隨機(jī)變量及其分布課件

第二章隨機(jī)變量及其分布2.1隨機(jī)變量及其分布函數(shù)2.2離散型隨機(jī)變量及其分布2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布第二章隨機(jī)變量及其分布2.1隨機(jī)變量及其分布函數(shù)2.2我們觀察一個隨機(jī)現(xiàn)象，其樣本空間的樣本點(diǎn)可以是數(shù)量性質(zhì)的，也可以是非數(shù)量性質(zhì)的，概率論是從數(shù)量的角度來研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，建立起一系列的公式和定理，借以更好地描述、處理和解決各種與隨機(jī)現(xiàn)象有關(guān)的理論和應(yīng)用問題．為此，需要將樣本空間的樣本點(diǎn)與實(shí)數(shù)聯(lián)系起來，建立樣本空間與實(shí)數(shù)空間或某一部分的對應(yīng)關(guān)系，這就是隨機(jī)變量．第二章隨機(jī)變量及其分布我們觀察一個隨機(jī)現(xiàn)象，其樣本空間的樣本點(diǎn)可以是數(shù)量性質(zhì)的，也拋一枚硬幣，考察正、反面出現(xiàn)的情況，則

這樣就把原來有具體含意的樣本空間化為直線上的抽象點(diǎn)集如果令則在上述映射下，新的“樣本空間”為引例1，而樣本點(diǎn)對應(yīng)關(guān)系為第一節(jié)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)拋一枚硬幣，考察正、反面出現(xiàn)的情況，則這樣就把原來有拋擲骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).Ω={1，2，3，4，5，6}樣本點(diǎn)本身就是數(shù)量恒等變換且有則有引例2第一節(jié)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)拋擲骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).Ω={1，2，3，4，5，6}樣本【引例3】設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E：測試燈泡壽命(小時).

樣本空間為Ω={t|t≥0}，現(xiàn)在我們將試驗(yàn)的燈泡壽命，記為X,令則X是定義在樣本空間為Ω

={t|t≥0}上的函數(shù)，其值域?yàn)閨

且取值具有隨機(jī)性.

“燈炮壽命在1000～2500小時”的事件可表示為■

上面例子中,我們是在隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間上定義了實(shí)值函數(shù)X,顯然它取值具有隨機(jī)性,故稱它們?yōu)殡S機(jī)變量.【引例3】設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E：測試燈泡壽命(小時).定義2.1設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為

={}，X=X()是定義在樣本空間上的實(shí)值單值函數(shù)，稱X=X()為隨機(jī)變量．

隨機(jī)變量所取的值一般采用小寫字母x,y,z等.隨機(jī)變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母ζ,η等表示一、隨機(jī)變量的概念Ω

ωX(ω)R定義2.1設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為={}，X=X(例：在有兩個孩子的家庭中,考慮其性別,共有4個樣本點(diǎn):若用X表示該家女孩子的個數(shù)時

,則有可得隨機(jī)變量X(e),一、隨機(jī)變量的概念例：在有兩個孩子的家庭中,考慮若用X表示該家女孩子的個注意◆普通函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集,而隨機(jī)變量的定義域是樣本空間(樣本點(diǎn)不一定為實(shí)數(shù));①隨機(jī)變量與普通函數(shù)的區(qū)別:◆普通函數(shù)隨自變量變化所取的函數(shù)值無概率可言,而隨機(jī)變量隨樣本點(diǎn)變化所取的函數(shù)值是具有一定概率的;此外,因試驗(yàn)的隨機(jī)性使得隨機(jī)變量的取值也具有隨機(jī)性,即知道隨機(jī)變量的取值范圍,但在一次試驗(yàn)前無法確定它取何值.一、隨機(jī)變量的概念注意◆普通函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集,而隨機(jī)變量的定義域是

例如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個隨機(jī)變量.{收到不少于1次呼叫}{X1}

{沒有收到呼叫}{X=0}

再例如，從某一學(xué)校隨機(jī)選一學(xué)生，測量他的身高.

把身高看作隨機(jī)變量X,可以提出關(guān)于X的各種問題.

如

P｛X>1.7｝=？P｛X≤1.5｝=?P｛1.5<X<1.7｝=?...一、隨機(jī)變量的概念②利用隨機(jī)變量可以描述隨機(jī)事件:一、隨機(jī)變量的概念②利用隨機(jī)變量

隨機(jī)事件是從靜態(tài)的角度研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量是從動態(tài)的角度研究隨機(jī)現(xiàn)象。一、隨機(jī)變量的概念

隨機(jī)變量的引入使得利用數(shù)學(xué)方法研究隨機(jī)現(xiàn)象成為可能，是實(shí)現(xiàn)隨機(jī)現(xiàn)象“數(shù)量化”的重要工具。因此，隨機(jī)變量的研究是概率論的中心內(nèi)容。事件及事件概率隨機(jī)變量及其取值規(guī)律隨機(jī)事件是從靜態(tài)的角度研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變一、實(shí)例1設(shè)盒中有5個球(2白3黑),從中任抽3個,則是一個隨機(jī)變量.實(shí)例2設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手射了30次,則是一個隨機(jī)變量.且X(ω)的所有可能取值為:且X(ω)的所有可能取值為:練習(xí)實(shí)例1設(shè)盒中有5個球(2白3黑),從中任抽3個,則是一實(shí)例3

設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手不斷向目標(biāo)射擊,直到擊中目標(biāo)為止,則是一個隨機(jī)變量.且X(ω)的所有可能取值為:練習(xí)實(shí)例3設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,是一個隨機(jī)實(shí)例4

某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過,如果某人到達(dá)該車站的時刻是隨機(jī)的,Ｘ＝X()的所有可能取值為:練習(xí)實(shí)例4某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過,隨機(jī)變量的分類離散型(1)離散型隨機(jī)變量所取的可能值是有限多個或無限可列個,叫做離散型隨機(jī)變量.隨機(jī)變量X為擲一個骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).X

的可能值是:隨機(jī)變量連續(xù)型實(shí)例11,2,3,4,5,6.非離散型其它隨機(jī)變量的分類離散型(1)離散型隨機(jī)變量所取的可能值是有實(shí)例2

隨機(jī)變量X為“測量某零件尺寸時的測量誤差”.則X的取值范圍為(a,b).實(shí)例1

隨機(jī)變量X為“燈泡的壽命”.(2)連續(xù)型

隨機(jī)變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個區(qū)間,叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.則X的取值范圍為隨機(jī)變量的分類實(shí)例2隨機(jī)變量X為“測量某零件尺寸時的測量則X的

數(shù)軸上區(qū)間的類型有(a,b),(a,b],[a,b),[a,b],(-∞,b),(-∞,b],(a,+∞),[a,+∞)這8類，而區(qū)間(-∞,b]是有代表意義的。

對于x∈R，概率P{X≤x}存在且為x的函數(shù)，這個函數(shù)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。故考慮概率P{X≤x}二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)數(shù)軸上區(qū)間的類型有(a,b),(a,b]定義

設(shè)X是一個隨機(jī)變量，對任意實(shí)數(shù)x，稱事件{X

x}發(fā)生的概率為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，(1)在分布函數(shù)的定義中,X是隨機(jī)變量,x是自變量.分布函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)。(2)分布函數(shù)的值域是[0,1]。注意:1、隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義定義設(shè)X是一個隨機(jī)變量，對任意實(shí)數(shù)x(3)

對任意實(shí)數(shù)x1<x2，隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間(x1,x2]內(nèi)的概率為：=P{Xx2}-P{Xx1}P{x1<Xx2}

=F(x2)-F(x1)

如果將

X

看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)

F(x)的值就表示

X落在區(qū)間內(nèi)的概率.隨機(jī)點(diǎn)實(shí)數(shù)點(diǎn)(4)1、隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義(3)對任意實(shí)數(shù)x1<x2，隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間(x1,由分布函數(shù)的定義易知,對任意實(shí)數(shù)a,b(ab),有可見，若已知X的分布函數(shù)F(x)，那么，計(jì)算X落如某個區(qū)間的概率就非常方便了．由于分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，通過它我們可以方便地利用數(shù)學(xué)方法來研究隨機(jī)變量．1、隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義由分布函數(shù)的定義易知,對任意實(shí)數(shù)a,b(ab),有實(shí)例拋擲均勻硬幣,令求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).解實(shí)例拋擲均勻硬幣,令求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).解隨機(jī)變量及其分布課件的分布函數(shù)圖右連續(xù)的階梯函數(shù)的分布函數(shù)圖右連續(xù)的階梯函數(shù)r.v的分布函數(shù)必滿足性質(zhì)①②③①②③是單調(diào)不減函數(shù)且右連續(xù)函數(shù)即分布函數(shù)的基本性質(zhì)：當(dāng)時當(dāng)時注性質(zhì)

是分布函數(shù)的本質(zhì)特征①②③滿足性質(zhì)的必是某r.v的分布函數(shù)①②③2、隨機(jī)變量的分布函數(shù)的性質(zhì)r.v的分布函數(shù)必滿足性質(zhì)①②③①②③是單調(diào)不減函數(shù)且右連續(xù)【例】證明是一個分布函數(shù)．該函數(shù)稱為柯西分布函數(shù)．證：顯然F(x)在整個數(shù)軸上是連續(xù)、單調(diào)嚴(yán)增函數(shù)，且

因此它滿足分布函數(shù)的三條基本性質(zhì)，故F(x)是一個分布函數(shù)．典型例題【例】證明該函數(shù)稱為柯西分布函數(shù)．證：顯然F(x)在整個數(shù)設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為試求(1)系數(shù)A,B；(2)X取值落在（-1，1]中的概率。（1）由解得：

例解典型例題設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為試求(1)系數(shù)A,B；(2)X取值

（2）由分布函數(shù)計(jì)算事件概率公式得：

于是，分布函數(shù)為：

典型例題（2）由分布函數(shù)計(jì)算事件概率公式得：于是，分布函數(shù)例解若x<0，{X

x}為不可能事件,則F(x)=P{Xx}=0；若xr，{X

x}為必然事件，F(xiàn)(x)=P{X

x}=1；事件{X

x}表示所拋一點(diǎn)落在半徑為x的圓內(nèi)．向半徑為r的圓內(nèi)隨機(jī)拋一點(diǎn)，求此點(diǎn)到圓心的距離X的分布函數(shù)，并求典型例題例解若x<0，{Xx}為不可能事件,則F(x)=P{若0

x<r，由幾何概型知從而X的分布函數(shù)為其圖形為一連續(xù)曲線典型例題若0x<r，由幾何概型知從而X的分布函數(shù)為其圖形為且典型例題且典型例題小結(jié)

2.隨機(jī)變量的分類:離散型、連續(xù)型.

1.概率論是從數(shù)量上來研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的，把一些非數(shù)量表示的隨機(jī)事件用數(shù)字表示時，就建立起了隨機(jī)變量的概念．因此隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的一種特殊的函數(shù)．

3.分布函數(shù)小結(jié)2.隨機(jī)變量的分類:離散型、連續(xù)型.1.因此解則練習(xí)因此解則練習(xí)求分布函數(shù)求分布函數(shù)隨機(jī)變量及其分布課件隨機(jī)變量及其分布課件第二章隨機(jī)變量及其分布2.1隨機(jī)變量及其分布函數(shù)2.2離散型隨機(jī)變量及其分布2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布第二章隨機(jī)變量及其分布2.1隨機(jī)變量及其分布函數(shù)2.2我們觀察一個隨機(jī)現(xiàn)象，其樣本空間的樣本點(diǎn)可以是數(shù)量性質(zhì)的，也可以是非數(shù)量性質(zhì)的，概率論是從數(shù)量的角度來研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，建立起一系列的公式和定理，借以更好地描述、處理和解決各種與隨機(jī)現(xiàn)象有關(guān)的理論和應(yīng)用問題．為此，需要將樣本空間的樣本點(diǎn)與實(shí)數(shù)聯(lián)系起來，建立樣本空間與實(shí)數(shù)空間或某一部分的對應(yīng)關(guān)系，這就是隨機(jī)變量．第二章隨機(jī)變量及其分布我們觀察一個隨機(jī)現(xiàn)象，其樣本空間的樣本點(diǎn)可以是數(shù)量性質(zhì)的，也拋一枚硬幣，考察正、反面出現(xiàn)的情況，則

這樣就把原來有具體含意的樣本空間化為直線上的抽象點(diǎn)集如果令則在上述映射下，新的“樣本空間”為引例1，而樣本點(diǎn)對應(yīng)關(guān)系為第一節(jié)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)拋一枚硬幣，考察正、反面出現(xiàn)的情況，則這樣就把原來有拋擲骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).Ω={1，2，3，4，5，6}樣本點(diǎn)本身就是數(shù)量恒等變換且有則有引例2第一節(jié)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)拋擲骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).Ω={1，2，3，4，5，6}樣本【引例3】設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E：測試燈泡壽命(小時).

樣本空間為Ω={t|t≥0}，現(xiàn)在我們將試驗(yàn)的燈泡壽命，記為X,令則X是定義在樣本空間為Ω

={t|t≥0}上的函數(shù)，其值域?yàn)閨

且取值具有隨機(jī)性.

“燈炮壽命在1000～2500小時”的事件可表示為■

上面例子中,我們是在隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間上定義了實(shí)值函數(shù)X,顯然它取值具有隨機(jī)性,故稱它們?yōu)殡S機(jī)變量.【引例3】設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E：測試燈泡壽命(小時).定義2.1設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為

={}，X=X()是定義在樣本空間上的實(shí)值單值函數(shù)，稱X=X()為隨機(jī)變量．

隨機(jī)變量所取的值一般采用小寫字母x,y,z等.隨機(jī)變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母ζ,η等表示一、隨機(jī)變量的概念Ω

ωX(ω)R定義2.1設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為={}，X=X(例：在有兩個孩子的家庭中,考慮其性別,共有4個樣本點(diǎn):若用X表示該家女孩子的個數(shù)時

,則有可得隨機(jī)變量X(e),一、隨機(jī)變量的概念例：在有兩個孩子的家庭中,考慮若用X表示該家女孩子的個注意◆普通函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集,而隨機(jī)變量的定義域是樣本空間(樣本點(diǎn)不一定為實(shí)數(shù));①隨機(jī)變量與普通函數(shù)的區(qū)別:◆普通函數(shù)隨自變量變化所取的函數(shù)值無概率可言,而隨機(jī)變量隨樣本點(diǎn)變化所取的函數(shù)值是具有一定概率的;此外,因試驗(yàn)的隨機(jī)性使得隨機(jī)變量的取值也具有隨機(jī)性,即知道隨機(jī)變量的取值范圍,但在一次試驗(yàn)前無法確定它取何值.一、隨機(jī)變量的概念注意◆普通函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集,而隨機(jī)變量的定義域是

例如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個隨機(jī)變量.{收到不少于1次呼叫}{X1}

{沒有收到呼叫}{X=0}

再例如，從某一學(xué)校隨機(jī)選一學(xué)生，測量他的身高.

把身高看作隨機(jī)變量X,可以提出關(guān)于X的各種問題.

如

P｛X>1.7｝=？P｛X≤1.5｝=?P｛1.5<X<1.7｝=?...一、隨機(jī)變量的概念②利用隨機(jī)變量可以描述隨機(jī)事件:一、隨機(jī)變量的概念②利用隨機(jī)變量

隨機(jī)事件是從靜態(tài)的角度研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量是從動態(tài)的角度研究隨機(jī)現(xiàn)象。一、隨機(jī)變量的概念

隨機(jī)變量的引入使得利用數(shù)學(xué)方法研究隨機(jī)現(xiàn)象成為可能，是實(shí)現(xiàn)隨機(jī)現(xiàn)象“數(shù)量化”的重要工具。因此，隨機(jī)變量的研究是概率論的中心內(nèi)容。事件及事件概率隨機(jī)變量及其取值規(guī)律隨機(jī)事件是從靜態(tài)的角度研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變一、實(shí)例1設(shè)盒中有5個球(2白3黑),從中任抽3個,則是一個隨機(jī)變量.實(shí)例2設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手射了30次,則是一個隨機(jī)變量.且X(ω)的所有可能取值為:且X(ω)的所有可能取值為:練習(xí)實(shí)例1設(shè)盒中有5個球(2白3黑),從中任抽3個,則是一實(shí)例3

設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手不斷向目標(biāo)射擊,直到擊中目標(biāo)為止,則是一個隨機(jī)變量.且X(ω)的所有可能取值為:練習(xí)實(shí)例3設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,是一個隨機(jī)實(shí)例4

某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過,如果某人到達(dá)該車站的時刻是隨機(jī)的,Ｘ＝X()的所有可能取值為:練習(xí)實(shí)例4某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過,隨機(jī)變量的分類離散型(1)離散型隨機(jī)變量所取的可能值是有限多個或無限可列個,叫做離散型隨機(jī)變量.隨機(jī)變量X為擲一個骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).X

的可能值是:隨機(jī)變量連續(xù)型實(shí)例11,2,3,4,5,6.非離散型其它隨機(jī)變量的分類離散型(1)離散型隨機(jī)變量所取的可能值是有實(shí)例2

隨機(jī)變量X為“測量某零件尺寸時的測量誤差”.則X的取值范圍為(a,b).實(shí)例1

隨機(jī)變量X為“燈泡的壽命”.(2)連續(xù)型

隨機(jī)變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個區(qū)間,叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.則X的取值范圍為隨機(jī)變量的分類實(shí)例2隨機(jī)變量X為“測量某零件尺寸時的測量則X的

數(shù)軸上區(qū)間的類型有(a,b),(a,b],[a,b),[a,b],(-∞,b),(-∞,b],(a,+∞),[a,+∞)這8類，而區(qū)間(-∞,b]是有代表意義的。

對于x∈R，概率P{X≤x}存在且為x的函數(shù)，這個函數(shù)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。故考慮概率P{X≤x}二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)數(shù)軸上區(qū)間的類型有(a,b),(a,b]定義

設(shè)X是一個隨機(jī)變量，對任意實(shí)數(shù)x，稱事件{X

x}發(fā)生的概率為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，(1)在分布函數(shù)的定義中,X是隨機(jī)變量,x是自變量.分布函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)。(2)分布函數(shù)的值域是[0,1]。注意:1、隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義定義設(shè)X是一個隨機(jī)變量，對任意實(shí)數(shù)x(3)

對任意實(shí)數(shù)x1<x2，隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間(x1,x2]內(nèi)的概率為：=P{Xx2}-P{Xx1}P{x1<Xx2}

=F(x2)-F(x1)

如果將

X

看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)

F(x)的值就表示

X落在區(qū)間內(nèi)的概率.隨機(jī)點(diǎn)實(shí)數(shù)點(diǎn)(4)1、隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義(3)對任意實(shí)數(shù)x1<x2，隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間(x1,由分布函數(shù)的定義易知,對任意實(shí)數(shù)a,b(ab),有可見，若已知X的分布函數(shù)F(x)，那么，計(jì)算X落如某個區(qū)間的概率就非常方便了．由于分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，通過它我們可以方便地利用數(shù)學(xué)方法來研究隨機(jī)變量．1、隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義由分布函數(shù)的定義易知,對任意實(shí)數(shù)a,b(ab),有實(shí)例拋擲均勻硬幣,令求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).解實(shí)例拋擲均勻硬幣,令求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).解隨機(jī)變量及其分布課件的分布函數(shù)圖右連續(xù)的階梯函數(shù)的分布函數(shù)圖右連續(xù)的階梯函數(shù)r.v的分布函數(shù)必滿足性質(zhì)①②③①②③是單調(diào)不減函數(shù)且右連續(xù)函數(shù)即分布函數(shù)的基本性質(zhì)：當(dāng)時當(dāng)時注性質(zhì)

是