創(chuàng)新設(shè)計直線平面簡單幾何體95市公開課金獎市賽課一等獎?wù)n件

了解多面體、凸多面體概念/了解正多面體概念/了解球概念/掌握球性質(zhì)/掌握球表面積和體積公式

第51課時球與多面體第1頁1．多面體概念：由若干個多邊形圍成空間圖形叫多面體；每個多邊形叫多面體面，兩個面公共邊叫多面體棱，棱和棱公共點叫多面體頂點，連結(jié)不在同一面上兩個頂點線段叫多面體

．2．凸多面體：把多面體任一個面展成平面，假如其余面都位于這個平面

，這么多面體叫凸多面體．3．凸多面體分類：多面體最少有

面，按照它面數(shù)分別叫四面體、五面體、六面體等．對角線同一側(cè)四個第2頁4．球概念：與定點距離

定長點集合，叫做球體，簡稱球．定點叫球心，定長叫球半徑．與定點距離等于定長點集合叫做球面．一個球或球面用表示它球心字母表示，比如球O.等于或小于5．球截面

用一平面α去截一個球O，設(shè)OO′是平面α垂線段，O′為垂足，且OO′＝

d，則它們交線上任一點P，是一個定值，這說明交線是到定點O′距離等于定長點集合．所以，一個平面截一個球面，所得截面是以球心在截面內(nèi)射影為圓心，以r＝為半徑一個圓，截面是一個

．球面被經(jīng)過球心平面截得圓叫做

，被不經(jīng)過球心平面截得圓叫做

．圓面小圓大圓第3頁6．兩點球面距離：球面上兩點之間最短距離，就是經(jīng)過這兩點大圓在這兩點間一段

長度，我們把這個弧長叫做兩點球面距離．劣弧第4頁1．如右圖，已知A、B、C是表面積為48π球面上三點，AB＝2，BC＝4，∠ABC＝60°，

O為球心，則二面角O－AB－C大小為()A.B.C．a(chǎn)rccosD．a(chǎn)rccos第5頁解析：由4πR2＝48π，∴R2＝12；而AC2＝4＋16－2×2×4×＝12，

∴∠CAB＝90°.故O在△ABC上射影為BC中點O1，過O作OE⊥AB于E，則E為AB中點，∠OEO1為二面角O－AB－C平面角，而O1E＝，OE＝，

∴cos∠OEO1＝，故選D.答案：D第6頁2．如右圖，正四棱錐P－ABCD底面四頂點A、B、C、D在球O同一個大圓上，點P在球面上，假如VP－ABCD＝，則球O表面積是()A．4π B．8πC．12π D．16π解析：由題知正四棱錐高為球半徑R，底面邊長為R，∴

解之，得R＝2.∴S球＝4πR2＝16π，選D.答案：D第7頁3．(·四川)如圖，半徑為3球面上有A、B、C三點，∠ABC＝90°，

BA＝BC，球心O到平面ABC距離是，則B、C兩點球面距離是()A.B．πC.D．2π第8頁解析：如圖，取AC中點O1，連接OO1、OA、OB、OC、O1B，在Rt△OO1C中，O1C＝，又OO1＝O1B＝O1C，則△BOC為正三角形，∠BOC＝，則B、C兩點球面距離為π.答案：B第9頁4．(·湖南)在半徑為13球面上有A、B、C三點，AB＝6，BC＝8，CA＝10，則(1)球心到平面ABC距離為________．(2)過A、B兩點大圓面與平面ABC所成二面角(銳角)正切值為________．第10頁過O′作O′D⊥AB，連接OD，則∠O′DO為過A、B兩點大圓面與平面ABC所成二面角平面角，在Rt△OO′D中，OO′＝12，DO′＝BC＝4，tan∠O′DO＝＝3.答案：(1)12(2)3解析：如圖，連接OA、OB、OC，過O作OO′⊥平面ABC，由已知條件CA2＝AB2＋BC2，則△ABC為直角三角形，又OA＝OB＝OC＝13，則O在平面ABC內(nèi)射影是Rt△ABC外心，即O′是AC中點，在Rt△OO′C中，OO′＝＝12.第11頁1.平面截球所得截面是圓面，要充分利用圓性質(zhì)． 球截面圓半徑為r，球心到截面距離為d，球半徑為R，三者之間關(guān) 系是r2＝R2－d2.2．相關(guān)球問題普通要轉(zhuǎn)化為三棱錐問題處理．第12頁【例1】如圖，已知A，B，C三點在球心為O，半徑為R球面上，AC⊥BC，且AB＝R，那么A，B兩點球面距離為________，球心到平面ABC距離為________．解析：由AC⊥BC可知，AB為截面圓ABC直徑，又AB＝R可知球心角∠AOB＝，故A、B兩點球面距離為l＝R.由OA＝OB＝OC＝R知O在平面ABC上射影D是△ABC外心，又AC⊥BC，則D是AB中點，

可在正△OAB中求出OD＝R.

答案：

第13頁變式1.過半徑為2球O表面上一點A作球O截面，若OA與該截面所成角是60°，則該截面面積是()A．πB．2πC．3πD．2π

解析：如圖，設(shè)截面圓心為O′，連結(jié)OO′，O′A，則∠OAO′為OA與截面所成角，即∠OAO′＝60°，

∴r＝Rcos60°＝

R＝1，S＝πr2＝π，故選A.答案：A第14頁計算A、B兩點間球面距離關(guān)鍵是搞清緯度、經(jīng)度、緯度差、經(jīng)度差等概念，詳細步驟是：(1)計算線段AB長度；(2)計算A、B到球心O張角；(3)計算大圓在A、B兩點間所夾劣弧長．第15頁【例2】設(shè)地球半徑為R，在北緯45°圈上有兩個點A、B，A在西經(jīng)40°，

B在東經(jīng)50°，求A、B兩點間緯線圈弧長及A、B兩點間球面距離．解答：如圖，設(shè)45°緯線圈中心為O1，地球中心為O，則∠AO1B＝40°＋50°＝90°，又∵OO1⊥圓O1所在平面，∴OO1⊥O1A，OO1⊥O1B.第16頁又∵A、B在北緯45°圈上，∴∠OBO1＝∠OAO1＝45°，∴O1A＝O1B＝O1O＝OA·cos45°＝R，∴在直角△AO1B中，∵AO1＝BO1，∴AB＝AO1＝R，∴△AOB為等邊三角形，∴∠AOB＝，∴在45°緯線圈上，.在球面上，A、B兩點球面距離為＝|α|·AO＝R，∴A、B兩點間緯線圈弧長為πR，∴A、B兩點間球面距離為R.第17頁變式2.如圖，設(shè)球O半徑是1，A、B、C是球面上三點，已知A到B、C兩點球面距離都是，且二面角B—OA—C大小為，則從A點沿球面經(jīng)

B、C兩點再回到A點最短距離是()

解析：依球面距離定義知AO⊥平面BOC，且∠BOC＝，于是所行路線最短長度為三點間球面距離之和，故選C.答案：C第18頁球與多面體之間“接”與“切”問題其基本解法是經(jīng)過接、切公共點與球心作出截面，找出球半徑與多面體元素關(guān)系．?？碱}型是球與長方體、正方體、正四面體等組合體．第19頁【例3】將半徑都為14個鋼球完全裝入形狀為正四面體容器里，這個 正四面體高最小值為()解析：一個球與正四面體內(nèi)切，則球心與正四面體頂點距離為球半徑三倍，所以所求正四面體高最小值為：棱長為2正四面體高與球半徑四倍和，即.答案：C第20頁解析：本題考查與球相關(guān)組合體知識；如圖設(shè)球半徑為R，在直角三角形VAE中，有

,

在直角三角形OAE中有：,

兩式聯(lián)立解得：R＝3，故球表面積為：4πR2＝4π·32＝36π.答案：B變式3.正四棱錐V－ABCD五個頂點在同一個球面上，若其底面邊長為4，側(cè)棱長為2，則此球表面積為()A．18πB．36πC．72πD．9π第21頁1．處理球相關(guān)問題要依據(jù)球性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為多面體(通常是棱錐)問題處理，如例2及變式．2．要了解地球經(jīng)、緯度相關(guān)知識，能夠求出較為簡單特殊球面上兩點球面距離，而求球面距離關(guān)鍵是首先求出兩點間距離.

【方法規(guī)律】

第22頁(·全國Ⅰ)如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1各頂點都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，則此球表面積為________．第23頁解析：在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝12，則BC＝，又