自動(dòng)控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)PPT課件

1、MODULE_3_UNIT_6_PPT東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組2 一個(gè)線(xiàn)性系統(tǒng)正常工作的首要條件，就是一個(gè)線(xiàn)性系統(tǒng)正常工作的首要條件，就是它必須是它必須是穩(wěn)定穩(wěn)定的。的。 用代數(shù)的方法判斷線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，分用代數(shù)的方法判斷線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，分析系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)穩(wěn)定性的影響，是本節(jié)要介析系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)穩(wěn)定性的影響，是本節(jié)要介紹的內(nèi)容。紹的內(nèi)容。 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組3穩(wěn)定的充分必要條件穩(wěn)定的充分必要條件系統(tǒng)特征方程的根（即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的系統(tǒng)特征方程的根（即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)）全部負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)，也極點(diǎn)）全部負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)，也就是所有的閉環(huán)特征根就是所有

2、的閉環(huán)特征根 分布分布在在s s平面平面虛軸的左虛軸的左側(cè)側(cè) ，即即Re 0jpjp東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組4 不需要求不需要求“根根”，直接利用特征方程的系數(shù)，直接利用特征方程的系數(shù)就可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性的方法。就可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性的方法。 勞斯判據(jù)是其中的一種。勞斯判據(jù)是其中的一種。代數(shù)判據(jù)代數(shù)判據(jù)東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組5（1 1）列勞斯表的建立列勞斯表的建立1011000nnnna sa sasaa，勞斯表：勞斯表：2131111bbaabc3151121bbaabc3120111aaaaab5140121aaaaab特征方程式：特征方程式：原始數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù)計(jì)算數(shù)據(jù)計(jì)算數(shù)據(jù)024

3、61135721234312342121101nnnnsaaaasaaaasbbbbsccccseesfsg 系統(tǒng)特征方程的全部根都在系統(tǒng)特征方程的全部根都在 s s 左半平面（左半平面（）的充分必要條件是勞斯表的第）的充分必要條件是勞斯表的第1 1列列元素全部是元素全部是數(shù)數(shù)（或不變號(hào)）。（或不變號(hào)）。 若勞斯表中第若勞斯表中第1 1列元素改變符號(hào)（不全為列元素改變符號(hào)（不全為正），則系統(tǒng)不穩(wěn)定。方程在正），則系統(tǒng)不穩(wěn)定。方程在 s s 右半平面根的右半平面根的個(gè)數(shù)等于元素個(gè)數(shù)等于元素變號(hào)的次數(shù)變號(hào)的次數(shù)。（2 2）勞斯判據(jù)）勞斯判據(jù)注意：注意：a00東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組7例例3-4

4、系統(tǒng)的特征方程如下，試用勞斯判據(jù)判斷系系統(tǒng)的特征方程如下，試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。統(tǒng)的穩(wěn)定性。07146435223456ssssss711515897181151171875257144576320123456sssssss解：列勞斯表解：列勞斯表該系統(tǒng)不穩(wěn)定，有該系統(tǒng)不穩(wěn)定，有2個(gè)個(gè)根在根在S右半平面右半平面 東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組8例例3 3-5 -5 系統(tǒng)的特征方程如下系統(tǒng)的特征方程如下, ,試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。處理方法：可以用一個(gè)小的正數(shù) 代替它，而繼續(xù)計(jì)算其余各元，完成勞斯表。0122234ssss432101112201221ss

5、sss解：列勞斯表解：列勞斯表第一列元素有為零項(xiàng)，系統(tǒng)必不穩(wěn)定；變號(hào)兩次，有兩個(gè)第一列元素有為零項(xiàng)，系統(tǒng)必不穩(wěn)定；變號(hào)兩次，有兩個(gè)右半右半S S平面的根。平面的根。系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)：系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)：-1.8832 -1.8832 0.2071 + 0.9783i0.2071 + 0.9783i 0.2071 - 0.9783i 0.2071 - 0.9783i -0.5310 -0.5310 例例3 3-6 -6 系統(tǒng)的特征方程如下系統(tǒng)的特征方程如下, , 判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表解：列勞斯表第第1 1列各元中的上面和下面的系數(shù)符號(hào)列各元中的上面和下面的系數(shù)符號(hào)不變，故有一對(duì)

6、虛軸上的根。不變，故有一對(duì)虛軸上的根。將特征方程式分解，有將特征方程式分解，有解得根為解得根為 02223sss222110123ssss2(1)20ss2,132, 1pjp東北大學(xué)自動(dòng)控制原理課程組10處理方法：處理方法：利用全利用全 0 0 行的上一行各元構(gòu)造一個(gè)行的上一行各元構(gòu)造一個(gè)輔輔助方程助方程，式中均為偶次。以輔助方程的導(dǎo)函數(shù)的，式中均為偶次。以輔助方程的導(dǎo)函數(shù)的系數(shù)代替勞斯表中的這個(gè)全系數(shù)代替勞斯表中的這個(gè)全 0 0 行，然后繼續(xù)計(jì)算行，然后繼續(xù)計(jì)算下去。這些大小相等而關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的根可以通下去。這些大小相等而關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的根可以通過(guò)求解這個(gè)輔助方程得出。過(guò)求解這個(gè)輔助方程得出

7、。 這表明方程有一些大小相等且對(duì)稱(chēng)于原點(diǎn)的根。這表明方程有一些大小相等且對(duì)稱(chēng)于原點(diǎn)的根。 例如例如 顯然，系統(tǒng)是顯然，系統(tǒng)是的。的。, , ppjpj 3.5自動(dòng)控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)自動(dòng)控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù) 解：列勞斯表解：列勞斯表例例3-7 3-7 系統(tǒng)的特征方程如下系統(tǒng)的特征方程如下, ,試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。0161620128223456ssssss0008610161221620813456ssss由上表可以看出，由上表可以看出，s3行的各項(xiàng)全部為零。為了求出行的各項(xiàng)全部為零。為了求出s3s0各項(xiàng)，各項(xiàng)，用用s4行的各元構(gòu)成輔助方程式行的各元

8、構(gòu)成輔助方程式 86)(24sssp3.5自動(dòng)控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)自動(dòng)控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù) 它的導(dǎo)函數(shù)為它的導(dǎo)函數(shù)為用導(dǎo)函數(shù)的系數(shù)用導(dǎo)函數(shù)的系數(shù)4 4和和1212代替行相應(yīng)的元繼續(xù)算下去，得代替行相應(yīng)的元繼續(xù)算下去，得勞斯表為勞斯表為 ssdssdp1243834831248610161221620810123456sssssss結(jié)論：在新得到的勞斯表中第結(jié)論：在新得到的勞斯表中第1 1列沒(méi)列沒(méi)有變號(hào)，因此可以確定在有變號(hào)，因此可以確定在S S右半平面右半平面沒(méi)有特征根。另外，由于行的各元均沒(méi)有特征根。另外，由于行的各元均為零，這表示有共軛虛根。系統(tǒng)處于為零，這表示有共軛虛根。系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 3.5自動(dòng)控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)自動(dòng)控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù) 這些虛根可由輔助方程式求出。本例的