qc手法第六章直方坉(繁體字)

第六章直方圖（Histogram)一、前言

現(xiàn)場工作人員經(jīng)常都要面對許多的資料，這些資料均來自于制程中抽驗或查檢所得的某項産品之品質特性。如果我們應用統(tǒng)計繪圖的方法，將這些資料加以整理，則制程中的品質散佈的情形及問題點所在及制程、能力等，均可呈現(xiàn)在我們的眼前;我們即可利用這些情報來掌握問題點以進行改善對策。通常在生産現(xiàn)場最常利用的圖表即爲直方圖。第一頁，共五十五頁。1二、直方圖的定義1、何謂直方圖：爲要容易的看出如長度、重量、硬度、時間等計量值的資料分配情形，所用來表示的圖形。直方圖是將所收集的測定值特性值或結果值，分爲幾個相等的區(qū)間作爲橫軸，並將各區(qū)間內(nèi)所測定值依所出現(xiàn)的次數(shù)累積而成的面積，用柱子排起來的圖形。因此，也叫柱狀圖。

第二頁，共五十五頁。22、使用直方圖的目的：（1）瞭解分配的型態(tài)。（2）研究制程能力或測知制程能力。（3）工程解析與管制。（4）測知資料之真僞。（5）計劃産品之不良率。（6）求分配之平均值與標準差。（7）藉以訂定規(guī)格界限。（8）與規(guī)格或標準值比較。（9）調(diào)查是否混入兩個以上的不同群體。（10）瞭解設計管制是否合乎制程管制。第三頁，共五十五頁。3Xi-X0組距（h)X0=次數(shù)最多一組的組中點Xi=各組組中點

3、解釋名詞：（1）次數(shù)分配將許多的複雜資料依其差異的幅度分成若干組，在各組內(nèi)列入測定值的出現(xiàn)次數(shù)，即爲次數(shù)分配。（2）相對次數(shù)在各組出現(xiàn)的次數(shù)除以全部之次數(shù)，即爲相對次數(shù)。（3）累積次數(shù)（f)

爲自次數(shù)分配的測定值較小的一端將其次數(shù)累積計算，即爲累積次數(shù)。

（4）全距（R)

在所有資料中最大值和最小值的差，即爲全距。（5）組距（h)

全距/組數(shù)＝組距（6）算數(shù)平均數(shù)（x)

資料的總和除以資料總數(shù)謂之，通常以x(X-bar)

表示。

（7）中位數(shù)（x）

將資料由小到大依序排列，們居中央的數(shù)稱爲中位數(shù)。若遇偶位數(shù)時，則取中央兩資料之平均值。（8）各組中點之簡化值（u)

U=,

第四頁，共五十五頁。4不良數(shù)35791011次數(shù)111518241316（9）衆(zhòng)數(shù)（Mode)

次數(shù)分配中出現(xiàn)次數(shù)最多組之值。

例：

次數(shù)最多爲24，不良數(shù)是9，故衆(zhòng)數(shù)爲9。（10）組中點（midrange)

一組資料中最大值與最小值之平均值，（上組界＋下組界）÷2＝組中點（11）標準差（δ）δ=δn=h×

（12）樣本標準差（S）S=δn-1=h×第五頁，共五十五頁。5三、直方圖的製作1、直方圖的製作方法步驟1：搜集資料並記錄搜集資料時，對於抽樣分佈必須特別注意，不可取部分樣品，應就全部均勻的加以隨機抽樣。所搜集的資料應大於50以上。

第六頁，共五十五頁。6138142148145140141139140141138138139144138139136137137131127138137137133140130136128138132145141135131136131134136137133134132135134132134121129137132130135135134136131131139136135例：某廠之成本尺寸規(guī)格為130至160mm今按隨機抽樣方式抽取60個當樣本，其測定值如附表，試制作直方圖。第七頁，共五十五頁。7No.1No.2No.3No.4No.5No.6138142148145140141139140141138138139144138139136137137131127138137137133140130136128138132145141135131136131134136137133134132135134132134121129137132130135135134136131131139136135EX:得知：No.1L1＝145S1＝131No.2L2＝142S2＝127No.3L3＝148S3＝130No.4L4＝145S4＝128No.5L5＝140S5＝121No.6L6＝141S6＝129求得L＝148S＝121步驟2：找出資料中之最大值（L）與最小值（S）先從各行（或列）求出最大值，最小值，再予比較最大值用“□”框起來，最小值用“○”框起來第八頁，共五十五頁。8數(shù)據(jù)數(shù)組數(shù)～505～751～1006～10102～2507～12250～10～20步驟3：求全距（R）

資料最大值（L）減最小值（S）＝全距（R)

例：R＝148-121＝27步驟4：決定組數(shù)（1）組數(shù)過少，固然可得到相當簡單的表格，但失卻次數(shù)分配之本質與意義;組數(shù)過多，雖然表列詳盡，但無法達到簡化的目的。通常，應先將異常值剔除後再行分組。（2）一般可用數(shù)位家史特吉斯（Sturges)提出之公式，根據(jù)測定次數(shù)n來計算組數(shù)k，其公式爲：

k＝1＋3.32logn例：n＝60則k＝1＋3.32log60＝1＋3.32log(1.78)

＝6.9

即約可分爲6組或7組（3）一般對資料之分組可參照下表：例：取7組第九頁，共五十五頁。9步驟5：求組距（h)(1)組距＝全距÷組數(shù)（h＝R÷K)(2)爲便於計算平均數(shù)及標準差，組距常取爲2，5或10的倍數(shù)。

例：h＝27/7＝3.86,組距取4第十頁，共五十五頁。10步驟6：求各組上組界，下租界（由小而大順序）（1）第一組下組界＝最小值—（最小測定單位/2)第一組上組界＝第一組下組界＋組界第二組下組界＝第一組上組界：：（2）最小測定單位整數(shù)位元之最小測定單位爲1小數(shù)點1位元之最小測定單位爲0.1小數(shù)點2位元之最小測定單位爲0.01（3）最小數(shù)應在最小一組內(nèi)，最大數(shù)應在最大一組內(nèi);若有數(shù)位小於最小一組下組界或大於最大一組上組界值時，應自動加一組。

例：第一組＝121-1/2＝120.5～124.5第二組＝124.5～128.5第三組＝128.5～132.5第四組＝132.5～136.5第五組＝136.5～140.5第六組＝140.5～144.5第七組＝144.5～148.5第十一頁，共五十五頁。11步驟7：求組中點

組中點（值）＝（該組上組界＋該組下組界）/2

例：第一組＝(120.5＋124.5)/2＝122.5第二組＝(124.5＋128.5)/2＝126.5第三組＝(128.5＋132.5)/2＝130.5第四組＝(132.5＋136.5)/2＝134.5第五組＝(136.5＋140.5)/2＝138.5第六組＝(140.5＋144.5)/2＝142.5第七組＝(144.5＋148.5)/2＝146.5第十二頁，共五十五頁。12組號組界組中點劃記次數(shù)1120.5～124.5122.5/12124.5～128.5126.5//23128.5～132.5130.5//////////124132.5～136.5134.5///////////////185136.5～140.5138.5///////////////196140.5～144.5142.5////57144.5～148.5146.5///3合計60步驟8：作次數(shù)分配表（1）將所有資料，依其資料值大小書記于各組之組界內(nèi)，並計算其次數(shù)。（2）將次數(shù)相加，並與測定值之個數(shù)相比較;表中之次數(shù)總和應與測定值之總數(shù)相同。第十三頁，共五十五頁。13步驟9：製作直方圖（1）將次數(shù)分配圖表化，以橫軸表示數(shù)值之變化，以縱軸表示次數(shù)。（2）橫軸與縱軸各取適當?shù)膯挝婚L度。再將各組之組界分別標在橫軸上，各組界應爲等距離。（3）以各組內(nèi)之次數(shù)爲高，組距爲底;在每一組上畫成矩形，則完成直方圖。（4）在圖之右上角記入相關資料履歷（資料總數(shù)n，平均值x，標準差δ…），並劃出規(guī)格之上、下限。（5）記入必要事項：製品名、工程名、期間、製作日期、製作者。第十四頁，共五十五頁。142015105120.5124.5128.5132.5136.5140.5144.5148.5SL=130SU=160n=60X=135.8δ=4.87S=δ

n-1=4.91製品名：工程名：期間：製作日期：製作者：說明：1、分組後再計算之δ，s爲近似值2、如直接以原始資料60個，依公式計算，可得真值。

n＝60x＝135.8δ＝4.68s＝4,72第十五頁，共五十五頁。15MODE3SHIFTKAC122.5×1DATE126.5×2DATE130.5×12DATE134.5×18DATE138.5×19DATE142.5×5DATE146.5×3DATEKOUT3SHIFTXSHIFTXnSHIFTXn-1KNOT2KNOT1SD0122。5126。5130.5134.5138.5142.5146.560135.766…4。8714。91281462、以電腦計算統(tǒng)計量若手邊有科學型電腦，可使用次數(shù)分配表中，輸入組中點與次數(shù)，迅速求得各統(tǒng)計量n、x、δ

與s。

如目前使用最普通之CASIOfx-3600PV，其計算步驟如下：按鍵功能說明螢幕顯示進入統(tǒng)計計算系統(tǒng)清除記憶輸入組中點及次數(shù)資料‥‥‥‥‥‥輸出統(tǒng)計量n‥X‥‥s‥∑x‥∑x2第十六頁，共五十五頁。16

3、常見的直方圖型態(tài)（1）正常型說明：中間高，兩邊低，有集中趨勢。結論：左右對稱分配（常態(tài)分配），顯示制程在正常運轉下。第十七頁，共五十五頁。17（2）缺齒型（凹凸不平型）說明：高低不一，有缺齒情形。不正常的分配，系因測定值或換算方法有偏差，次數(shù)分配不妥當所形成。結論：稽查員對測定值有偏好現(xiàn)象，如對5，10之數(shù)位偏好;或是假造數(shù)據(jù)。測量儀器不精密或組數(shù)的寬度不是倍數(shù)時，亦有此情況。第十八頁，共五十五頁。18（3）切邊型（斷裂型）說明：有一端被切斷。結論：原因爲資料經(jīng)過全檢過，或制程本身有經(jīng)過全檢過，會出現(xiàn)的形狀。若剔除某規(guī)格以上時，

則切邊在靠近右邊形成。第十九頁，共五十五頁。19（4）離島型說明：在右端或左端形成小島。結論：測定有錯誤，工程調(diào)節(jié)錯誤或使用不同原料所引起。一定有異常原因存在，只要去除，即可合乎制程要求，制出合格規(guī)格的製品。第二十頁，共五十五頁。20（5）高原型說明：形狀似高原狀。結論：不同平均值的分配混在一起，應層別之後再做直方圖比較。第二十一頁，共五十五頁。21（6）雙峰型說明：有兩個高峰出現(xiàn)。結論：有兩種分配相混合，例如兩部機械或兩家不同供應商，有差異時，會出現(xiàn)此種形狀，因測定值受不同的原因影響，應予層別後再作直方圖。第二十二頁，共五十五頁。22（7）偏態(tài)型（偏態(tài)分配）說明：高處偏向一邊，另一邊低，拖長尾巴?？煞制倚?、偏左型偏右型：例如，微量成分的含有率等，不能取得某值以下的值時，所出現(xiàn)的形狀。偏左型：例如，成分含有高純度的含有率等，不能取得某值以上的值時，就會出現(xiàn)的形狀第二十三頁，共五十五頁。234、直方圖之使用注意事項（1）異常值應去除後再分組。（2）對於從樣本測定值推測群體形態(tài)，直方圖是最簡單有效的方法。（3）應取得詳細之資料資料（例如：時間、原料、測定者、設備、環(huán)境條件等）。（4）進行制程管理及分析改善時，可利用層別方法，將更容易找出問題的癥結點，對於品質的改善，有事半功倍的效果。

第二十四頁，共五十五頁。24四、下方圖的應用1、測知制程能力，作爲改善制程的依據(jù)自製程中所收集的資料，經(jīng)整理成爲次數(shù)分配表，再繪成直方圖後，即可由其集中與分散的情形來看出制程的好壞。正方圖的重點在於平均值（X）的所在，經(jīng)修勻後的分配如爲常態(tài)分配，則自彎曲點中引一橫軸之平行線，可求得表現(xiàn)差異性的標準差（δ）。良好的制程，平均數(shù)應接近規(guī)格中心，標準差則愈小愈佳。第二十五頁，共五十五頁。252930313233343536373839404142SLSU

2、計算産品不良率品質改善迴圈活動中，常需計算改善活動前、中、後之不良率，藉以比較有無改善成效。其不良率可直接自次數(shù)分配表中求得；亦可自直方圖中計算出來。例如，某産品之重量直方圖如圖示，其規(guī)格爲35±3（g)

由圖與規(guī)格界限比較，可知在規(guī)格下限以下的有35件，超出規(guī)格上限的有64件，合計有99件，占總數(shù)307件之32.25%，即不良率爲32.25%.

第二十六頁，共五十五頁。263、測知分配型態(tài)（參閱第三·3節(jié)）由直方圖之形狀，得知制程是否異常。4、藉以訂定規(guī)格界限在未訂出規(guī)格界限之前，可依據(jù)所收集編成之次數(shù)分配表，測知次數(shù)分配是否爲常態(tài)分配；如爲常態(tài)分配時，則可根據(jù)計算得知之平均數(shù)與標準差來訂出規(guī)格界限。一般而言，平均數(shù)減去3個標準差得規(guī)格下限，平均數(shù)加上3個標準差則得規(guī)格上限；或按實際需要而訂出。第二十七頁，共五十五頁。27規(guī)格制品范圍下限上限5、與規(guī)格或標準值比較要明瞭制程能力的好壞，必須與規(guī)格或標準值比較才可顯現(xiàn)出來；一般而言，我們希望制程能力（直方圖）在規(guī)格界限內(nèi)，且最好制程的平均值與規(guī)格的中心相一致。（1）合乎規(guī)格（a)理想型制程能力在規(guī)格界限內(nèi)，且平均值與規(guī)格中心一致，平均數(shù)加減4倍標準差爲規(guī)格界限。制程稍有變大或變小都不會超過規(guī)格值，是一種最理想的直方圖。表示製品良好，能力足夠。第二十八頁，共五十五頁。28規(guī)格制品范圍下限上限（b)一側無餘裕製品偏一邊，而另一邊還有餘裕很多，若制程再變大（或變?。┖芸赡軙胁涣及l(fā)生，必須設法使製品中心值與規(guī)格中心值吻合才好。第二十九頁，共五十五頁。29制品范圍規(guī)格下限上限

（c)兩側無餘型製品的最大值與最小值均在規(guī)格內(nèi)，但都在規(guī)格上下限兩端，也表示其中心值與規(guī)格中心值吻合，雖沒有不良品發(fā)生，但若制程稍有變動，就會有不良品産生之危險，要設法提高製品的精度才好。第三十頁，共五十五頁。30制品范圍規(guī)格上限下限（d)餘裕太多實際制程在規(guī)格界限內(nèi)，但雙尾距規(guī)格界限太遠。亦即産品品質均勻，變異小。如果此種情形是因增加成本而得到，對公司而言並非好現(xiàn)象，故可考慮縮小規(guī)格界限或放鬆品質變異，以降低成本，減少浪費。第三十一頁，共五十五頁。31SLSLSUSU（2）不合乎規(guī)格（a)平均值偏左（或偏右）如果平均值偏向規(guī)格下限並伸展至規(guī)格下限左邊，或偏向規(guī)格上限並伸展至規(guī)格上限的右邊，但製品呈常態(tài)分配，此即表示平均位置的偏差，應針對固定的設備機器、原料等方向追查。第三十二頁，共五十五頁。32制品范圍規(guī)格上限下限（b)分散度過大實際製品的最大值與最小值均超過規(guī)格值，有不良品發(fā)生（斜線部分），表示標準太大，制程能力不足，應針對變動的人員、方法等方向去追查，要設法使産品的變異縮?。换蚴且?guī)格訂得太嚴，應放寬規(guī)格。第三十三頁，共五十五頁。33規(guī)格制品范圍（c)完全在規(guī)格外

表示製品之生産完全沒有依照規(guī)格去考慮;或規(guī)格計得不合理，根本無法達到規(guī)格。第三十四頁，共五十五頁。34==6、調(diào)查是否混入兩個以上不同群體如果直方圖呈現(xiàn)雙峰形態(tài)，可能混合了兩個不同群體，亦即制程爲兩種不同群體，諸如兩個不同班別、不同生產(chǎn)線、不同的材料、不同操作員、不同機臺等。生産出來的製品混在一起。此時，需將其層別，將不

同班別、生產(chǎn)線、材料、操作員、機臺、製造出來的製品不擺在一起，以便趁早找出造成不良的原因。7、研判設計時的管制界限可否用於制程管制計量值管制圖如X-R管制圖，當δ未知，以X作爲中心

線，X＋A2R作爲管制上限，X=A2R作爲管制下限，做爲設計的管制界限。當每天計算的結果（X，R）點繪在設計管制界限內(nèi)，聖誕快樂未呈現(xiàn)任何規(guī)則，一般即可將此設計管制界限延伸爲實際之制程管制界限。但是，如果産品本身訂有規(guī)格界限時，尚應將所收集的資料，作次數(shù)分配表，並繪成直方圖;此直方圖如能在規(guī)格界限內(nèi)，始可將此管制界限作爲管制制程之用。第三十五頁，共五十五頁。35（b)單邊規(guī)格（i)上限規(guī)格CP==（ii)下限規(guī)格CP==CP==6ST=SU–SL6S(上限規(guī)格）-(下限規(guī)格）6×(標準偏差）T=SU-SLSU-X3S（上限規(guī)格）-（平均值）3×（標準偏差）標準差SX-SL3S3×（標準偏差）（平均值）-（下限規(guī)格）五、制程能力1、制程精密度Cp(CapabilityofPrecision)

之求法：（a)雙邊規(guī)格第三十六頁，共五十五頁。36

No.Cp分佈與規(guī)格之關系制程能力判斷處置1Cp≥1.67太佳制程能力太好，可酌情縮小規(guī)格，或考慮簡化管理與降低成本。21.67≥Cp≥1.33合格理想狀態(tài)，繼續(xù)維持。31.33≥Cp≥1.00警告使制程保持於管制狀態(tài)，否則産品隨時有發(fā)生不良品的危險，而注意。41.00≥Cp≥0.67不足産品有不良品發(fā)生，需作全數(shù)選別，制程有妥善管理及改善之必要。50.67≥Cp非常不足應採取緊急措施，改善品質並追究原因，必要時規(guī)格再作檢討。第三十七頁，共五十五頁。37

2、制程精密度（Cp值）與不良率之關係第三十八頁，共五十五頁。38A廠B廠215238217213221237231239241223238231260231201243250241239247245249263209245250261201227258250251273243274221273196249229221247219200253231189184255217259203241256238248221221261210260198210271227251241237270201255243205260204211250250231257246257243251237201261247223263238260237237233260270260219257211233234242240261229263215253223210229222245242231264241205六、實例演練案例1：某公司分別於兩廠（A、B）生産同樣之産品;最近，兩地均發(fā)現(xiàn)有不符規(guī)格值（200～275g)之異常産品發(fā)生，今公司派員分別到兩廠去實地瞭解生産制程，並分別測定60批産品，資料如附表;注解析並回答下列問題：（1）作全部資料之直方圖。（2）針對兩廠分別做層別直方圖。（3）計算全部資料，A廠、B廠之平均數(shù)（X），標準差（）及制程精密度（Cp).

（4）直方圖上記入必要事項。（5）敍述由直方圖所提的情報。

A廠最大值274B廠最大值273最小值198最小值184第三十九頁，共五十五頁。39解：(1）全部資料之最大值：274，最小值：184組數(shù)（k)＝1＋3.32logn＝1＋3.32log120＝1＋

3.32(2.08)＝7.9取8組組距＝（274-184）/8＝11.25→12最小一組之下組界＝184-1/2＝183.5作次數(shù)分配表第四十頁，共五十五頁。40直方圖(全數(shù))

189.5201.5213.5237.5249.5261.5273.5225.5Sl=200Su=275xn=120x=236.8δ=20.74s=20.83第四十一頁，共五十五頁。41201.5213.5226.5237.5249.5261.5273.5Sl=200Su=275xn=60x=236.3δ=19.80s=19.97A廠直方圖

B廠直方圖

189.5201.5213.5237.5249.5261.5273.5Sl=200Su=275xn=60x=237.3δ=21.63s=21.81(2）針對A、B兩廠之層別直方圖第四十二頁，共五十五頁。42

中心值X次數(shù)fuufu2f1189.52-4-8322201.511-3-33993213.513-2-26524225.520-1-20205237.5260006249.522122227261.520240808273.5631854∑f＝120∑uf＝-7∑u2f＝359平均數(shù)（X）＝X0+×h＝237.5+×12＝236.8樣本標準差（S）＝h×＝12×

＝12×＝12×1.7359＝20.83制程精密度（Cp)＝＝＝0.60∑μfn－7120∑μ2f－(∑μf)2/nn-1359－(-7)2/120120-1359－0.4083119Su－Sl6S275－2006×20.83(3)全數(shù)，A廠、B廠之平均值(X)，標準差(δ)及制程精密度(Cp)

(a)全數(shù)資料第四十三頁，共五十五頁。43

中心值X次數(shù)fuufu2f1189.50-4002201.56-3-18543213.58-2-16324225.58-1-885237.5160006249.511111117261.58216328273.533927∑f＝60∑uf＝-6∑u2f＝164(b)A廠資料

平均數(shù)（X）＝X0+×h＝237.5+×12＝236.3樣本標準差（S）＝h×＝12×

＝12×＝12×1.6642＝19.97制程精密度（Cp)＝＝＝0.626∑μfn－660∑μ2f－(∑μf)2/nn-1164－(-6)2/6059164－0.659Su－Sl6S275－2006×19.97第四十四頁，共五十五頁。44

中心值X次數(shù)fuufu2f1189.52-3-6182201.55-2-10203213.55-1-554225.5120005237.510110106249.511222447261.5123361088273.5341248∑f＝60∑uf＝59∑u2f＝253(c)B廠資料

(4)將n，X，s，規(guī)格上、下界限，平均數(shù)，記入直方圖平均數(shù)（X）＝X0+×h＝225.5+×12＝237.3樣本標準差（S）＝h×＝12×

＝12×＝12×1.818＝21.81制程精密度（Cp)＝＝＝0.573∑μfn5960∑μ2f－(∑μf)2/nn-1253－3481/6059253－5859Su－Sl6S275－2006×21.87第四十五頁，共五十五頁。45(5)項目全體A廠B廠XSCpX=236.8s=20.76Cp=0.60Xa=236.3sa=19.97Cpa=0.626Xb=237.3sb=21.81Cpb=0.573形狀1、稍爲偏左2、分散程度過大

1、稍爲偏左2、分散程度過大1、稍爲偏左2、分散程度過大

與規(guī)格比較分佈中心與規(guī)格中心相較，稍爲偏左，且出現(xiàn)不良品，超出規(guī)格下限。(同左)(同左)綜合評斷1、A廠、B廠均發(fā)生超出規(guī)格下限的情形，有必要加

以改善，使平均值右移至規(guī)格中心。2、兩廠之制程變異大，均有不良品發(fā)生，需做到全數(shù)

選

別，制程必須妥善管理與改善。第四十六頁，共五十五頁。46案例2：某國校五年乙班學生之身高、體重，做抽樣調(diào)查。期望目標：身高125～150體重：25～40KG，其結果如下：（1）試用直方圖表達其分佈。（包含全數(shù)、男、女生）（2）試算平均身高、體重。（包含全數(shù)、男、女生）（3）試用身高、體重之標準差。（包含全數(shù)、男、女生）（4）試著評論結果。第四十七頁，共五十五頁。47解：身高全部資料之最大值：151cm，最小值爲：117cm.

組數(shù)(k)＝1＋3.32logn＝1＋3.32log60＝1＋3.32(1.78)

＝6.91取7組組距＝（151-117）/7＝4.86→5cm

最小一組之下組界＝117-0.5＝116.5cm

體重全部資料之最大值：48kg，最小值：20kg

組數(shù)(k)＝1＋3.32log60＝6.91取7組組距＝（51-18）/7＝4.71→5cm

最小一組之下組界＝18-0.5＝17.5(1)身高之次數(shù)分配表第四十八頁，共五十五頁。48SLSLSUSUn=60X=130.4cmS=8.08cmn=30X=131.7cmS=8.28cm119124129134139144149119124129134139144149119124129134139144149n=30X=129.2cmS=7.28cmSLSU身高直方圖（全部）身高直方圖（男生）身高直方圖（女生）第四十九頁，共五十五頁。49(2)體重之次數(shù)分配表第五十頁，共五十五頁。50

體重直方圖（全部）體重直方圖（男生）

n=60X=31.75KGS=7.41KGn=30X=34.17KGS=6.44KG15202530354045SLSLSUSU15202530354045體重直方圖（女生）

n=30X=29.33KGS=7.63KGSLSU15202530354045第五十一頁，共五十五頁。5116441328424812431497∑u2f=71∑uf=1∑f=30∑u2f=88∑uf=16∑f=30∑u2f=159∑uf=17∑f=609331186322793314461262320102532162813955515331388181344000900090001812935-5-157-7-1712-12-112124224-12-268-4-2232-16-281191u2fufuFu2fufuFu2fufuf女生男生全部中心值

身高平均數(shù)XL（全班）＝XoL＋h×＝129＋5×＝130.4cmXLm（男生）＝XoLm＋h×＝129＋5×＝131.7cmXLm（女生）＝XoLF＋h×＝129＋5×＝129.2cm身高標準差SL（全班）＝hx＝5×＝5×＝5×1.1617＝8.08cmSL（男生）＝5×＝5×＝5×1.6557＝8.28cmSL（女生）＝5×＝5×＝5×1.5643＝7.82cm∑μ2f－(∑μf)2/nn-1∑μfn∑μfn∑μ