中考二次函數(shù)壓軸題專題分類訓練

請您閱讀后下載使用PAGE2中考二次函數(shù)壓軸題專題分類訓練題型一：面積問題【例1】如圖2，拋物線頂點坐標為點C(1，4)，交x軸于點A(3，0)，交y軸于點B.（1）求拋物線和直線AB的解析式；（2）求△CAB的鉛垂高CD及S△CAB；xCOyABD11圖2（3）設點P是拋物線（在第一象限內）上的一個動點，是否存在一點P，使S△PABxCOyABD11圖2【變式練習】1.如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為(－2，0)，連結OA，將線段OA繞原點O順時針旋轉120°，得到線段OB．（1）求點B的坐標；（2）求經(jīng)過A、O、B三點的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△BOC的周長最?。咳舸嬖?，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．（4）如果點P是（2）中的拋物線上的動點，且在x軸的下方，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時P點的坐標及△PAB的最大面積；若沒有，請說明理由．AAxyBO2.如圖，拋物線y=ax2+bx+4與x軸的兩個交點分別為A（－4，0）、B（2，0），與y軸交于點C，頂點為D．E（1，2）為線段BC的中點，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G．（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點D的坐標；（2）在直線EF上求一點H，使△CDH的周長最小，并求出最小周長；CEDGAxyOCEDGAxyOBF△EFK的面積最大？并求出最大面積．3．如圖，已知：直線交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C（1，0）三點.（1）求拋物線的解析式;（2）若點D的坐標為（-1，0），在直線上有一點P,使ΔABO與ΔADP相似，求出點P的坐標；（3）在（2）的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點E，使ΔADE的面積等于四邊形APCE的面積？如果存在，請求出點E的坐標；如果不存在，請說明理由．題型二：構造直角三角形【例2】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為x＝1，且拋物線經(jīng)過A（－1，0）、C（0，－3）兩點，與x軸交于另一點B．（1）求這條拋物線所對應的函數(shù)關系式；（2）在拋物線的對稱軸x＝1上求一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，并求此時點M的坐標；（3）設點P為拋物線的對稱軸x=1上的一動點，求使∠PCB＝90o的點P的坐標．EE【變式練習】1．如圖，拋物線y=與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．（1）求點A、B的坐標；（2）設D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當△ACD的面積等于△ACB的面積時，求點D的坐標；（3）若直線l過點E（4，0），M為直線l上的動點，當以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式．2.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C，其頂點為M,若直線MC的函數(shù)表達式為,與x軸的交點為N，且COS∠BCO＝。（1）求此拋物線的函數(shù)表達式；（2）在此拋物線上是否存在異于點C的點P，使以N、P、C為頂點的三角形是以NC為一條直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標：若不存在，請說明理由；（3）過點A作x軸的垂線，交直線MC于點Q.若將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與線段NQ總有公共點，則拋物線向上最多可平移多少個單位長度?向下最多可平移多少個單位長度?3.在平面直角坐標系內，反比例函數(shù)和二次函數(shù)y=k（x2+x﹣1）的圖象交于點A（1，k）和點B（﹣1，﹣k）．（1）當k=﹣2時，求反比例函數(shù)的解析式；（2）要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著x的增大而增大，求k應滿足的條件以及x的取值范圍；（3）設二次函數(shù)的圖象的頂點為Q，當△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時，求k的值4.如圖（1），拋物線與y軸交于點A，E（0，b）為y軸上一動點，過點E的直線與拋物線交于點B、C.（1）求點A的坐標；（2)當b=0時（如圖（2）），與的面積大小關系如何？當時，上述關系還成立嗎，為什么？（3）是否存在這樣的b，使得是以BC為斜邊的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，說明理由.第26題圖（1）第26題圖（1）圖（2）題型三：構造等腰三角形【例3】如圖，已知拋物線（a≠0）與軸交于點A(1，0)和點B(－3，0)，與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）在x軸上是否存在一點Q使得△ACQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由；（3）設拋物線的對稱軸與軸交于點M，問在對稱軸上是否存在點P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．【變式練習】1．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（m，m），點B的坐標為（n，﹣n），拋物線經(jīng)過A、O、B三點，連接OA、OB、AB，線段AB交y軸于點C．已知實數(shù)m、n（m＜n）分別是方程x2﹣2x﹣3=0的兩根．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P為線段OB上的一個動點（不與點O、B重合），直線PC與拋物線交于D、E兩點（點D在y軸右側），連接OD、BD．①當△OPC為等腰三角形時，求點P的坐標；②求△BOD面積的最大值，并寫出此時點D的坐標．2.如圖，拋物線經(jīng)過的三個頂點，已知軸，點在軸上，點C在軸上，且AC=BC．（1）寫出A,B,C三點的坐標并求拋物線的解析式；（2）探究：若點是拋物線對稱軸上且在軸下方的動點，是否存在是等腰三角形．若存在，求出所有符合條件的點坐標；不存在，請說明理由．AACByx0113．已知拋物線頂點為C（1，1）且過原點O.過拋物線上一點P（x，y）向直線作垂線，垂足為M，連FM（如圖）.（1）求字母a，b，c的值；（2）在直線x＝1上有一點，求以PM為底邊的等腰三角形PFM的P點的坐標，并證明此時△PFM為正三角形；（3）對拋物線上任意一點P，是否總存在一點N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在請求出t值，若不存在請說明理由.題型四：構造相似三角形【例4】如圖，已知拋物線經(jīng)過A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點O，頂點為C．（1）求拋物線的解析式；（2）若點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且A、O、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標；（3）P是拋物線上的第一象限內的動點，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P，使得以P、M、A為頂點的三角形△BOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【變式練習】1.如圖，已知拋物線經(jīng)過A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三點．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在直線AC上方的該拋物線上是否存在一點D，使得△DCA的面積最大？若存在，求出點D的坐標及△DCA面積的最大值；若不存在，請說明理由．

（3）P是直線x=1右側的該拋物線上一動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A、P、M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．2.如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點D(0，)，且頂點C的橫坐標為4，該圖象在x軸上截得的線段AB的長為6.（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在該拋物線的對稱軸上找一點P，使PA+PD最小，求出點P的坐標；（3）在拋物線上是否存在點Q，使△QAB與△ABC相似？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．【例5】如圖，已知拋物線y=x2-(b+1)x+（b是實數(shù)且b＞2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側），與y軸的正半軸交于點C．

（1）點B的坐標為，點C的坐標為（用含b的代數(shù)式表示）；

（2）請你探索在第一象限內是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；

（3）請你進一步探索在第一象限內是否存在點Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．【變式練習】1.如圖，平面直角坐標系中，已知點A（2，3），線段垂直于軸，垂足為，將線段繞點A逆時針方向旋轉90°，點B落在點處，直線與軸的交于點．（1）試求出點D的坐標；（2）試求經(jīng)過、、三點的拋物線的表達式，并寫出其頂點E的坐標；（3）在（2）中所求拋物線的對稱軸上找點，使得以點、、為頂點的三角形與△ACD相似．(圖7)(圖7)11xyAO2．已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，將△AOB繞點O順時針旋轉，使點A落在點C，點B落在點D，拋物線過點A、D、C，其對稱軸與直線AB交于點P，xyxyO11（2）求∠POC的正切值；（3）點M在x軸上，且△ABM與△APD相似，求點M的坐標。3．如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣1，0），B（2，0），交y軸于C（0，﹣2），過A，C畫直線．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點P在x軸正半軸上，且PA=PC，求OP的長；（3）點M在二次函數(shù)圖象上，以M為圓心的圓與直線AC相切，切點為H．①若M在y軸右側，且△CHM∽△AOC（點C與點A對應），求點M的坐標；②若⊙M的半徑為，求點M的坐標．題型五：構造梯形【例6】已知，矩形OABC在平面直角坐標系中位置如圖1所示，點A的坐標為(4,0)，點C的坐標為，直線與邊BC相交于點D．（1）求點D的坐標；（2）拋物線經(jīng)過點A、D、O，求此拋物線的表達式；（3）在這個拋物線上是否存在點M，使O、D、A、M為頂點的四邊形是梯形？若存在，請求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．【變式練習】1.已知平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2－(a＋1)x與直線y＝kx的一個公共點為A(4，8)．（1）求此拋物線和直線的解析式；（2）若點P在線段OA上，過點P作y軸的平行線交（1）中拋物線于點Q，求線段PQ長度的最大值；（3）記（1）中拋物線的頂點為M，點N在此拋物線上，若四邊形AOMN恰好是梯形，求點N的坐標及梯形AOMN的面積．2.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（2，0）、C(0，12)兩點，且對稱軸為直線x＝4，設頂點為點P，與x軸的另一交點為點B．（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點P的坐標；（2）如圖1，在直線y＝2x上是否存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，點M是線段OP上的一個動點（O、P兩點除外），以每秒個單位長度的速度由點P向點O運動，過點M作直線MN//x軸，交PB于點N．將△PMN沿直線MN對折，得到△P1MN．在動點M的運動過程中，設△P1MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運動時間為t秒，求S關于t的函數(shù)關系式．3.如圖1，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，－1），△ABC的面積為．（1）求該二次函數(shù)的關系式；（2）過y軸上的一點M（0，m）作y軸的垂線，若該垂線與△ABC的外接圓有公共點，求m的取值范圍；（3）在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點D，使以A、B、C、D為頂點的四邊形為直角梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．題型六：構造平行四邊形【例7】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過A（—1，0），B（3，0），C（0，—1）三點。（1）求該拋物線的表達式；（2）點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使以點Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點P的坐標。 【變式練習】1．如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)（m為常數(shù)）的圖象與x軸交于點A（﹣3，0），與y軸交于點C．以直線x=1為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）經(jīng)過A，C兩點，并與x軸的正半軸交于點B．（1）求m的值及拋物線的函數(shù)表達式；（2）設E是y軸右側拋物線上一點，過點E作直線AC的平行線交x軸于點F．是否存在這樣的點E，使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點E的坐標及相應的平行四邊形的面積；若不存在，請說明理由；（3）若P是拋物線對稱軸上使△ACP的周長取得最小值的點，過點P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于M1（x1，y1），M2（x2，y2）兩點，試探究是否為定值，并寫出探究過程．2.如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三點．（1）求拋物線的解析式；（2）若點M為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，△MAB的面積為S，求S關于m的函數(shù)關系式，并求出S的最大值；（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y＝－x上的動點，判斷有幾個位置能使以點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點Q的坐標．3.如圖，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于點A（﹣3，0），點B（1，0），交y軸于點E（0，﹣3）．點C是點A關于點B的對稱點，點F是線段BC的中點，直線l過點F且與y軸平行．直線y=﹣x+m過點C，交y軸于D點．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）點K為線段AB上一動點，過點K作x軸的垂線與直線CD交于點H，與拋物線交于點G，求線段HG長度的最大值；（3）在直線l上取點M，在拋物線上取點N，使以點A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的坐標．【例8】已知平面直角坐標系xOy（如圖1），一次函數(shù)的圖像與y軸交于點A，點M在正比例函數(shù)的圖像上，且MO＝MA．二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像經(jīng)過點A、M．（1）求線段AM的長；（2）求這個二次函數(shù)的解析式；（3）如果點B在y軸上，且位于點A下方，點C在上述二次函數(shù)的圖像上，點D在一次函數(shù)的圖像上，且四邊形ABCD是菱形，求點C的坐標．【變式練習】1.將拋物線c1：沿x軸翻折，得到拋物線c2，如圖1所示．（1）請直接寫出拋物線c2的表達式；（2）現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為A、B；將拋物線c2向右也平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為N，與x軸的交點從左到右依次為D、E．①當B、D是線段AE的三等分點時，求m的值；②在平移過程中，是否存在以點A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由．題型七：線段最值問題【例9】如圖，拋物線y=x2+bx﹣2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且A（﹣1，0）．（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結論；（3）點M（m，0）是x軸上的一個動點，當MC+MD的值最小時，求m的值．【變式練習】1.如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與y軸交于點A(0，3)，與x軸分別交于B(1，0)、C(5，0)兩點．（1）求此拋物線的解析式；（2）若一個動點P自OA的中點M出發(fā)，先到達x軸上的某點（設為點E），再到達拋物線的對稱軸上某點（設為點F），最后運動到點A．求使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標，并求出這個最短總路徑的長．OOyxABC2.如圖13，拋物線y=ax2＋bx＋c(a≠0)的頂點為（1,4），交x軸于A、B，交y軸于D，其中B點的坐標為（3,0）（1）求拋物線的解析式 （2）如圖14，過點A的直線與拋物線交于點E，交y軸于點F，其中E點的橫坐標為2，若直線PQ為拋物線的對稱軸，點G為PQ上一動點，則x軸上是否存在一點H，使D、G、F、H四點圍成的四邊形周長最小.若存在，求出這個最小值及G、H的坐標；若不存在，請說明理由.（3）如圖15，拋物線上是否存在一點T，過點T作x的垂線，垂足為M，過點M作直線MN∥BD，交線段AD于點N，連接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出點T的坐標；若不存在，說明理由.【能力提升】1.已知,如圖11,二次函數(shù)圖象的頂點為,與軸交于、兩點(在點右側),點、關于直線:對稱.（1）求、兩點坐標,并證明點在直線上;（2）求二次函數(shù)解析式;（3）過點作直線∥交直線于點,、分別為直線和直線上的兩個動點,連接、、,求和的最小值.圖圖11備用圖2.如圖．在直角坐標系中，已知點A(0．1．)，B(．4)．將點B繞點A順時針方向旋轉90°得到點C，頂點在坐標原點的拋物線經(jīng)過點B．(1)求拋物線的解析式和點C的坐標；(2)拋物線上一動點P．設點P到x軸的距離為，點P到點A的距離為，試說明；(3)在(2)的條件下，請?zhí)骄慨旤cP位于何處時．△PAC的周長有最小值，并求出△PAC的周長的最小值?！纠?0】如圖，已知直線與軸交于點A，與軸交于點D，拋物線與直線交于A、E兩點，與軸交于B、C兩點，且B點坐標為(1，0)。（1）求該拋物線的解析式；（2）動點P在軸上移動，當△PAE是直角三角形時，求點P的坐標P。（3）在拋物線的對稱軸上找一點M，使的值最大，求出點M的坐標?！咀兪骄毩暋?．如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC與y軸相交于點M，且M是BC的中點，A、B、D三點的坐標分別是A（﹣1，0），B（﹣l，2），D（3，0）．連接DM，并把線段DM沿DA方向平移到ON．若拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點D、M、N．（1）求拋物線的解析式．（2）拋物線上是否存在點P，使得PA=PC？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．（3）設拋物線與x軸的另一個交點為E，點Q是拋物線的對稱軸上的一個動點，當點Q在什么位置時有|QE﹣QC|最大？并求出最大值．贈送：3461學習方法北京四中北京四中每年約有96％以上的畢業(yè)生高考成績達到重點大學錄取線，40％左右考入北大、清華兩所著名高校。在這個神奇的學校流傳這樣一種經(jīng)過反復驗證的學習方法，簡稱“3461學習方法”，即為3個過程，4個環(huán)節(jié)，6個習慣、1個計劃。

3461學習方法通過長時間反復的教學和學習實踐驗證：“3461學習方法”是提高學生學習成績簡單而且實用的一種方法。入格階段：是學生初步了解學生學習方法的一般格式，只要通過模仿的形式產生。立格階段：學生已經(jīng)具備自學的能力，形成習慣并穩(wěn)定的使用學習方法來完成學習任務，學習過程和學習環(huán)節(jié)完備而健全，學習方法實現(xiàn)了習慣化的要求。破格階段：學習方法本身來說個獲取知識一樣是一個不斷更新的過程，那么當學習成績提高到一定程度的時候又需要學習方法的更新來適應新的學科的要求，例如初中階段和高中階段學習方法就有很大的差異，因此破格是學習方法發(fā)展的一個轉折期。無格階段：學習方法發(fā)展的最高階段，充分認識各學科的學習規(guī)律，在無意識中完成對知識的認知過程。

雖然不可能有共同的學習方法，但是有一種學習習慣卻是共同的，那就是自學，而正確的學習方法遵循是的循序漸進，熟讀精思，把復雜的東西簡單化，把單一的問題系統(tǒng)化，把孤立的問題全面化，把簡單的東西細節(jié)化，而這就是3461系統(tǒng)學習策略的出發(fā)點。3個過程3個過程實際上就是把基礎知識或者新的知識點讓學生通過3輪進行反復的認知（即理解、消化、融會、貫通）的過程。學校學習：學校學習是最主要、最重要的學習方式。大多數(shù)基礎知識都來源于學校老師的傳授，由于學生基礎知識不同、努力程度不同等等，導致很多學生均為一個老師教的，考試成績差異卻很大。家庭學習：是學校學習的補充，是較為重要的學習方式之一，若家庭學習做的較好的學生，其成績也會不斷得到提高。再學習：即日復習和周復習。學習是一個循序漸進的過程，應注重基礎，查缺補漏的再學習。再學習并不是完全意義上的將所有知識點一字不漏的再學一遍，再學習應掌握方法和提高效率。

4個環(huán)節(jié)學：就是接受新知識。在校學習要緊跟跟教師的講課進度，基礎的知識點一定要理解消化，出現(xiàn)了差距一定要及時彌補，不要放松或者丟棄疑點，否則積少成多，會嚴重影響聽課的質量，增加自己基礎知識的學習負擔。學生必須每天做日復習，并且復習應在做作業(yè)的前面完成。日復習做的好壞直接影響到學生當天完成老師作業(yè)正確率的高低和做題速度的快慢。查：就是對所學的知識進行鞏固和檢查，作業(yè)和考試是查的主要方式。查是對第一個環(huán)節(jié)學的質量進行分析和檢驗的一個超額雖解決針對性學習的一個先決條件。老師通過布置作業(yè)或安排考試的方式來檢測學生所學的知識點是否掌握