中位線經典習題及答案

中位線經典習題及答案菁優(yōu)網 ?2010-2014菁優(yōu)網 2014年4月王強的初中數學組卷

2014年4月王強的初中數學組卷一．選擇題（共10小題）1．（2013?銅仁地區(qū)）已知△ABC的各邊長度分別為3cm，4cm，5cm，則連結各邊中點的三角形的周長為（）A．2cmB．7cmC．5cmD．6cm2．（2013?懷化）如圖，為測量池塘邊A、B兩點的距離，小明在池塘的一側選取一點O，測得OA、OB的中點分別是點D、E，且DE=14米，則A、B間的距離是（）A．18米B．24米C．28米D．30米3．（2012?泰安）如圖，AB∥CD，E，F分別為AC，BD的中點，若AB=5，CD=3，則EF的長是（）A．4B．3C．2D．14．（2013?淄博）如圖，△ABC的周長為26，點D，E都在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為Q，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為P，若BC=10，則PQ的長為（）A．B．C．3D．45．（1997?海南）用反證法證明命題：“如圖，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，證明的第一個步驟是（）A．假定CD∥EFB．假定CD不平行于EFC．已知AB∥EFD．假定AB不平行于EF6．用反證法證明命題“在Rt△ABC中，若∠A=90°，則∠B≤45°或∠C≤45°“時，應先假設（）A．∠B＞45°，∠C≤45°B．∠B≤45°，∠C＞45°C．∠B＞45°，∠C＞45°D．∠B≤45°，∠C≤45°7．用反證法證明“若a⊥c，b⊥c，則a∥b”，第一步應假設（）A．a∥bB．a與b垂直C．a與b不一定平行D．a與b相交8．能證明命題“x是實數，則（x﹣3）2＞0”是假命題的反例是（）A．x=4B．x=3C．x=2D．x=159．下列說法正確的是（）A．等腰三角形的角平分線、中線、高線互相重合B．面積相等的兩個三角形一定全等C．用反證法證明命題“三角形中至少有一個角不大于60°”的第一步是“假設三角形中三個角都大于60°”D．反比例函數y=中函數值y隨自變量x的增大一定而減小10．下列命題宜用反證法證明的是（）A．等腰三角形兩腰上的高相等B．有一個外角是1200的等腰三角形是等邊三角形C．兩條直線都與第三條直線平行，則這兩條直線互相平行D．全等三角形的面積相等二．填空題（共4小題）11．（2013?煙臺）如圖，?ABCD的周長為36，對角線AC，BD相交于點O．點E是CD的中點，BD=12，則△DOE的周長為_________．12．（2013?烏魯木齊）如圖，△ABC中，AD是中線，AE是角平分線，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，則DF的長為_________．13．（2012?棗莊）如圖所示，DE為△ABC的中位線，點F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，則EF的長為_________．14．（2011?柳州）如圖，要測量的A、C兩點被池塘隔開，李師傅在AC外任選一點B，連接BA和BC，分別取BA和BC的中點E、F，量得E、F兩點間的距離等于23米，則A、C兩點間的距離_________米．三．解答題（共16小題）15．（2013?永州）如圖，M是△ABC的邊BC的中點，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點N，延長BN交AC于點D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求證：BN=DN；（2）求△ABC的周長．16．（2012?湘西州）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=8cm，E、F分別為邊AC、AB的中點．（1）求∠A的度數；（2）求EF的長．17．（2005?烏魯木齊）如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，點D，E分別為AC，AB的中點，點F在BC的延長線上，且∠CDF=∠A．求證：四邊形DECF為平行四邊形．18．（2004?蘇州）已知：如圖，正△ABC的邊長為a，D為AC邊上的一個動點，延長AB至E，使BE=CD，連接DE，交BC于點P．（1）求證：DP=PE；（2）若D為AC的中點，求BP的長．19．（2013?鎮(zhèn)江）如圖，AB∥CD，AB=CD，點E、F在BC上，且BE=CF．（1）求證：△ABE≌△DCF；（2）試證明：以A、F、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形．20．（2013?梧州）如圖，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足為點E，CF⊥AD，垂足為點F，并且AE=DF．求證：四邊形BECF是平行四邊形．21．（2013?鞍山）如圖，E，F是四邊形ABCD的對角線AC上兩點，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求證：（1）△AFD≌△CEB；（2）四邊形ABCD是平行四邊形．22．（2011?天水）已知，如圖E、F是四邊形ABCD的對角線AC上的兩點，AF=CE，DF=BE，DF∥BE，四邊形ABCD是平行四邊形嗎？請說明理由．23．（2010?東莞）如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD，等邊△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．（1）試說明AC=EF；（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形．24．（2006?鎮(zhèn)江）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，AB∥CD，AO=CO．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．25．（2006?湛江）如圖，點E，F，G，H分別為四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，試判斷四邊形EFGH的形狀，并證明你的結論．26．證明：在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60度．27．請用反證法證明：如果兩個整數的積是偶數，那么這兩個整數中至少有一個是偶數．28．判斷下列命題是真命題還是假命題，若是假命題，請舉出一個反例說明．（1）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．（2）有兩個角是銳角的三角形是銳角三角形．29．（2013?南充）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，經過點O的直線交AB于E，交CD于F．求證：OE=OF．30．（2013?茂名）如圖，在?ABCD中，點E是AB邊的中點，DE與CB的延長線交于點F．（1）求證：△ADE≌△BFE；（2）若DF平分∠ADC，連接CE．試判斷CE和DF的位置關系，并說明理由．

2014年4月王強的初中數學組卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2013?銅仁地區(qū)）已知△ABC的各邊長度分別為3cm，4cm，5cm，則連結各邊中點的三角形的周長為（）A．2cmB．7cmC．5cmD．6cm考點：三角形中位線定理．分析：由中點和中位線定義可得新三角形的各邊長為原三角形各邊長的一半，即可求其周長．解答：解：如圖，D，E，F分別是△ABC的三邊的中點，則DE=AC，DF=BC，EF=AB，∴△DEF的周長=DE+DF+EF=（AC+BC+AB）=6cm，故選D．點評：解決本題的關鍵是利用中點定義和中位線定理得到新三角形各邊長與原三角形各邊長的數量關系．2．（2013?懷化）如圖，為測量池塘邊A、B兩點的距離，小明在池塘的一側選取一點O，測得OA、OB的中點分別是點D、E，且DE=14米，則A、B間的距離是（）A．18米B．24米C．28米D．30米考點：三角形中位線定理．分析：根據D、E是OA、OB的中點，即DE是△OAB的中位線，根據三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，即可求解．解答：解：∵D、E是OA、OB的中點，即CD是△OAB的中位線，∴DE=AB，∴AB=2CD=2×14=28m．故選C．點評：本題考查了三角形的中位線定理應用，正確理解定理是解題的關鍵．3．（2012?泰安）如圖，AB∥CD，E，F分別為AC，BD的中點，若AB=5，CD=3，則EF的長是（）A．4B．3C．2D．1考點：三角形中位線定理；全等三角形的判定與性質．專題：壓軸題．分析：連接DE并延長交AB于H，由已知條件可判定△DCE≌△HAE，利用全等三角形的性質可得DE=HE，進而得到EF是三角形DHB的中位線，利用中位線性質定理即可求出EF的長．解答：解：連接DE并延長交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中點，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE（AAS），∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中點，∴EF是△DHB的中位線，∴EF=BH，∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2，∴EF=1．故選D．點評：本題考查了全等三角形的判定和性質、三角形的中位線的判定和性質，解題的關鍵是連接DE和AB相交構造全等三角形，題目設計新穎．4．（2013?淄博）如圖，△ABC的周長為26，點D，E都在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為Q，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為P，若BC=10，則PQ的長為（）A．B．C．3D．4考點：三角形中位線定理；等腰三角形的判定與性質．專題：壓軸題．分析：首先判斷△BAE、△CAD是等腰三角形，從而得出BA=BE，CA=CD，由△ABC的周長為26，及BC=10，可得DE=6，利用中位線定理可求出PQ．解答：解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴點Q是AE中點，點P是AD中點（三線合一），∴PQ是△ADE的中位線，∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，∴DE=BE+CD﹣BC=6，∴PQ=DE=3．故選C．點評：本題考查了三角形的中位線定理，解答本題的關鍵是判斷出△BAE、△CAD是等腰三角形，利用等腰三角形的性質確定PQ是△ADE的中位線．5．（1997?海南）用反證法證明命題：“如圖，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，證明的第一個步驟是（）A．假定CD∥EFB．假定CD不平行于EFC．已知AB∥EFD．假定AB不平行于EF考點：反證法．分析：根據要證CD∥EF，直接假設CD不平行于EF即可得出．解答：解：∵用反證法證明命題：如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF．∴證明的第一步應是：從結論反面出發(fā)，假設CD不平行于EF．故選：B．點評：此題主要考查了反證法的第一步，根據題意得出命題結論的反例是解決問題的關鍵．6．用反證法證明命題“在Rt△ABC中，若∠A=90°，則∠B≤45°或∠C≤45°“時，應先假設（）A．∠B＞45°，∠C≤45°B．∠B≤45°，∠C＞45°C．∠B＞45°，∠C＞45°D．∠B≤45°，∠C≤45°考點：反證法．分析：用反證法證明命題的真假，應先按符合題設的條件，假設題設成立，再判斷得出的結論是否成立即可．解答：解：用反證法證明命題“在Rt△ABC中，若∠A=90°，則∠B≤45°或∠C≤45°”時，應先假設∠B＞45°，∠C＞45°．故選：C．點評：此題主要考查了反證法，注意逆命題的與原命題的關系是解題關鍵．7．用反證法證明“若a⊥c，b⊥c，則a∥b”，第一步應假設（）A．a∥bB．a與b垂直C．a與b不一定平行D．a與b相交考點：反證法．分析：根據反證法的步驟，直接得出即可．解答：解：∵用反證法證明“若a⊥c，b⊥c，則a∥b”，∴第一步應假設：若a⊥c，b⊥c，則a、b相交．故選：D．點評：此題主要考查了反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：（1）假設結論不成立；（2）從假設出發(fā)推出矛盾；（3）假設不成立，則結論成立．在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．8．能證明命題“x是實數，則（x﹣3）2＞0”是假命題的反例是（）A．x=4B．x=3C．x=2D．x=15考點：反證法．分析：根據x=3時，（x﹣3）2=0，得出能證明命題“x是實數，則（x﹣3）2＞0”是假命題的反例是：x=3．解答：解：∵x=3時，（x﹣3）2=0，∴能證明命題“x是實數，則（x﹣3）2＞0”是假命題的反例是：x=3．故選：B．點評：本題主要考查了命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題是假命題只要找到一個反例即可．9．下列說法正確的是（）A．等腰三角形的角平分線、中線、高線互相重合B．面積相等的兩個三角形一定全等C．用反證法證明命題“三角形中至少有一個角不大于60°”的第一步是“假設三角形中三個角都大于60°”D．反比例函數y=中函數值y隨自變量x的增大一定而減小考點：反證法；反比例函數的性質；全等三角形的判定；等腰三角形的性質．分析：分別根據等腰三角形的性質以及全等三角形的判定與性質和反證法的證明第一步以及反比例函數的增減性得出即可．解答：解：A、等腰三角形的頂角平分線和底邊上的中線、高線互相重合，故此選項錯誤；B、面積相等的兩個三角形不一定全等，故此選項錯誤；C、用反證法證明命題“三角形中至少有一個角不大于60°”的第一步是“假設三角形中三個角都大于60°”，此選項正確；D、反比例函數y=中，每個象限內，函數值y隨自變量x的增大一定而減小，故此選項錯誤；故選：C．點評：此題主要考查了反證法、反比例函數性質、等腰三角形的性質等知識，正確把握相關性質是解題關鍵．10．下列命題宜用反證法證明的是（）A．等腰三角形兩腰上的高相等B．有一個外角是1200的等腰三角形是等邊三角形C．兩條直線都與第三條直線平行，則這兩條直線互相平行D．全等三角形的面積相等考點：反證法．分析：利用直接證明的方法不易證明的結論，可以考慮利用反證法證明，據此即可判斷．解答：解：A、利用三角形的面積公式比較容易證明，故選項錯誤；B、利用等邊三角形的判定定理即可直接證明，故選項錯誤；C、正確；D、根據全等的定義可以直接證明，故選項錯誤．故選C．點評：本題結合角的比較考查反證法，解此題關鍵要懂得反證法應用的條件，直接證明的方法不易證明的結論，可以考慮利用反證法證明．二．填空題（共4小題）11．（2013?煙臺）如圖，?ABCD的周長為36，對角線AC，BD相交于點O．點E是CD的中點，BD=12，則△DOE的周長為15．考點：三角形中位線定理；平行四邊形的性質．分析：根據平行四邊形的對邊相等和對角線互相平分可得，OB=OD，又因為E點是CD的中點，可得OE是△BCD的中位線，可得OE=BC，所以易求△DOE的周長．解答：解：∵?ABCD的周長為36，∴2（BC+CD）=36，則BC+CD=18．∵四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC，BD相交于點O，BD=12，∴OD=OB=BD=6．又∵點E是CD的中點，∴OE是△BCD的中位線，DE=CD，∴OE=BC，∴△DOE的周長=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周長為15．故答案是：15．點評：本題考查了三角形中位線定理、平行四邊形的性質．解題時，利用了“平行四邊形對角線互相平分”、“平行四邊形的對邊相等”的性質．12．（2013?烏魯木齊）如圖，△ABC中，AD是中線，AE是角平分線，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，則DF的長為．考點：三角形中位線定理；等腰三角形的判定與性質．專題：壓軸題．分析：延長CF交AB于點G，證明△AFG≌△AFC，從而可得△ACG是等腰三角形，GF=FC，點F是CG中點，判斷出DF是△CBG的中位線，繼而可得出答案．解答：解：延長CF交AB于點G，∵AE平分∠BAC，∴∠GAF=∠CAF，∵AF垂直CG，∴∠AFG=∠AFC，在△AFG和△AFC中，∵，∴△AFG≌△AFC（ASA），∴AC=AG，GF=CF，又∵點D是BC中點，∴DF是△CBG的中位線，∴DF=BG=（AB﹣AG）=（AB﹣AC）=．故答案為：．點評：本題考查了三角形的中位線定理，解答本題的關鍵是作出輔助線，同學們要注意培養(yǎng)自己的敏感性，一般出現即是角平分線又是高的情況，我們就需要尋找等腰三角形．13．（2012?棗莊）如圖所示，DE為△ABC的中位線，點F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，則EF的長為．考點：三角形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線．專題：壓軸題．分析：利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可求出DF的長，再利用三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半，可求出DE的長，進而求出EF的長解答：解：∵∠AFB=90°，D為AB的中點，∴DF=AB=2.5，∵DE為△ABC的中位線，∴DE=BC=4，∴EF=DE﹣DF=1.5，故答案為1.5．點評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線性質：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半和三角形的中位線性質：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．14．（2011?柳州）如圖，要測量的A、C兩點被池塘隔開，李師傅在AC外任選一點B，連接BA和BC，分別取BA和BC的中點E、F，量得E、F兩點間的距離等于23米，則A、C兩點間的距離46米．考點：三角形中位線定理．專題：計算題；壓軸題．分析：根據E、F分別是線段AB、BC中點，利用三角形中位線定理，即可求出AC的長．解答：解：∵E、F分別是線段AB、BC中點，∴FE是三角形ABC的中位線，∴FE=AC，∴AC=2FE=23×2=46米．故答案為46．點評：此題考查學生對三角形中位線定理的理解和掌握，要求學生熟練掌握三角形中位線定理，為進一步學習奠定基礎．三．解答題（共16小題）15．（2013?永州）如圖，M是△ABC的邊BC的中點，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點N，延長BN交AC于點D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求證：BN=DN；（2）求△ABC的周長．考點：三角形中位線定理；等腰三角形的判定與性質．分析：（1）證明△ABN≌△ADN，即可得出結論；（2）先判斷MN是△BDC的中位線，從而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，從而計算周長即可．解答：（1）證明：在△ABN和△ADN中，∵，∴△ABN≌△ADN，∴BN=DN．（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，DN=NB，又∵點M是BC中點，∴MN是△BDC的中位線，∴CD=2MN=6，故△ABC的周長=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．點評：本題考查了三角形的中位線定理及等腰三角形的判定，注意培養(yǎng)自己的敏感性，一般出現高、角平分線重合的情況，都需要找到等腰三角形．16．（2012?湘西州）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=8cm，E、F分別為邊AC、AB的中點．（1）求∠A的度數；（2）求EF的長．考點：三角形中位線定理；含30度角的直角三角形．分析：（1）由“直角三角形的兩個銳角互余”的性質來求∠A的度數；（2）由“30度角所對的直角邊等于斜邊的一半”求得AB=2BC，則BC=4cm．然后根據三角形中位線定理求得EF=BC．解答：解：（1）如圖，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，∴∠A=90°﹣∠B=30°，即∠A的度數是30°；（2）∵由（1）知，∠A=30°．∴在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8cm，∴BC=AB=4cm．又E、F分別為邊AC、AB的中點，∴EF是△ABC的中位線，∴EF=BC=2cm．點評：本題考查了三角形中位線定理、含30度角的直角三角形．在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．17．（2005?烏魯木齊）如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，點D，E分別為AC，AB的中點，點F在BC的延長線上，且∠CDF=∠A．求證：四邊形DECF為平行四邊形．考點：平行四邊形的判定；三角形中位線定理．專題：證明題．分析：根據DE是三角形的中位線得到DE∥BC，根據CE是直角三角形斜邊上的中線得到CE=AE，得∠A=∠ACE∵∠CDF=∠A∴∠CDF=∠ACE∴DF∥CE．再根據：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形而得證．解答：證明：∵D，E分別為AC，AB的中點，∴DE為△ACB的中位線．∴DE∥BC．∵CE為Rt△ACB的斜邊上的中線，∴CE=AB=AE．∴∠A=∠ACE．又∵∠CDF=∠A，∴∠CDF=∠ACE．∴DF∥CE．又∵DE∥BC，∴四邊形DECF為平行四邊形．點評：本題利用了：①三角形中位線的性質．②直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半．③等邊對等角．④平行四邊形的性質和判定．⑤內錯角相等，兩直線平行．18．（2004?蘇州）已知：如圖，正△ABC的邊長為a，D為AC邊上的一個動點，延長AB至E，使BE=CD，連接DE，交BC于點P．（1）求證：DP=PE；（2）若D為AC的中點，求BP的長．考點：等邊三角形的性質；全等三角形的判定與性質；三角形中位線定理．專題：計算題；證明題．分析：（1）過點D作DF∥AB，構造三角形全等，可證得△CDF為等邊三角形，得到DF=BE，可由AAS證得△DFP≌△EBP?DP=EP；（2）若D為AC的中點，則DF是△ABC的中位線，有BF=BC=a，點P是BF的中點，得到BP=BF=a．解答：（1）證明：過點D作DF∥AB，交BC于F．∵△ABC為正三角形，∴∠CDF=∠A=60°．∴△CDF為正三角形．∴DF=CD．又BE=CD，∴BE=DF．又DF∥AB，∴∠PEB=∠PDF．∵在△DFP和△EBP中，∵，∴△DFP≌△EBP（AAS）．∴DP=PE．（2）解：由（1）得△DFP≌△EBP，可得FP=BP．∵D為AC中點，DF∥AB，∴BF=BC=a．∴BP=BF=a．點評：本題利用了等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質求解．19．（2013?鎮(zhèn)江）如圖，AB∥CD，AB=CD，點E、F在BC上，且BE=CF．（1）求證：△ABE≌△DCF；（2）試證明：以A、F、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形．考點：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質．專題：證明題．分析：（1）由全等三角形的判定定理SAS證得△ABE≌△DCF；（2）利用（1）中的全等三角形的對應角相等證得∠AEB=∠DFC，則∠AEF=∠DFE，所以根據平行線的判定可以證得AE∥DF．由全等三角形的對應邊相等證得AE=DF，則易證得結論．解答：證明：（1）如圖，∵AB∥CD，∴∠B=∠C．∵在△ABE與△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS）；（2）如圖，連接AF、DE．由（1）知，△ABE≌△DCF，∴AE=DF，∠AEB=∠DFC，∴∠AEF=∠DFE，∴AE∥DF，∴以A、F、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形．點評：本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質．在證明（2）題時，利用了“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”的判定定理．20．（2013?梧州）如圖，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足為點E，CF⊥AD，垂足為點F，并且AE=DF．求證：四邊形BECF是平行四邊形．考點：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質．專題：證明題．分析：通過全等三角形（△AEB≌△DFC）的對應邊相等證得BE=CF，由“在同一平面內，同垂直于同一條直線的兩條直線相互平行”證得BE∥CF．則四邊形BECF是平行四邊形．解答：證明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠AEB=∠DFC=90°，∵AB∥CD，∴∠A=∠D，在△AEB與△DFC中，，∴△AEB≌△DFC（ASA），∴BE=CF．∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CF．∴四邊形BECF是平行四邊形．點評：本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．21．（2013?鞍山）如圖，E，F是四邊形ABCD的對角線AC上兩點，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求證：（1）△AFD≌△CEB；（2）四邊形ABCD是平行四邊形．考點：平行四邊形的判定；全等三角形的判定．專題：證明題；壓軸題．分析：（1）利用兩邊和它們的夾角對應相等的兩三角形全等（SAS），這一判定定理容易證明△AFD≌△CEB．（2）由△AFD≌△CEB，容易證明AD=BC且AD∥BC，可根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．解答：證明：（1）∵DF∥BE，∴∠DFE=∠BEF．又∵AF=CE，DF=BE，∴△AFD≌△CEB（SAS）．（2）由（1）知△AFD≌△CEB，∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，∴AD∥BC．∴四邊形ABCD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）．點評：此題主要考查了全等三角形的判定和平行四邊形的判定，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．平行四邊形的判定，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．22．（2011?天水）已知，如圖E、F是四邊形ABCD的對角線AC上的兩點，AF=CE，DF=BE，DF∥BE，四邊形ABCD是平行四邊形嗎？請說明理由．考點：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質．專題：壓軸題．分析：首先根據條件證明△AFD≌△CEB，可得到AD=CB，∠DAF=∠BCE，可證出AD∥CB，根據一條對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證出結論．解答：解：結論：四邊形ABCD是平行四邊形，證明：∵DF∥BE，∴∠AFD=∠CEB，又∵AF=CEDF=BE，∴△AFD≌△CEB（SAS），∴AD=CB，∠DAF=∠BCE，∴AD∥CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形．點評：此題主要考查了平行四邊形的判定，以及三角形全等的判定與性質，解題的關鍵是根據條件證出△AFD≌△CEB．23．（2010?東莞）如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD，等邊△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．（1）試說明AC=EF；（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形．考點：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質．專題：證明題；壓軸題．分析：（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因為△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可證明△AFE≌△BCA，再根據全等三角形的性質即可證明AC=EF；（2）根據（1）知道EF=AC，而△ACD是等邊三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根據平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADFE是平行四邊形．解答：證明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF∴AF=CB，在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴△AFE≌△BCA（HL），∴AC=EF；（2）由（1）知道AC=EF，而△ACD是等邊三角形，∴∠DAC=60°∴EF=AC=AD，且AD⊥AB，而EF⊥AB，∴EF∥AD，∴四邊形ADFE是平行四邊形．點評：此題是首先利用等邊三角形的性質證明全等三角形，然后利用全等三角形的性質和等邊三角形的性質證明平行四邊形．24．（2006?鎮(zhèn)江）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，AB∥CD，AO=CO．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．考點：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質．專題：證明題．分析：要證四邊形ABCD是平行四邊形，根據平行四邊形的判定，和已知條件，只需證AB=CD，繼而需求證△ABO≌△CDO，由已知條件很快確定ASA，即證．解答：證明：∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO．∵AO=CO，∠AOB=∠COD，∴△ABO≌△CDO．∴AB=CD，又∵AB∥CD∴四邊形ABCD是平行四邊形．點評：平行四邊形的判定方法共有五種，應用時要認真領會它們之間的聯系與區(qū)別，同時要根據條件合理、靈活地選擇方法．25．（2006?湛江）如圖，點E，F，G，H分別為四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，試判斷四邊形EFGH的形狀，并證明你的結論．考點：平行四邊形的判定；三角形中位線定理．專題：壓軸題；探究型．分析：四邊形EFGH是平行四邊形，連接AC，根據中位線定理，可證得EF∥AC，且EF=AC．GH∥AC，且GH=AC，∴EFGH．∴四邊形EFGH是平行四邊形．解答：解：四邊形EFGH是平行四邊形證明：連接AC，如圖．∵E，F分別是AB，BC的中點，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥AC，且EF=AC．同理：GH∥AC，且GH=AC，∴EFGH．∴四邊形EFGH是平行四邊形．點評：此題主要考查平行四邊形的判定，綜合運用了中位線定理，作輔助線是關鍵．26．證明：在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60度．考點：反證法．專題：證明題．分析：當條件較少，無法直接證明時，可用反證法證明；先假設結論不成立，然后得到與定理矛盾，從而證得原結論成立．解答：證明：假設在一個三角形中沒有一個角小于或等于60°，即都大于60°；那么，這個三角形的三個內角之和就會大于180°；這與定理“三角形的三個內角之和等于180°”相矛盾，原命題正確．點評：本題結合三角形內角和定理考查反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：（1）假設結論不成立；（2）從假設出發(fā)推出矛盾；（3）假設不成立，則結論成立．在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．27．請用反證法證明：如果兩個整數的積是偶數，那么這兩個整數中至少有一個是偶數．考點：反證法．分析：首先假設這兩個整數都是奇