連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析課件

4.3單邊拉普拉斯逆變換4.3.1查表法4.3.2部分分式展開法

若F(s)為假分式--------用多項(xiàng)式除法將F(s)分解為有理多項(xiàng)式與有理真分式之和:若為有理真分式--------直接展開為部分分式后求逆變換。4.3單邊拉普拉斯逆變換4.3.1查表法4.3.21要把F(s)展開為部分分式，必須先求出分母A(s)=0的根。

A(s)為s的n次多項(xiàng)式，A(s)=0有n個(gè)根si(i=1,2,…,n)。

si又稱為F(s)的極點(diǎn)。

si可為單根，也可為重根；可為實(shí)根，也可為復(fù)根。

F(s)展開為部分分式的具體形式取決于si的上述性質(zhì)。應(yīng)用部分分式展開法求拉普拉斯逆變換的幾種情況:

1.F(s)僅有單極點(diǎn)2.F(s)有重極點(diǎn)3.F(s)有復(fù)極點(diǎn)

要把F(s)展開為部分分式，必須先求出分母A(s)=0的21.F(s)僅有單極點(diǎn)

若A(s)=0僅有n個(gè)單根si(i=1,2,…,n)，則無論si是實(shí)根還是復(fù)根，都可將F(s)展開為

其中，系數(shù)Ki為由于故F(s)的單邊拉普拉斯逆變換可表示為(4.3-3)1.F(s)僅有單極點(diǎn)其中，系數(shù)Ki為由于故F(s3例4.3-2

已知 ，求F(s)的單邊拉氏逆變換(原函數(shù))f(t)。

解對(duì)F(s)的分母多項(xiàng)式A(s)進(jìn)行因式分解，得F(s)兩個(gè)根分別為s1=-2,s2=-3。F(s)的部分分式展開式為

所以例4.3-2已知 ，求F(s)的單邊拉氏逆變換(42.F(s)有重極點(diǎn)

若A(s)=0在s=s1處有r重根，而其余(n-r)個(gè)根sj(j=r+1,…，n)為單根，則由附錄A可得式中：2.F(s)有重極點(diǎn)式中：5F1(s)的逆變換：由復(fù)頻移性質(zhì)，可得再由線性和式(4.3-3)，求得

F(s)的單邊拉普拉斯逆變換為F1(s)的逆變換：由復(fù)頻移性質(zhì)，可得再由線性和式(4.6例4.3-3已知求F(s)的單邊拉氏逆變換。解:F(s)有二重極點(diǎn)s=-1和單極點(diǎn)s=-3。因此，F(xiàn)(s)可展開為于是得例4.3-3已知求73.F(s)有復(fù)極點(diǎn)如果A(s)=0的復(fù)根為s1,2=-±jβ，則F(s)可展開為式中，K2=K1*。令K1=|K1|ej,則有3.F(s)有復(fù)極點(diǎn)如果A(s)=0的復(fù)根為s1,28由復(fù)頻移和線性性質(zhì)得F(s)的原函數(shù)為

對(duì)于F(s)的一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)s1=-+jβ和s2=--jβ，只需要計(jì)算出系數(shù)K1=|K1|ej(與s1對(duì)應(yīng))，然后把|K1|、、、β代入式(4.3-8)，即得到該共軛復(fù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的部分分式的原函數(shù)。(4.3-8)由復(fù)頻移和線性性質(zhì)得F(s)的原函數(shù)為對(duì)于9

如果F(s)有復(fù)重極點(diǎn)，那么相應(yīng)的部分分式也呈現(xiàn)與復(fù)單極點(diǎn)類似的特點(diǎn)。以A(s)=0的根為二重共軛復(fù)根s1,2=-±jβ為例，其F(s)可展開為K22=K12*,K21=K11*式中：如果F(s)有復(fù)重極點(diǎn)，那么相應(yīng)的部分分式也10例4.3-4已知求F(s)的單邊拉氏逆變換f(t)。解

F(s)可以表示為F(s)有一對(duì)共軛單極點(diǎn)s1,2=-2±j2,可展開為例4.3-4已知求F(s)的單邊拉氏逆變換f(t)。11例4.3-5已知 ，求F(s)的單邊拉氏逆變換。解

F(s)不是有理分式，但F(s)可以表示為由線性和常用變換對(duì)得到由時(shí)移性質(zhì)得例4.3-5已知 12例4.3-7

已知

求F(s)的單邊拉氏逆變換。解

F(s)不是有理分式，不能展開為部分分式。F(s)可以表示為對(duì)于從t=0-起始的周期性沖激序列其單邊拉氏變換為因此，由時(shí)域卷積性質(zhì)得例4.3-7已知求F(s)的單邊拉氏逆變換。解13在例4.3-7中f(t)與F(s)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以推廣應(yīng)用到一般從t=0-起始的周期信號(hào)。設(shè)f(t)為從t=0-起始的周期信號(hào)，周期為T，f1(t)為f(t)的第一周期內(nèi)的信號(hào)，如圖(a)、(b)所示。f(t)可以表示為令f1(t)←→F1(s),f(t)←→F(s),則有Re［s］＞0在例4.3-7中f(t)與F(s)的對(duì)應(yīng)14*4.3.3反演積分法單邊拉普拉斯逆變換也可以用單邊拉普拉斯逆變換的定義式求逆變換，這種方法稱反演積分法。*4.3.3反演積分法單邊拉普拉斯逆變換154.4連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析4.4.1連續(xù)信號(hào)的復(fù)頻域分解由單邊拉普拉斯逆變換的定義，若信號(hào)f(t)的單邊拉普拉斯變換為F(s)，則信號(hào)f(t)可以表示為線性連續(xù)系統(tǒng)復(fù)頻域分析的基本方法把系統(tǒng)的輸入信號(hào)分解為基本信號(hào)est之和。其數(shù)學(xué)描述就是輸入和響應(yīng)的拉普拉斯變換和逆變換。物理意義：f(t)分解為-j到+j區(qū)間上不同s的基本信號(hào)est之和(積分)。

從系統(tǒng)分析角度，信號(hào)分解為基本信號(hào)est之和主要基于：1）est的形式簡(jiǎn)單，其響應(yīng)的求解比較簡(jiǎn)單；2）系統(tǒng)為線性的，可以利用可加性，即由基本信號(hào)響應(yīng)之和求系統(tǒng)的響應(yīng)。4.4連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析4.4.1連續(xù)信號(hào)的復(fù)頻域分164.4.2基本信號(hào)est激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)

若線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的輸入f(t),零狀態(tài)響應(yīng)為yf(t)，沖激響應(yīng)為h(t)，由連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析可知:當(dāng)系統(tǒng)的輸入為基本信號(hào)，即f(t)=est時(shí)，則若h(t)為因果函數(shù)，則有H（s）稱為線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，est稱為系統(tǒng)的特征函數(shù)。4.4.2基本信號(hào)est激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)當(dāng)系統(tǒng)的輸入為基174.4.3一般信號(hào)f(t)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)

對(duì)于σ-j∞到σ+j∞區(qū)間上的任一s，信號(hào)est產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)為H(s)est。est與其響應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系表示為：齊次性疊加性4.4.3一般信號(hào)f(t)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)18即f(t)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)因?yàn)閒(t)、h(t)是因果信號(hào)，所以yf(t)也是因果信號(hào)。即f(t)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)因?yàn)閒(t)、h(19另一方面，由于yf(t)=h(t)*f(t)，根據(jù)時(shí)域卷積性質(zhì)，則yf(t)的單邊拉普拉斯變換為另一方面，由于yf(t)=h(t)*f(t)20由式(4.4-6)和式(4.4-7)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可按以下步驟求解：(1)求系統(tǒng)輸入f(t)的單邊拉普拉斯變換F(s);(2)求系統(tǒng)函數(shù)H(s);(3)求零狀態(tài)響應(yīng)的單邊拉普拉斯變換Yf(s)，Yf(s)=H(s)F(s);(4)求Yf(s)的單邊拉普拉斯逆變換yf(t)；由式(4.4-6)和式(4.4-7)，系統(tǒng)的21例4.4-1

已知線性連續(xù)系統(tǒng)的輸入為f1(t)=e-tε(t)時(shí)，零狀態(tài)響應(yīng)yf1(t)=(e-t-e-2t)ε(t)。若輸入為f2(t)=tε(t)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf2(t)。解：f2(t)的單邊拉氏變換為yf2(t)的單邊拉氏變換為于是得例4.4-1已知線性連續(xù)系統(tǒng)的輸入為f1(t)=e-t224.5系統(tǒng)微分方程的復(fù)頻域解設(shè)二階連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為ai、bj為實(shí)常數(shù)；f(t)為因果信號(hào)，f(0-)、f’(0-)均為零。設(shè)初始時(shí)刻t0=0,y(t)的單邊拉普拉斯變換為Y(s)，對(duì)上式兩端取單邊拉普拉斯變換，根據(jù)時(shí)域微分性質(zhì)有：4.5系統(tǒng)微分方程的復(fù)頻域解設(shè)二階連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為23分別令整理對(duì)上式取單邊拉普拉斯逆變換，就得到系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)、零輸入響應(yīng)yx(t)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)，即系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式A(s)＝0稱為系統(tǒng)的特征方程，A(s)＝0的根稱為特征根

系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)分別令整理對(duì)上式取單邊拉普拉斯逆變換，就得到24若為n階連續(xù)系統(tǒng)，其微分方程為n階系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為上式給出了系統(tǒng)微分方程與系統(tǒng)函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。根據(jù)這個(gè)關(guān)系，可由系統(tǒng)微分方程得到系統(tǒng)函數(shù)H(s)，也可由系統(tǒng)函數(shù)得到系統(tǒng)的微分方程。若為n階連續(xù)系統(tǒng)，其微分方程為n階系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為上式給出了25關(guān)于響應(yīng)的初始值需注意以下兩個(gè)問題：（1）對(duì)于n階線性連續(xù)系統(tǒng)若輸入f(t)為因果信號(hào)，則一般不等于零，因此（2）對(duì)于n階線性連續(xù)因果系統(tǒng)，若在t<0和t>0時(shí)yx(t)滿足的微分方程相同，則關(guān)于響應(yīng)的初始值需注意以下兩個(gè)問題：（1）對(duì)于n階線性連續(xù)26例4.5-1

已知線性系統(tǒng)的微分方程為求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)、零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)和完全響應(yīng)y(t)。解方法1根據(jù)單邊拉氏變換的時(shí)域微分性質(zhì)，對(duì)系統(tǒng)微分方程取單邊拉氏變換，得f(t)的單邊拉氏變換為例4.5-1已知線性系統(tǒng)的微分方程為求系統(tǒng)的零輸入響27代入已知條件：求Y(s)、Yx(s)、Yf(s)的單邊拉氏逆變換，得：代入已知條件：求Y(s)、Yx(s)、Yf(s)的單邊拉氏逆28方法2分別根據(jù)yx(t)和yf(t)滿足的微分方程求yx(t)和yf(t)。yx(t)滿足的微分方程為由于f(t)為因果信號(hào)，所以f(0-)=0，yf(0-)=y’f(0-)=0。yf(t)滿足的微分方程為yx(t)的初始條件yx(0-)=y(0-)、yx’(0-)=y′(0-)。對(duì)上述兩式分別進(jìn)行單邊拉氏變換，即得Yx(s)和Yf(s)，從而可求得yx(t)、yf(t)和y(t)。方法2分別根據(jù)yx(t)和yf(t)滿足的微分方程求y294.6RLC系統(tǒng)的復(fù)頻域分析4.6.1KCL、KVL的復(fù)頻域形式KCL和KVL的時(shí)域形式分別為設(shè)RLC系統(tǒng)(電路)中支路電流i(t)和支路電壓u(t)的單邊拉普拉斯變換分別為I(s)和U(s)，對(duì)上式取單邊拉普拉斯變換，再由線性性質(zhì)，得到RLC系統(tǒng)--------由線性時(shí)不變電阻、電感、電容和線性受控源、獨(dú)立電源組成的線性時(shí)不變系統(tǒng)。RLC系統(tǒng)復(fù)頻域分析的基礎(chǔ)是基爾霍夫定律(KCL，KVL)和R、L、C元件電流電壓關(guān)系(VAR)的復(fù)頻域形式。4.6RLC系統(tǒng)的復(fù)頻域分析4.6.1KCL、KVL304.6.2系統(tǒng)元件的復(fù)頻域模型1.電阻元件(R)設(shè)線性時(shí)不變電阻R上電壓u(t)和電流i(t)的參考方向關(guān)聯(lián)，則R上電流和電壓關(guān)系(VAR)的時(shí)域形式為設(shè)u(t)和i(t)的象函數(shù)分別為U(s)和I(s)，對(duì)上式取單邊拉普拉斯變換，得時(shí)域模型S域模型其時(shí)域模型如圖(a)所示。其S模型如圖(b)所示。4.6.2系統(tǒng)元件的復(fù)頻域模型1.電阻元312.電感元件(L)設(shè)線性時(shí)不變電感L上電壓u(t)和電流i(t)的參考方向關(guān)聯(lián)，則電感元件VAR的時(shí)域形式為(4.6-5)電感L的時(shí)域模型如圖(a)所示。2.電感元件(L)(4.6-5)電32設(shè)i(t)的初始值i(0-)=0(零狀態(tài))，u(t)和i(t)的單邊拉普拉斯變換分別為U(s)和I(s)，對(duì)上式取單邊拉普拉斯變換，根據(jù)時(shí)域微分、積分性質(zhì)，得若電感L的電流i(t)的初始值i(0-)不等于零，對(duì)上式取單邊拉普拉斯變換，可得串聯(lián)模型并聯(lián)模型設(shè)i(t)的初始值i(0-)=0(零狀態(tài))，u(t)和i(t333.電容元件(C)設(shè)線性時(shí)不變電容元件C上電壓u(t)和電流i(t)的參考方向關(guān)聯(lián)，則電容元件VAR的時(shí)域形式為3.電容元件(C)34若u(t)的初始值u(0-)=0(零狀態(tài))，u(t)和i(t)的單邊拉普拉斯變換分別為U(s)和I(s)，對(duì)上式取單邊拉普拉斯變換，得若電容元件C上電壓u(t)的初始值u(0-)不等于零，對(duì)上式取單邊拉普拉斯變換，得串聯(lián)模型并聯(lián)模型非零狀態(tài)模型

元件模型若u(t)的初始值u(0-)=0(零狀態(tài))，u(t)和i(t354.6.3RLC系統(tǒng)的復(fù)頻域模型及分析方法

例4.6-1圖(a)所示RLC系統(tǒng)，us1(t)=2V,us2(t)=4V,R1=R2=1Ω，L=1H，C=1Ｆ。t＜0時(shí)電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開關(guān)S由位置1接到位置2。求t≥0時(shí)的完全響應(yīng)iL(t)、零輸入響應(yīng)iLx(t)和零狀態(tài)響應(yīng)iLf(t)。解:(1)求完全響應(yīng)iL(t)：若把RLC系統(tǒng)中的激勵(lì)和響應(yīng)都用其象函數(shù)表示，R、L、C元件用其復(fù)頻域的模型表示，就得到系統(tǒng)的復(fù)頻域模型。在復(fù)頻域中，RLC系統(tǒng)的激勵(lì)與響應(yīng)的關(guān)系是關(guān)于s的代數(shù)方程。4.6.3RLC系統(tǒng)的復(fù)頻域模型及分析方法例4.6-136則S域的網(wǎng)孔方程為式中，則S域的網(wǎng)孔方程為式中，37把Us2(s)及各元件的值代入網(wǎng)孔方程，解網(wǎng)孔方程得求IL(s)的單邊拉氏逆變換，得把Us2(s)及各元件的值代入網(wǎng)孔方程，解網(wǎng)孔方程得求I38(2)求零輸入響應(yīng)iLx(t)：設(shè)零輸入響應(yīng)iLx(t)的單邊拉氏變換為ILx(s)，網(wǎng)孔電流的象函數(shù)分別為I1x(s)和I2x(s)，如圖(c)所示。列網(wǎng)孔方程，得把各元件的值及uC(0-)和iL(0-)的值代入網(wǎng)孔方程，(2)求零輸入響應(yīng)iLx(t)：設(shè)零輸入響應(yīng)iLx(t)的39(3)求零狀態(tài)響應(yīng)iLf(t)：設(shè)零狀態(tài)響應(yīng)iLf(t)的單邊拉氏變換為ILf(s)，可用網(wǎng)孔分析法求ILf(s)，逆變換得到iLf(t)。也可以根據(jù)S域電路模型求出系統(tǒng)函數(shù)H(s)，然后通過H(s)求ILf(s)和iLf(t)。令ab端的輸入運(yùn)算阻抗為Z(s)，則有把Z(s)的表示式代入上式得到H(s)為(3)求零狀態(tài)響應(yīng)iLf(t)：設(shè)零狀態(tài)響應(yīng)iLf(t40因此得求ILf(s)的單邊拉氏逆變換，得因此得求ILf(s)的單邊拉氏逆變換，得414.7連續(xù)系統(tǒng)的表示和模擬系統(tǒng)的表示------線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系可以用微分方程描述，也可以用方框圖、信號(hào)流圖來表示，這種表示避開了系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，而集中著眼于系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，使對(duì)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的考察更加直觀明了。如果已知系統(tǒng)的微分方程或系統(tǒng)函數(shù)，我們也可以用一些基本單元來構(gòu)成系統(tǒng)，稱為系統(tǒng)的模擬。系統(tǒng)的表示是系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)，而系統(tǒng)的模擬是系統(tǒng)綜合的基礎(chǔ)。4.7連續(xù)系統(tǒng)的表示和模擬系統(tǒng)的表示------線性時(shí)不42一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)可以用一個(gè)矩形方框圖簡(jiǎn)單地表示，方框圖左邊為輸入f(t)，右邊為系統(tǒng)的輸出y(t)，方框表示聯(lián)系輸入和輸出的其他部分，是系統(tǒng)的主體。復(fù)合系統(tǒng)----幾個(gè)系統(tǒng)的組合連接構(gòu)成的復(fù)雜系統(tǒng)。子系統(tǒng)--------組成復(fù)合系統(tǒng)的每一個(gè)系統(tǒng)。系統(tǒng)的組合連接方式有串聯(lián)、并聯(lián)及混合連接。連續(xù)系統(tǒng)可以用一些輸入輸出關(guān)系簡(jiǎn)單的基本單元(子系統(tǒng))連接起來表示。這些基本單元有加法器、數(shù)乘器(放大器)、積分器等。4.7.1連續(xù)系統(tǒng)的方框圖表示一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)可以用一個(gè)矩形方框圖簡(jiǎn)單地表示，方框圖左邊為輸入431.連續(xù)系統(tǒng)的串聯(lián)時(shí)域形式復(fù)頻域形式若h(t)為因果函數(shù)，h(t)的單邊拉普拉斯變換為H(s)1.連續(xù)系統(tǒng)的串聯(lián)時(shí)域形式復(fù)頻域形式若h(t)為因果函數(shù)442.連續(xù)系統(tǒng)的并聯(lián)時(shí)域形式復(fù)頻域形式2.連續(xù)系統(tǒng)的并聯(lián)時(shí)域形式復(fù)頻域形式45例4.7-1某線性連續(xù)系統(tǒng)如圖所示。其中，h1(t)=δ(t),h2(t)=δ(t-1),h3(t)=δ(t-3)。(1)試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t);(2)若f(t)=ε(t)，試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。解(1)求系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t):例4.7-1某線性連續(xù)系統(tǒng)如圖所示。解(1)求系統(tǒng)沖46復(fù)合系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)分別為(2)求f(t)=ε(t)時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)：設(shè)系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)的單邊拉氏變換為Yf(s)，則復(fù)合系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)分別為(2)求f(t)=473.用基本運(yùn)算器表示系統(tǒng)基本運(yùn)算器的時(shí)域和S域模型數(shù)乘器加法器積分器3.用基本運(yùn)算器表示系統(tǒng)基本運(yùn)算器的時(shí)域和S域模型48例4.7-2某線性連續(xù)系統(tǒng)如圖所示。求系統(tǒng)函數(shù)H(s),寫出描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的微分方程。解:例4.7-2某線性連續(xù)系統(tǒng)如圖所示。求系統(tǒng)函數(shù)H(s),49系統(tǒng)函數(shù)為應(yīng)用時(shí)域微分性質(zhì)，得系統(tǒng)微分方程為:系統(tǒng)函數(shù)為應(yīng)用時(shí)域微分性質(zhì)，得系統(tǒng)微分方程為:504.7.2連續(xù)系統(tǒng)的信號(hào)流圖表示系統(tǒng)的信號(hào)流圖是由點(diǎn)和有向線段組成的線圖，用來表示系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，是系統(tǒng)框圖表示的一種簡(jiǎn)化形式。信號(hào)流圖中信號(hào)的表示及其傳輸?shù)木唧w規(guī)則如圖4.7-7(P184)所示。點(diǎn)表示信號(hào)有向線段表示信號(hào)的傳輸方向和傳輸關(guān)系傳輸函數(shù)4.7.2連續(xù)系統(tǒng)的信號(hào)流圖表示系統(tǒng)的信號(hào)流圖是由點(diǎn)和51圖4.7-7信號(hào)流圖的規(guī)則圖4.7-7信號(hào)流圖的規(guī)則52關(guān)于信號(hào)流圖，有如下常用術(shù)語(yǔ)：(1)節(jié)點(diǎn)：信號(hào)流圖中表示信號(hào)的點(diǎn)稱節(jié)點(diǎn)。(2)支路：連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的有向線段稱為支路。寫在支路旁邊的函數(shù)稱為支路的增益或傳輸函數(shù)。(3)源點(diǎn)與匯點(diǎn)：僅有輸出支路的節(jié)點(diǎn)稱為源點(diǎn)，僅有輸入支路的節(jié)點(diǎn)稱為匯點(diǎn)。(5)開路：一條通路與它經(jīng)過的任一節(jié)點(diǎn)只相遇一次，該通路稱開路。(6)環(huán)(回路)：如果通路的起點(diǎn)和終點(diǎn)為同一節(jié)點(diǎn)，并且與經(jīng)過的其余節(jié)點(diǎn)只相遇一次，則該通路稱為環(huán)或回路。關(guān)于信號(hào)流圖，有如下常用術(shù)語(yǔ)：531.連續(xù)系統(tǒng)的信號(hào)流圖表示信號(hào)流圖與方框圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系1.連續(xù)系統(tǒng)的信號(hào)流圖表示信號(hào)流圖與方框圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系54例4.7-4某線性連續(xù)系統(tǒng)的方框圖表示如圖(a)所示。畫出系統(tǒng)的信號(hào)流圖。解:例4.7-4某線性連續(xù)系統(tǒng)的方框圖表示如圖(a)所示。畫552.梅森公式(Mason'sRule)式中，Δ稱為信號(hào)流圖的特征行列式，表示為用信號(hào)流圖不僅可以直觀簡(jiǎn)明地表示系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，而且可以利用梅森公式由信號(hào)流圖方便地求出系統(tǒng)傳輸函數(shù)H(s)。梅森公式為信號(hào)流圖中所有環(huán)傳輸函數(shù)之和第j個(gè)環(huán)的環(huán)傳輸函數(shù)，等于構(gòu)成第j個(gè)環(huán)的各支路傳輸函數(shù)的乘積

信號(hào)流圖中所有兩個(gè)不接觸環(huán)的環(huán)傳輸函數(shù)乘積之和若兩個(gè)環(huán)沒有公共節(jié)點(diǎn)或支路，則稱這兩個(gè)環(huán)不接觸。

信號(hào)流圖中所有三個(gè)不接觸環(huán)的環(huán)傳輸函數(shù)乘積之和

m表示從輸入節(jié)點(diǎn)(源點(diǎn))F(s)到輸出節(jié)點(diǎn)(匯點(diǎn))Y(s)之間開路的總數(shù)。Pi表示從F(s)到Y(jié)(s)之間第i條開路的傳輸函數(shù)，它等于第i條開路上所有支路傳輸函數(shù)的乘積。i稱為第i條開路特征行列式的余因子，它是與第i條開路不接觸的子流圖的特征行列式。

2.梅森公式(Mason'sRule)式中，Δ稱為信56例4.7-5已知連續(xù)系統(tǒng)的信號(hào)流圖如圖所示。求系統(tǒng)函數(shù)H(s)。解系統(tǒng)信號(hào)流圖共有四個(gè)環(huán)，環(huán)傳輸函數(shù)分別為有兩個(gè)兩兩不相接觸的環(huán)：從F(s)到Y(jié)(s)只有一條開路，開路傳輸函數(shù)P1和對(duì)應(yīng)的子流圖特征行列式分別為例4.7-5已知連續(xù)系統(tǒng)的信號(hào)流圖如圖所示。求系統(tǒng)函數(shù)H57得到系統(tǒng)信號(hào)流圖的特征行列式為所以系統(tǒng)函數(shù)為得到系統(tǒng)信號(hào)流圖的特征行列式為所以系統(tǒng)函數(shù)為58EXEP203-2044.9(1)(3)(9)(11)4.114.174.19EXEP203-2044.9(1)(3)(9)(1594.3單邊拉普拉斯逆變換4.3.1查表法4.3.2部分分式展開法

若F(s)為假分式--------用多項(xiàng)式除法將F(s)分解為有理多項(xiàng)式與有理真分式之和:若為有理真分式--------直接展開為部分分式后求逆變換。4.3單邊拉普拉斯逆變換4.3.1查表法4.3.260要把F(s)展開為部分分式，必須先求出分母A(s)=0的根。

A(s)為s的n次多項(xiàng)式，A(s)=0有n個(gè)根si(i=1,2,…,n)。

si又稱為F(s)的極點(diǎn)。

si可為單根，也可為重根；可為實(shí)根，也可為復(fù)根。

F(s)展開為部分分式的具體形式取決于si的上述性質(zhì)。應(yīng)用部分分式展開法求拉普拉斯逆變換的幾種情況:

1.F(s)僅有單極點(diǎn)2.F(s)有重極點(diǎn)3.F(s)有復(fù)極點(diǎn)

要把F(s)展開為部分分式，必須先求出分母A(s)=0的611.F(s)僅有單極點(diǎn)

若A(s)=0僅有n個(gè)單根si(i=1,2,…,n)，則無論si是實(shí)根還是復(fù)根，都可將F(s)展開為

其中，系數(shù)Ki為由于故F(s)的單邊拉普拉斯逆變換可表示為(4.3-3)1.F(s)僅有單極點(diǎn)其中，系數(shù)Ki為由于故F(s62例4.3-2

已知 ，求F(s)的單邊拉氏逆變換(原函數(shù))f(t)。

解對(duì)F(s)的分母多項(xiàng)式A(s)進(jìn)行因式分解，得F(s)兩個(gè)根分別為s1=-2,s2=-3。F(s)的部分分式展開式為

所以例4.3-2已知 ，求F(s)的單邊拉氏逆變換(632.F(s)有重極點(diǎn)

若A(s)=0在s=s1處有r重根，而其余(n-r)個(gè)根sj(j=r+1,…，n)為單根，則由附錄A可得式中：2.F(s)有重極點(diǎn)式中：64F1(s)的逆變換：由復(fù)頻移性質(zhì)，可得再由線性和式(4.3-3)，求得

F(s)的單邊拉普拉斯逆變換為F1(s)的逆變換：由復(fù)頻移性質(zhì)，可得再由線性和式(4.65例4.3-3已知求F(s)的單邊拉氏逆變換。解:F(s)有二重極點(diǎn)s=-1和單極點(diǎn)s=-3。因此，F(xiàn)(s)可展開為于是得例4.3-3已知求663.F(s)有復(fù)極點(diǎn)如果A(s)=0的復(fù)根為s1,2=-±jβ，則F(s)可展開為式中，K2=K1*。令K1=|K1|ej,則有3.F(s)有復(fù)極點(diǎn)如果A(s)=0的復(fù)根為s1,267由復(fù)頻移和線性性質(zhì)得F(s)的原函數(shù)為

對(duì)于F(s)的一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)s1=-+jβ和s2=--jβ，只需要計(jì)算出系數(shù)K1=|K1|ej(與s1對(duì)應(yīng))，然后把|K1|、、、β代入式(4.3-8)，即得到該共軛復(fù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的部分分式的原函數(shù)。(4.3-8)由復(fù)頻移和線性性質(zhì)得F(s)的原函數(shù)為對(duì)于68

如果F(s)有復(fù)重極點(diǎn)，那么相應(yīng)的部分分式也呈現(xiàn)與復(fù)單極點(diǎn)類似的特點(diǎn)。以A(s)=0的根為二重共軛復(fù)根s1,2=-±jβ為例，其F(s)可展開為K22=K12*,K21=K11*式中：如果F(s)有復(fù)重極點(diǎn)，那么相應(yīng)的部分分式也69例4.3-4已知求F(s)的單邊拉氏逆變換f(t)。解

F(s)可以表示為F(s)有一對(duì)共軛單極點(diǎn)s1,2=-2±j2,可展開為例4.3-4已知求F(s)的單邊拉氏逆變換f(t)。70例4.3-5已知 ，求F(s)的單邊拉氏逆變換。解

F(s)不是有理分式，但F(s)可以表示為由線性和常用變換對(duì)得到由時(shí)移性質(zhì)得例4.3-5已知 71例4.3-7

已知

求F(s)的單邊拉氏逆變換。解

F(s)不是有理分式，不能展開為部分分式。F(s)可以表示為對(duì)于從t=0-起始的周期性沖激序列其單邊拉氏變換為因此，由時(shí)域卷積性質(zhì)得例4.3-7已知求F(s)的單邊拉氏逆變換。解72在例4.3-7中f(t)與F(s)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以推廣應(yīng)用到一般從t=0-起始的周期信號(hào)。設(shè)f(t)為從t=0-起始的周期信號(hào)，周期為T，f1(t)為f(t)的第一周期內(nèi)的信號(hào)，如圖(a)、(b)所示。f(t)可以表示為令f1(t)←→F1(s),f(t)←→F(s),則有Re［s］＞0在例4.3-7中f(t)與F(s)的對(duì)應(yīng)73*4.3.3反演積分法單邊拉普拉斯逆變換也可以用單邊拉普拉斯逆變換的定義式求逆變換，這種方法稱反演積分法。*4.3.3反演積分法單邊拉普拉斯逆變換744.4連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析4.4.1連續(xù)信號(hào)的復(fù)頻域分解由單邊拉普拉斯逆變換的定義，若信號(hào)f(t)的單邊拉普拉斯變換為F(s)，則信號(hào)f(t)可以表示為線性連續(xù)系統(tǒng)復(fù)頻域分析的基本方法把系統(tǒng)的輸入信號(hào)分解為基本信號(hào)est之和。其數(shù)學(xué)描述就是輸入和響應(yīng)的拉普拉斯變換和逆變換。物理意義：f(t)分解為-j到+j區(qū)間上不同s的基本信號(hào)est之和(積分)。

從系統(tǒng)分析角度，信號(hào)分解為基本信號(hào)est之和主要基于：1）est的形式簡(jiǎn)單，其響應(yīng)的求解比較簡(jiǎn)單；2）系統(tǒng)為線性的，可以利用可加性，即由基本信號(hào)響應(yīng)之和求系統(tǒng)的響應(yīng)。4.4連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析4.4.1連續(xù)信號(hào)的復(fù)頻域分754.4.2基本信號(hào)est激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)

若線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的輸入f(t),零狀態(tài)響應(yīng)為yf(t)，沖激響應(yīng)為h(t)，由連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析可知:當(dāng)系統(tǒng)的輸入為基本信號(hào)，即f(t)=est時(shí)，則若h(t)為因果函數(shù)，則有H（s）稱為線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，est稱為系統(tǒng)的特征函數(shù)。4.4.2基本信號(hào)est激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)當(dāng)系統(tǒng)的輸入為基764.4.3一般信號(hào)f(t)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)

對(duì)于σ-j∞到σ+j∞區(qū)間上的任一s，信號(hào)est產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)為H(s)est。est與其響應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系表示為：齊次性疊加性4.4.3一般信號(hào)f(t)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)77即f(t)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)因?yàn)閒(t)、h(t)是因果信號(hào)，所以yf(t)也是因果信號(hào)。即f(t)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)因?yàn)閒(t)、h(78另一方面，由于yf(t)=h(t)*f(t)，根據(jù)時(shí)域卷積性質(zhì)，則yf(t)的單邊拉普拉斯變換為另一方面，由于yf(t)=h(t)*f(t)79由式(4.4-6)和式(4.4-7)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可按以下步驟求解：(1)求系統(tǒng)輸入f(t)的單邊拉普拉斯變換F(s);(2)求系統(tǒng)函數(shù)H(s);(3)求零狀態(tài)響應(yīng)的單邊拉普拉斯變換Yf(s)，Yf(s)=H(s)F(s);(4)求Yf(s)的單邊拉普拉斯逆變換yf(t)；由式(4.4-6)和式(4.4-7)，系統(tǒng)的80例4.4-1

已知線性連續(xù)系統(tǒng)的輸入為f1(t)=e-tε(t)時(shí)，零狀態(tài)響應(yīng)yf1(t)=(e-t-e-2t)ε(t)。若輸入為f2(t)=tε(t)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf2(t)。解：f2(t)的單邊拉氏變換為yf2(t)的單邊拉氏變換為于是得例4.4-1已知線性連續(xù)系統(tǒng)的輸入為f1(t)=e-t814.5系統(tǒng)微分方程的復(fù)頻域解設(shè)二階連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為ai、bj為實(shí)常數(shù)；f(t)為因果信號(hào)，f(0-)、f’(0-)均為零。設(shè)初始時(shí)刻t0=0,y(t)的單邊拉普拉斯變換為Y(s)，對(duì)上式兩端取單邊拉普拉斯變換，根據(jù)時(shí)域微分性質(zhì)有：4.5系統(tǒng)微分方程的復(fù)頻域解設(shè)二階連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為82分別令整理對(duì)上式取單邊拉普拉斯逆變換，就得到系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)、零輸入響應(yīng)yx(t)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)，即系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式A(s)＝0稱為系統(tǒng)的特征方程，A(s)＝0的根稱為特征根

系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)分別令整理對(duì)上式取單邊拉普拉斯逆變換，就得到83若為n階連續(xù)系統(tǒng)，其微分方程為n階系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為上式給出了系統(tǒng)微分方程與系統(tǒng)函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。根據(jù)這個(gè)關(guān)系，可由系統(tǒng)微分方程得到系統(tǒng)函數(shù)H(s)，也可由系統(tǒng)函數(shù)得到系統(tǒng)的微分方程。若為n階連續(xù)系統(tǒng)，其微分方程為n階系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為上式給出了84關(guān)于響應(yīng)的初始值需注意以下兩個(gè)問題：（1）對(duì)于n階線性連續(xù)系統(tǒng)若輸入f(t)為因果信號(hào)，則一般不等于零，因此（2）對(duì)于n階線性連續(xù)因果系統(tǒng)，若在t<0和t>0時(shí)yx(t)滿足的微分方程相同，則關(guān)于響應(yīng)的初始值需注意以下兩個(gè)問題：（1）對(duì)于n階線性連續(xù)85例4.5-1

已知線性系統(tǒng)的微分方程為求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)、零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)和完全響應(yīng)y(t)。解方法1根據(jù)單邊拉氏變換的時(shí)域微分性質(zhì)，對(duì)系統(tǒng)微分方程取單邊拉氏變換，得f(t)的單邊拉氏變換為例4.5-1已知線性系統(tǒng)的微分方程為求系統(tǒng)的零輸入響86代入已知條件：求Y(s)、Yx(s)、Yf(s)的單邊拉氏逆變換，得：代入已知條件：求Y(s)、Yx(s)、Yf(s)的單邊拉氏逆87方法2分別根據(jù)yx(t)和yf(t)滿足的微分方程求yx(t)和yf(t)。yx(t)滿足的微分方程為由于f(t)為因果信號(hào)，所以f(0-)=0，yf(0-)=y’f(0-)=0。yf(t)滿足的微分方程為yx(t)的初始條件yx(0-)=y(0-)、yx’(0-)=y′(0-)。對(duì)上述兩式分別進(jìn)行單邊拉氏變換，即得Yx(s)和Yf(s)，從而可求得yx(t)、yf(t)和y(t)。方法2分別根據(jù)yx(t)和yf(t)滿足的微分方程求y884.6RLC系統(tǒng)的復(fù)頻域分析4.6.1KCL、KVL的復(fù)頻域形式KCL和KVL的時(shí)域形式分別為設(shè)RLC系統(tǒng)(電路)中支路電流i(t)和支路電壓u(t)的單邊拉普拉斯變換分別為I(s)和U(s)，對(duì)上式取單邊拉普拉斯變換，再由線性性質(zhì)，得到RLC系統(tǒng)--------由線性時(shí)不變電阻、電感、電容和線性受控源、獨(dú)立電源組成的線性時(shí)不變系統(tǒng)。RLC系統(tǒng)復(fù)頻域分析的基礎(chǔ)是基爾霍夫定律(KCL，KVL)和R、L、C元件電流電壓關(guān)系(VAR)的復(fù)頻域形式。4.6RLC系統(tǒng)的復(fù)頻域分析4.6.1KCL、KVL894.6.2系統(tǒng)元件的復(fù)頻域模型1.電阻元件(R)設(shè)線性時(shí)不變電阻R上電壓u(t)和電流i(t)的參考方向關(guān)聯(lián)，則R上電流和電壓關(guān)系(VAR)的時(shí)域形式為設(shè)u(t)和i(t)的象函數(shù)分別為U(s)和I(s)，對(duì)上式取單邊拉普拉斯變換，得時(shí)域模型S域模型其時(shí)域模型如圖(a)所示。其S模型如圖(b)所示。4.6.2系統(tǒng)元件的復(fù)頻域模型1.電阻元902.電感元件(L)設(shè)線性時(shí)不變電感L上電壓u(t)和電流i(t)的參考方向關(guān)聯(lián)，則電感元件VAR的時(shí)域形式為(4.6-5)電感L的時(shí)域模型如圖(a)所示。2.電感元件(L)(4.6-5)電91設(shè)i(t)的初始值i(0-)=0(零狀態(tài))，u(t)和i(t)的單邊拉普拉斯變換分別為U(s)和I(s)，對(duì)上式取單邊拉普拉斯變換，根據(jù)時(shí)域微分、積分性質(zhì)，得若電感L的電流i(t)的初始值i(0-)不等于零，對(duì)上式取單邊拉普拉斯變換，可得串聯(lián)模型并聯(lián)模型設(shè)i(t)的初始值i(0-)=0(零狀態(tài))，u(t)和i(t923.電容元件(C)設(shè)線性時(shí)不變電容元件C上電壓u(t)和電流i(t)的參考方向關(guān)聯(lián)，則電容元件VAR的時(shí)域形式為3.電容元件(C)93若u(t)的初始值u(0-)=0(零狀態(tài))，u(t)和i(t)的單邊拉普拉斯變換分別為U(s)和I(s)，對(duì)上式取單邊拉普拉斯變換，得若電容元件C上電壓u(t)的初始值u(0-)不等于零，對(duì)上式取單邊拉普拉斯變換，得串聯(lián)模型并聯(lián)模型非零狀態(tài)模型

元件模型若u(t)的初始值u(0-)=0(零狀態(tài))，u(t)和i(t944.6.3RLC系統(tǒng)的復(fù)頻域模型及分析方法

例4.6-1圖(a)所示RLC系統(tǒng)，us1(t)=2V,us2(t)=4V,R1=R2=1Ω，L=1H，C=1Ｆ。t＜0時(shí)電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開關(guān)S由位置1接到位置2。求t≥0時(shí)的完全響應(yīng)iL(t)、零輸入響應(yīng)iLx(t)和零狀態(tài)響應(yīng)iLf(t)。解:(1)求完全響應(yīng)iL(t)：若把RLC系統(tǒng)中的激勵(lì)和響應(yīng)都用其象函數(shù)表示，R、L、C元件用其復(fù)頻域的模型表示，就得到系統(tǒng)的復(fù)頻域模型。在復(fù)頻域中，RLC系統(tǒng)的激勵(lì)與響應(yīng)的關(guān)系是關(guān)于s的代數(shù)方程。4.6.3RLC系統(tǒng)的復(fù)頻域模型及分析方法例4.6-195則S域的網(wǎng)孔方程為式中，則S域的網(wǎng)孔方程為式中，96把Us2(s)及各元件的值代入網(wǎng)孔方程，解網(wǎng)孔方程得求IL(s)的單邊拉氏逆變換，得把Us2(s)及各元件的值代入網(wǎng)孔方程，解網(wǎng)孔方程得求I97(2)求零輸入響應(yīng)iLx(t)：設(shè)零輸入響應(yīng)iLx(t)的單邊拉氏變換為ILx(s)，網(wǎng)孔電流的象函數(shù)分別為I1x(s)和I2x(s)，如圖(c)所示。列網(wǎng)孔方程，得把各元件的值及uC(0-)和iL(0-)的值代入網(wǎng)孔方程，(2)求零輸入響應(yīng)iLx(t)：設(shè)零輸入響應(yīng)iLx(t)的98(3)求零狀態(tài)響應(yīng)iLf(t)：設(shè)零狀態(tài)響應(yīng)iLf(t)的單邊拉氏變換為ILf(s)，可用網(wǎng)孔分析法求ILf(s)，逆變換得到iLf(t)。也可以根據(jù)S域電路模型求出系統(tǒng)函數(shù)H(s)，然后通過H(s)求ILf(s)和iLf(t)。令ab端的輸入運(yùn)算阻抗為Z(s)，則有把Z(s)的表示式代入上式得到H(s)為(3)求零狀態(tài)響應(yīng)iLf(t)：設(shè)零狀態(tài)響應(yīng)iLf(t99因此得求ILf(s)的單邊拉氏逆變換，得因此得求ILf(s)的單邊拉氏逆變換，得1004.7連續(xù)系統(tǒng)的表示和模擬系統(tǒng)的表示------線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系可以用微分方程描述，也可以用方框圖、信號(hào)流圖來表示，這種表示避開了系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，而集中著眼于系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，使對(duì)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的考察更加直觀明了。如果已知系統(tǒng)的微分方程或系統(tǒng)函數(shù)，我們也可以用一些基本單元來構(gòu)成系統(tǒng)，稱為系統(tǒng)的模擬。系統(tǒng)的表示是系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)，而系統(tǒng)的模擬是系統(tǒng)綜合的基礎(chǔ)。4.7連續(xù)系統(tǒng)的表示和模擬系統(tǒng)的表示------線性時(shí)不101一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)可以用一個(gè)矩形方框圖簡(jiǎn)單地表示，方框圖左邊為輸入f(t)，右邊為系統(tǒng)的輸出y(t)，方框表示聯(lián)系輸入和輸出的其他部分，是系統(tǒng)的主體。復(fù)合系統(tǒng)----幾個(gè)系統(tǒng)的組合連接構(gòu)成的復(fù)雜系統(tǒng)。子系統(tǒng)--------組成復(fù)合系統(tǒng)的每一個(gè)系統(tǒng)。系統(tǒng)的組合連接方式有串聯(lián)、并聯(lián)及混合連接。連續(xù)系統(tǒng)可以用一些輸入輸出關(guān)系簡(jiǎn)單的基本單元(子系統(tǒng))連接起來表示。這些基本單元有加法器、數(shù)乘器(放大器)、積分器等。4.7.1連續(xù)系統(tǒng)的方框圖表示一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)可以用一個(gè)矩形方框圖簡(jiǎn)單地表示，方框圖左邊為輸入1021.連續(xù)系統(tǒng)的串聯(lián)時(shí)域形式復(fù)頻域形式若h(t)為因果函數(shù)，h(t)的單邊拉普拉斯變換為H(s)1.連續(xù)系統(tǒng)的串聯(lián)時(shí)域形式復(fù)