《高考風向標》年高考數(shù)學一輪復習 第四章 第4講 導數(shù)的實際應用 理

第4講導數(shù)的實際應用利用導數(shù)解決生活、生產(chǎn)優(yōu)化問題，其解題思路是編輯ppt垂直，則a＝()DA．2B.12C．－12D．－2

2．一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比，已知在速度為每小時10公里時的燃料費是每小時6元，而其他與速度無關(guān)的費用是每小時96元，為使行駛每公里的費用總和最小，則此輪船的航行速度為()CA．10公里/小時C．20公里/小時B．15公里/小時 D．25公里/小時編輯ppt編輯ppt，＝0，得x＝8，x3．做一個容積為256升的底面為正方形的長方體無蓋水箱，則它的高為()分米時，材料最省．()DA．1B．2C．3D．4解析：設(shè)長方體無蓋水箱的底面邊長為x分米，高為h分米，則x2h＝256，全面積S＝x2＋4xh＝x2＋1024

x∴S′＝2x－1024

2

∴h＝4，由本題的實際意義可知當高為4分米時，材料最?。?，則a＝_____.2

4．設(shè)曲線y＝eax

在點(0,1)處的切線與直線x＋2y＋1＝0垂編輯ppt

5．設(shè)有一長為8cm，寬為5cm的矩形鐵片．在每個角上剪去同樣大小的正方形，則剪去的正方形的邊長_____時，才能使剩下的鐵片折起來做成無蓋盒子的容積最大．1cm編輯ppt考點1函數(shù)模型中的最優(yōu)化問題

例1：某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預測，一個橋墩的工程費用為256萬元，距離為x米的相鄰兩墩之間橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元． (1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； (2)當m＝640米時，需新建多少個橋墩才能使y最??？編輯ppt編輯ppt當64<x<640時，f′(x)>0，f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù)，所以f(x)在x＝64處取得最小值，故需新建9個橋墩才能使最?。?而運用導數(shù)知識，求復合函數(shù)的最值．編輯pptx3

－【互動探究】

1．統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/小時)的函數(shù)解析式可以表示為：y＝

1128000

380x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙兩地相距100千米． (1)當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？ (2)當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升．編輯ppt編輯ppt

令h′(x)＝0，得x＝80. 當x∈(0,80)時，h′(x)＜0，h(x)是減函數(shù)； 當x∈(80,120)時，h′(x)＞0，h(x)是增函數(shù)． ∴當x＝80時，h(x)取到極小值h(80)＝11.25. 因為h(x)在(0,120]上只有一個極值，所以它是最小值． 答：當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少為11.25升．編輯ppt考點2幾何模型的最優(yōu)化問題

例2：如圖4－4－1某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A、B及CD的中點P處，已知AB＝20km，CB＝10km，Q為AB中點，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上(含邊界)，且A、B與等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO、BO、OP，設(shè)排污管道的總長為ykm.

圖4－4－1 (1)按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式： ①設(shè)∠BAO＝θ(rad)，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式； ②設(shè)OP＝x(km)，將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式．編輯ppt

(2)請你選用(1)中的一個函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短．編輯ppt編輯ppt【互動探究】

2．用長為18m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2∶1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？編輯ppt編輯ppt錯源：復合函數(shù)計算錯誤

例3：在長為100千米的鐵路線AB旁的C處有一個工廠，工廠與鐵路的距離CA為20千米．由鐵路上的B處向工廠提供原料，公路與鐵路每噸千米的貨物運價比為5∶3，為節(jié)約運費，在鐵路的D處修一貨物轉(zhuǎn)運站，設(shè)AD距離為x千米，沿CD直線修一條公路(如圖4－4－2).(1)將每噸貨物運費y(元)表示成x的函數(shù)．(2)當x為何值時運費最?。繄D4－4－2編輯ppt

誤解分析：忽略模型是復合函數(shù)，導致計算錯誤．編輯ppt

糾錯反思：這是一道實際生活中的優(yōu)化問題，建立的目標函數(shù)是一個復合函數(shù)，故在計算導數(shù)過程中要用復合函數(shù)的求導法則．

例4：今有一塊邊長a的正三角形的厚紙，從這塊厚紙的三個角，按如圖4－4－3那樣切下三個全等的四邊形后，做成一個無蓋的盒子，要使這個盒子容積最大，則x＝________.圖4－4－3編輯ppt編輯ppt【互動探究】

3．水以20米3/分的速度流入一圓錐形容器，設(shè)容器深30米，上底直徑12米，試求當水深10米時，水面上升的速度為() 圖4－4－4A編輯ppt編輯ppt導數(shù)的實際應用：(1)利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟：

優(yōu)化問題可歸結(jié)為函數(shù)的最值問題，從而可用導數(shù)來解決． ①分析實際問題中各量之間的關(guān)系，列出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y＝f(x)，即將優(yōu)化問題歸結(jié)為函數(shù)最值問題；②求導數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0；③比較函數(shù)在區(qū)間端點和使f′(x)＝0的點的函數(shù)值大小，最大者為最大值，最小者為最小值； ④檢驗作答，即獲得優(yōu)化問題的答案．(2)利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的注意事項：①在解決實際優(yōu)化問題時，不僅要將問題中涉及的變量關(guān)系用函數(shù)表示，而且應注意確定該函數(shù)的定義域；編輯ppt

②在實際優(yōu)化問題中，會遇到函數(shù)在定義域內(nèi)只有一個點使f′(x)＝0的情形，如果函數(shù)f(x)在這點有極值，則該極值就是所求的最大(小)值；③在求實際問題的最大(小)值時，一定要考慮實際問題的意義，不符合實際意義的解應舍去．

將一張2m×6m的硬鋼板按圖紙的要求進行操作，如圖4－4－5，沿線裁去陰影部分，把剩余部