精選文檔基尼系數(shù)的計(jì)算方法及數(shù)學(xué)推導(dǎo)

基尼系數(shù)的計(jì)算方法及數(shù)學(xué)推導(dǎo)2001金融三班袁源摘要：本文歸納了基尼系數(shù)的四種計(jì)算方法：直接計(jì)算法、擬合曲線法、分組計(jì)算法和分解法，并進(jìn)行了數(shù)學(xué)推導(dǎo)和證明。在此基礎(chǔ)上，文章比較了各種算法優(yōu)缺點(diǎn)，分析了誤差可能產(chǎn)生的環(huán)節(jié)。關(guān)鍵詞：洛倫茨曲線基尼系數(shù)一、洛倫茨曲線和基尼系數(shù)1905年，統(tǒng)計(jì)學(xué)家洛倫茨提出了洛倫茨曲線，如圖一。將社會(huì)總?cè)丝诎词杖胗傻偷礁叩捻樞蚱骄譃?0個(gè)等級(jí)組，每個(gè)等級(jí)組均占10％的人口，再計(jì)算每個(gè)組的收入占總收入的比重。然后以人口累計(jì)百分比為橫軸，以收入累計(jì)百分比為縱軸，繪出一條反映居民收入分配差距狀況的曲線，即為洛倫茨曲線。OOXYECAB圖一為了用指數(shù)來更好的反映社會(huì)收入分配的平等狀況，1912年，意大利經(jīng)濟(jì)學(xué)家基尼根據(jù)洛倫茨曲線計(jì)算出一個(gè)反映收入分配平等程度的指標(biāo)，稱為基尼系數(shù)（G）。在上圖中，基尼系數(shù)定義為：ADVANCE\d5G=ADVANCE\u3ADVANCE\u2SAADVANCE\d13ADVANCE\l50SA+BADVANCE\u13式（1）當(dāng)A為0時(shí)，基尼系數(shù)為0，表示收入分配絕對(duì)平等；當(dāng)B為0時(shí)，基尼系數(shù)為1，表示收入分配絕對(duì)不平等?；嵯禂?shù)在0～1之間，系數(shù)越大，表示越不均等，系數(shù)越小，表示越均等。二、基尼系數(shù)的計(jì)算方法式（1）雖然是一個(gè)極為簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)表達(dá)式，但它并不具有實(shí)際的可操作性。為了尋求具有可操作性的估算方法，自基尼提出基尼比率以來，許多經(jīng)濟(jì)學(xué)家和統(tǒng)計(jì)學(xué)家都進(jìn)行了這方面的探索。在已有的研究成果中，主要有四種有代表性的估算方法，結(jié)合自己的計(jì)算，筆者將它們歸納為直接計(jì)算法、擬合曲線法、分組計(jì)算法和分解法。1、直接計(jì)算法直接計(jì)算法在基尼提出收入不平等的一種度量時(shí)，就已經(jīng)給出了具體算法，而且這種算法并不依賴于洛倫茨曲線，它直接度量收入不平等的程度。定義ADVANCE\d5△＝ADVANCE\u5ADVANCE\u1ADVANCE\u3nnADVANCE\d8ADVANCE\d1ADVANCE\l21∑∑ADVANCE\d15ADVANCE\u3∣ADVANCE\l31ADVANCE\u2ADVANCE\u1j=1i=1ADVANCE\u10Yj－Yi∣/n2,0≤△≤2u式（2）式中，△是基尼平均差，∣Yj－Yi∣是任何一對(duì)收入樣本差的絕對(duì)值，n是樣本容量，u是收入均值。定義G=△/2u,0≤G≤1式（3）可以證明：G=△/2u＝2SA（證明過程見附錄一），而由式（1）G=SA/SA+B，SA+B=1/2，G=2SA,因此，式（2）中定義的G即為基尼系數(shù)，綜合式（2）、（3），基尼系數(shù)的計(jì)算方法為：ADVANCE\d5G=ADVANCE\u51ADVANCE\d13ADVANCE\l702n2uADVANCE\u8ADVANCE\u1ADVANCE\u3nnADVANCE\d8ADVANCE\d1ADVANCE\l21∑∑ADVANCE\d15ADVANCE\u3∣ADVANCE\l31ADVANCE\u2ADVANCE\u1j=1i=1ADVANCE\u10Yj－Yi∣式（4）直接計(jì)算法只涉及居民收入樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)運(yùn)算，很多學(xué)者認(rèn)為理論上看，只要不存在來源于樣本數(shù)據(jù)方面的誤差，就不存在產(chǎn)生誤差的環(huán)節(jié)。實(shí)際上，在附錄一證明過程當(dāng)中將看到，直接計(jì)算法依然采用了以直代曲法計(jì)算面積，只不過這個(gè)過程在樣本數(shù)據(jù)范圍內(nèi)達(dá)到了最小近似，其精確度直接取決于樣本數(shù)據(jù)本身。因此，可以認(rèn)為它不帶任何誤差的計(jì)算了樣本數(shù)據(jù)的基尼系數(shù)值。2、擬合曲線法擬合曲線法計(jì)算基尼系數(shù)的思路是采用數(shù)學(xué)方法擬合出洛倫茨曲線，得出曲線的函數(shù)表達(dá)式，然后用積分法求出B的面積，計(jì)算基尼系數(shù)。通常是通過設(shè)定洛倫茨曲線方程，用回歸的方法求出參數(shù)，再計(jì)算積分。例如，設(shè)定洛倫茨曲線的函數(shù)關(guān)系式為冪函數(shù)：

I=αPβ式（5）根據(jù)選定的樣本數(shù)據(jù)，用回歸法求出洛倫茨曲線，例如，α＝m,β=n.求積分SB=∫0ADVANCE\u2ADVANCE\l31ADVANCE\d3mpndp=ADVANCE\u2ADVANCE\u3mADVANCE\d13ADVANCE\l30n+1ADVANCE\u8式（6）計(jì)算ADVANCE\d5G=ADVANCE\u3ADVANCE\u2SAADVANCE\d13ADVANCE\l50SA+BADVANCE\d5ADVANCE\u13=ADVANCE\u5SA+B－SBADVANCE\u13ADVANCEADVANCE\d13ADVANCE\l50ADVANCE\d13SA+BADVANCE\u8＝1－ADVANCE\u2ADVANCE\u32mADVANCE\d13ADVANCE\l30n+1ADVANCE\u8式（7）擬合曲線法的在兩個(gè)環(huán)節(jié)容易產(chǎn)生謬誤：一是擬合洛倫茨曲線，得出函數(shù)表達(dá)式的過程中，可能產(chǎn)生誤差；二是擬合出來的函數(shù)應(yīng)該是可積的，否則就無法計(jì)算。3、分組計(jì)算法這種方法的思路有點(diǎn)類似用幾何定義計(jì)算積分的方法，在X軸上尋找n個(gè)分點(diǎn)，將洛倫茨曲線下方的區(qū)域分成n部分，每部分用以直代曲的方法計(jì)算面積，然后加總求出面積。分點(diǎn)越多，就越準(zhǔn)確，當(dāng)分點(diǎn)達(dá)到無窮大時(shí)，則為精確計(jì)算。圖二O圖二OXYECABP假設(shè)分為n組，每組的收入為Yi，則每個(gè)部分P的面積為：ADVANCE\d5SP=ADVANCE\u51∑ADVANCE\u13ADVANCE\l5ADVANCE\l5i-1ADVANCE\d13Yi＋∑ADVANCE\u13ADVANCE\l10iADVANCE\d13YiADVANCE\d13\l1002nADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑YiADVANCE\u15式（8）加總得到：G=ADVANCE\u3ADVANCE\u2SAADVANCE\d13ADVANCE\l50SA+BADVANCE\d5ADVANCE\u13=ADVANCE\u5SA+B－SBADVANCE\u13ADVANCEADVANCE\d13ADVANCE\l50ADVANCE\d13SA+BADVANCE\u8＝1－2limADVANCE\d13\l50ADVANCE\u5k→∞ADVANCE\u8∑ADVANCE\u13ADVANCE\l10nADVANCE\d18ADVANCE\d3ADVANCE\u5ADVANCE\u81∑ADVANCE\u13ADVANCE\l5ADVANCE\l5i-1ADVANCE\d13Yi＋∑ADVANCE\u13ADVANCE\l10iADVANCE\d13YiADVANCE\d13\l1002nADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑YiADVANCE\u13式（9）這是精確計(jì)算基尼系數(shù)的表達(dá)式，當(dāng)分點(diǎn)n個(gè)數(shù)有限時(shí)，定義：yi=ADVANCE\u5YiADVANCE\d13\l100ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑YiADVANCE\u13式（10）得到近似表達(dá)式:G=2SA=ADVANCE\u3ADVANCE\u22ADVANCE\d13ADVANCE\l50nADVANCE\u8（y1+2y2+···＋nyn）－（ADVANCE\u5n+1ADVANCE\d13ADVANCE\l50nADVANCE\u8）式（11）（證明過程見附錄二）分組計(jì)算法不依賴于洛倫茨曲線的函數(shù)形式，但在以直代曲的環(huán)節(jié)會(huì)出現(xiàn)誤差，增加分點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以減少這種誤差。4、分解法上述的計(jì)算方法的最終目的都在于求出基尼系數(shù)的值，而分解法則是在求出上述值的基礎(chǔ)上，力圖研究基尼系數(shù)的構(gòu)成因素，除了得出總的基尼系數(shù)的信息之外，在計(jì)算過程中還能夠獲得分解部分內(nèi)部的基尼系數(shù)值。另外，分解法求出基尼系數(shù)的過程一般都依賴于已有部分的基尼系數(shù)的值，從這個(gè)意義上說，分解法并不是獨(dú)立計(jì)算基尼系數(shù)的方法，它更重要的意義在于對(duì)基尼系數(shù)的分解，即定義的各個(gè)不同基尼系數(shù)值之間的相互關(guān)系。倫敦經(jīng)濟(jì)學(xué)院收入分配方法論專家Cowell教授提出，基尼系數(shù)在不同人群組之間無法完全分解于盡?？傮w基尼系數(shù)除了包括各個(gè)組內(nèi)差距之外，還應(yīng)包括組間差距和相互作用項(xiàng)。公式為：ADVANCE\d5G=ADVANCE\u5ADVANCE\u5kADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑WiGi+Ib+ε（fi）式（12）式中，G是總體基尼系數(shù)，Gi是第i組內(nèi)部的基尼系數(shù)（i=1,2,…，n），Wi是Gi的權(quán)數(shù)，Ib是組間的差距指數(shù)，ε（fi）是相互作用項(xiàng)。ε（fi）是各個(gè)組之間收入分布的重疊程度。特別地，當(dāng)各個(gè)組之間收入分布完全不重疊時(shí)，ε（fi）＝0。式（12）地意義在于形式化地表述了對(duì)總體基尼系數(shù)進(jìn)行分解的思路和框架，但由于沒有給出Wi、Ib和ε（fi）的具體計(jì)算方法，還不能用于基尼系數(shù)的計(jì)算。經(jīng)濟(jì)學(xué)家Sundrum（1990）在他的《欠發(fā)達(dá)國(guó)家的收入分配》一書中介紹了一種對(duì)一國(guó)或地區(qū)基尼系數(shù)進(jìn)行分解的方法，其數(shù)學(xué)公式為：ADVANCE\d5G=P12ADVANCE\u5u1ADVANCE\d13ADVANCE\l50uADVANCE\u8G1+P22ADVANCE\u5u2ADVANCE\d13ADVANCE\l50uADVANCE\u8G2+P1P2ADVANCE\u5ADVANCE\d5︱ADVANCE\u5u1－u2ADVANCE\d13ADVANCE\l50uADVANCE\u8︱ADVANCE\u8ADVANCE\d8式（13）式中，G表示總體基尼系數(shù)，G1和G2分別表示農(nóng)村和城鎮(zhèn)的基尼系數(shù)，P1、P2分別表示農(nóng)村人口和城鎮(zhèn)人口占總?cè)丝诘谋戎?，u1、u2、u分別表示農(nóng)村、城鎮(zhèn)和總體的人均收入。對(duì)比式（12）和式（13），可以發(fā)現(xiàn)式（13）是式（12）的一種具體運(yùn)用，P12ADVANCE\u5u1ADVANCE\d13ADVANCE\l50uADVANCE\u8G1和P22ADVANCE\u5u2ADVANCE\d13ADVANCE\l50uADVANCE\u8G2可以作為以P12ADVANCE\u5u1ADVANCE\d13ADVANCE\l50uADVANCE\u8和P22ADVANCE\u5u2ADVANCE\d13ADVANCE\l50uADVANCE\u8為權(quán)重的ADVANCE\u5ADVANCE\u5kADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑WiGi，P1P2ADVANCE\u5ADVANCE\d5︱ADVANCE\u5u1－u2ADVANCE\d13ADVANCE\l50uADVANCE\u8︱則為組間差距指數(shù)Ib。值得注意的是式中沒有ε（fi）項(xiàng)，意味著ε（fi）＝0成立，因此這種算法隱含的假設(shè)條件是農(nóng)村與城鎮(zhèn)的收入分布完全不重疊。此外，采用這種計(jì)算方法還必須滿足條件：在估算城鄉(xiāng)內(nèi)部的基尼系數(shù)時(shí)所用的居民收入數(shù)據(jù)的口徑是相同或相近的。這種方法會(huì)在可能在兩個(gè)環(huán)節(jié)產(chǎn)生誤差：一是用其他方法估計(jì)城鄉(xiāng)各自的基尼系數(shù)G1和G2時(shí)，可能產(chǎn)生誤差；二是城鄉(xiāng)收入分布一般會(huì)在不同程度上重疊。附錄一：證明：G=△/2u＝2SA第一步，分解ADVANCE\u5ADVANCE\u1ADVANCE\u3nnADVANCE\d8ADVANCE\d1ADVANCE\l21∑∑ADVANCE\d15ADVANCE\u3∣ADVANCE\l31ADVANCE\u2ADVANCE\u1j=1i=1ADVANCE\u10Yj－Yi∣設(shè)將收入按從低到高排列Y1、Y2、……Yn，則上式可以分解為矩陣A：Y1Y2……Yn－1YnY1Y2……Yn－1Yn0Y2－Y1……Yn－1－Y1Yn－Y1Y2－Y10……Yn－1－Y2Yn－Y2…………Yn－1－Y1Yn－1－Y2……0Yn－Yn－1Yn－Y1Yn－Y2……0將矩陣中各項(xiàng)加總得到：2〔（n－1）Yn＋（n－2）Yn－1＋……＋Y2—（n－1）Y1－（n－2）Y2－……－Yn－1〕＝2〔（n－1）Yn＋（n－3）Yn－1＋（n－5）Yn－2……－（1－n）Y2－（n－1）Y1〕第二步，計(jì)算ADVANCE\u51ADVANCE\d13ADVANCE\l702n2u取樣本均值u=ADVANCE\u5Y1＋Y2＋……YnADVANCE\d13ADVANCE\l70nADVANCE\u8=ADVANCE\u5ADVANCE\u5ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑YiADVANCE\d13ADVANCE\l70n1ADVANCE\d13ADVANCE\l702n2uADVANCE\u8＝ADVANCE\u51ADVANCE\d13ADVANCE\l702nADVANCE\d3ADVANCE\d2ADVANCE\u5ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑YiADVANCE\u12ADVANCE\d13綜上，第一步、第二步，得到G＝ADVANCE\u51ADVANCE\d13ADVANCE\l70nADVANCE\d3ADVANCE\d2ADVANCE\u5ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑YiADVANCE\u12ADVANCE\d13ADVANCE\u13ADVANCE\u1〔（n－1）Yn＋（n－3）Yn－1＋（n－5）Yn－2……－（1－n）Y2－（n－1）Y1〕式（14）第三步，計(jì)算SBDOXDOXYECABPXnXi－1Xi圖三圖四i－1iPABC如圖四，計(jì)算每一部分面積SPADVANCE\d5SP＝ADVANCE\u51ADVANCE\d13ADVANCE\l702ADVANCE\u8AB（AC＋BD）＝ADVANCE\u51∑ADVANCE\u13ADVANCE\l5ADVANCE\l5i-1ADVANCE\d13Yi＋∑ADVANCE\u13ADVANCE\l10iADVANCE\d13YiADVANCE\d13\l1002nADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑YiADVANCE\u15SB＝ADVANCE\u5ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑ADVANCE\u51∑ADVANCE\u13ADVANCE\l5ADVANCE\l5i-1ADVANCE\d13Yi＋∑ADVANCE\u13ADVANCE\l10iADVANCE\d13YiADVANCE\d13\l1002nADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑YiADVANCE\u15第四步，計(jì)算SASA=SA＋B－SB＝ADVANCE\u51ADVANCE\d13ADVANCE\l702ADVANCE\u8－ADVANCE\u5ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑ADVANCE\u51∑ADVANCE\u13ADVANCE\l5ADVANCE\l5i-1ADVANCE\d13Yi＋∑ADVANCE\u13ADVANCE\l10iADVANCE\d13YiADVANCE\d13\l1002nADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑YiADVANCE\u13＝ADVANCE\u51ADVANCE\d13ADVANCE\l702nADVANCE\u8ADVANCE\u5nADVANCE\u5ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑Yi－ADVANCE\u5ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑∑ADVANCE\u13ADVANCE\l5ADVANCE\l5i-1ADVANCE\d13Yi＋∑ADVANCE\u13ADVANCE\l10iADVANCE\d13YiADVANCE\d13\l100ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑YiADVANCE\u13分解ADVANCE\d5ADVANCE\d8ADVANCE\u8ADVANCE\u5nADVANCE\u5ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑Yi－ADVANCE\u5ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑∑ADVANCE\u13ADVANCE\l5ADVANCE\l5i-1ADVANCE\d13Yi＋∑ADVANCE\u13ADVANCE\l10iADVANCE\d13Yi得到矩陣BADVANCE\d5ADVANCE\d8ADVANCE\u5nADVANCE\u5ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑YiADVANCE\u5ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑∑ADVANCE\u13ADVANCE\l5ADVANCE\l5i-1ADVANCE\d13Yi＋∑ADVANCE\u13ADVANCE\l10iADVANCE\d13YiADVANCE\d5ADVANCE\d8nADVANCE\u5ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑Yi－ADVANCE\u5ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑∑ADVANCE\u13ADVANCE\l5ADVANCE\l5i-1ADVANCE\d13Yi＋∑ADVANCE\u13ADVANCE\l10iADVANCE\d13YiY1＋Y2＋…YnY1＋Y2＋…Yn…Y1＋Y2＋…YnY1＋Y2＋…Yn＋Y1Y1＋Y1＋Y2Y1＋Y2＋Y1＋Y2＋Y3…Y1＋Y2＋…Yn－2＋Y1＋Y2＋…Yn－1Y1＋Y2＋…Yn－1＋Y1＋Y2＋…YnYn＋Yn－1＋…Y2Yn＋Yn－1＋…Y3－Y1Yn＋Yn－1＋…Y4－Y1－Y2…Yn－Y1－Y2－…Yn－2－Y1－Y2－…Yn－1加總最后一行，得到：nADVANCE\u5ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑Yi－ADVANCE\u5ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑∑ADVANCE\u13ADVANCE\l5ADVANCE\l5i-1ADVANCE\d13Yi＋∑ADVANCE\u13ADVANCE\l10iADVANCE\d13Yi＝（n－1）Yn＋（n－2）Yn－1＋……＋Y2—（n－1）Y1－（n－2）Y2－……－Yn－1＝（n－1）Yn＋（n－3）Yn－1＋（n－5）Yn－2……－（1－n）Y2－（n－1）Y1SA=ADVANCE\u51ADVANCE\d13ADVANCE\l702nADVANCE\u8ADVANCE\u5nADVANCE\u5ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑Yi－ADVANCE\u5ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑∑ADVANCE\u13ADVANCE\l5ADVANCE\l5i-1ADVANCE\d13Yi＋∑ADVANCE\u13ADVANCE\l10iADVANCE\d13YiADVANCE\d13\l100ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑YiADVANCE\u13＝ADVANCE\u51ADVANCE\d13ADVANCE\l702nADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑YiADVANCE\u13〔（n－1）Yn＋（n－3）Yn－1＋（n－5）Yn－2……－（1－n）Y2－（n－1）Y1〕式（15）比較式（14）和式（15）可得G=△/2u＝2SA。附錄二：證明：當(dāng)分點(diǎn)個(gè)數(shù)n有限時(shí)，G=2SA=ADVANCE\u3ADVANCE\u22ADVANCE\d13ADVANCE\l50nADVANCE\u8（y1+2y2+···＋nyn）－（ADVANCE\u5n+1ADVANCE\d13ADVANCE\l50nADVANCE\u8）定義：yi=ADVANCE\u5YiADVANCE\d13\l100ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑YiADVANCE\u13ADVANCE\d5SP＝ADVANCE\u51ADVANCE\d13ADVANCE\l702ADVANCE\u8AB（AC＋BD）＝ADVANCE\u51∑ADVANCE\u13ADVANCE\l5ADVANCE\l5i-1ADVANCE\d13Yi＋∑ADVANCE\u13ADVANCE\l10iADVANCE\d13YiADVANCE\d13\l1002nADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑YiADVANCE\u15ADVANCE\dADVANCE\d3＝ADVANCE\u51ADVANCE\d13ADVANCE\l702nADVANCE\u13ADVANCE\d5（ADVANCE\u5∑ADVANCE\u13ADVANCE\l10iADVANCE\d13YiADVANCE\d13\l100ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑YiADVANCE\u13＋ADVANCE\u5∑ADVANCE\u13ADVANCE\l10i-1ADVANCE\d13YiADVANCE\d13\l100ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑YiADVANCE\u13）SB＝ADVANCE\u5ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑ADVANCE\u51∑ADVANCE\u13ADVANCE\l5ADVANCE\l5i-1ADVANCE\d13Yi＋∑ADVANCE\u13ADVANCE\l10iADVANCE\d13YiADVANCE\d13\l1002nADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑YiADVANCE\u15SA=SA＋B－SB＝ADVANCE\u51ADVANCE\d13ADVANCE\l702ADVANCE\u8－ADVANCE\u5ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑ADVANCE\u51∑ADVANCE\u13ADVANCE\l5ADVANCE\l5i-1ADVANCE\d13Yi＋∑ADVANCE\u13ADVANCE\l10iADVANCE\d13YiADVANCE\d13\l1002nADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑YiADVANCE\u13＝ADVANCE\u51ADVANCE\d13ADVANCE\l702nADVANCE\u8ADVANCE\u5nADVANCE\u5ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑Yi－（ADVANCE\u5ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑∑ADVANCE\u13ADVANCE\l5ADVANCE\l5i-1ADVANCE\d13Yi＋∑ADVANCE\u13ADVANCE\l10iADVANCE\d13Yi）ADVANCE\d13\l100ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑Yi＝ADVANCE\u51ADVANCE\d13ADVANCE\l702nADVANCE\u8ADVANCE\u5nADVANCE\u5ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑Yi－ADVANCE\u5ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑（2∑ADVANCE\u13ADVANCE\l5ADVANCE\l5iADVANCE\d13Yi－Yi）ADVANCE\d13\l100ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑YiADVANCE\u8ADVANCE\u5＝ADVANCE\u51ADVANCE\d13ADVANCE\l702nADVANCE\u8ADVANCE\u5nADVANCE\u5ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑Yi－ADVANCE\u5ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑（2∑ADVANCE\u13ADVANCE\l5ADVANCE\l5iADVANCE\d13Yi－Yi）ADVANCE\d13\l100ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑YiADVANCE\u8ADVANCE\u5＝ADVANCE\u51ADVANCE\d13ADVANCE\l702nADVANCE\u8（2n－2ADVANCE\u5ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑ADVANCE\u5ADVANCE\u5iADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑yi＋2ADVANCE\u5ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑yi）－ADVANCE\u5n+1ADVANCE\d13ADVANCE\l702nADVANCE\u8分解n－ADVANCE\u5ADVANCE\u5nADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑ADVANCE\u5ADVANCE\u5iADVANCE\d5\l10ADVANCE\d5∑yi得到矩陣C：ADVANCE\d5ADVANCE\d8nADVANCE\u5ADVANCE