期中期末小測

2014《線性代數(shù)》CMP104期中試卷A參考答案b1101b1011bb1101b1011b1111bb00b001000b0(b2)2(b3)1000b001111b111b(b2)2(b

b

(b2)2(b3)

b b

b2)2b3)(b1 1 3 3 1

2 16 3二、(11分)設(shè)數(shù)域R上向量組1,2 ,3 ,4 ,5

b 3 15 (1)該向量組的秩，并寫出其一個極大線性無關(guān)組。【解】 對矩陣(12345)施以初等行變換，化為行階梯形矩 ()

3 123 3

b b51 52a3 1 b3 a1時，不論b取何r(12345)4，其一極大線性無關(guān)組為1,2,3,4。a1,b3r(12345)4，其一極大線性無關(guān)組為1,2,3,5。a1b3r(12345)3，其一極大線性無關(guān)組為1,2,3(2)a1b3r(12345)3，其極大線性無關(guān)組為1,2,3 102301102301020000() 1234 于是40122035813223。三、(14分)已知數(shù)域R上非齊次線性方程組 x1x2x3x4x53x2xxx3x x2x2x6x 5x14x23x33x4x5 a A

0

3a

b 2

b3a1aa1且b3a3rankA2rankA5(未知元的個數(shù))個解。當(dāng)a1或且b3rankA23=rankA 1 2 A

3 3，0 3， 00 0 xxx5x

未知元 分別取0,1,0，代2x6x x 0015 1 1 5 11,20,30 0 1 00 0 1 x2xx5x

方程組的一般解為x132x3

未知元 取0，代入得方4 x 05 3 組的一個特解為00 00 0 1

1

，且滿ABA6ABA，其

AAB6AAB，即(2EA)B6AA2，AEA2EA60，所以2EAB6(2EA)1A利用下述方法求(2EA)1A(2EAA等行變換(E(2EA)1A

1

1(2EAA)

0 1

1 0 20 (2E)1A0 03 10

2 B62E(A)1A

6601 601 。 2 A*-E)B6E，顯然A*-E)可逆，于B6A*-E)1，利用下述方法求A*-E)1AEE等行變換(EAE)12 (AEE)

0 0 1

1 1 0 2B6A*-(E)1

6601 601 。 2 五、(4分)設(shè)數(shù)R上n維列向量，矩陣ATT，其中TT分別是的轉(zhuǎn)置，證明(1)秩rankA)2；(2)如果線性相關(guān)，則秩rankA)2?！咀C】(1rankArank(TTrank(Trank(Trank(rank(112(2)如果