解析幾何與向量代數(shù)5課件

一、曲面方程的概念二、柱面、錐面三、旋轉(zhuǎn)曲面§3幾種常見的二次曲面四、研究二次曲面的特征一、曲面方程的概念二、柱面、錐面三、旋轉(zhuǎn)曲面§3幾種常見1一、曲面方程的概念在空間解析幾何中,任何曲面都可以看作點的幾何軌跡.那么,方程F(x,y,z)0就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程F(x,y,z)0的圖形.

(1)曲面S上任一點的坐標都滿足方程F(x,y,z)0;(2)滿足方程F(x,y,z)0的點必定在曲面S上,曲面方程的定義

如果曲面S與三元方程F(x,y,z)0有下述關(guān)系:一、曲面方程的概念在空間解析幾何中,任何2故所求方程為例1.求動點到定點方程.(P42-1)特別,當M0在原點時,球面方程為解:

設(shè)軌跡上動點為即依題意距離為R的軌跡表示上(下)半球面.上半球面圖形P38-2.故所求方程為例1.求動點到定點方程.(P42-1)特別3(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時,建立這曲面的方程;(2)已知坐標x、y和z間的一個方程時,研究這方程所表示的曲面的形狀.研究曲面的兩個基本問題通過配方,原方程可以改寫成(x1)2(y2)2z25.一般地,三元二次方程

Ax2Ay2Az2DxEyFzG0的圖形就是一個球面.

例2

方程x2y2z22x4y0表示怎樣的曲面？

解

(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時,建立這4二、柱面引例.分析方程表示怎樣的曲面.的坐標也滿足方程解:在xoy面上，表示圓C,沿曲線C平行于z軸的一切直線所形成的曲面故在空間過此點作稱為圓柱面.對任意z,平行z軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點其上所有點的坐標都滿足此方程,二、柱面引例.分析方程表示怎樣的曲面.的坐標也滿足方程解5定義平行定直線并沿定曲線移動的直線l形成的軌跡叫做柱面.表示拋物柱面,母線平行于z軸;準線為xoy面上的拋物線.

z軸的橢圓柱面.z軸的平面.表示母線平行于(且z軸在平面上)表示母線平行于

叫做準線,l

叫做母線.定義平行定直線并沿定曲線移動的直線l形成的軌跡6xzy0母線F(x,y)=0z

=0準線

(不含z)M(x,y,z)N(x,y,0)S曲面S上每一點都滿足方程；曲面S外的每一點都不滿足方程F(x,y)=0表示母線平行于z軸的柱面點N滿足方程，故點M滿足方程

一般柱面

F(x,y)=0xzy0母線F(x,y)=0z=0準線(不含z)M7母線準線(不含x)F(y,z)=0x=0xzy0F(y,z)=0表示母線平行于x軸的柱面一般柱面

F(y,z)=0母線準線(不含x)F(y,z)=0x=0xzy0F8回憶定義平行定直線并沿定曲線移動的直線l形成的軌跡叫做柱面.則由直線的的參數(shù)方程可知存在t

叫做準線,l

叫做母線.回憶定義平行定直線并沿定曲線移動的直線l形成的軌9例3求以空間曲線為準線,母線方向為(1,1,1)的柱面方程.（P43-B1）解在準線上任意取點過此點的母線的參數(shù)方程為解出代入準線方程得例3求以空間曲線為10定義沿定曲線移動且過固定點的動直線l的運動軌跡叫做錐面.叫做準線,l

叫做母線.二、錐面則由直線的的參數(shù)方程可知存在t定義沿定曲線移動且過固定點的動直線l的運動軌跡叫11例4求以空間曲線為準線,以(1,1,1)為頂點的錐面方程.(P42-5)解在準線上任意取點過此點的母線的參數(shù)方程為解出代入準線方程得例4求以空間曲線為12定義

一條平面曲線三、旋轉(zhuǎn)曲面

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.曲線稱為該旋轉(zhuǎn)曲面的母線，該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如:定義一條平面曲線三、旋轉(zhuǎn)曲面繞其平面上一條定直線旋13建立yoz面上曲線

繞z軸旋轉(zhuǎn)所成曲面S的方程:給定yoz面上曲線

:y

zo繞z軸建立yoz面上曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)所成曲面S的方程:14曲線

旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面

SSMNzPy

zo繞z軸.f(y1,z1)=0M(x,y,z).xS曲線旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面SSMNzPyzo繞z軸.f15曲線

旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面

SxSMNzP.繞z軸..f(y1,z1)=0M(x,y,z)f(y1,z1)=0f(y1,z1)=0.y

zoS曲線旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面SxSMNzP.繞z軸..f(16思考：當曲線

繞y軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？思考：當曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？17例5.

試建立頂點在原點,旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為的圓錐面方程.(P31-例3.4)解:

在yoz面上直線L的方程為繞z

軸旋轉(zhuǎn)時,圓錐面的方程為兩邊平方例5.試建立頂點在原點,旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為的圓錐18例6.求坐標面xoz

上的雙曲線分別繞

x軸和z

軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞x軸旋轉(zhuǎn)繞z

軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為例6.求坐標面xoz上的雙曲線分別繞x軸和z軸旋19四、由方程研究二次曲面的特征三元二次方程研究二次曲面特性的基本方法:截痕法

其基本類型有:二次柱面、球面、橢球面、二次錐面、雙曲面、拋物面的圖形通常為二次曲面.

(二次項系數(shù)不全為0)四、由方程研究二次曲面的特征三元二次方程研究二次曲面特性的20截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面abcyx

zo1.

橢球面截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面211.橢球面(1)對稱性及范圍：(2)與坐標面的交線：橢圓1.橢球面(1)對稱性及范圍：(2)與坐標面的交線：橢圓22與的交線為橢圓：(4)當a＝b時為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當a＝b＝c時為球面.(3)截痕:為正數(shù))與的交線為橢圓：(4)當a＝b時為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截23xzy0截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面(1).

橢圓拋物面2.拋物面xzy0截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=24xzy0截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面(1).

橢圓拋物面.2.拋物面xzy0截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=25用z=h截曲面用y=0截曲面用x=n截曲面xzy0截痕法（馬鞍面）(2).

雙曲拋物面用z=h截曲面用y=0截曲面用x=n截曲面xzy26截痕法.(2).

雙曲拋物面（馬鞍面）xzy0用z=h截曲面用y=0截曲面用x=n截曲面截痕法.(2).雙曲拋物面（馬鞍面）xzy0用z=h27截痕法.(2).

雙曲拋物面（馬鞍面）xzy0用z=h截曲面用y=0截曲面用x=n截曲面截痕法.(2).雙曲拋物面（馬鞍面）xzy0用z=h283.雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時,截痕為(實軸平行于x軸；虛軸平行于z軸）平面上的截痕情況:雙曲線:3.雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時,截痕為(實軸平行29虛軸平行于x軸）時,截痕為時,截痕為(實軸平行于z軸;相交直線:雙曲線:虛軸平行于x軸）時,截痕為時,截痕為(實軸平行于z軸30(2)雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:雙曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面(2)雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)314.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點的兩直線.4.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過32作業(yè)：p-42習題7-34,6,8作業(yè)：p-42習題7-333一、空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組例如,方程組表示圓柱面與平面的交線C.C一、空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程34又如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線C.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束又如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線C.機動目錄35二、空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上的動點坐標x,y,z表示成參數(shù)t

的函數(shù):稱它為空間曲線的參數(shù)方程.例如,空間曲線的參數(shù)方程為二、空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上的動點坐標x,y,z表示36例1.

將下列曲線化為參數(shù)方程表示:解:(1)根據(jù)第一方程引入?yún)?shù)，(2)將第二方程變形為故所求為得所求為例1.將下列曲線化為參數(shù)方程表示:解:(1)根據(jù)第一方37三、空間曲線在坐標面上的投影設(shè)空間曲線

C

的一般方程為消去z得投影柱面則C在xoy面上的投影曲線C′為消去x得C在yoz面上的投影曲線方程消去y得C在zox面上的投影曲線方程三、空間曲線在坐標面上的投影設(shè)空間曲線C的一般方程為消去38例如,P43-15在xoy面上的投影曲線方程為考慮在xoz,yoz面上的投影柱面方程及投影曲線方程?例如,P43-15在xoy面上的投影曲線方程為考慮在xoz39練習：練習：40答案答案41

(2)(1)練習:畫出下列曲線在第一卦限的圖形(2)(1)練習:畫出下列曲線在第一卦限的圖形42(3)(3)43練習畫出下列各曲面所圍圖形:練習畫出下列各曲面所圍圖形:44(1)解答:(1)解答:45(2)(2)46(3)(3)47練習畫出下列各曲面所圍圖形:練習畫出下列各曲面所圍圖形:48練習.直線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周,求此旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲面的方程.提示:在L上任取一點旋轉(zhuǎn)軌跡上任一點,則有得旋轉(zhuǎn)曲面方程練習.直線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周,求此旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲面的方程.提49練習.練習.50作業(yè):P43---12，14，16

作業(yè):51一、曲面方程的概念二、柱面、錐面三、旋轉(zhuǎn)曲面§3幾種常見的二次曲面四、研究二次曲面的特征一、曲面方程的概念二、柱面、錐面三、旋轉(zhuǎn)曲面§3幾種常見52一、曲面方程的概念在空間解析幾何中,任何曲面都可以看作點的幾何軌跡.那么,方程F(x,y,z)0就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程F(x,y,z)0的圖形.

(1)曲面S上任一點的坐標都滿足方程F(x,y,z)0;(2)滿足方程F(x,y,z)0的點必定在曲面S上,曲面方程的定義

如果曲面S與三元方程F(x,y,z)0有下述關(guān)系:一、曲面方程的概念在空間解析幾何中,任何53故所求方程為例1.求動點到定點方程.(P42-1)特別,當M0在原點時,球面方程為解:

設(shè)軌跡上動點為即依題意距離為R的軌跡表示上(下)半球面.上半球面圖形P38-2.故所求方程為例1.求動點到定點方程.(P42-1)特別54(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時,建立這曲面的方程;(2)已知坐標x、y和z間的一個方程時,研究這方程所表示的曲面的形狀.研究曲面的兩個基本問題通過配方,原方程可以改寫成(x1)2(y2)2z25.一般地,三元二次方程

Ax2Ay2Az2DxEyFzG0的圖形就是一個球面.

例2

方程x2y2z22x4y0表示怎樣的曲面？

解

(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時,建立這55二、柱面引例.分析方程表示怎樣的曲面.的坐標也滿足方程解:在xoy面上，表示圓C,沿曲線C平行于z軸的一切直線所形成的曲面故在空間過此點作稱為圓柱面.對任意z,平行z軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點其上所有點的坐標都滿足此方程,二、柱面引例.分析方程表示怎樣的曲面.的坐標也滿足方程解56定義平行定直線并沿定曲線移動的直線l形成的軌跡叫做柱面.表示拋物柱面,母線平行于z軸;準線為xoy面上的拋物線.

z軸的橢圓柱面.z軸的平面.表示母線平行于(且z軸在平面上)表示母線平行于

叫做準線,l

叫做母線.定義平行定直線并沿定曲線移動的直線l形成的軌跡57xzy0母線F(x,y)=0z

=0準線

(不含z)M(x,y,z)N(x,y,0)S曲面S上每一點都滿足方程；曲面S外的每一點都不滿足方程F(x,y)=0表示母線平行于z軸的柱面點N滿足方程，故點M滿足方程

一般柱面

F(x,y)=0xzy0母線F(x,y)=0z=0準線(不含z)M58母線準線(不含x)F(y,z)=0x=0xzy0F(y,z)=0表示母線平行于x軸的柱面一般柱面

F(y,z)=0母線準線(不含x)F(y,z)=0x=0xzy0F59回憶定義平行定直線并沿定曲線移動的直線l形成的軌跡叫做柱面.則由直線的的參數(shù)方程可知存在t

叫做準線,l

叫做母線.回憶定義平行定直線并沿定曲線移動的直線l形成的軌60例3求以空間曲線為準線,母線方向為(1,1,1)的柱面方程.（P43-B1）解在準線上任意取點過此點的母線的參數(shù)方程為解出代入準線方程得例3求以空間曲線為61定義沿定曲線移動且過固定點的動直線l的運動軌跡叫做錐面.叫做準線,l

叫做母線.二、錐面則由直線的的參數(shù)方程可知存在t定義沿定曲線移動且過固定點的動直線l的運動軌跡叫62例4求以空間曲線為準線,以(1,1,1)為頂點的錐面方程.(P42-5)解在準線上任意取點過此點的母線的參數(shù)方程為解出代入準線方程得例4求以空間曲線為63定義

一條平面曲線三、旋轉(zhuǎn)曲面

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.曲線稱為該旋轉(zhuǎn)曲面的母線，該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如:定義一條平面曲線三、旋轉(zhuǎn)曲面繞其平面上一條定直線旋64建立yoz面上曲線

繞z軸旋轉(zhuǎn)所成曲面S的方程:給定yoz面上曲線

:y

zo繞z軸建立yoz面上曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)所成曲面S的方程:65曲線

旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面

SSMNzPy

zo繞z軸.f(y1,z1)=0M(x,y,z).xS曲線旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面SSMNzPyzo繞z軸.f66曲線

旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面

SxSMNzP.繞z軸..f(y1,z1)=0M(x,y,z)f(y1,z1)=0f(y1,z1)=0.y

zoS曲線旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面SxSMNzP.繞z軸..f(67思考：當曲線

繞y軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？思考：當曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？68例5.

試建立頂點在原點,旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為的圓錐面方程.(P31-例3.4)解:

在yoz面上直線L的方程為繞z

軸旋轉(zhuǎn)時,圓錐面的方程為兩邊平方例5.試建立頂點在原點,旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為的圓錐69例6.求坐標面xoz

上的雙曲線分別繞

x軸和z

軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞x軸旋轉(zhuǎn)繞z

軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為例6.求坐標面xoz上的雙曲線分別繞x軸和z軸旋70四、由方程研究二次曲面的特征三元二次方程研究二次曲面特性的基本方法:截痕法

其基本類型有:二次柱面、球面、橢球面、二次錐面、雙曲面、拋物面的圖形通常為二次曲面.

(二次項系數(shù)不全為0)四、由方程研究二次曲面的特征三元二次方程研究二次曲面特性的71截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面abcyx

zo1.

橢球面截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面721.橢球面(1)對稱性及范圍：(2)與坐標面的交線：橢圓1.橢球面(1)對稱性及范圍：(2)與坐標面的交線：橢圓73與的交線為橢圓：(4)當a＝b時為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當a＝b＝c時為球面.(3)截痕:為正數(shù))與的交線為橢圓：(4)當a＝b時為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截74xzy0截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面(1).

橢圓拋物面2.拋物面xzy0截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=75xzy0截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面(1).

橢圓拋物面.2.拋物面xzy0截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=76用z=h截曲面用y=0截曲面用x=n截曲面xzy0截痕法（馬鞍面）(2).

雙曲拋物面用z=h截曲面用y=0截曲面用x=n截曲面xzy77截痕法.(2).

雙曲拋物面（馬鞍面）xzy0用z=h截曲面用y=0截曲面用x=n截曲面截痕法.(2).雙曲拋物面（馬鞍面）xzy0用z=h78截痕法.(2).

雙曲拋物面（馬鞍面）xzy0用z=h截曲面用y=0截曲面用x=n截曲面截痕法.(2).雙曲拋物面（馬鞍面）xzy0用z=h793.雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時,截痕為(實軸平行于x軸；虛軸平行于z軸）平面上的截痕情況:雙曲線:3.雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時,截痕為(實軸平行80虛軸平行于x軸）時,截痕為時,截痕為(實軸平行于z軸;相交直線:雙曲線:虛軸平行于x軸）時,截痕為時,截痕為(實軸平行于z軸81(2)雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:雙曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面(2)雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)824.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點的兩直線.4.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的