計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

第四章圖形變換2022/11/2第四章二維圖形的變換

4.1圖形變換基礎(chǔ)4.2二維幾何變換4.3窗口到視區(qū)的變換4.4三維幾何變換重點(diǎn)：掌握二維幾何變換、二維觀察變換、三維幾何變換。

難點(diǎn)：理解常用的平移、比例、旋轉(zhuǎn)變換，特別是復(fù)合變換。2022/11/22什么是圖形變換？這種將幾何圖形按照某種法則或規(guī)律變換成另一種幾何圖形的過程，稱之為圖形幾何變換。2022/11/23

4.1圖形變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（自學(xué)）

矢量：是一有向線段，具有方向和大小兩個(gè)參數(shù)。矢量和2022/11/24矢量的數(shù)乘矢量的點(diǎn)積性質(zhì)2022/11/25矢量的長度單位矢量：長度為1的矢量

矢量的夾角矢量的叉積2022/11/26矩陣階矩陣n階方陣零矩陣：元素全為0的矩陣。行向量與列向量單位矩陣2022/11/27矩陣的加法矩陣的數(shù)乘矩陣的乘法2022/11/28矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的逆：n階矩陣A稱為可逆的，若存在另一個(gè)n階矩陣B，使得AB＝BA＝In。此時(shí)稱B為A的逆矩陣，記為B=A-1。2022/11/29

4.2二維基本變換平移變換2022/11/210旋轉(zhuǎn)變換點(diǎn)P(x,y)的極坐標(biāo)表示繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角度（逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)）2022/11/211放縮變換以坐標(biāo)原點(diǎn)為放縮參照點(diǎn)不僅改變了物體的大小和形狀，也改變了它離原點(diǎn)的距離2022/11/212

齊次坐標(biāo)與二維變換的矩陣表示

問題引入：對圖形P先旋轉(zhuǎn)，再放縮，最后平移，變換如何合并？不易合并？＝》齊次坐標(biāo)2022/11/213為什么需要齊次坐標(biāo)？多個(gè)變換作用于多個(gè)目標(biāo)變換合成變換合成的問題引入齊次坐標(biāo)

變換的表示法統(tǒng)一2022/11/214所謂齊次坐標(biāo),就是將一個(gè)原本是n維的向量用一個(gè)n+1維向量來表示。

例如,向量(x1,x2,…,xn)的齊次坐標(biāo)表示為(Hx1,Hx2,…,Hxn,H),其中H是一個(gè)不為0的實(shí)數(shù)。

由點(diǎn)或向量的齊次坐標(biāo)(Hx1,Hx2,…,Hxn,H)求它的規(guī)范化齊次坐標(biāo),可根據(jù)如下公式求得齊次坐標(biāo)表示不是唯一的，通常當(dāng)h＝1時(shí)，稱為規(guī)格化齊次坐標(biāo)，

在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)里面，我們常用的是規(guī)格化齊次坐標(biāo)。2022/11/215

齊次坐標(biāo)的幾何意義2022/11/216標(biāo)準(zhǔn)齊次坐標(biāo)(x,y,1)二維變換的矩陣表示平移變換2022/11/217旋轉(zhuǎn)變換2022/11/218放縮變換圖形變換具有統(tǒng)一表示形式的優(yōu)點(diǎn)便于變換合成便于硬件實(shí)現(xiàn)2022/11/219

復(fù)合變換及變換的模式問題：如何實(shí)現(xiàn)復(fù)雜變換？2022/11/220變換分解變換合成復(fù)合變換是指對圖形進(jìn)行一次以上的變換，變換的結(jié)果是每次的變換矩陣相乘。任何一組變換都可以表示成一個(gè)復(fù)合變換矩陣，只需要計(jì)算每一個(gè)單獨(dú)變換矩陣，并求解出乘積；從另一個(gè)方面講，任何一個(gè)復(fù)雜的幾何變換都可以看作基本幾何變換的組合形式，也叫復(fù)合變換解決方法：2022/11/221關(guān)于任意參照點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換放法一：變換可分成三個(gè)步驟來實(shí)現(xiàn)：（1）平移物體使基準(zhǔn)點(diǎn)位置被移到坐標(biāo)原點(diǎn)；（2）繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)；（3）平移物體使基準(zhǔn)點(diǎn)回到原始位置。

2022/11/222方法二：首先求變換序列諸變換矩陣的乘積，得到一個(gè)新的變換矩陣，即組合變換矩陣，然后再對點(diǎn)施以組合變換。2022/11/223關(guān)于任意參照點(diǎn)的放縮變換2022/11/224變換的結(jié)果與變換的順序有關(guān)（矩陣乘法不可交換）2022/11/225ExampleRotate2D(45);Translate2D(1,0);House();2022/11/226對稱變換:變換后的圖形是原圖形關(guān)于某一軸線或原點(diǎn)的鏡像。

其它變換2022/11/2272022/11/228(1)關(guān)于x軸對稱2022/11/229(2)關(guān)于y軸對稱2022/11/230(3)關(guān)于原點(diǎn)對稱2022/11/231(4)關(guān)于y=x軸對稱2022/11/232(5)關(guān)于y=-x軸對稱2022/11/233對稱變換的一般形式對稱變換其實(shí)只是a、b、d、e取0、1等特殊值產(chǎn)生的一些特殊效果。例如：當(dāng)b=d=0，a=-1，e=1時(shí)有x′=-x，y′=y，產(chǎn)生與y軸對稱的圖形。當(dāng)b=d=0，a=-1，e=-1時(shí)有x′=x，y′=-y，產(chǎn)生與x軸對稱的圖形。當(dāng)b=d=0，a=e=-1時(shí)有x′=-x，y′=-y，產(chǎn)生與原點(diǎn)對稱的圖形。當(dāng)b=d=1，a=e=0時(shí)有x′=y，y′=x，產(chǎn)生與直線y=x對稱的圖形。當(dāng)b=d=-1，a=e=0時(shí)有x′=-y，y′=-x，產(chǎn)生與直線y=-x對稱的圖形。2022/11/234

2D圖形的錯(cuò)切變換示意圖(a)錯(cuò)切角；(b)沿x方向錯(cuò)切；(c)沿y方向錯(cuò)切

錯(cuò)切變換也稱為剪切、錯(cuò)位變換，用于產(chǎn)生彈性物體的變形處理。2022/11/235（1）y軸為依賴軸（沿x方向）：

*y=0為參考軸變換矩陣：2022/11/236*為參考軸

變換矩陣：2022/11/237*x=0為參考軸變換矩陣：2022/11/238仿射變換

變換的坐標(biāo)x‘和y’都是原始坐標(biāo)x和y的線性函數(shù)。仿射變換具有平行線轉(zhuǎn)換成平行線和有限點(diǎn)映射到有限點(diǎn)的一般特性。平移、比例、旋轉(zhuǎn)、對稱和錯(cuò)切變換是二維仿射變換的特例，任何常用的二維仿射變換總可表示為這五種變換的組合。2022/11/239練習(xí)1、一個(gè)由頂點(diǎn)（10，20），（20，20）和（15，30）所定義的三角形，讓它相對于點(diǎn)Q（5，25）正向旋轉(zhuǎn)30°，求其變換后的三角形。2022/11/2402022/11/241

2、推導(dǎo)以直線ax+by+c=0為對稱軸的二維對稱變換矩陣。

2022/11/242解：令變換矩陣為T，則。分下面2種情況加以討論：（1）b=0

這時(shí)應(yīng)有a≠0（否則不合題意）,直線方程變?yōu)閍x+c=0，即x=-c/a，直線為平行于y軸的直線，變換過程可由下列步驟完成：

a)沿x軸，平移直線使之與y軸重合，平移量為c/a，變換矩陣為：

b)做關(guān)于y軸的對稱變換，變換矩陣為：

c)沿x軸，平移直線，平移量為-c/a，變換矩陣為：

這樣，整個(gè)過程的變換矩陣為：T＝P3P2P1。

2022/11/243（2）b!=0這時(shí)直線變?yōu)閥=(-a/b)x+(-c/b)，即直線的斜率為-a/b，直線的截距為-c/b，整個(gè)變換過程可分以下幾個(gè)步驟完成：a)沿y軸，平移直線使之通過原點(diǎn)，平移量為c/b，變換矩陣為：b)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)-θ（θ=arctg(-a/b)），使直線與x軸重合，變換矩陣為：

c)做關(guān)于x軸的對稱變換，變換矩陣為：d)繞原點(diǎn)回旋θ，變換矩陣為：e)沿y軸，平移直線，平移量為-c/b，變換矩陣為：

這樣，整個(gè)過程的變換矩陣為：

2022/11/2444.3窗口到視區(qū)變換基本概念坐標(biāo)系：建立了圖形與數(shù)之間的對應(yīng)聯(lián)系世界坐標(biāo)系(worldcoordinate)：用戶需要在圖形對象所在的空間定義一個(gè)坐標(biāo)系。用戶坐標(biāo)系(usercoordinate)：用戶按照自已習(xí)慣建立世界坐標(biāo)系，所以世界坐標(biāo)系有時(shí)也稱為用戶坐標(biāo)系。局部坐標(biāo)系(localcoordinate)：簡化圖形對象的描述，相對于圖形定義．屏幕坐標(biāo)系(screencoordinate)：屏幕上或繪圖紙上定義一個(gè)二維直角坐標(biāo)系，也稱設(shè)備坐標(biāo)系(devicecoordinate)。2022/11/245基本概念窗口（Window）

在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，將在用戶坐標(biāo)系(usercoordinate)中需要進(jìn)行觀察和處理的一個(gè)坐標(biāo)區(qū)域。視區(qū)（Viewport）

將窗口映射到顯示設(shè)備上的坐標(biāo)區(qū)域(devicecoordinate)2022/11/246由于窗口和視區(qū)分別處于不同的坐標(biāo)系內(nèi)，它們所用的長度單位、大小、位置等都不相同。要將窗口內(nèi)的圖形在視區(qū)中顯示出來，必須經(jīng)過將窗口到視區(qū)的變換（Window-ViewportTransformation）處理。

2022/11/247二維圖形的顯示流程改變視區(qū)的位置，可以在輸出設(shè)備的不同位置顯示圖形對象。改變視區(qū)的大小和比例可以改變顯示對象的大小和比例。2022/11/248

窗口到視區(qū)的變換2022/11/249要將窗口內(nèi)的點(diǎn)映射到相對應(yīng)的視區(qū)內(nèi)的點(diǎn)2022/11/250窗口到視區(qū)變換的步驟：將窗口左下角點(diǎn)移至用戶系統(tǒng)系的坐標(biāo)原點(diǎn)針對原點(diǎn)進(jìn)行比例變換進(jìn)行反平移1）窗口區(qū)的邊與坐標(biāo)軸平行2022/11/2512）窗口區(qū)的邊與坐標(biāo)軸不平行2022/11/2524.4三維幾何變換三維齊次坐標(biāo)(x,y,z)點(diǎn)對應(yīng)的齊次坐標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)齊次坐標(biāo)(x,y,z,1)==〉用來表示三維空間點(diǎn)(x,y,z)。

右手坐標(biāo)系

2022/11/253由于用齊次坐標(biāo)表示，三維幾何變換的矩陣是一個(gè)4階方陣，其形式如下：其中，產(chǎn)生縮放、旋轉(zhuǎn)、錯(cuò)切等變換，

產(chǎn)生平移變換，產(chǎn)生投影變換，

產(chǎn)生整體的縮放變換。2022/11/254三維平移變換

是指三維立體沿x、y、z三個(gè)方向分別移動(dòng)到一個(gè)新的空間位置。平移變換后,立體的大小和形狀保持不變。變換矩陣:三棱錐的平移變換2022/11/255

三維放縮變換

是指三維立體在x、y、z三個(gè)方向以原點(diǎn)為中心,分別放大或縮小倍,得到一個(gè)新的三維立體。比例變換后,三維立體的大小和形狀可能發(fā)生改變。變換矩陣：2022/11/256正方體的等比例變換三棱錐的不等比例變換2022/11/257

三維旋轉(zhuǎn)變換是指給定的三維立體繞三維空間某個(gè)指定的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)θ角度。旋轉(zhuǎn)后,立體的空間位置將發(fā)生變化,但形狀不變。

θ角的正負(fù)按右手規(guī)則確定,右手大姆指指向旋轉(zhuǎn)軸的正向,其余四個(gè)手指指向旋轉(zhuǎn)角的正向。旋轉(zhuǎn)變換示意圖(a)繞z軸正向旋轉(zhuǎn)；(b)繞x軸正旋轉(zhuǎn)；(c)繞y軸正向旋轉(zhuǎn)2022/11/2582022/11/259

1）繞x軸正向旋轉(zhuǎn)角θx

立體上各頂點(diǎn)的y,z坐標(biāo)改變,而x坐標(biāo)不變,因此,變換矩陣在第一行和第一列中,除去主對角線上元素為1以外,所有元素均為0,而y,z坐標(biāo)可由二維點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)公式得到。x’=xy’=ycosθx-

zsinθxz’=ysinθx

+zcosθx2022/11/260

2）繞y軸正向旋轉(zhuǎn)角θy

三維空間立體繞y軸正向旋轉(zhuǎn)時(shí),立體上各頂點(diǎn)的x,z坐標(biāo)改變,而y坐標(biāo)不變,

因此,變換矩陣在第二行和第二列中,除去主對角線上元素為1以外,所有元素均為0,而x,z坐標(biāo)可由二維點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)公得到。

x’=xcosθy

+zsinθyy’=yz’=-xsinθy+zcosθy

2022/11/2613）繞z軸正向旋轉(zhuǎn)角θz

三維