軟件計(jì)算方法課件

第2章方程求根第2章方程求根2.1增值尋根法與二分法設(shè)非線性方程為

f(x)=0(2-1)方程(2-1)的解稱為方程的根或函數(shù)f(x)的零點(diǎn)。

其中m為大于1的整數(shù),且g(x)≠0,稱為方程(2-1)的m重根,或函數(shù)f(x)的m重零點(diǎn).若f(x)為n次多項(xiàng)式,則稱

f(x)=0為n

次代數(shù)方程.若f(x)為超越函數(shù),則稱f(x)=0為超越方程。例如：2x=x+1,sinx+x=0

若f(x)可表示為2.1增值尋根法與二分法設(shè)非線性方程為f求隔根區(qū)間的一般方法若f(x)滿足條件:(1)在[a,b]內(nèi)連續(xù),(2)f(a)·f(b)<0,則f(x)=0在[a,b]內(nèi)必有根.若f(x)在[a,b]內(nèi)還嚴(yán)格單調(diào),則f(x)=0在[a,b]內(nèi)只有一根,據(jù)此可得求隔根區(qū)間的兩種方法。求隔根區(qū)間的一般方法若f(x)滿足條件:1.做圖法

畫出

y=f(x)的草圖,由

f(x)與橫軸交點(diǎn)的大概位置來確定隔根區(qū)間;或者利用導(dǎo)函數(shù)

的正、負(fù)與函數(shù)

f(x)的單調(diào)性的關(guān)系確定根的大概位置。

若

f(x)比較復(fù)雜,還可將方程

f(x)=0化為一個(gè)等價(jià)方程

(x)=

(x),

則曲線

y=(x)

與

y=

(x)之交點(diǎn)

的橫坐標(biāo)

即為原方程之根,據(jù)此也可通過作圖求得

的隔根區(qū)間。1.做圖法畫出y=f(x)的草圖,

判別下列方程有幾個(gè)實(shí)根，并求隔根區(qū)間。(1)f(x)=x3-x-1=0解(1)f(x)=x3-x-1=0將方程變形為x3=x+1例1由圖可知,方程只有一個(gè)實(shí)根所以(1,1.5)即為其隔根區(qū)間。繪曲線

y=x3及

y=x+1判別下列方程有幾個(gè)實(shí)根，并求隔根區(qū)間。(1)2.逐步搜索法(增值尋根法)搜索過程,可從a開始,也可從b開始,這時(shí)應(yīng)取更小的步長(zhǎng)h,直到有根區(qū)間的長(zhǎng)度|xn+1-xn|<e。(e為所要求的精度),此時(shí)f(xn)或f(xn+1)就可近似認(rèn)為是零,xn+1或xn就是滿足精度的方程的近似根增值尋根法的基本思想是:從初值開始,按規(guī)定的一個(gè)初始步長(zhǎng)h來增值。同時(shí)計(jì)算.可能遇到三種情形：此時(shí)即為方程的根說明區(qū)間內(nèi)無根說明區(qū)間內(nèi)有根2.逐步搜索法(增值尋根法)搜索過程,可從a開始,也圖2-1圖2-1例用增值尋根法求方程f(x)=x3+4x2-10=0的有根區(qū)間解：取x0=-4,h=1則計(jì)算結(jié)果如下x-4-3-2-1012f(x)-10-1-2-7-10-514所以f(x)=0的有根區(qū)間為（1，2）。再取x0=1,h=0.1計(jì)算結(jié)果如下x11.11.21.31.4f(x)-5-3.829-2.512-1.0430.584所以f(x)=0的有根區(qū)間為（1.3，1.4）例用增值尋根法求方程f(x)=x3+4x2-10=0的有二分法設(shè)方程f(x)=0在區(qū)間[a,b]內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根x*。即f(x)滿足條件:(1)在[a,b]內(nèi)連續(xù),

(2)f(a)·f(b)<0,(3)

f(x)在[a,b]內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)。二分法設(shè)方程f(x)=0在區(qū)間[a,b]內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)二分法的步驟：(2)若

則令a2=a,b2=x1;(3)若

則,令a2=x1

,b2=b。記[a,b]=[a1,b1],中點(diǎn)計(jì)算f(x1),(1)若

f(x1)=0,則

x1就是方程的根x*,計(jì)算結(jié)束;對(duì)壓縮了的有根區(qū)間[a2,b2],實(shí)行同樣的步驟.若每次二分時(shí)所取區(qū)間中點(diǎn)都不是根，則上述過程將無限進(jìn)行下去。二分法的步驟：(2)若如此反復(fù)進(jìn)行,可得一系列有根區(qū)間套由于每一區(qū)間都是前一區(qū)間的一半，因此區(qū)間[an,bn]的長(zhǎng)度為當(dāng)n→∞

時(shí),區(qū)間必將最終收縮為一點(diǎn)x*,

顯然x*

就是所求的根。如此反復(fù)進(jìn)行,可得一系列有根區(qū)間套由于每一區(qū)間都是前一區(qū)間圖2-2圖2-2只要n足夠大,即區(qū)間二分次數(shù)足夠多,誤差就可足夠小。若取區(qū)間

的中點(diǎn)作為

的近似值，則有下述誤差估計(jì)式只要n足夠大,即區(qū)間二分次數(shù)足夠多,誤差就可足夠小。若例用二分法求在內(nèi)的一個(gè)實(shí)根，且要求滿足精度解用二分法計(jì)算結(jié)果如表2-1：例用二分法求0.0000721.3647460941.36718751.363281259-0.032151.3642578131.36718751.35937580.032361.363281251.3751.3593757-0.096411.3593751.3751.343756-0.350981.343751.3751.31255-0.848391.31251.3751.2540.162111.3751.51.253-1.798671.251.51.022.3751.52.01.01n0.0000721.3647460941.36718751.-0.007991.3647460941.3652343751.36425781311-0.016051.3642578131.3652343751.3632812510n接上圖迭代11次，近似根即為所求，其誤差-0.007991.3647460941.365234375二分法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單,對(duì)f(x)只要求連續(xù),它的收斂速度與比值為1/2的等比級(jí)數(shù)相同,它的局限性是只能用于求實(shí)根,不能用于求復(fù)根及公偶數(shù)重根.二分法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單,對(duì)f(x)只要求連續(xù),它的收斂速度與比值2.2迭代法一、迭代法的基本思想將方程

f(x)=0

化為等價(jià)方程然后在隔根區(qū)間內(nèi)取一點(diǎn)

x0

，按下式計(jì)算計(jì)算結(jié)果生成數(shù)列如果這個(gè)數(shù)列有極限迭代法是一種逐步逼近的方法,它是解代數(shù)方程、超越方程、微分方程等的一種基本而重要的數(shù)值方法。2.2迭代法一、迭代法的基本思想將方程f(x)=這種求根方法稱為迭代法。如果迭代序列收斂,則稱迭代格式收斂,否則稱為發(fā)散。當(dāng)(x)連續(xù)時(shí),顯然

就是方程

x=(x)之根。于是可以從數(shù)列

中求得滿足精度要求的近似根。稱為迭代格式,

(x)稱為迭代函數(shù),x0

稱為迭代初值,數(shù)列

稱為迭代序列。這種求根方法稱為迭代法。如果迭代序列收斂,則稱迭代格式收斂例用迭代法求方程在內(nèi)的一個(gè)近似根，取初始近似值解原方程的等價(jià)方程可以有以下不同形式例用迭代法求方程在內(nèi)的一個(gè)近似根，取初始近似值解原方程的等價(jià)對(duì)應(yīng)的迭代公式有：取列表計(jì)算如下對(duì)應(yīng)的迭代公式有：取列表計(jì)算如下1.365230021.3659167381.365229941.3638870071.3652230581.3678469761.365225591.3600941951.365264751.3751702541.364957011.34545838-469.731.367376371.402540802.99696.73221.348399731.286953770.8165-0.87511.51.51.51.50(4)(3)(2)(1)n表2-21.365230021.3659167381.3652299n(1)(2)(3)(4)91.364878221.36523001101.36541006151.36522368201.36523024231.36522998251.36523001接上圖第四種格式比第三種格式收斂快,而第一種格式和第二種格式不收斂。可見迭代格式不同,收斂情況也不同。n(1)(2)(3)(4)91二、迭代法的幾何意義一般來說從構(gòu)造不止一種，有的收斂，有的不收斂，這取決于的性態(tài)。方程的根，在幾何上就是直線與曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)如圖2-3所示二、迭代法的幾何意義一般來說從構(gòu)造不止一種，有的收斂，有軟件計(jì)算方法第二章課件軟件計(jì)算方法第二章課件三、迭代法收斂的條件定義1如果在根x*的某個(gè)領(lǐng)域B={x||x-x*|≤δ}中，使對(duì)任意的x0∈B，迭代過程xn+1=j(xn),n=0,1,2,…收斂，則稱迭代過程在x*附近局部收斂。定理1設(shè)x*=j(x*),在x*的某個(gè)領(lǐng)域B內(nèi)j‘(x)連續(xù)，并且|j‘(x)|≤q<1，則對(duì)任何x0∈B,由迭代公式xn+1=j(xn)決定的迭代序列{xn}收斂于x*，且

三、迭代法收斂的條件定義1如果在根x*的某個(gè)領(lǐng)域B={x|定理2對(duì)于方程x=j(x)，如果滿足（1）對(duì)任意x∈[a,b]，有j(x)∈[a,b]；（2）對(duì)任意x∈[a,b]，有|j‘(x)|≤q<1；則對(duì)任意x0∈[a,b]，迭代xn+1=j

(xn)所決定的序列{xn}收斂于x=j(x)的根x*，且定理1結(jié)果也都成立以上兩定理的條件要嚴(yán)格驗(yàn)證都較困難,實(shí)用時(shí)常用以下不嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn).有根區(qū)間[a,b]較小,對(duì)某一x0∈[a,b]，|j’(x)|明顯小于1,由|j’(x)|的連續(xù)性知在x0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)|j’(x)|也小于1,則迭代收斂定理2對(duì)于方程x=j(x)，如果滿足（1）對(duì)任意x∈[a,考察例f(x)=x3+4x2-10=0中四中迭代法在根附近的收斂情況，取根的近似值為解不收斂不收斂考察例f(x)=x3+4x2-10=0中四中迭代法在根收斂收斂值越小,收斂速度就越快.收斂收斂2.3迭代收斂的加速?gòu)膄(x)=0構(gòu)造出的迭代格式x=j(x)可能收斂,也可能不收斂。在收斂時(shí)，收斂速度也取決于|j’(x)|的大小|j’(x)|接近于1時(shí)，收斂可能很慢，后兩種情形都影響迭代法的應(yīng)用。能否從x=j(x)出發(fā)構(gòu)造出新的迭代形式，使收斂速度加快？2.3迭代收斂的加速?gòu)膄(x)=0構(gòu)造出的迭代格式x=j松弛法松弛法迭代公式：為松弛因子松弛法松弛法迭代公式：為松弛因子稱為埃特金(Aitken)外推法.迭代格式埃特金方法稱為埃特金(Aitken)外推法.迭代格式埃特金方法

求方程

x=e–x

在x=

0.5附近的根.x25=x26=0.5671433若對(duì)此格式用埃特金法,則取

x0=0.5,迭代格式

得解例3求方程x=e–x在x=0.5附近的根.x仍取

x0=0.5,得由此可見,特金法加速收斂效果是相當(dāng)顯著的.x=exp(-x)xnxn+1(1)xn+1(2)0.50000000.60653070.54523920.56762390.56687080.56729790.56714330.56714330.56714330.56714330.56714330.5671433仍取x0=0.5,得由此可見,特金法加速收斂效果例4分別用松弛法、埃特金法求方程在初值附近的一個(gè)根，取迭代格式解用松弛法計(jì)算，取例4分別用松弛法、埃特金法求方程因此松弛法的迭代公式為列表計(jì)算如下：1.3652300131.3652300121.3649539161.50.8871308690.8871308690.8908036863210n因此松弛法的迭代公式為列表計(jì)算如下：1.3652300131用埃特金方法計(jì)算，迭代格式為：用埃特金方法計(jì)算，迭代格式為：列表計(jì)算如下：x=sqrt(10/(4+x))xnxn+1(1)xn+1(2)1.5000000001.3483997251.3673763721.3652652241.3652255341.3652305831.3652300131.3652300131.3652300131.3652300131.3652300131.365230013列表計(jì)算如下：x=sqrt(10/(4+x))xnxn+1(2.4牛頓切線法一、牛頓法的基本思想

設(shè)已知方程f(x)=0的近似根

x0，且在

x0附近

可用一階泰勒多項(xiàng)式近似，表示為當(dāng)

f'(x0)≠0時(shí)，方程

f(x)=0可用線性方程近似代替，即解非線性方程f(x)=0的牛頓(Newton)法，就是將非線性方程線性化的一種方法。它是解代數(shù)方程和超越方程的有效方法之一。2.4牛頓切線法一、牛頓法的基本思想設(shè)已知解此線性方程得取此

x作為原方程的新近似根

x1，重復(fù)以上步驟，得迭代公式此式稱為牛頓(Newton)迭代公式。解此線性方程得取此x作為原方程的新近似根x1，重復(fù)以上例1用牛頓法求方程在內(nèi)一個(gè)實(shí)根，取初始近似值解所以迭代公式為：列表計(jì)算如下：例1用牛頓法求方程在內(nèi)一個(gè)實(shí)根，取初始近f(x)=x*x*x+4*x*x-10xnf(xn)f'(xn)1.52.37518.751.373333333064481.3652620150.00052846116.513917231.3652300148.29055E-0916.513399081.365230013016.513399081.365230013016.51339908f(x)=x*x*x+4*x*x-10xnf(xn)f'(x二、牛頓法的幾何意義方程的根就是曲線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，當(dāng)初始值選取后，過作切線，其切線方程為：它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：二、牛頓法的幾何意義方程的一般地，設(shè)是的第n次近似值，過作的切線，其切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：即用切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)近似代替曲線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖2-4。一般地，設(shè)是的第n次近似值，過若過曲線y=f(x)上的點(diǎn)P(xk,f(xk

))引切線，該切線與

x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為由牛頓迭代公式求得的

xk+1,因此牛頓迭代法也稱牛頓切線法。圖2-4若過曲線y=f(x)上的點(diǎn)P(xk,f(將原方程化為

x–e

–x=0，則牛頓迭代格式為取

x0=0.5，迭代得x1=0.566311,x2=0.5671431,x3=0.5671433

f(x)=x–e

–x，f'(x)=1+e

–x,

用牛頓迭代法求方程

x=e–x在

x=0.5附近的根。例4

解將原方程化為x–e–x=0，則牛頓迭代格式為取f(x)=x-exp(-x)xnf(xn)f'(xn)0.5-0.106530661.606530660.566311003-0.001304511.5676155130.567143165-1.9648E-071.5671433620.56714329-4.44089E-151.567143290.5671432901.56714329f(x)=x-exp(-x)xnf(xn)f'(xn)0.52.5割線法用牛頓方法解非線性方程f(x)=0，雖然在單根附近有較高的收斂速度，但需要計(jì)算f′(x)。若f(x)比較復(fù)雜時(shí)，每次計(jì)算f′(x)帶來很多不便；如果用不計(jì)算導(dǎo)數(shù)的迭代方法，往往只有線性收斂的速度。本節(jié)我們介紹割線法，采取在迭代過程中不僅用前一步xn處的函數(shù)值，而且還使用xn-1處的函數(shù)值來構(gòu)造迭代函數(shù)。這樣做能提高迭代的收斂速度。2.5割線法用牛頓方法解非線性方程f(x)=0，雖然在單1、簡(jiǎn)化牛頓迭代法此式稱為簡(jiǎn)化牛頓迭代公式。只要

M選擇得當(dāng)，上式總是線性收斂的。在牛頓迭代公式中用一常數(shù)

M代替

得1、簡(jiǎn)化牛頓迭代法此式稱為簡(jiǎn)化牛頓迭代公式。只要M選擇得割線法的基本思想設(shè)非線性方程f(x)=0，其中f(x)為［a,b］上的連續(xù)函數(shù)，且f(a)·f(b)<0。設(shè)x0、x1,為f(x)=0的根x*的兩個(gè)初始近似值，過(x0,f(x0))和(x1,f(x1))作一直線，其方程為：當(dāng)f(x1)≠f(x0)時(shí)，此直線與x軸交點(diǎn)為割線法的基本思想設(shè)非線性方程f(x)=0，其中f(x)為［x2作為f(x)=0根的第二次近似值，可以預(yù)期比x0、x1更接近于x*。重復(fù)上述過程可得,x3，x4…xn-1，xn,從而可得割線法的迭代公式：很明顯，它也可由牛頓法用差商近似代替微商而得。x2作為f(x)=0根的第二次近似值，可以預(yù)期比x0、x1簡(jiǎn)化牛頓迭代法用常數(shù)

M來代替

f(

xk)雖然簡(jiǎn)單，但沒充分利用f(x)本身的特性，因此收斂較慢。若在牛頓迭代公式中改用差商代替導(dǎo)數(shù)

f(xk)，得迭代公式2、割線（弦截）法簡(jiǎn)化牛頓迭代法用常數(shù)M來代替f(xk)雖然簡(jiǎn)單此格式為雙點(diǎn)割線法。此格式為雙點(diǎn)割線法。將式每步只用一新點(diǎn)，此格式為單點(diǎn)割線法。中的xk-1改為

x0，即將式每步只用一新點(diǎn)，此格式為單點(diǎn)割線法。中的xk-1改為

用牛頓迭代法和割線法求方程

f(x)=x4+2x2–x–3=0在區(qū)間（1,1.5）內(nèi)之根（誤差為10-9）。取x0=1.5,用牛頓法,可得x6=1.12412303030；而采用單點(diǎn)割線法，則迭代18次得x18=1.124123029.例6解取

x0=1.5,x1=1,用雙點(diǎn)割線法,迭代6次得到同樣的結(jié)果，用牛頓迭代法和割線法求方程取x0=1.5,用牛頓法例7用雙點(diǎn)割線法求在0.5附近的根。精確到小數(shù)點(diǎn)后第六位。解令即例7用雙點(diǎn)割線法求取列表計(jì)算如下：0.3472960.3472950.3477310.3563220.20.3476950.3477310.3563220.20.554321n取3、割線法的幾何意義雙點(diǎn)割線法是用過點(diǎn)和兩點(diǎn)的割線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為的新近似值。重復(fù)此過程，用過點(diǎn)和的兩點(diǎn)的割線法與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)來作為的下一新的近似值。如圖表2-53、割線法的幾何意義雙點(diǎn)割線法是用過點(diǎn)圖2-5圖2-6單點(diǎn)割線法則是用過點(diǎn)和的兩點(diǎn)的割線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)來作為的近似值，如圖2-6。圖2-5圖2-6單點(diǎn)割線法則是用過點(diǎn)第2章方程求根第2章方程求根2.1增值尋根法與二分法設(shè)非線性方程為

f(x)=0(2-1)方程(2-1)的解稱為方程的根或函數(shù)f(x)的零點(diǎn)。

其中m為大于1的整數(shù),且g(x)≠0,稱為方程(2-1)的m重根,或函數(shù)f(x)的m重零點(diǎn).若f(x)為n次多項(xiàng)式,則稱

f(x)=0為n

次代數(shù)方程.若f(x)為超越函數(shù),則稱f(x)=0為超越方程。例如：2x=x+1,sinx+x=0

若f(x)可表示為2.1增值尋根法與二分法設(shè)非線性方程為f求隔根區(qū)間的一般方法若f(x)滿足條件:(1)在[a,b]內(nèi)連續(xù),(2)f(a)·f(b)<0,則f(x)=0在[a,b]內(nèi)必有根.若f(x)在[a,b]內(nèi)還嚴(yán)格單調(diào),則f(x)=0在[a,b]內(nèi)只有一根,據(jù)此可得求隔根區(qū)間的兩種方法。求隔根區(qū)間的一般方法若f(x)滿足條件:1.做圖法

畫出

y=f(x)的草圖,由

f(x)與橫軸交點(diǎn)的大概位置來確定隔根區(qū)間;或者利用導(dǎo)函數(shù)

的正、負(fù)與函數(shù)

f(x)的單調(diào)性的關(guān)系確定根的大概位置。

若

f(x)比較復(fù)雜,還可將方程

f(x)=0化為一個(gè)等價(jià)方程

(x)=

(x),

則曲線

y=(x)

與

y=

(x)之交點(diǎn)

的橫坐標(biāo)

即為原方程之根,據(jù)此也可通過作圖求得

的隔根區(qū)間。1.做圖法畫出y=f(x)的草圖,

判別下列方程有幾個(gè)實(shí)根，并求隔根區(qū)間。(1)f(x)=x3-x-1=0解(1)f(x)=x3-x-1=0將方程變形為x3=x+1例1由圖可知,方程只有一個(gè)實(shí)根所以(1,1.5)即為其隔根區(qū)間。繪曲線

y=x3及

y=x+1判別下列方程有幾個(gè)實(shí)根，并求隔根區(qū)間。(1)2.逐步搜索法(增值尋根法)搜索過程,可從a開始,也可從b開始,這時(shí)應(yīng)取更小的步長(zhǎng)h,直到有根區(qū)間的長(zhǎng)度|xn+1-xn|<e。(e為所要求的精度),此時(shí)f(xn)或f(xn+1)就可近似認(rèn)為是零,xn+1或xn就是滿足精度的方程的近似根增值尋根法的基本思想是:從初值開始,按規(guī)定的一個(gè)初始步長(zhǎng)h來增值。同時(shí)計(jì)算.可能遇到三種情形：此時(shí)即為方程的根說明區(qū)間內(nèi)無根說明區(qū)間內(nèi)有根2.逐步搜索法(增值尋根法)搜索過程,可從a開始,也圖2-1圖2-1例用增值尋根法求方程f(x)=x3+4x2-10=0的有根區(qū)間解：取x0=-4,h=1則計(jì)算結(jié)果如下x-4-3-2-1012f(x)-10-1-2-7-10-514所以f(x)=0的有根區(qū)間為（1，2）。再取x0=1,h=0.1計(jì)算結(jié)果如下x11.11.21.31.4f(x)-5-3.829-2.512-1.0430.584所以f(x)=0的有根區(qū)間為（1.3，1.4）例用增值尋根法求方程f(x)=x3+4x2-10=0的有二分法設(shè)方程f(x)=0在區(qū)間[a,b]內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根x*。即f(x)滿足條件:(1)在[a,b]內(nèi)連續(xù),

(2)f(a)·f(b)<0,(3)

f(x)在[a,b]內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)。二分法設(shè)方程f(x)=0在區(qū)間[a,b]內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)二分法的步驟：(2)若

則令a2=a,b2=x1;(3)若

則,令a2=x1

,b2=b。記[a,b]=[a1,b1],中點(diǎn)計(jì)算f(x1),(1)若

f(x1)=0,則

x1就是方程的根x*,計(jì)算結(jié)束;對(duì)壓縮了的有根區(qū)間[a2,b2],實(shí)行同樣的步驟.若每次二分時(shí)所取區(qū)間中點(diǎn)都不是根，則上述過程將無限進(jìn)行下去。二分法的步驟：(2)若如此反復(fù)進(jìn)行,可得一系列有根區(qū)間套由于每一區(qū)間都是前一區(qū)間的一半，因此區(qū)間[an,bn]的長(zhǎng)度為當(dāng)n→∞

時(shí),區(qū)間必將最終收縮為一點(diǎn)x*,

顯然x*

就是所求的根。如此反復(fù)進(jìn)行,可得一系列有根區(qū)間套由于每一區(qū)間都是前一區(qū)間圖2-2圖2-2只要n足夠大,即區(qū)間二分次數(shù)足夠多,誤差就可足夠小。若取區(qū)間

的中點(diǎn)作為

的近似值，則有下述誤差估計(jì)式只要n足夠大,即區(qū)間二分次數(shù)足夠多,誤差就可足夠小。若例用二分法求在內(nèi)的一個(gè)實(shí)根，且要求滿足精度解用二分法計(jì)算結(jié)果如表2-1：例用二分法求0.0000721.3647460941.36718751.363281259-0.032151.3642578131.36718751.35937580.032361.363281251.3751.3593757-0.096411.3593751.3751.343756-0.350981.343751.3751.31255-0.848391.31251.3751.2540.162111.3751.51.253-1.798671.251.51.022.3751.52.01.01n0.0000721.3647460941.36718751.-0.007991.3647460941.3652343751.36425781311-0.016051.3642578131.3652343751.3632812510n接上圖迭代11次，近似根即為所求，其誤差-0.007991.3647460941.365234375二分法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單,對(duì)f(x)只要求連續(xù),它的收斂速度與比值為1/2的等比級(jí)數(shù)相同,它的局限性是只能用于求實(shí)根,不能用于求復(fù)根及公偶數(shù)重根.二分法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單,對(duì)f(x)只要求連續(xù),它的收斂速度與比值2.2迭代法一、迭代法的基本思想將方程

f(x)=0

化為等價(jià)方程然后在隔根區(qū)間內(nèi)取一點(diǎn)

x0

，按下式計(jì)算計(jì)算結(jié)果生成數(shù)列如果這個(gè)數(shù)列有極限迭代法是一種逐步逼近的方法,它是解代數(shù)方程、超越方程、微分方程等的一種基本而重要的數(shù)值方法。2.2迭代法一、迭代法的基本思想將方程f(x)=這種求根方法稱為迭代法。如果迭代序列收斂,則稱迭代格式收斂,否則稱為發(fā)散。當(dāng)(x)連續(xù)時(shí),顯然

就是方程

x=(x)之根。于是可以從數(shù)列

中求得滿足精度要求的近似根。稱為迭代格式,

(x)稱為迭代函數(shù),x0

稱為迭代初值,數(shù)列

稱為迭代序列。這種求根方法稱為迭代法。如果迭代序列收斂,則稱迭代格式收斂例用迭代法求方程在內(nèi)的一個(gè)近似根，取初始近似值解原方程的等價(jià)方程可以有以下不同形式例用迭代法求方程在內(nèi)的一個(gè)近似根，取初始近似值解原方程的等價(jià)對(duì)應(yīng)的迭代公式有：取列表計(jì)算如下對(duì)應(yīng)的迭代公式有：取列表計(jì)算如下1.365230021.3659167381.365229941.3638870071.3652230581.3678469761.365225591.3600941951.365264751.3751702541.364957011.34545838-469.731.367376371.402540802.99696.73221.348399731.286953770.8165-0.87511.51.51.51.50(4)(3)(2)(1)n表2-21.365230021.3659167381.3652299n(1)(2)(3)(4)91.364878221.36523001101.36541006151.36522368201.36523024231.36522998251.36523001接上圖第四種格式比第三種格式收斂快,而第一種格式和第二種格式不收斂。可見迭代格式不同,收斂情況也不同。n(1)(2)(3)(4)91二、迭代法的幾何意義一般來說從構(gòu)造不止一種，有的收斂，有的不收斂，這取決于的性態(tài)。方程的根，在幾何上就是直線與曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)如圖2-3所示二、迭代法的幾何意義一般來說從構(gòu)造不止一種，有的收斂，有軟件計(jì)算方法第二章課件軟件計(jì)算方法第二章課件三、迭代法收斂的條件定義1如果在根x*的某個(gè)領(lǐng)域B={x||x-x*|≤δ}中，使對(duì)任意的x0∈B，迭代過程xn+1=j(xn),n=0,1,2,…收斂，則稱迭代過程在x*附近局部收斂。定理1設(shè)x*=j(x*),在x*的某個(gè)領(lǐng)域B內(nèi)j‘(x)連續(xù)，并且|j‘(x)|≤q<1，則對(duì)任何x0∈B,由迭代公式xn+1=j(xn)決定的迭代序列{xn}收斂于x*，且

三、迭代法收斂的條件定義1如果在根x*的某個(gè)領(lǐng)域B={x|定理2對(duì)于方程x=j(x)，如果滿足（1）對(duì)任意x∈[a,b]，有j(x)∈[a,b]；（2）對(duì)任意x∈[a,b]，有|j‘(x)|≤q<1；則對(duì)任意x0∈[a,b]，迭代xn+1=j

(xn)所決定的序列{xn}收斂于x=j(x)的根x*，且定理1結(jié)果也都成立以上兩定理的條件要嚴(yán)格驗(yàn)證都較困難,實(shí)用時(shí)常用以下不嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn).有根區(qū)間[a,b]較小,對(duì)某一x0∈[a,b]，|j’(x)|明顯小于1,由|j’(x)|的連續(xù)性知在x0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)|j’(x)|也小于1,則迭代收斂定理2對(duì)于方程x=j(x)，如果滿足（1）對(duì)任意x∈[a,考察例f(x)=x3+4x2-10=0中四中迭代法在根附近的收斂情況，取根的近似值為解不收斂不收斂考察例f(x)=x3+4x2-10=0中四中迭代法在根收斂收斂值越小,收斂速度就越快.收斂收斂2.3迭代收斂的加速?gòu)膄(x)=0構(gòu)造出的迭代格式x=j(x)可能收斂,也可能不收斂。在收斂時(shí)，收斂速度也取決于|j’(x)|的大小|j’(x)|接近于1時(shí)，收斂可能很慢，后兩種情形都影響迭代法的應(yīng)用。能否從x=j(x)出發(fā)構(gòu)造出新的迭代形式，使收斂速度加快？2.3迭代收斂的加速?gòu)膄(x)=0構(gòu)造出的迭代格式x=j松弛法松弛法迭代公式：為松弛因子松弛法松弛法迭代公式：為松弛因子稱為埃特金(Aitken)外推法.迭代格式埃特金方法稱為埃特金(Aitken)外推法.迭代格式埃特金方法

求方程

x=e–x

在x=

0.5附近的根.x25=x26=0.5671433若對(duì)此格式用埃特金法,則取

x0=0.5,迭代格式

得解例3求方程x=e–x在x=0.5附近的根.x仍取

x0=0.5,得由此可見,特金法加速收斂效果是相當(dāng)顯著的.x=exp(-x)xnxn+1(1)xn+1(2)0.50000000.60653070.54523920.56762390.56687080.56729790.56714330.56714330.56714330.56714330.56714330.5671433仍取x0=0.5,得由此可見,特金法加速收斂效果例4分別用松弛法、埃特金法求方程在初值附近的一個(gè)根，取迭代格式解用松弛法計(jì)算，取例4分別用松弛法、埃特金法求方程因此松弛法的迭代公式為列表計(jì)算如下：1.3652300131.3652300121.3649539161.50.8871308690.8871308690.8908036863210n因此松弛法的迭代公式為列表計(jì)算如下：1.3652300131用埃特金方法計(jì)算，迭代格式為：用埃特金方法計(jì)算，迭代格式為：列表計(jì)算如下：x=sqrt(10/(4+x))xnxn+1(1)xn+1(2)1.5000000001.3483997251.3673763721.3652652241.3652255341.3652305831.3652300131.3652300131.3652300131.3652300131.3652300131.365230013列表計(jì)算如下：x=sqrt(10/(4+x))xnxn+1(2.4牛頓切線法一、牛頓法的基本思想

設(shè)已知方程f(x)=0的近似根

x0，且在

x0附近

可用一階泰勒多項(xiàng)式近似，表示為當(dāng)

f'(x0)≠0時(shí)，方程

f(x)=0可用線性方程近似代替，即解非線性方程f(x)=0的牛頓(Newton)法，就是將非線性方程線性化的一種方法。它是解代數(shù)方程和超越方程的有效方法之一。2.4牛頓切線法一、牛頓法的基本思想設(shè)已知解此線性方程得取此

x作為原方程的新近似根

x1，重復(fù)以上步驟，得迭代公式此式稱為牛頓(Newton)迭代公式。解此線性方程得取此x作為原方程的新近似根x1，重復(fù)以上例1用牛頓法求方程在內(nèi)一個(gè)實(shí)根，取初始近似值解所以迭代公式為：列表計(jì)算如下：例1用牛頓法求方程在內(nèi)一個(gè)實(shí)根，取初始近f(x)=x*x*x+4*x*x-10xnf(xn)f'(xn)1.52.37518.751.373333333064481.3652620150.00052846116.513917231.3652300148.29055E-0916.513399081.365230013016.513399081.365230013016.51339908f(x)=x*x*x+4*x*x-10xnf(xn)f'(x二、牛頓法的幾何意義方程的根就是曲線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，當(dāng)初始值選取后，過作切線，其切線方程為：它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：二、牛頓法的幾何意義方程的一般地，設(shè)是的第n次近似值，過作的切線，其切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：即用切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)近似代替曲線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖2-4。一般地，設(shè)是的第n次近似值，過若過曲線y=f(x)上的點(diǎn)P(xk,f(xk

))引切線，該切線與

x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為由牛頓迭代公式求得的

xk+1,因此牛頓迭代法也稱牛頓切線法。圖2-4若過曲線y=f(x)上的點(diǎn)P(xk,f(將原方程化為

x–e

–x=0，則牛頓迭代格式為取

x0=0.5，迭代得x1=0.566311,x2=0.5671431,x3=0.5671433

f(x)=x–e

–x，f'(x)=1+e

–x,

用牛頓迭代法求方程

x=e–x在

x=0.5附近的根。例4

解將原方程化為x–e–x=0，則牛頓迭代格式為取f(x)=x-exp(-x)xnf(xn)f'(xn)0.5-0.106530661.606530660.566311003-0.001304