2022年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二章一元二次方程2.6應(yīng)用一元二次方程第1課時(shí)行程或動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題及平均變化率問(wèn)題課件新版北師大版

第二章

一元二次方程2.6應(yīng)用一元二次方程（第1課時(shí)行程(或動(dòng)點(diǎn))問(wèn)題及平均變化率問(wèn)題）1.掌握列一元二次方程解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,并能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義,檢驗(yàn)結(jié)果的合理性.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）2.理解將實(shí)際問(wèn)題抽象為方程模型的過(guò)程,并能運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決問(wèn)題．學(xué)習(xí)目標(biāo)1.直角三角形的面積公式是什么？一般三角形的面積公式是什么呢？

2.正方形的面積公式是什么呢？長(zhǎng)方形的面積公式又是什么？

3.勾股定理的內(nèi)容是什么？本節(jié)課，我們根據(jù)剛才所復(fù)習(xí)的公式來(lái)建立一些數(shù)學(xué)模型，解決一些實(shí)際問(wèn)題.導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)引入x8m10m(8-x)m6m【解析】由勾股定理可知，滑動(dòng)前梯子底端距墻

m；如果設(shè)梯子底端滑動(dòng)xm，那么滑動(dòng)后梯子底端距墻

m；根據(jù)題意，可得方程：(8-x)2＋(x＋6)2＝1026x＋61.如圖，一個(gè)長(zhǎng)為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m．如果梯子的頂端下滑1m，梯子的底端滑動(dòng)的距離大于1m,那么梯子頂端下滑幾米時(shí)，梯子底端滑動(dòng)的距離和它相等？10m數(shù)學(xué)化x講授新課利用一元二次方程解決行程（動(dòng)點(diǎn)）問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)1解：設(shè)梯子頂端下滑xm，那么滑動(dòng)后梯子底端距墻（x+6）m.根據(jù)題意，可得方程：(8-x)2＋(x＋6)2＝102解得x1=0,x2=2.∵x＞0，∴x=2.答：梯子頂端下滑2米時(shí)，梯子底端滑動(dòng)的距離和它相等.x12m13m(12-x)m【解析】由勾股定理可知，滑動(dòng)前梯子底端距墻

m；如果設(shè)梯子底端滑動(dòng)xm，那么滑動(dòng)后梯子底端距墻

m；根據(jù)題意，可得方程：(12-x)2＋(x＋5)2＝1325x＋52.如果梯子的長(zhǎng)度是13m，梯子頂端與地面的垂直距離為12m，那么梯子頂端下滑的距離與梯子的底端滑動(dòng)的距離相等嗎？如果相等，那么這個(gè)距離是多少？13m數(shù)學(xué)化x5m解：設(shè)梯子底端滑動(dòng)xm，那么滑動(dòng)后梯子底端距墻（x+5）m；根據(jù)題意，可得方程：(12-x)2＋(x＋5)2＝132解得：x1=0,x2=7.∵x＞0，∴x=7.答：梯子頂端下滑7米時(shí)，梯子底端滑動(dòng)的距離和它相等.解題步驟（1）分析題意，找出等量關(guān)系，用字母表示問(wèn)題里的未知數(shù).（2）用字母的代表式表示有關(guān)的量.（3）根據(jù)等量關(guān)系列出方程.（4）解方程，求出未知數(shù)的值.（5）檢查求得的值是否正確和符合實(shí)際情況，并寫出答案.歸納總結(jié)例1：如圖,某海軍基地位于A處,在其正南方向200n

mile處有一目標(biāo)B,在B的正東方向200n

mile處有一重要目標(biāo)C.小島D位于AC的中點(diǎn),島上有一補(bǔ)給碼頭;小島F位于BC的中點(diǎn).一艘軍艦沿A出發(fā),經(jīng)B到C勻速巡航,一艘補(bǔ)給船同時(shí)從D出發(fā),沿南偏西方向勻速直線航行,欲將一批物品送達(dá)軍艦.東北ABCDF(1)小島D與小島F相距多少海里?東北ABCDF解：連接DF.∵AD=CD

,BF=CF,∴DF是△ABC的中位線.∴DF∥AB，且DF=

AB，∵AB⊥BC,AB=BC=200nmile,∴DF⊥BC,DF=100nmile.東北ABCDF(2)已知軍艦的速度是補(bǔ)給船的2倍,軍艦在由B到C的途中與補(bǔ)給船相遇于E處,那么相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了多少海里(結(jié)果精確到0.1海里)？E解:設(shè)相遇是補(bǔ)給船航行了xnmile,那么

DE=xnmile,AE+BE=2x

nmile,

EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x)nmile.在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理可得方程

x2

=1002+(300-

2x)2.

整理得：3x2-

1200x+100000=0,解方程得

(舍去)如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后五邊形APQCD的面積為64cm2？ABCDQP解:設(shè)所需時(shí)間為ts,根據(jù)題意,得 2t(6-

t)÷2=6×12-64.整理得t2-6t+

8=0.解方程,得t1=2,t2=4.

答:在第2秒和第4秒是五邊形面積是64cm2.(6-t)2t針對(duì)練習(xí)填空：假設(shè)某種糖的成本為每斤2元，售價(jià)為3元時(shí)，可賣100斤.(1)此時(shí)的利潤(rùn)w=_____;

(2)若售價(jià)漲了1元，每斤利潤(rùn)為_(kāi)____元，同時(shí)少買了10斤，銷售量為_(kāi)____斤，利潤(rùn)w=_____.(3)若售價(jià)漲了2元，每斤利潤(rùn)為_(kāi)____元，同時(shí)少買了20斤，銷售量為_(kāi)___斤，利潤(rùn)w=_____.100元290180元380240元利用一元二次方程解決平均變化率問(wèn)題合作探究知識(shí)點(diǎn)2(4)若售價(jià)漲了3元，每斤利潤(rùn)為_(kāi)___元，

同時(shí)少買了30斤，銷售量為_(kāi)___斤，利潤(rùn)w=______.(5)若售價(jià)漲了4元，每斤利潤(rùn)為_(kāi)___元，

同時(shí)少買了40斤，銷售量為_(kāi)___斤，利潤(rùn)w=_______.(6)若售價(jià)漲了x元，每斤利潤(rùn)為_(kāi)___元，

同時(shí)少買了____斤，銷售量為_(kāi)______斤，利潤(rùn)w=__________________.451+x7060100-10x10x280元300元(1+x)×(100-10x)元漲價(jià)售價(jià)成本單件利潤(rùn)少賣量銷售量總利潤(rùn)3+x3-2+x10x100-10xw=(3-2+x)×(100-10x)試一試：假設(shè)某種糖的成本每斤為2元，售價(jià)為3元時(shí)，可賣100斤.每漲1元，少賣10斤.設(shè)利潤(rùn)為x元，則總利潤(rùn)w為多少元（用含有x的式子表示出來(lái)）？01234x22222233+13+23+33+403-23-2+13-2+23-2+33-2+410×410×310×210×1100100-10×1100-10×2100-10×3100-10×4w=(3-2)×100w=(3-2+1)×(100-10×1)w=(3-2+3)×(100-10×3)w=(3-2+4)×(100-10×4)w=(3-2+2)×(100-10×2）每漲一元少賣十斤漲價(jià)售價(jià)成本單件利潤(rùn)少賣量銷售量總利潤(rùn)3+x3-2+x10x100-10xw=(3-2+x)×(100-10x)01234x22222233+13+23+33+403-23-2+13-2+23-2+33-2+410×410×310×210×1100100-10×1100-10×2100-10×3100-10×4w=(3-2)×100w=(3-2+1)×(100-10×1)w=(3-2+3)×(100-10×3)w=(3-2+4)×(100-10×4)w=(3-2+2)×(100-10×2）每漲一元少賣十斤總利潤(rùn)（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×銷售量=總利潤(rùn)單件利潤(rùn)×銷售量=填空：1.前年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，去年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是4650元，則下降率是

.如果保持這個(gè)下降率，則現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是

元.探究歸納7%4324.5下降率=下降前的量-下降后的量下降前的量2.前年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，設(shè)下降率是x,則去年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是

元，如果保持這個(gè)下降率，則現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是

元.下降率x第一次降低前的量5000(1-x)第一次降低后的量5000下降率x第二次降低后的量第二次降低前的量5000(1-x)(1-x)5000(1-x)25000(1-x)5000(1-x)2例2

前年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是3000元，試求甲種藥品成本的年平均下降率是多少？解：設(shè)甲種藥品的年平均下降率為x.根據(jù)題意，列方程，得5000(1－x)2=3000，解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775.根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，甲種藥品成本的年平均下降率約為22.5％.注意下降率不可為負(fù)，且不大于1.練一練：前年生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是6000元.隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3600元，試求乙種藥品成本的年平均下降率？解：設(shè)乙種藥品的年平均下降率為y.根據(jù)題意，列方程，得6000(1－y)2=3600.解方程，得y1≈0.225，y2≈－1.775.

根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，乙種藥品成本的年平均下降率約為22.5％.解后反思

答：不能.絕對(duì)量：甲種藥品成本的年平均下降額為（5000-3000）÷2=1000元，乙種藥品成本的年平均下降額為（6000-3000）÷2=1200元，顯然，乙種藥品成本的年平均下降額較大．

問(wèn)題1

藥品年平均下降額大能否說(shuō)年平均下降率（百分?jǐn)?shù)）就大呢？

答：不能.

能過(guò)上面的計(jì)算，甲、乙兩種藥品的年平均下降率相等.因此我們發(fā)現(xiàn)雖然絕對(duì)量相差很多，但其相對(duì)量（年平均下降率）也可能相等．

問(wèn)題2從上面的絕對(duì)量的大小能否說(shuō)明相對(duì)量的大小呢?也就說(shuō)能否說(shuō)明乙種藥品成本的年平均下降率大呢?

問(wèn)題3

你能總結(jié)出有關(guān)增長(zhǎng)率和降低率的有關(guān)數(shù)量關(guān)系嗎？

類似地這種增長(zhǎng)率的問(wèn)題在實(shí)際生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增長(zhǎng)(或降低)百分率為x,增長(zhǎng)(或降低)前的是a,增長(zhǎng)(或降低)n次后的量是b,則它們的數(shù)量關(guān)系可表示為a(1±x)n=b(其中增長(zhǎng)取“+”,降低取“－”).變式1：某藥品經(jīng)兩次降價(jià)，零售價(jià)降為原來(lái)的一半.已知兩次降價(jià)的百分率一樣，求每次降價(jià)的百分率.（精確到0.1%）解：設(shè)原價(jià)為1個(gè)單位，每次降價(jià)的百分率為x.根據(jù)題意，得

解這個(gè)方程，得

答：每次降價(jià)的百分率為29.3%.

變式2:某藥品兩次升價(jià)，零售價(jià)升為原來(lái)的1.2倍，已知兩次升價(jià)的百分率一樣，求每次升價(jià)的百分率（精確到0.1%）解，設(shè)原價(jià)為a元，每次升價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意，得

解這個(gè)方程，得

由于升價(jià)的百分率不可能是負(fù)數(shù)，所以(不合題意，舍去)答：每次升價(jià)的百分率為9.5%.

例3

某公司去年的各項(xiàng)經(jīng)營(yíng)中，一月份的營(yíng)業(yè)額為200萬(wàn)元，一月、二月、三月的營(yíng)業(yè)額共950萬(wàn)元，如果平均每月?tīng)I(yíng)業(yè)額的增長(zhǎng)率相同，求這個(gè)增長(zhǎng)率．

解：設(shè)這個(gè)增長(zhǎng)率為x.根據(jù)題意，得答：這個(gè)增長(zhǎng)率為50%.200+200(1+x)+200(1+x)2=950整理方程，得4x2+12x-7=0，解這個(gè)方程得x1=-3.5（舍去），x2=0.5.注意增長(zhǎng)率不可為負(fù)，但可以超過(guò)1.1.某廠今年一月份的總產(chǎn)量為500噸,三月份的總產(chǎn)量為720噸,平均每月增長(zhǎng)率是x,列方程(

)A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=720C.500(1+x2)=720D.720(1+x)2=5002.某校去年對(duì)實(shí)驗(yàn)器材的投資為2萬(wàn)元,預(yù)計(jì)今明兩年的投資總額為8萬(wàn)元,若設(shè)該校今明兩年在實(shí)驗(yàn)器材投資上的平均增長(zhǎng)率是x,則可列方程為

.B2（1+x)+2(1+x)2=8隨堂練習(xí)

3.青山村種的水稻去年平均每公頃產(chǎn)7200千克，今年平均每公頃產(chǎn)8712千克，求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率.解：設(shè)水稻每公頃產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率為