在甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4的條件下，甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高的概率。解：（1）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以分布列為：SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0………4分?jǐn)?shù)學(xué)期望E（ξ）=0×+1×+2×+3×=．……………6分（2）設(shè)"甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4”為事件A，"甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高”為事件B，則SKIPIF1<0……8分SKIPIF1<0…………10分SKIPIF1<0…………12分6().已知四棱錐,底面是直角梯形，∥,,，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，．（Ⅰ）求證：平面；E（Ⅱ）若點(diǎn)為中點(diǎn),求二面角的余弦值．E解答：（Ⅰ）是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,底面是直角梯形，又又………6分（Ⅱ）以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，過且與平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面的法向量為，則取………8分為中點(diǎn)，則，設(shè)平面的法向量為，則取………10分由．二面角的余弦值為．………12分7.如圖，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB=AE=2。（1）求證：BD⊥平面ACFE；（2）當(dāng)直線FO與平面BED所成角的大小為45°時(shí)，求CF的長(zhǎng)度。（Ⅰ）證明：四邊形是菱形，.平面,平面.,平面.…….4分（Ⅱ）解：如圖以為原點(diǎn)，為軸正向，軸過且平行于，建立空間直角坐標(biāo)系.則，.………6分設(shè)平面的法向量為，則有，即令，.…………8分由題意解得或.由，得.…….12分8.如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PA⊥底面ABCD，∠PCD=90°，PA=AB=AC．（1）求證：AC⊥CD；（2）點(diǎn)E在棱PC上，滿足∠DAE=60°，求二面角B﹣AE﹣D的余弦值．解答：（1）證明：因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，因?yàn)椤螾CD=90°，所以PC⊥CD，所以CD⊥平面PAC，所以CD⊥AC；（2）解：∵底面ABCD是平行四邊形，CD⊥AC，∴AB⊥AC．又PA⊥底面ABCD，∴AB，AC，AP兩兩垂直．如圖所示，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以為*軸正方向、以||為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系．則B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（﹣1，1，0）．設(shè)=λ=λ（0，1，﹣1），則=+=（0，λ，1﹣λ），又∠DAE=60°，則cos＜，＞=，即=，解得λ=．則=（0，，），=﹣=（﹣1，，﹣），所以cos＜，＞==﹣．因?yàn)?=0，所以⊥．又⊥，故二面角B﹣AE﹣D的余弦值為﹣．9().如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，底面△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，過作平面SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0，交AB于D點(diǎn)，（1）求證：（2）若四邊形SKIPIF1<0是正方形，且SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值。（1)證：連結(jié)AC1，設(shè)AC1與A1C相交于點(diǎn)E，連接DE，則E為AC1中點(diǎn)，2分∵BC1∥平面A1CD，∴DE∥BC1，4分∴D為AB的中點(diǎn)，又∵，∴6分(2)SKIPIF1<07分又∥SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<08分設(shè)BC的中點(diǎn)為O，SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，以O(shè)為原點(diǎn)，SKIPIF1<0所在的直線為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0所在的直線為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0所在的直線為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0.9分則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<010分平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以直線A1D與平面CBB1C1所成角的正弦值為SKIPIF1<012分10.如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)。（1）證明：AG⊥平面ABCD。（2）若直線BF與平面ACE所成角的正弦值為，求AG的長(zhǎng)。（3）判斷線段AC上是否存在一點(diǎn)M，使MG∥平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，說明理由。11().已知直線為參數(shù)),曲線（為參數(shù)）.(I)設(shè)與相交于兩點(diǎn),求；(II)若把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來的倍,縱坐標(biāo)壓縮為原來的倍,得到曲線,設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線的距離的最小值.解：（I）的普通方程為的普通方程為聯(lián)立方程組解得與的交點(diǎn)為,,則.……5分（II）的參數(shù)方程為為參數(shù)).故點(diǎn)的坐標(biāo)是,從而點(diǎn)到直線的距離是,由此當(dāng)時(shí),取得最小值,且最小值為.…………10分12().在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），且曲線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線是圓心在極軸上且經(jīng)過極點(diǎn)的圓，射線與曲線交于點(diǎn)．（Ⅰ）求曲線的普通方程，的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若是曲線上的兩點(diǎn)，求的值．（Ⅰ）將及對(duì)應(yīng)的參數(shù)代入為參數(shù)），得，所以，所以曲線的普通方程為；……4分設(shè)圓的半徑為，則圓的方程為，將點(diǎn)代入得，所以圓的極坐標(biāo)方程為 ……6分（Ⅱ）曲線的極坐標(biāo)方程為，將代入得，，所以……10分13.在直角坐標(biāo)系*OySKIPIF1<0中，直線的參數(shù)方程為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為參數(shù)），若以原點(diǎn)SKIPIF1<0為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓SKIPIF1<0的極坐標(biāo)方程為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上任一點(diǎn)，連結(jié)SKIPIF1<0并延長(zhǎng)到SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0.(Ⅰ)求點(diǎn)軌跡的直角坐標(biāo)方程；(Ⅱ)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0解：（Ⅰ）圓SKIPIF1<0的直角坐標(biāo)方程為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0這就是所求的直角坐標(biāo)方程………5分（Ⅱ）把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，即代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0………………10分14().已知參數(shù)方程為（為參數(shù)）的直線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，且交軸正半軸于點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)、（點(diǎn)位于點(diǎn)上方）．（I）求點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)（用表示）；（II）若，求直線的傾斜角的值．解：（Ⅰ）在橢圓中，∵，，∴，即，2分故，在直線的參數(shù)方程中，令，解得；4分（Ⅱ）解法1：把代入橢圓方程，并整理得：，6分設(shè)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)的參數(shù)為、，由結(jié)合參數(shù)的幾何意義得：，即，8分解得，依題意知，∴．10分【解法2：設(shè)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，將直線的普通方程代入橢圓方程并整理得：，6分則，7分∵8分∴,解得，依題意知，得.10分】15.在直角坐標(biāo)系*Oy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，*軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．半圓C(圓心為點(diǎn)C)的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，θ∈(，)．(I)求半圓C的參數(shù)方程：(II)直線l與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A，B，其中A(O，-2)，點(diǎn)D在半圓C上，且直線CD的傾斜角是直線l傾斜角的2倍，若△ABD的面積為4，求點(diǎn)D的直角坐標(biāo)．解：（Ⅰ）半圓C的直角坐標(biāo)方程為*2＋(y－1)2＝1（y＞1），它的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\al(*＝cosφ，,y＝1＋sinφ，))φ是參數(shù)且φ∈(0，π)．…4分（Ⅱ）設(shè)直線l的傾斜角為α，則直線l的方程為y＝*tanα－2，D(cos2α，1＋sin2α)，2α∈(0，π)．|AB|＝eq\f(2,sinα)，點(diǎn)D到直線l的距離為|sinαcos2α－cosαsin2α－3cosα|＝|3cosα－sinαcos2α＋cosαsin2α|＝3cosα＋sinα，由△ABD的面積為4得tanα＝1，即α＝eq\f(π,4)，故點(diǎn)D為(0，2)．…10分16().動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比為.(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）已知定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)在直線上，作直線與軌跡的另一個(gè)交點(diǎn)為,作