概率論-1.1概述與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性

關(guān)于本學(xué)科概率（或然率或幾率）----隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性的量度。概率論是一門(mén)研究客觀世界隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門(mén)研究怎樣去有效地收集、整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，從而對(duì)所 的問(wèn)題作出推斷或直至為采取一定的決策和行動(dòng)提供依據(jù)和建議的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。本學(xué)科的應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)理論與方法的應(yīng)用幾乎遍及所有科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國(guó)民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)部門(mén)中。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)有廣泛應(yīng)用(1).金融、信貸、醫(yī)療保險(xiǎn)等行業(yè)策略制定；

(2).流水線上產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)與質(zhì)量控制；

(3).服務(wù)性行業(yè)中服務(wù)設(shè)施及服務(wù)員配置；(4).生物醫(yī)學(xué)中病理試驗(yàn)與藥理試驗(yàn)；食品保質(zhì)期、

分析，電器與電子產(chǎn)品

分析；物礦探測(cè)、環(huán)保監(jiān)測(cè)、機(jī)械仿生與考古；第一章隨機(jī)事件§1.1

概述§1.2

事件的概率§1.3

古典概率模型§1.4

條件概率§1.

的獨(dú)立性客觀現(xiàn)象的分類(lèi)1.確定性現(xiàn)象(1)必然現(xiàn)象--------在一定的條件下必然出現(xiàn)某種結(jié)果的現(xiàn)象。例1:在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100度一定沸騰.例2:在地球上向上拋一個(gè)石子一定下落.(2)不可能現(xiàn)象--------例1:擲

時(shí)“點(diǎn)數(shù)大于七”例2:動(dòng)物長(zhǎng)生不老.在一定條件下必不發(fā)生的現(xiàn)象。2.隨機(jī)性現(xiàn)象-----在相同條件重復(fù)觀察，其每次結(jié)果未必相同，這樣不可預(yù)知結(jié)果的現(xiàn)象稱(chēng)為隨機(jī)性現(xiàn)象。例1:，擲

(1點(diǎn)到6點(diǎn)的哪個(gè)點(diǎn)?)例2:打靶(多少環(huán)?)例3:一段時(shí)間內(nèi)所接到的

次數(shù)注意:對(duì)同一個(gè)事物同一個(gè)過(guò)程的不同特征進(jìn)行觀察可能觀察到的是不同的現(xiàn)象.(確定性現(xiàn)象/隨機(jī)性現(xiàn)象)例:觀察一個(gè)人的一生.觀察他最終是生是死,結(jié)果是確定性現(xiàn)象.觀察他活多少歲,這是隨機(jī)性現(xiàn)象(不可預(yù)知他的

)“天有不測(cè)風(fēng)云”和“天氣可以預(yù)報(bào)”有無(wú)

?想某

中10個(gè)婦生了7個(gè)男孩3個(gè)

,☆天有不測(cè)風(fēng)云指的是：對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行一次觀測(cè)，其觀測(cè)結(jié)果具有偶然性；☆天氣可以預(yù)報(bào)指的是：觀測(cè)者通過(guò)大量的氣象資料對(duì)天氣進(jìn)行

，得到天氣的變化規(guī)律。隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性-----少量現(xiàn)象不可預(yù)知，但進(jìn)行大量觀察時(shí)，隨機(jī)現(xiàn)象呈現(xiàn)出的某種規(guī)律性。例1:生孩子了4個(gè)男孩6個(gè)但對(duì)于整個(gè),某工廠中10個(gè)婦女省或整個(gè)中國(guó)來(lái)說(shuō),生男生女的比例是將近1:1的.第一章隨機(jī)事件§1.1

基本概念1.1.1隨機(jī)試驗(yàn)與事件I.

隨機(jī)試驗(yàn)(1)試驗(yàn)---------對(duì)某種隨機(jī)現(xiàn)象的一次觀察、觀測(cè)或測(cè)量(2)隨機(jī)試驗(yàn)----------可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；試驗(yàn)可能結(jié)果不止一個(gè)，但能確定所有的可能結(jié)果；(1點(diǎn)到6點(diǎn))一次試驗(yàn)之前無(wú)法確定具體是哪種結(jié)果出現(xiàn)。(不知哪個(gè)點(diǎn)出現(xiàn))在概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中將隨機(jī)試驗(yàn)簡(jiǎn)稱(chēng)為試驗(yàn).記為E

。E1:擲

.II.

樣本空間E1:擲一顆,觀察所擲的點(diǎn)數(shù)是幾，Ω1

={1,2,3,4,5,6}；E2:

觀察某城市某個(gè)月內(nèi)交通事故發(fā)生次數(shù)，

Ω2={0,1,2,…}；E3:

對(duì)某只燈泡實(shí)驗(yàn)，觀察其使用

，Ω3={t,t≥0}；E4:

對(duì)某只燈泡做實(shí)驗(yàn),觀察其使用 是否小于200小時(shí)，Ω4={ 小于200小時(shí)， 不小于200小時(shí)}。對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)，盡管在每次試驗(yàn)之前不能預(yù)知試驗(yàn)結(jié)果，但試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所構(gòu)成的集合卻是已知的。稱(chēng)試驗(yàn)所有可能結(jié)果所構(gòu)成的集合為樣本空間，記為Ω。樣本空間的元素,即隨機(jī)試驗(yàn)的單個(gè)結(jié)果稱(chēng)為樣本點(diǎn)，記為i若以Ωi

表示

試驗(yàn)

Ei

的樣本空間,

i=1,2,3,4,

則III.隨機(jī)事件基本事件-----由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的集合。不可能事件----空集.實(shí)際使用時(shí)樣本點(diǎn)和基本事件的表示法沒(méi)有明顯的區(qū)別。1.隨機(jī)事件的概念隨機(jī)事件------樣本空間Ω的任意一個(gè)子集,簡(jiǎn)稱(chēng)事件。符號(hào)用大寫(xiě)英文字母A，B，C等來(lái)表示。事件描述表示法常用描述性的關(guān)鍵短語(yǔ)加花括號(hào)(雙引號(hào))來(lái)表示事件.E:擲

,

可設(shè)A={奇數(shù)點(diǎn)},B={小于5的點(diǎn)}亦可設(shè)A表示事件“奇數(shù)點(diǎn)”B,表示“小于5的點(diǎn)”事件。則：樣本空間-----由所有樣本點(diǎn)組成的集合。復(fù)合事件-----

由若干個(gè)樣本點(diǎn)組成的集合。例1.1.1

E1:擲一顆,觀察所擲的點(diǎn)數(shù)是幾，寫(xiě)出試驗(yàn)

E1的樣本空間，下述集合表示什么事件？哪些是基本事件。解Ω1={1,2,3,4,5,6}.A1={1},A2={2},…,A6={6}━━分別表示所擲結(jié)果為一點(diǎn)至六點(diǎn)，都是基本事件；B={2,4,6}━━表示所擲結(jié)果為偶數(shù)點(diǎn)，復(fù)合事件；

C={1,3,5,}━━表示所擲結(jié)果為奇數(shù)點(diǎn)，復(fù)合事件；D={4,5,6}━━表示所擲結(jié)果為四點(diǎn)或四點(diǎn)以上，復(fù)合事件。E1.抽紙牌中的“方片A”…….“方片K”等為基本事件E2.擲

的“奇數(shù)點(diǎn)”、“偶數(shù)點(diǎn)”“大于2的點(diǎn)”E3.抽紙牌的“梅花”,“方片”,“王牌”等.為復(fù)合事件注意:只要做試驗(yàn),就必會(huì)產(chǎn)生一個(gè)結(jié)果,即樣本空間Ω中就會(huì)有一個(gè)點(diǎn)(樣本點(diǎn))出現(xiàn)。當(dāng)結(jié)果

A

時(shí)，稱(chēng)事件A發(fā)生。事件A發(fā)生-------指在所進(jìn)行的隨機(jī)試驗(yàn)中，事件A所含的一個(gè)基本事件出現(xiàn)。E1:

擲一顆

,觀察所擲的點(diǎn)數(shù)是幾，事件“3點(diǎn)”事件“奇數(shù)點(diǎn)”事件“大于2的點(diǎn)”事件樣本空間Ω如事件“3點(diǎn)”出現(xiàn)等事件都發(fā)生了。即每次試驗(yàn)中一定發(fā)生的事件。必然事件----注意：無(wú)論哪個(gè)基本事件出現(xiàn)，這個(gè)基本事件都在樣本空間中，因此每次試驗(yàn)無(wú)論哪個(gè)基本事件出現(xiàn)，樣本空間這個(gè)事件必發(fā)生，故相對(duì)于所研究的隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)說(shuō)它的樣本空間為必然事件。必然事件的符號(hào)與樣本空間的相同，也是Ω例：擲 中

“小于7的點(diǎn)”為必要事件。不可能事件------

試驗(yàn)中一定不會(huì)發(fā)生的事件，即不含任何基本事件的事件。符號(hào)為Φ。例：擲 中

“大于7的點(diǎn)”為不可能事件。隨機(jī)試驗(yàn)的例子設(shè)數(shù)字i

表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),

i=1,2,3,4,5,6.則:Ω={1,2,3,4,5,6}而馬的也可以直接寫(xiě)為:Ω={1點(diǎn),2點(diǎn),3點(diǎn),4點(diǎn),5點(diǎn),6點(diǎn)}例2

若一個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果是5匹馬的比賽結(jié)束時(shí)所有馬的名次,分別為1,2,3,4,5,則樣本空間Ω為｛5！個(gè)(1,2,3,4,5)的全排列數(shù)｝；若試驗(yàn)是同時(shí)拋擲兩個(gè)

，則樣本空間由36個(gè)樣本點(diǎn)組成，即

i,j

:i出現(xiàn)j點(diǎn)(i,j)表示第一個(gè)

出現(xiàn)i點(diǎn)，第二個(gè)例3一.只有有限個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn).例1:

擲一顆

,觀察所擲的點(diǎn)數(shù)是幾，二.有無(wú)限個(gè)可數(shù)個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn).的次數(shù),例1:觀察某交換臺(tái)早晨8:00-9:00接到設(shè)數(shù)字i表示呼叫次數(shù),i=0,1,2…..,則:Ω={0,1,2,….}三.可能結(jié)果不可數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn).例1:在分析天平上稱(chēng)量某物品并記錄稱(chēng)量的結(jié)果.記x為此物的稱(chēng)量,則Ω={x

|

x

0}例2:在一批燈泡中任取一個(gè)，測(cè)其記t為所取燈泡的,則Ω={t

|

t

0}例3:觀察某塊地的玉米產(chǎn)量.記y為此塊地的玉米產(chǎn)量,

則Ω={y

|

0

y

M

}1.1.2事件的關(guān)系與運(yùn)算I.集合與事件以下1,2,6,7,8介紹的是事件間的關(guān)系;3,4,5介紹的是事件間的運(yùn)算.1.[關(guān)系]事件的包含(A

B

或者B

A)稱(chēng)B包含A

或

A包含于B集合角度:A中的每個(gè)樣本點(diǎn)都屬于B。概率角度:事件A發(fā)生

事件B發(fā)生，對(duì)于任一事件A都有:

A

ΩBAB

A(因事件A發(fā)生表示A中的一個(gè)基本事件在試驗(yàn)中出現(xiàn),因?yàn)锳的基本事件全屬于B,也即是B發(fā)生).ΩA=B2.[關(guān)系]事件的相等：事件A包含于B，事件B也包含于A，稱(chēng)A與B相等。即:若A

B,B

A,則A

B3.[運(yùn)算]事件的并（和）(A

B或者A

B)集合角度:A+B是由屬于A或B的所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合。概率角度:事件A+B發(fā)生表示事件A、B中至少有一個(gè)發(fā)生，即A或B發(fā)生.(因事件A+B發(fā)生表示A+B中的一個(gè)基本事件在試驗(yàn)中出現(xiàn)因?yàn)锳+B的基本事件是屬于A或B的,

也即是A或B發(fā)生).n個(gè)事件A1,A2

,,An

的并（和）可列個(gè)事件A1,

A2

,

的并（和）,

An

,

An

Ann1表示可列個(gè)事件中至少有一個(gè)發(fā)生,記為A1

表示n個(gè)事件中至少有一個(gè)發(fā)生,記為A1

A2

An或是A1

A2

An當(dāng)A

B時(shí)，總有A

,A

A成立ΩBAB

A類(lèi)似的可推廣到多個(gè)事件相加,以及無(wú)數(shù)可列個(gè)事件相加.或

Ann14.[運(yùn)算]事件的交（積）(AB

或A

B)集合角度:由既屬于A又屬于B的所有公共樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合。當(dāng)A

B時(shí)，有AB

AA

,A

A總成立ΩBAB

A概率角度:事件AB發(fā)生表示A與B都發(fā)生,即A且B發(fā)生(因事件AB發(fā)生表示AB中的一個(gè)基本事件在試驗(yàn)中出現(xiàn),因AB的基本事件是既屬于A又屬于B的,

所以A與B都發(fā)生).5.[運(yùn)算]事件的差(A-B)A-B稱(chēng)為事件A與B的差集合角度:

由屬于A但不屬于B的樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合概率角度:

事件A-B發(fā)生表示A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生.注意:

A-B

AA

B

A

ABA

B

A

(B

A)

B

(

A

B)A

B-AA-B

AB6.[關(guān)系]互不相容事件（互斥事件）集合角度:A與B是互不相容的AB=ΦA(chǔ)ΩBA與B是互不相容的A與B沒(méi)有公共的樣本點(diǎn).概率角度:A與B是互不相容的A與B不會(huì)都發(fā)生.(A與B不同時(shí)發(fā)生).例:

擲一顆

的試驗(yàn)，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)：事件A表示“奇數(shù)點(diǎn)”；B表示“偶數(shù)點(diǎn)”；求AB解:

(顯然有:

Ω={1,2,3,4,5,6},

A={1,3,5},

B={2,4,6}),因?yàn)锳與B沒(méi)有公共的基本事件,故AB=Φ即:

AA

7.[關(guān)系]對(duì)立事件(互逆事件)相互對(duì)立的事件在集合中相當(dāng)于互補(bǔ)的關(guān)系.如果A與B是相互對(duì)立的,稱(chēng)B為A的對(duì)立事件記B

AAAA

A讀作:非A,A反,A逆.

A

A

A

A顯然也有:A

AA與B相互對(duì)立A與B互不相容A

B

A與B相互對(duì)立

AB

因?yàn)?AB事件A不發(fā)生事件A發(fā)生。A

B

AB8.[關(guān)系]Ω的一個(gè)劃分A1,

A2

,,

AnA

A

A

1

2

n構(gòu)成Ω的一個(gè)劃分

Ai

Aj

(i

j)A

B

A與B相互對(duì)立

AB

因?yàn)?故A與A構(gòu)成一個(gè)最小的劃分.n個(gè)事件,其和為樣本空間Ω且兩兩互不相容,它們就構(gòu)成Ω的一個(gè)劃分.A1AnAn12A3A對(duì)立事件有:

A與B例

擲一顆

的試驗(yàn)，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)：事件A表示“奇數(shù)點(diǎn)”；B表示“偶數(shù)點(diǎn)”；C表示“小于3的點(diǎn)”，D表示“大于2小于5的點(diǎn)”

E表示“大于4的點(diǎn)”,求事件間的關(guān)系.解:

顯然有:A={1,3,5},

B={2,4,6},

C={1,2}D={3,4},

E={5,6},

Ω={1,2,3,4,5,6}互不相容事件有:

A與B

C與D,

D與E,

C與E或說(shuō)事件C,D,E兩兩互不相容C

D

E

又因?yàn)?/p>

A

B

C,D,E構(gòu)成Ω的一個(gè)劃分A,B構(gòu)成Ω的一個(gè)最小的劃分1.[關(guān)系]事件的包含[關(guān)系]事件的相等：[運(yùn)算]事件的并（和）[運(yùn)算]事件的交（積）5.[運(yùn)算]事件的差(A-B)6.[關(guān)系]互不相容事件（互斥事件）7.[關(guān)系]對(duì)立事件(互逆事件)8.[關(guān)系]Ω的一個(gè)劃分II.事件的運(yùn)算法則(與集合運(yùn)算法則相同)AA

A

A,

A

A

A

AA

A,

A

A1)A

B

B

AA(B

C)

AB

ACAB

BAA(B

C)

AB

ACAB

結(jié)合律：交換律分配律對(duì)偶原則A

(B

C)

(

A

B)

C

A(BC)

(

AB)CA

B

ABA

B對(duì)于多個(gè)隨機(jī)事件,上述運(yùn)算規(guī)則也成立A(A1+A2+…+An)=(AA1)+(AA2)+…+(AAn)，A1

+A2

+

+An

A1

A2

An

,A1

A2

An

A1

+

A2

+ +

An

.例1

擲一顆的試驗(yàn)，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)：事件A表示

“奇數(shù)點(diǎn)”；B表示“點(diǎn)數(shù)小于5”；C表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)”，(已求出Ω={1,2,3,4,5,6}

A={1,3,5},

B={1,2,3,4},C={2,4}),求(A+B)-A,

A+(B-A),C-A,

A+B+C解:注意：事件運(yùn)算不滿足消去律.含有差的式子不滿足結(jié)合律與交換律。(A+B)-

A=

{1,2,3,4,5}-

{1,3,5}=

{2,4}A+(B-A)=

{1,3,5}+{2,4}=

{1,2,3,4,5}C-A={2,4}-{1,3,5}=C,但A不是ΦA(chǔ)+B+C=(A+B)+C

={1,2,3,4,5}=A+B例2

從一批產(chǎn)品中每次取出一個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行試驗(yàn)(每次取出的不放回），事件Ai

表示第i次取到合格品,i=1,2,3,試用事件的運(yùn)算符號(hào)表示.下列事件：（1）三次都取到合格品；（2）三次中至少有一次取到合格品；（3）三次中恰有兩次取到合格品；（4）三次中至少有兩次取到合格品。解:總試驗(yàn)的可能結(jié)果：合合合,非非非,合非非,非合非,非非合,非合合,合非合,合合非；

{A1

A2

A3

,

A1

A2

A3

,

A1

A2

A3

,

A1

A2

A3

,

A1

A2

A3

,

A1

A2

A3

,

A1

A2

A3

,

A1

A2

A3}（1）{三次都取到合格品}=A1

A2

A3（2）三次中至少有一次取到合格品；{三次中至少有一次取到合格品}={第一次取到合格品、第二次取到合格品、第三次取到合格品至少有一次發(fā)生}={第一次取到合格品}+{第二次取到合格品}+{第三次取到合格品}=A1

A2

A3={第一、二次取到合格品，第三次取到不合格品}

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

(

A1

A1

)A2

A3

A1

A2

(A3

A3

)

A1

(A2

A2

)A3

A2

A3

A1

A2

A1A3

A1

A2

A2

A3

A1

A3（3）