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文檔簡介

第六節(jié)曲線擬合最小二乘法第1頁實例：考查某種纖維強度與其拉伸倍數(shù)關(guān)系,下表是實際測定24個纖維樣品強度與對應(yīng)拉伸倍數(shù)是統(tǒng)計:3.6.1普通最小二乘迫近第2頁纖維強度隨拉伸倍數(shù)增加而增加而且24個點大致分布在一條直線附近必須找到一個度量標準來衡量什么曲線最靠近全部數(shù)據(jù)點。第3頁普通使用在回歸分析中稱為殘差稱為平方誤差。

1.

什么是最小二乘法第4頁定義平方誤差第5頁使得第6頁第7頁由可知所以可假設(shè)所以求最小二乘解轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)2.最小二乘法求法第8頁由多元函數(shù)取極值必要條件得即第9頁即第10頁引入記號則由內(nèi)積概念可知第11頁方程組便可化為將其表示成矩陣形式第12頁而且其系數(shù)矩陣為對稱陣所以法方程組系數(shù)矩陣非奇異,即依據(jù)Cramer法則,法方程組有唯一解第13頁即是最小值所以所以第14頁作為一個簡單情況,基函數(shù)之間內(nèi)積為第15頁例1.

回到本節(jié)開始實例，從散點圖能夠看出纖維強度和拉伸倍數(shù)之間近似與線性關(guān)系故可選取線性函數(shù)為擬合函數(shù)，其基函數(shù)為建立法方程組依據(jù)內(nèi)積公式，可得第16頁法方程組為解得平方誤差為第17頁擬合曲線與散點關(guān)系如右圖:第18頁例2.在某化學反應(yīng)里,測得生成物濃度y%與時間t數(shù)據(jù)以下，試建立y關(guān)于t經(jīng)驗公式t=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16y=4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50,9.70,9.86,10.00,10.20,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.60解:含有圖示圖形曲線很多，本題特提供兩種形式第19頁兩邊取對數(shù),得得即為擬合函數(shù)基函數(shù)為解法方程組得平方誤差為第20頁用最小二乘法得即不論從圖形還是從平方誤差考慮在本例中指數(shù)函數(shù)擬合比雙曲線擬合要好平方誤差為第21頁從本例看到，擬合曲線數(shù)學模型并不是一開始就能選好，往往要經(jīng)過分析確定若干模型之后，再經(jīng)過實際計算，才能選到很好模型。第22頁即正交多項式怎樣選取呢3.6.2用正交多項式作最小二乘擬合

普通多項式做最小二乘擬正當方程組為病態(tài)，改用正交多項式。第23頁第24頁使得由正交多項式性質(zhì),法方程組第25頁可化為即得即為利用正交多項式最小二乘解第26頁平方誤差為第27頁例4.是用最小二乘法求擬合這組數(shù)據(jù)多項式解:從散點圖可知數(shù)據(jù)和二次多項式擬合很好所以選

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