廣東省肇慶市封開中學(xué)2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)必刷試卷（含解析）

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，，，，為的外心，若，，，則（）A． B． C． D．2．若a＞b＞0，0＜c＜1，則A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．a(chǎn)c＜bc D．ca＞cb3．已知，若，則等于（）A．3 B．4 C．5 D．64．若集合，，則（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，則（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知拋物線上一點到焦點的距離為，分別為拋物線與圓上的動點，則的最小值為（）A． B． C． D．7．已知雙曲線的一條漸近線為，圓與相切于點，若的面積為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．8．已知橢圓+=1(a>b>0)與直線交于A，B兩點，焦點F(0，-c)，其中c為半焦距，若△ABF是直角三角形，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．9．設(shè)正項等比數(shù)列的前n項和為，若，，則公比（）A． B．4 C． D．210．若雙曲線的離心率為，則雙曲線的焦距為（）A． B． C．6 D．811．已知等差數(shù)列的公差不為零，且，，構(gòu)成新的等差數(shù)列，為的前項和，若存在使得，則（）A．10 B．11 C．12 D．1312．某幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是由一個半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則_________.14．西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)勾股定理的一個特例：勾三，股四，弦五.此發(fā)現(xiàn)早于畢達(dá)哥拉斯定理五百到六百年.我們把可以構(gòu)成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)稱為勾股數(shù).現(xiàn)從3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13這11個數(shù)中隨機抽取3個數(shù)，則這3個數(shù)能構(gòu)成勾股數(shù)的概率為__________．15．設(shè)平面向量與的夾角為，且，，則的取值范圍為______.16．在正方體中，已知點在直線上運動，則下列四個命題中：①三棱錐的體積不變；②；③當(dāng)為中點時，二面角的余弦值為；④若正方體的棱長為2，則的最小值為；其中說法正確的是____________（寫出所有說法正確的編號）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的準(zhǔn)線過橢圓C：（a＞b＞0）的左焦點F，且點F到直線l：（c為橢圓焦距的一半）的距離為4.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點F做直線與橢圓C交于A，B兩點，P是AB的中點，線段AB的中垂線交直線l于點Q.若，求直線AB的方程.18．（12分）百年大計，教育為本.某校積極響應(yīng)教育部號召，不斷加大拔尖人才的培養(yǎng)力度，為清華、北大等排名前十的名校輸送更多的人才.該校成立特長班進(jìn)行專項培訓(xùn).據(jù)統(tǒng)計有如下表格.（其中表示通過自主招生獲得降分資格的學(xué)生人數(shù)，表示被清華、北大等名校錄取的學(xué)生人數(shù)）年份（屆）2014201520162017201841495557638296108106123（1）通過畫散點圖發(fā)現(xiàn)與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；（保留兩位有效數(shù)字）（2）若已知該校2019年通過自主招生獲得降分資格的學(xué)生人數(shù)為61人，預(yù)測2019年高考該?？既嗣５娜藬?shù)；（3）若從2014年和2018年考人名校的學(xué)生中采用分層抽樣的方式抽取出5個人回校宣傳，在選取的5個人中再選取2人進(jìn)行演講，求進(jìn)行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數(shù)的分布列和期望.參考公式：，參考數(shù)據(jù)：，，，19．（12分）已知變換將平面上的點，分別變換為點，．設(shè)變換對應(yīng)的矩陣為．（1）求矩陣；（2）求矩陣的特征值．20．（12分）如圖，已知在三棱臺中，，，.（1）求證：；（2）過的平面分別交，于點，，且分割三棱臺所得兩部分幾何體的體積比為，幾何體為棱柱，求的長.提示：臺體的體積公式（，分別為棱臺的上、下底面面積，為棱臺的高）.21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是矩形，，，分別是，的中點.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）設(shè)，求三棱錐的體積.22．（10分）已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)當(dāng)時，求函數(shù)在上最小值.

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【答案解析】

首先根據(jù)題中條件和三角形中幾何關(guān)系求出，，即可求出的值.【題目詳解】如圖所示過做三角形三邊的垂線，垂足分別為，，，過分別做，的平行線，，由題知，則外接圓半徑，因為，所以，又因為，所以，，由題可知，所以，，所以.故選：D.【答案點睛】本題主要考查了三角形外心的性質(zhì)，正弦定理，平面向量分解定理，屬于一般題.2、B【答案解析】試題分析：對于選項A，，，，而，所以，但不能確定的正負(fù)，所以它們的大小不能確定;對于選項B，,，兩邊同乘以一個負(fù)數(shù)改變不等號方向，所以選項B正確;對于選項C，利用在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到，所以C錯誤;對于選項D，利用在上為減函數(shù)易得，所以D錯誤.所以本題選B.【考點】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進(jìn)行比較.3、C【答案解析】

先求出，再由，利用向量數(shù)量積等于0，從而求得.【題目詳解】由題可知，因為，所以有，得，故選：C.【答案點睛】該題考查的是有關(guān)向量的問題，涉及到的知識點有向量的減法坐標(biāo)運算公式，向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題目.4、A【答案解析】

用轉(zhuǎn)化的思想求出中不等式的解集，再利用并集的定義求解即可．【題目詳解】解：由集合，解得，則故選：．【答案點睛】本題考查了并集及其運算，分式不等式的解法，熟練掌握并集的定義是解本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．5、C【答案解析】

結(jié)合分段函數(shù)的解析式,先求出,進(jìn)而可求出.【題目詳解】由題意可得，則.故選:C.【答案點睛】本題考查了求函數(shù)的值,考查了分段函數(shù)的性質(zhì),考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.6、D【答案解析】

利用拋物線的定義，求得p的值，由利用兩點間距離公式求得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，由取得最小值為，求得結(jié)果.【題目詳解】由拋物線焦點在軸上，準(zhǔn)線方程，則點到焦點的距離為，則，所以拋物線方程：，設(shè)，圓，圓心為，半徑為1，則，當(dāng)時，取得最小值，最小值為，故選D.【答案點睛】該題考查的是有關(guān)距離的最小值問題，涉及到的知識點有拋物線的定義，點到圓上的點的距離的最小值為其到圓心的距離減半徑，二次函數(shù)的最小值，屬于中檔題目.7、D【答案解析】

由圓與相切可知，圓心到的距離為2，即.又，由此求出的值，利用離心率公式，求出e.【題目詳解】由題意得，，，.故選：D.【答案點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與圓相切的性質(zhì)，離心率的求法，屬于中檔題.8、A【答案解析】

聯(lián)立直線與橢圓方程求出交點A，B兩點，利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示得到關(guān)于的關(guān)系式，解方程求解即可.【題目詳解】聯(lián)立方程，解方程可得或，不妨設(shè)A(0，a)，B(-b，0)，由題意可知，·=0，因為，，由平面向量垂直的坐標(biāo)表示可得，，因為，所以a2-c2=ac，兩邊同時除以可得，，解得e=或（舍去），所以該橢圓的離心率為.故選：A【答案點睛】本題考查橢圓方程及其性質(zhì)、離心率的求解、平面向量垂直的坐標(biāo)表示；考查運算求解能力和知識遷移能力；利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示得到關(guān)于的關(guān)系式是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱}型.9、D【答案解析】

由得，又，兩式相除即可解出．【題目詳解】解：由得，又，∴，∴，或，又正項等比數(shù)列得，∴，故選：D．【答案點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10、A【答案解析】

依題意可得，再根據(jù)離心率求出，即可求出，從而得解；【題目詳解】解：∵雙曲線的離心率為，所以，∴，∴，雙曲線的焦距為.故選：A【答案點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.11、D【答案解析】

利用等差數(shù)列的通項公式可得，再利用等差數(shù)列的前項和公式即可求解.【題目詳解】由，，構(gòu)成等差數(shù)列可得即又解得：又所以時，.故選：D【答案點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的前項和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.12、C【答案解析】由三視圖可知，該幾何體是下部是半徑為2，高為1的圓柱的一半，上部為底面半徑為2，高為2的圓錐的一半，所以，半圓柱的體積為，上部半圓錐的體積為，所以該幾何體的體積為，故應(yīng)選．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.4【答案解析】

因為隨機變量ζ服從正態(tài)分布,利用正態(tài)曲線的對稱性，即得解.【題目詳解】因為隨機變量ζ服從正態(tài)分布所以正態(tài)曲線關(guān)于對稱，所.【答案點睛】本題考查了正態(tài)分布曲線的對稱性在求概率中的應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【答案解析】

由組合數(shù)結(jié)合古典概型求解即可【題目詳解】從11個數(shù)中隨機抽取3個數(shù)有種不同的方法，其中能構(gòu)成勾股數(shù)的有共三種，所以，所求概率為.故答案為【答案點睛】本題考查古典概型與數(shù)學(xué)文化，考查組合問題，數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識.15、【答案解析】

根據(jù)已知條件計算出，結(jié)合得出，利用基本不等式可得出的取值范圍，利用平面向量的數(shù)量積公式可求得的取值范圍，進(jìn)而可得出的取值范圍.【題目詳解】，，，由得，，由基本不等式可得，，，，，因此，的取值范圍為.故答案為：.【答案點睛】本題考查利用向量的模求解平面向量夾角的取值范圍，考查計算能力，屬于中等題.16、①②④【答案解析】

①∵，∴平面

，得出上任意一點到平面的距離相等，所以判斷命題①；②由已知得出點P在面上的射影在上，根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)或三垂線定理，可判斷命題②；③當(dāng)為中點時，以點D為坐標(biāo)原點，建立空間直角系，如下圖所示，運用二面角的空間向量求解方法可求得二面角的余弦值，可判斷命題③；④過作平面交于點，做點關(guān)于面對稱的點，使得點在平面內(nèi)，根據(jù)對稱性和兩點之間線段最短，可求得當(dāng)點在點時，在一條直線上，取得最小值.可判斷命題④.【題目詳解】①∵，∴平面

，所以上任意一點到平面的距離相等，所以三棱錐的體積不變，所以①正確；

②在直線上運動時，點P在面上的射影在上，所以DP在面上的射影在上，又，所以，所以②正確；③當(dāng)為中點時，以點D為坐標(biāo)原點，建立空間直角系，如下圖所示，設(shè)正方體的棱長為2.則:，，所以，設(shè)面的法向量為，則，即，令，則，設(shè)面的法向量為，，即，，由圖示可知，二面角是銳二面角，所以二面角的余弦值為，所以③不正確；④過作平面交于點，做點關(guān)于面對稱的點，使得點在平面內(nèi)，則，所以，當(dāng)點在點時，在一條直線上，取得最小值.因為正方體的棱長為2，所以設(shè)點的坐標(biāo)為，，，所以，所以，又所以，所以，，，故④正確.

故答案為：①②④.【答案點睛】本題考查空間里的線線，線面，面面關(guān)系，幾何體的體積，在求解空間里的兩線段的和的最小值，仍可以運用對稱的思想，兩點之間線段最短進(jìn)行求解，屬于難度題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【答案解析】

（1）由拋物線的準(zhǔn)線方程求出的值，確定左焦點坐標(biāo)，再由點F到直線l：的距離為4，求出即可；（2）設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，運用根與系數(shù)關(guān)系和弦長公式，以及兩直線垂直的條件和中點坐標(biāo)公式，即可得到所求直線的方程.【題目詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為，，直線，點F到直線l的距離為，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）依題意斜率不為0，又過點，設(shè)方程為，聯(lián)立，消去得，，，設(shè)，，，，線段AB的中垂線交直線l于點Q，所以橫坐標(biāo)為3，，，，平方整理得，解得或（舍去），，所求的直線方程為或.【答案點睛】本題考查橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系，要熟練應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系、相交弦長公式，合理運用兩點間的距離公式，考查計算求解能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）117人；（3）分布列見解析，【答案解析】

（1）首先求得和，再代入公式即可列方程，由此求得關(guān)于的線性回歸方程；（2）根據(jù)回歸直線方程計算公式，計算可得人數(shù)；（3）和被選中的人數(shù)分別為2和3，利用超幾何分布分布列的計算公式，計算出的分布列，并求得數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】（1）由題，所以線性回歸方程為（若第一問求出.）（2）當(dāng)時，所以預(yù)測2019年高考該?？既朊５娜藬?shù)約為117人（3）由題知和被選中的人數(shù)分別為2和3，進(jìn)行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數(shù)的所有可能取值為0，1，2，，的分布列為012【答案點睛】本小題主要考查平均數(shù)有關(guān)計算，考查回歸直線方程的計算，考查期望的計算，考查超幾何分布和數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題.19、（1）（2）1或6【答案解析】

（1）設(shè)，根據(jù)變換可得關(guān)于的方程，解方程即可得到答案；（2）求出特征多項式，再解方程，即可得答案；【題目詳解】（1）設(shè)，則，，即，解得，則．（2）設(shè)矩陣的特征多項式為，可得，令，可得或．【答案點睛】本題考查矩陣的求解、矩陣的特征值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運算求解能力.20、（1）證明見解析；（2）2【答案解析】

（1）在中，利用勾股定理，證得，又由題設(shè)條件，得到，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而得到；（2）設(shè)三棱臺和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為，根據(jù)棱臺的體積公式，列出方程求得，得到，即可求解.【題目詳解】（1）由題意，在中，，，所以，可得，因為，可得.又由，，平面，所以平面，因為平面，所以.（2）因為，可得，令，，設(shè)三棱臺和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為，則，整理得，即，解得，即，又由，所以.【答案點睛】本題主要考查了直線與平面垂直的判定與應(yīng)用，以及幾何體的體積公式的應(yīng)用，其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理，以及熟練應(yīng)用幾何體的體積公式進(jìn)行求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.21、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【答案解析】

（Ⅰ）取中點，連，，根據(jù)平行四邊形，可得，進(jìn)而證得平面平面，利用面面垂直的性質(zhì)，得平面，又由，即可得到平面.（Ⅱ）根據(jù)三棱錐的體積公式，利用等積法，即可求解.【題目詳解】（Ⅰ）取中點，連，，由，可得，可得是平行四邊形，則，又平面，∴平面平面，∵平