一元一次方程經(jīng)典例題講解

一元一次方程知識點梳理1．一元一次方程的有關(guān)概念（1）一元一次方程：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1，系數(shù)不等于0，這樣的方程叫做一元一次方程.2．等式的基本性質(zhì)（1）等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或整式，所得的結(jié)果仍是等式。用字母表示若a=b，則a+m=b+m,a-m=b-m等式的兩邊都乘以同一個數(shù)或都除以同一個數(shù)（除數(shù)不為0），所得的結(jié)果仍是等式.用字母表示：若a=b,則am=bm,=(n不為0)3．解一元一次方程的基本步驟：變形步驟具體方法變形根據(jù)注意事項去分母方程兩邊都乘以各個分母的最小公倍數(shù)等式性質(zhì)21．不能漏乘不含分母的項；2．分數(shù)線起到括號作用，去掉分母后，如果分子是多項式，則要加括號去括號先去小括號，再去中括號，最后去大括號乘法分配律、去括號法則1．分配律應(yīng)滿足分配到每一項2．注意符號，特別是去掉括號移項把含有未知數(shù)的項移到方程的一邊，不含有未知數(shù)的項移到另一邊等式性質(zhì)11．移項要變號；2．一般把含有未知數(shù)的項移到方程左邊，其余項移到右邊合并同類項把方程中的同類項分別合并，化成“”的形式（）合并同類項法則合并同類項時，把同類項的系數(shù)相加，字母與字母的指數(shù)不變未知數(shù)的系數(shù)化成“1”方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得等式性質(zhì)2分子、分母不能顛倒例1、解方程（1）y-例2、由兩個方程的解相同求方程中子母的值 已知方程的解與方程的解相同，求m的值.例3、解方程知識與絕對值知識綜合題型解方程：一元一次方程應(yīng)用題（找出等量關(guān)系）一、列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟（1）審題：弄清題意．（2）找出等量關(guān)系：找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系．（3）設(shè)出未知數(shù)，列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母的式子，然后利用已找出的等量關(guān)系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值．（5）檢驗，寫答案：檢驗所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，是否符合實際，檢驗后寫出答案．1、數(shù)字問題要搞清楚數(shù)的表示方法：一個三位數(shù)的百位數(shù)字為a，十位數(shù)字是b，個位數(shù)字為c（其中a、b、c均為整數(shù)，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）則這個三位數(shù)表示為：100a+10b+c。例1、若三個連續(xù)的偶數(shù)和為18，求這三個數(shù)。例2、一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)是十位上的數(shù)的2倍，如果把十位與個位上的數(shù)對調(diào)，那么所得的兩位數(shù)比原兩位數(shù)大36，求原來的兩位數(shù)等量關(guān)系：原兩位數(shù)+36=對調(diào)后新兩位數(shù)例3、有一個三位數(shù)，個位數(shù)字為百位數(shù)字的2倍，十位數(shù)字比百位數(shù)字大1，若將此數(shù)個位與百位順序?qū)φ{(diào)（個位變百位）所得的新數(shù)比原數(shù)的2倍少49，求原數(shù)。分析：然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程．2、日歷中的規(guī)律：橫行相鄰兩數(shù)相差____豎行相鄰兩數(shù)相差___。例1、如果今天是星期三，那么一年（365天）以后的今天是星期___________例2、在日歷表中，用一個正方形任意圈出2x2個數(shù)，則它們的和一定能被___________整除。A3B4C5D6例3、如果某一年的5月份中，有5個星期五，且它們的日期之和為80，那么這個月的4號是星期幾？3、等積變形問題常用等量關(guān)系為：①形狀面積變了，周長沒變；②原料體積＝成品體積。例1、用直徑為4cm的圓鋼，鍛造一個重0.62kg的零件毛坯，如果這種鋼每立方厘米重7.8g，應(yīng)截圓鋼多長？

例2.用直徑為90mm的圓柱形玻璃杯（已裝滿水）向一個由底面積為內(nèi)高為81mm的長方體鐵盒倒水時，玻璃杯中的水的高度下降多少mm？（結(jié)果保留整數(shù)）4、和、差、倍、分問題：倍數(shù)關(guān)系：通過關(guān)鍵詞語“是幾倍，增加幾倍，增加到幾倍，增加百分之幾，增長率……”來體現(xiàn)。多少關(guān)系：通過關(guān)鍵詞語“多、少、和、差、不足、剩余……”來體現(xiàn)。（1）勞力調(diào)配問題：這類問題要搞清人數(shù)的變化.例1.某廠一車間有64人，二車間有56人?，F(xiàn)因工作需要，要求第一車間人數(shù)是第二車間人數(shù)的一半。問需從第一車間調(diào)多少人到第二車間？例2．甲、乙兩車間各有工人若干，如果從乙車間調(diào)100人到甲車間，那么甲車間的人數(shù)是乙車間剩余人數(shù)的6倍；如果從甲車間調(diào)100人到乙車間，這時兩車間的人數(shù)相等，求原來甲乙車間的人數(shù)。（2）配套問題：例1、某車間有28名工人生產(chǎn)螺栓和螺母，每人每小時平均能生產(chǎn)螺栓12個或螺母18個，應(yīng)如何分配生產(chǎn)螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一個螺栓配兩個螺母）例2.機械廠加工車間有85名工人，平均每人每天加工大齒輪16個或小齒輪10個，已知2個大齒輪與3個小齒輪配成一套，問需分別安排多少名工人加工大、小齒輪，才能使每天加工的大小齒輪剛好配套？分析：列表法。

每人每天人數(shù)數(shù)量大齒輪16個x人16x小齒輪10個人等量關(guān)系：小齒輪數(shù)量的2倍＝大齒輪數(shù)量的3倍解：設(shè)分別安排x名、名工人加工大、小齒輪（3）分配問題：例1.學(xué)校分配學(xué)生住宿，如果每室住8人，還少12個床位，如果每室住9人，則空出兩個房間。求房間的個數(shù)和學(xué)生的人數(shù)。例2.三個正整數(shù)的比為1：2：4，它們的和是84，那么這三個數(shù)中最大的數(shù)是幾？（比例分配問題常用等量關(guān)系：各部分之和＝總量。）（4）年齡問題：例1、甲比乙大15歲，5年前甲的年齡是乙的年齡的兩倍，乙現(xiàn)在的年齡是多少歲？例2、小華的爸爸現(xiàn)在的年齡比小華大25歲，8年后小華爸爸的年齡是小華的3倍多5歲，求小華現(xiàn)在的年齡。5、工程問題工程問題中的三個量及其關(guān)系為：工作總量=工作效率×工作時間經(jīng)常在題目中未給出工作總量時，設(shè)工作總量為單位1。

例1.一件工程，甲獨做需15天完成，乙獨做需12天完成，現(xiàn)先由甲、乙合作3天后，甲有其他任務(wù)，剩下工程由乙單獨完成，問乙還要幾天才能完成全部工程？分析設(shè)工程總量為單位1，等量關(guān)系為：甲完成工作量+乙完成工作量=工作總量。解：設(shè)乙還需x天完成全部工程，設(shè)工作總量為單位1，由題意得，(EQ\f(1,15)+EQ\f(1,12))×3+EQ\f(x,12)=1，例2、在西部大開發(fā)中，基礎(chǔ)建設(shè)優(yōu)先發(fā)展，甲、乙兩隊共同承包了一段長6500米的高速公路工程，兩隊分別從兩端施工相向前進，甲隊平均每天可完成480米，乙隊平均每天比甲隊多完成220米，乙隊比甲隊晚一天開工，乙隊開工幾天后兩隊完成全部任務(wù)？打折銷售問題（1）銷售問題中常出現(xiàn)的量有：進價、售價、標價、利潤等（2）基本關(guān)系式：①利潤＝售價—進價；②售價=標價×折數(shù)；③利潤率＝利潤/進價。由①②可得出④利潤＝標價×折數(shù)－進價。由③④可得出⑤利潤率＝。例1、一件衣服標價是200元，現(xiàn)打7折銷售。問：買這件衣服需要多少錢？若已知這件衣服的成本（進價）是115元，那么商家賣出這件衣賺了多少錢？利潤是多少？例2、某商場售貨員同時賣出兩件上衣，每件都以135元售出，若按成本計算，其中一件贏利25%，另一件虧損25%，問這次售貨員是賠了還是賺了？行程問題。（行程問題可以采用畫示意圖的輔助手段來幫助理解題意，并注意兩者運動時出發(fā)的時間和地點）要掌握行程中的基本關(guān)系：路程＝速度×?xí)r間。相遇問題（相向而行），這類問題的相等關(guān)系是：甲走的路程+乙走的路程=全路程追及問題（同向而行），這類問題的等量關(guān)系是：同時不同地：甲的時間=乙的時間甲走的路程-乙走的路程=原來甲、乙相距的路程同地不同時；甲的時間=乙的時間-時間差甲的路程=乙的路程解此類題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關(guān)系或所走的路程關(guān)系，一般情況下問題就能迎刃而解。并且還常常借助畫草圖來分析，理解行程問題。

例7.甲、乙兩站相距480公里，一列慢車從甲站開出，每小時行90公里，一列快車從乙站開出，每小時行140公里。（1）慢車先開出1小時，快車再開。兩車相向而行。問快車開出多少小時后兩車相遇？（2）兩車同時開出，相背而行多少小時后兩車相距600公里？（3）兩車同時開出，慢車在快車后面同向而行，多少小時后快車與慢車相距600公里？（4）兩車同時開出同向而行，快車在慢車的后面，多少小時后快車追上慢車？（5）慢車開出1小時后兩車同向而行，快車在慢車后面，快車開出后多少小時追上慢車？此題關(guān)鍵是要理解清楚相向、相背、同向等的含義，弄清行駛過程。故可結(jié)合圖形分析。（1）分析：相遇問題，畫圖表示為：等量關(guān)系是：慢車走的路程+快車走的路程=480公里。解：設(shè)快車開出x小時后兩車相遇，由題意得，140x+90(x+1)=480解這個方程，230x=390∴x=1EQ\f(16,23) 分析：相背而行，畫圖表示為：等量關(guān)系是：兩車所走的路程和+480公里=600公里。由題意得，(140+90)x+480=600解這個方程，230x=120∴x=EQ\f(12,23)（3）分析：等量關(guān)系為：快車所走路程－慢車所走路程+480公里=600公里。解：設(shè)x小時后兩車相距600公里，由題意得，(140－90)x+480=600∴x=2.4

分析：追及問題，畫圖表示為：等量關(guān)系為：快車的路程=慢車走的路程+480公里。解：設(shè)x小時后快車追上慢車。由題意得，140x=90x+480∴x=9.6

分析：追及問題，等量關(guān)系為：快車的路程=慢車走的路程+480公里。解：設(shè)快車開出x小時后追上慢車。由題意得，140x=90(x+1)+480解得，x=11.4環(huán)形跑道上的相遇和追及問題：同地反向而行的等量關(guān)系是兩人走的路程和=一圈的路程；同地同向而行的等量關(guān)系是兩人所走的路程差=一圈的路程。（3）航行問題：順水（風(fēng)）速度＝靜水（風(fēng)）速度＋水流（風(fēng)）速度逆水（風(fēng)）速度＝靜水（風(fēng)）速度－水流（風(fēng)）速度例：一艘船在兩個碼頭之間航行，水流速度是3千米每小時，順水航行需要2小時，逆水航行需要3小時，求兩碼頭的之間的距離？抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜不速）不變的特點考慮相等關(guān)系． 1、A、B兩地相距150千米。一輛汽車以每小時50千米的速度從A地出發(fā)，另一輛汽車以每小時40千米的速度從B地出發(fā)，兩車同時出發(fā)，相向而行，問經(jīng)過幾小時，兩車相距30千米？2、甲、乙兩人練習(xí)100米賽跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲讓乙先跑1秒，那么甲經(jīng)過幾秒可以追上乙？3、一架飛機飛行在兩個城市之間，順風(fēng)要2小時45分，逆風(fēng)要3小時，已知風(fēng)速是20千米／小時，則兩城市間的距離為多少？4、一列火車以每分鐘1千米的速度通過一座長400米的橋，用了半分鐘，則火車本身的長度為多少米？5、火車用26秒的時間通過一個長256米的隧道（即從車頭進入入口到車尾離開出口），這列火車又以16秒的時間通過了長96米的隧道，求列車的長度。8．市場經(jīng)濟問題（1）商品利潤＝商品售價－商品成本價（2）商品利潤率＝×100%（3）商品銷售額＝商品銷售價×商品銷售量（4）商品的銷售利潤＝（銷售價－成本價）×銷售量（5）商品打幾折出售，就是按原標價的百分之幾十出售，如商品打8折出售，即按原標價的80%出售．銀行儲蓄問題。注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率＝月利率×12＝日利率×365。本息和＝本金＋_____＝本金＋_____×_____×_____＝（1＋_____×_____）×本金（不考慮利息稅）本息和＝本金＋_____＝本金＋_____×_____×_____×（1－_____）（考慮利息稅）1、張先生于1998年7月8日買入1998年中國工商銀行發(fā)行的5年期國庫券20000元，若在2003年7月8日可獲得利息數(shù)為2790元，則這種國庫券的年利率是多少？2、小明的爸爸前年存了年利率為2.25％的二年期定期儲蓄，今年到期后，扣除利息稅，所得利息正好為小明買以一只價值576元的CD機，問小明爸爸前年存了多少錢？3、教育儲蓄年利率為1.98％，免征利息稅，某企業(yè)發(fā)行的債券月利率為2.15‰，但要征收20％的利息稅，為獲取更大回報，投資者應(yīng)懸著哪一種儲蓄呢？某人存入28000元，一年到期后可以多收益多少元？4、肖青的媽媽前年買了某公司的二年期債券4500元，今年到期，扣除利息稅后，共得本利和約4700元，問這種債券的年利率是多少？（精確到0.01％）5、某人將20000元錢分成兩部分，按兩種不同方式存入銀行，其中10000元按活期方式存一年，另10000元按定期存一年，一年后共取回21044元，又已知定期一年存款約利率為0.63％，求活期存款月利率是多少？利潤＝×100%利息＝本金×利率×期數(shù)

9.儲蓄問題⑴顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和，存入銀行的時間叫做期數(shù)，利息與本金的比叫做利率。利息的20%付利息稅⑵利息=本金×利率×期數(shù)本息和=本金+利息利息稅=利息×稅率（20%）例9.某同學(xué)把250元錢存入銀行，整存整取，存期為半年。半年后共得本息和252.7元，求銀行半年期的年利率是多少？（不計利息稅）分析：等量關(guān)系：本息和=本金×（1+利率）解：設(shè)半年期的實際利率為x，250（1+x）=252.7，x=0.01081．將一批工業(yè)最新動態(tài)信息輸入管理儲存網(wǎng)絡(luò)，甲獨做需6小時，乙獨做需4小時，甲先做30分鐘，然后甲、乙一起做，則甲、乙一起做還需多少小時才能完成工作？2．將一個裝滿水的內(nèi)部長、寬、高分別為300毫米，300毫米和80毫米的長方體鐵盒中的水，倒入一個內(nèi)徑為200毫米的圓柱形水桶中，正好倒?jié)M，求圓柱形水桶的高（精確到0.1毫米，≈3.14）．3．某車間有16名工人，每人每天可加工甲種零件5個或乙種零件4個．在這16名工人中，一部分人加工甲種零件，其余的加工乙種零件．已知每加工一個甲種零件可獲利16元，每加工一個乙種零件可獲利24元．若此車間一共獲利1440元，求這一天有幾個工人加工甲種零件．4．某地區(qū)居民生活用電基本價格為每千瓦時0.40元，若每月用電量超過a千瓦時，則超過部分按基本電價的70%收費．（1）某戶八月份用電84千瓦時，共交電費30.72元，求a．若該用戶九月份的平均電費為0.36元，則九月份共用電多少千瓦？應(yīng)交電費是多少元？1．解：設(shè)甲、乙一起做還需x小時才能完成工作．根據(jù)題意，得×+（+）x=1,解得x=,=2小時12分2．解：設(shè)x年后，兄的年齡是弟的年齡的2倍，則x年后兄的年齡是15+x，弟的年齡是9+x．由題意，得2×（9+x）=15+x,18+2x=15+x，2x-x=15-18∴x=-33．解：設(shè)圓柱形水桶的高為x毫米，依題意，得·（）2x=300×300×80x≈229.34．解：設(shè)第一鐵橋的長為x米，那么第二鐵橋的長為（2x-50）米，過完第一鐵橋所需的時間為分．過完第二鐵橋所需的時間為分．+=得x=100∴2x-50=2×100-50=1505．解：設(shè)這種三色冰淇淋中咖啡色配料為2x克，那么紅色和白色配料分別為3x克和5x克．根據(jù)題意，得2x+3x+5x=50,解得x=5,于是2x=10，3x=15，5x=256．解：設(shè)這一天有x名工人