大二課件-p矩陣概念引入

a11

x1

a

x

a

x

a

x

b1.

線性方程組

21

1

22

2

2

n

n

2an1

x1

an

2

x2

ann

xn

bn系數(shù)

aij

i,

j

1,2,,n,

a12

x2

a1n

xn

b1的解取決于ib

i

1,2,,n常數(shù)項(xiàng)一、矩陣概念的引入bn

a

a

a

b

an1

an

2

ann2

n

2

22

21b1

a1n

a11

a12對(duì)線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對(duì)這張表的研究.線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)按原位置可排為2.某航空公司在A,B,C,D四城市之間開辟了若干航線,表示了四城市間的航班圖,如果從A到B有航班,則用帶箭頭的線連接A

與B.ABCD四城市間的航班圖情況常用表格來表示:發(fā)站到站A

B

CDABCD其中

表示有航班.為了便于計(jì)算,把表中的0,就得到一個(gè)數(shù)表:改成1,空白地方填上ABCD0110101010010100這個(gè)數(shù)表反映了四城市間交通聯(lián)接情況.ABCDABCD二、矩陣的定義由m

n

個(gè)數(shù)

aiji

1,2,,

m;

j

1,2,,

n2122m2aaa

a排成的m行n

列的數(shù)表

a11

a12a1n

a2n

a

m1

mn

稱為m

n維(階)矩陣.簡(jiǎn)稱m

n

矩陣.記作

am

1

am

1

amn

a2

n

A

a21a1n

a11

a12a22簡(jiǎn)記為mnA

Amn

aij

aij

.矩陣A的m,n元這m

n個(gè)數(shù)稱為A的元素,簡(jiǎn)稱為元.A中第i行第j列元素aij稱為矩陣A的(i,j)元.元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.例如

1

0

3

5

9

6

4

3是一個(gè)

2

4

實(shí)矩陣,2

213

6 2i

2

2

22是一個(gè)復(fù)矩陣,3

3

42

1

是一個(gè)矩陣,3

12

3是一個(gè)1

4

矩陣,幾種特殊矩陣(1)行數(shù)和列數(shù)都等于n的矩陣A,也可記作

An

.稱為n

階方陣nn

a

anA

a

a

n1

n

2a2n

21a1n

a11

a12a22主對(duì)角線其中a11,a22,ann為方陣A的主對(duì)角元,它們所在的對(duì)角線為主對(duì)角線.例如是一個(gè)3

階方陣.2

2

2

2

2213

6 2i

副對(duì)角線主對(duì)角線(2)只有一行元素的矩陣A

a1

,a2

,,an

,稱為行矩陣(或行向量).只有一列元素的矩陣

an

a1

B

a2

,

稱為列矩陣(或列向量、向量).

ann

0a2n

a22

O

0

0a1n

a11

a12(3)

形如

即主對(duì)角線以下元素全為零的方陣稱為上三角矩陣。

矩陣(或?qū)顷嚕?n

2

1形如的方陣,稱為對(duì)角OO即主對(duì)角線以上元素nn

a

aa

a

a

形如

n1

n22221

a11O全為零的方陣稱為下三角矩陣。（4）

既是上三角又是下三角矩陣的方陣，即不全為0記作A

diag[1

,2

,,n

].(5)

數(shù)量矩陣（標(biāo)量矩陣）稱對(duì)角線元相等的對(duì)角矩陣

10

00

01稱為單位矩陣（或單位陣）.有時(shí)也記作E.全為1為數(shù)量矩陣或標(biāo)量陣。

a

0

0 0

0

a

0 0

0

0

0

a

當(dāng)a

1

時(shí)，記作（6）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，m

n

零n矩陣記作

Om

或

O.注100

""

0

0

0

0.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0不同階數(shù)的零矩陣是不“相等”的.例如2.兩個(gè)矩陣A

aij

與B

bij

為同維矩陣,并且對(duì)應(yīng)元素相等,即aij

bij

i

1,2,,

m;

j

1,2,,

n,則稱矩陣A與B相等,記作A

B.

3 7

3

9

1

2

14

3

例如

5

6與

8

4為同維矩陣.同維矩陣與矩陣相等的概念1.兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)相等時(shí),稱為同維矩陣.例1

設(shè)B

1

x

3

,

y

1

z

A

1

2

3

,

3

1

2已知A

B,求x,y,z.解

A

B,

x

2,

y

3,

z

2.三、小結(jié)(1)矩陣的概念amn

a2

n

a