第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解課件

第2章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解2.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2.3線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解2.4線性時(shí)變系統(tǒng)的解2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2.6連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化第2章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解2.1線性定常齊次狀態(tài)1本章要求要求理解及掌握內(nèi)容：正確理解連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化。線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解方法要求了解內(nèi)容：線性離散系統(tǒng)及時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解方法。重點(diǎn)：

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和狀態(tài)方程的求解。本章要求2

本章通過求解系統(tǒng)方程的解來研究系統(tǒng)性能。由于系統(tǒng)的狀態(tài)方程是矩陣微分方程，而輸出方程是矩陣代數(shù)方程。因此，只要求出狀態(tài)方程的解，就很容易地得到系統(tǒng)的輸出，進(jìn)而研究系統(tǒng)的性能。本章通過求解系統(tǒng)方程的解來研究系統(tǒng)性能。31）、自由運(yùn)動：線性定常系統(tǒng)在沒有控制作用，即u＝0時(shí)，由初始狀態(tài)引起的運(yùn)動稱自由運(yùn)動。齊次狀態(tài)方程的解：2）、強(qiáng)迫運(yùn)動：線性定常系統(tǒng)在控制u作用下的運(yùn)動，稱為強(qiáng)迫運(yùn)動。非齊次狀態(tài)方程的解：2.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）1、線性定常系統(tǒng)的運(yùn)動1）、自由運(yùn)動：線性定常系統(tǒng)在沒有控制作用，即u＝0時(shí)，由初42、齊次狀態(tài)方程：滿足初始狀態(tài)的解是：滿足初始狀態(tài)的解是：2.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）2、齊次狀態(tài)方程：滿足初始狀態(tài)的5線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為（1）（2）先考察標(biāo)量齊次微分方程的冪級數(shù)解法假設(shè)其解為一冪級數(shù)（3）將（3）式代入（2）式這時(shí)系統(tǒng)的輸入為零2.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為（1）（2）先考察標(biāo)量齊次微分方程6等式兩邊t的同次冪的系數(shù)相等，因此有而因?yàn)閯t解為（4）模仿標(biāo)量齊次微分方程的解法，假設(shè)線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程（1）的解為（5）將（5）式代入（1）式2.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）等式兩邊t的同次冪的系數(shù)相等，因此有而因?yàn)閯t解為（4）模仿7等式兩邊t同次冪的系數(shù)相等，因此有而記作則線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程（1）的解為（6）則（7）2.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）等式兩邊t同次冪的系數(shù)相等，因此有而記作則線性定常系統(tǒng)齊次8如果則（8）將（8）式代入（1）式驗(yàn)證和矩陣指數(shù)函數(shù)又稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，記作由于系統(tǒng)沒有輸入向量，是由初始狀態(tài)激勵(lì)的。因此，這時(shí)的運(yùn)動稱為自由運(yùn)動。的形態(tài)由決定，即是由矩陣A

唯一決定的。2.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）如果則（8）將（8）式代入（1）式驗(yàn)證和矩陣指數(shù)函數(shù)9一、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程：滿足初始狀態(tài)的解是：滿足初始狀態(tài)的解是：已知：線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣令：則有：2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣一、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程：滿足初始狀態(tài)10說明1：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣必須滿足以下兩個(gè)條件：1）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣初始條件：2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣滿足狀態(tài)方程本身：說明2：對于線性定常系統(tǒng)來說，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣就是矩陣指數(shù)函數(shù)本身。說明3：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的物理意義：從時(shí)間角度看，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣使?fàn)顟B(tài)向量隨著時(shí)間的推移不斷作坐標(biāo)變換，不斷在狀態(tài)空間中作轉(zhuǎn)移，故稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣說明1：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣必須滿足以下兩個(gè)條件：1）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣初112.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣自由運(yùn)動也即零輸入響應(yīng)的屬性：1、幾何表征為狀態(tài)空間中由初始狀態(tài)點(diǎn)出發(fā)和由各個(gè)時(shí)刻變換點(diǎn)構(gòu)成的一條軌跡；2、運(yùn)動屬性狀態(tài)隨著時(shí)間演化軌跡，屬于由偏離系統(tǒng)平衡狀態(tài)的初始狀態(tài)引起的自由運(yùn)動；（典型例子：人造衛(wèi)星在末級火箭脫落后的運(yùn)動軌跡屬于以脫落時(shí)刻運(yùn)動狀態(tài)為初始狀態(tài)的自由運(yùn)動。）2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣自由運(yùn)動也即零輸入響應(yīng)的122.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣3、形態(tài)自由運(yùn)動軌跡的形態(tài)，由且僅由系統(tǒng)的矩陣指數(shù)函數(shù)唯一決定。不同的系統(tǒng)矩陣，導(dǎo)致不同形態(tài)的矩陣指數(shù)函數(shù)，從而導(dǎo)致不同形態(tài)的軌跡。這表明，矩陣指數(shù)函數(shù)即系統(tǒng)矩陣包含了自由運(yùn)動形態(tài)的全部信息。4、趨向平衡狀態(tài)x=0屬性自由運(yùn)動軌跡最終趨向于系統(tǒng)平衡狀態(tài)，當(dāng)且僅當(dāng)矩陣指數(shù)函數(shù)最終趨向于0；（漸近穩(wěn)定）2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣3、形態(tài)131）即2）即二、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣不發(fā)生時(shí)間推移下的不變性微分性和交換性1）即2）即二、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)2.2矩陣指數(shù)函數(shù)—143）可逆性即4）傳遞性即5）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣又稱組合性分解性6）倍時(shí)性3）可逆性即4）傳遞性即5）當(dāng)且僅當(dāng)15三、幾個(gè)特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)（1）設(shè)，即A為對角陣且具有互異元素時(shí)，有2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣三、幾個(gè)特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)（1）設(shè)16（2）若A能通過非奇異變換為對角陣時(shí)，即2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣（2）若A能通過非奇異變換為對角陣時(shí)，即2.2矩陣指數(shù)函數(shù)17則有

（3）設(shè)A為約當(dāng)陣，即2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣則有（3）設(shè)A為約當(dāng)陣，即2.218則有

（4）設(shè)A為約當(dāng)陣，即2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣則有（4）設(shè)A為約當(dāng)陣，即19四、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算直接求解法：根據(jù)定義標(biāo)準(zhǔn)型法求解：對角線標(biāo)準(zhǔn)型和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型拉氏反變換法待定系數(shù)法：凱萊－哈密頓定理2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣四、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算直接求解法：根據(jù)定義2.2矩陣指數(shù)20求出的解不是解析形式，適合于計(jì)算機(jī)求解。1、根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義求解：對所有有限的t值來說，這個(gè)無窮級數(shù)都是收斂的。2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣求出的解不是解析形式，適合于計(jì)算機(jī)求解。1、根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣212、標(biāo)準(zhǔn)型法求解：思路：根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣性質(zhì)：對A進(jìn)行非奇異線性變換，得到：聯(lián)立上兩式，得到：有二種標(biāo)準(zhǔn)形式：對角線矩陣、約當(dāng)矩陣2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2、標(biāo)準(zhǔn)型法求解：思路：根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣性質(zhì)：對A進(jìn)行非奇異22其中：T為使A化為對角線標(biāo)準(zhǔn)型的非奇異變換矩陣。（1）當(dāng)A的特征值為兩兩相異時(shí)：對角線標(biāo)準(zhǔn)型求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的步驟：1）先求得A陣的特征值。2）求對應(yīng)于的特征向量，并得到T陣及T的逆陣。3）代入上式即可得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的值。2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣其中：T為使A化為對角線標(biāo)準(zhǔn)型的非奇異變換矩陣。（1）當(dāng)A23（2）當(dāng)A具有n重特征根：約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型

其中：T為使A化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的非奇異變換矩陣。求矩陣指數(shù)函數(shù)的步驟：此時(shí)的步驟和對角線標(biāo)準(zhǔn)型情況相同：求特征值、特征向量和變換陣T。說明的是：對于所有重特征值，構(gòu)造約當(dāng)塊，并和非重特征值一起構(gòu)成約當(dāng)矩陣,根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)，求得。2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣（2）當(dāng)A具有n重特征根：約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型其中：T為243、待定系數(shù)法：將化為A的有限項(xiàng)多項(xiàng)式來求解：設(shè)n×n維矩陣A的特征方程為：（1）凱萊－哈密頓（以下簡稱C-H）定理：則矩陣A滿足其自身的特征方程，即：2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣3、待定系數(shù)法：將化為A的有限項(xiàng)多項(xiàng)式來求解：設(shè)n×n25由定理可知：A所有高于(n-1)次的冪都可以由A的0～(n-1)次冪線性表出。并令即可得到如下的結(jié)論：即：將此式代入的定義中：

其中：為t的標(biāo)量函數(shù)，可按A的特征值確定。2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣由定理可知：A所有高于(n-1)次的冪都可以由A的0～(n-26（2）將化為A的有限項(xiàng)多項(xiàng)式來求解

根據(jù)C-H定理，可將化為A的有限項(xiàng)表達(dá)式，即封閉形式：

其中：為t的標(biāo)量函數(shù)，可按A的特征值確定。2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣（2）將化為A的有限項(xiàng)多項(xiàng)式來求解根據(jù)C-H271）A的特征值兩兩相異時(shí)，注意求逆推導(dǎo)：利用了A可化為對角陣的矩陣指數(shù)函數(shù)求法。注意：推導(dǎo)時(shí)可以看到：2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣1）A的特征值兩兩相異時(shí)，注意求逆推28注意求逆2）A的特征值為(n重根）推導(dǎo)：此時(shí)只有一個(gè)方程：缺少n-1個(gè)獨(dú)立方程，故需要對上式求導(dǎo)n-1次，得到其余n-1個(gè)方程.說明：不管特征值互異、還是具有重根，只需要記住式(3)。對于特征值互異，對于每個(gè)特征值，直接得到方程；對于特征值m重根，則求m-1次導(dǎo)數(shù)，補(bǔ)充缺少的m-1個(gè)方程，聯(lián)立方程可以求出系數(shù)。2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣注意求逆2）A的特征值為(n重根）推導(dǎo)：此時(shí)只有一個(gè)方294、用拉氏變換法求解：關(guān)鍵是必須首先求出（sI-A）的逆，再進(jìn)行拉氏反變換。2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣4、用拉氏變換法求解：關(guān)鍵是必須首先求出（sI-A）的逆，再30例：求以下矩陣A的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣[解]：1）直接算法（略）2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣?yán)呵笠韵戮仃嘇的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣[解]：2.2矩陣指數(shù)函數(shù)—312）用拉氏變換法求解：

2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2）用拉氏變換法求解：2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩323）用標(biāo)準(zhǔn)型法求解：得：，具有互異特征根，用對角線標(biāo)準(zhǔn)型法。且A為友矩陣形式。先求特征值：2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣3）用標(biāo)準(zhǔn)型法求解：得：332.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣34

4）用待定系數(shù)法求解.在第3種方法中已經(jīng)求得特征根，所以得：求得矩陣指數(shù)函數(shù)如下：2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣4）用待定系數(shù)法求解.在第3種方法中已經(jīng)求得特征根，所以得35或者：由和得到：從而求出系數(shù)2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣或者：由和2.2矩陣36例用凱萊-哈密頓定理計(jì)算解由凱-哈定理：所以2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣?yán)脛P萊-哈密頓定理計(jì)算解由凱-哈定理：所以2.237求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。例線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為解用凱萊-哈定理計(jì)算A

的特征值為2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣于是求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。例線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為解用凱萊38狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣39補(bǔ)充：矩陣A可以經(jīng)過線性變換成為模態(tài)形陣，計(jì)算如果矩陣A的特征值為共軛復(fù)數(shù)經(jīng)過線性變換，可轉(zhuǎn)換為模態(tài)矩陣M其中系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣補(bǔ)充：矩陣A可以經(jīng)過線性變換成為模態(tài)形陣，計(jì)算如果矩陣A40若線性定常系統(tǒng)的非奇次狀態(tài)方程的解存在，則解形式如下：一、線性系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律初始狀態(tài)引起的響應(yīng)，零輸入響應(yīng)輸入引起的響應(yīng),零狀態(tài)響應(yīng)說明：與線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解不同，齊次狀態(tài)方程的解僅由初始狀態(tài)引起的響應(yīng)組成。2.3線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解若線性定常系統(tǒng)的非奇次狀態(tài)方程一、線性系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律初始狀態(tài)41[證]：1）先把狀態(tài)方程寫成3）對上式在區(qū)間內(nèi)進(jìn)行積分，得:2）兩邊左乘，利用的性質(zhì)2.3線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解[證]：1）先把狀態(tài)方程42系統(tǒng)的運(yùn)動包括兩個(gè)部分。第一部分是輸入向量為零時(shí)，初始狀態(tài)引起的，即相當(dāng)于自由運(yùn)動。第二部分是初始狀態(tài)為零時(shí)，輸入向量引起的，稱為強(qiáng)迫運(yùn)動。正是由于第二部分的存在，為系統(tǒng)提供這樣的可能性，即通過選擇適當(dāng)?shù)妮斎胂蛄浚沟男螒B(tài)滿足期望的要求。2.3線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解系統(tǒng)的運(yùn)動包括兩個(gè)部分。2.3線性定常43例線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為解在以前例子中已求得2.3線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解例線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為解在以前例子中已求得2.3線性44系統(tǒng)的輸出方程為則或可見，系統(tǒng)的輸出由三部分組成。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣求出后，不同輸入狀態(tài)向量作用下的系統(tǒng)輸出即可以求出，進(jìn)而就可以分析系統(tǒng)的性能了。2.3線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解系統(tǒng)的輸出方程為則或可見，系統(tǒng)的輸出由三部分組452.3線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解解:2.3線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解解:462.3線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解2.3線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解47二、特定輸入下的狀態(tài)響應(yīng)1、脈沖響應(yīng)2、階躍響應(yīng)3、斜坡響應(yīng)2.3線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解二、特定輸入下的狀態(tài)響應(yīng)1、脈沖響應(yīng)2、階躍響應(yīng)3、斜坡響應(yīng)48線性時(shí)變系統(tǒng)方程為一、時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程解的特點(diǎn)2.4線性時(shí)變方程的解其解為注意：只有當(dāng)上式才能成立。線性時(shí)變系統(tǒng)方程為一、時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程解的特點(diǎn)2.4線性時(shí)49齊次狀態(tài)方程初始狀態(tài)為其中，是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，且滿足以下方程:滿足初始條件假設(shè)線性時(shí)變齊次系統(tǒng)的解具有以下形式，然后加以證明2.4線性時(shí)變方程的解二、線性時(shí)變齊次矩陣微分方程的解（1）齊次狀態(tài)方程初始狀態(tài)為其中，是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，50證明（1）式兩邊對t求導(dǎo)并且時(shí)即2.4線性時(shí)變方程的解證明（1）式兩邊對t求導(dǎo)并且時(shí)即2.4511）滿足自身的矩陣微分方程及初始條件，即2）可逆性2.4線性時(shí)變方程的解三、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)3）傳遞性4）1）滿足自身的矩陣微分方程及初始52其解為或2.4線性時(shí)變方程的解四、線性時(shí)變系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解（證明見書73頁）其解為或2.4線性時(shí)變方程的解四、線性時(shí)變系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方53因此，用級數(shù)近似法計(jì)算計(jì)算系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣?yán)€性時(shí)變系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為2.4線性時(shí)變方程的解五、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算一般情況下：因此，用級數(shù)近似法計(jì)算計(jì)算系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣?yán)€性時(shí)變系統(tǒng)54解將代入計(jì)算公式其中：2.4線性時(shí)變方程的解解將代入計(jì)算公式其55或2.4線性時(shí)變方程的解六、系統(tǒng)的輸出或2.4線性時(shí)變方程的解六、系統(tǒng)的輸出56系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為：其中，x(k)為n維狀態(tài)向量采用迭代法可以求出系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解其中系統(tǒng)的輸出2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解1、線性定常離散系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為：其中，x(k)為n維狀態(tài)向量采用迭代法57若系統(tǒng)初始狀態(tài)為，通過將其轉(zhuǎn)移到狀態(tài)，故稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。1）的基本性質(zhì)(1)滿足自身的矩陣差分方程及初始條件(2)傳遞性(3)可逆性2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣若系統(tǒng)初始狀態(tài)為，通過582）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算有4種狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算方法：

①按定義計(jì)算；②用z反變換計(jì)算；③應(yīng)用凱-哈定理計(jì)算；④通過線性變換計(jì)算。2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算有4種狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算方法59僅討論用以下2種方法來求解線性定常離散系統(tǒng)：1、遞推法(迭代法)：適合于線性定常和時(shí)變系統(tǒng)；2、Z變換法：僅適合于線性定常系統(tǒng)。2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解僅討論用以下2種方法來求解線性定常離散系統(tǒng)：2.5離散時(shí)間60給定時(shí)的初始狀態(tài)x(0)，及任意時(shí)刻u(k)。狀態(tài)方程：一、遞推法由迭代法得：初始狀態(tài)引起的響應(yīng)輸入引起的響應(yīng)2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解給定時(shí)的初始狀態(tài)x(0)，及任意時(shí)刻u(k)。611）解的表達(dá)式的狀態(tài)軌跡線是狀態(tài)空間中一條離散軌跡線。它與連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)的解很相似。解的第一部分只與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)，它是由起始狀態(tài)引起的自由運(yùn)動分量。解的第二部分是由輸入的各次采樣信號引起的強(qiáng)迫分量，其值與控制作用u的大小、性質(zhì)及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有關(guān)。幾點(diǎn)說明：

2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解1）解的表達(dá)式的狀態(tài)軌跡線是狀態(tài)空間中一條離散軌跡線。它與連622）在輸入引起的響應(yīng)中，第k個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)只取決于所有此刻前的輸入采樣值，與第k個(gè)時(shí)刻的輸入采樣值無關(guān)。2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2）在輸入引起的響應(yīng)中，第k個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)只取決于所有此刻前的633）與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)對照，在離散時(shí)間系統(tǒng)中，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣定義為，有：利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，解可寫成：2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解3）與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)對照，在離散時(shí)間系統(tǒng)中，利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，64離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程：對上式兩邊進(jìn)行Z變換：對上式兩邊進(jìn)行Z反變換將上式和迭代法的結(jié)果比較二、Z變換法：

2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程：對上式兩邊進(jìn)行Z變換：對上式兩邊進(jìn)行Z反65得：證明：2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解得：證明：2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解66求該離散系統(tǒng)在單位階躍輸入下狀態(tài)方程的解。[例]：式中：給定初始狀態(tài)為：已知定常離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為由于輸入為單位階躍函數(shù)，所以：[解]：1）迭代法2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解求該離散系統(tǒng)在單位階躍輸入下狀態(tài)方程的解。[例]：式中：給672.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解68由于輸入為單位階躍函數(shù)，所以有：2）Z變換法x(k)的Z變換為：將G、H、U(z)、x(0)代入x(k)的Z變換式有:2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解由于輸入為單位階躍函數(shù)，所以有：2）Z變換法x(k)的Z變換69整理得：上式Z反變換有：2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解整理得：上式Z反變換有：2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解70

計(jì)算機(jī)所需要的輸入和輸出信號是數(shù)字式的，時(shí)間上是離散的；當(dāng)采樣周期極短時(shí)，離散系統(tǒng)可近似地用連續(xù)系統(tǒng)特性來描述。一、問題的提出1、離散化的必要性2.6連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化計(jì)算機(jī)所需要的輸入和輸出信號是數(shù)字式的，時(shí)間712、離散化方法：(采樣器+保持器)零階保持器：將離散信號r*(t)轉(zhuǎn)為階梯信號u(t)采樣器：將連續(xù)信號r(t)調(diào)制成離散信號r*(t)。2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2.6連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化2、離散化方法：(采樣器+保持器)零階保持器：將離散信號r*72二、三點(diǎn)基本假設(shè)：1）離散方式是普通的周期性采樣。采樣是等間隔進(jìn)行的，采樣周期為T；采樣脈沖寬度遠(yuǎn)小于采樣周期，因而忽略不計(jì)；在采樣間隔內(nèi)函數(shù)值為零值。2）采樣周期T的選擇滿足香農(nóng)采樣定理。離散函數(shù)可以完滿地復(fù)原為連續(xù)函數(shù)的條件為或，其中為采樣頻率，為連續(xù)函數(shù)頻譜的上限頻率。3）保持器為零階保持器。2.6連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化二、三點(diǎn)基本假設(shè)：1）離散方式是普通的周期性采樣。2.673三、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的離散化模型離散化模型為：其中：線性定常系統(tǒng)：推導(dǎo)過程：直接從定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解中進(jìn)行離散化設(shè)代入上式(1)中得到：2.6連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化三、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的離散化模型離散化模型為：其中：線性定常系74將這些結(jié)果代入（2）式，得到：2.6連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化將這些結(jié)果代入（2）式，得到：2.6連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式75[例]：請建立下列連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)當(dāng)采樣周期為T時(shí)的離散化模型。[解]：先求連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：所以：2.6連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化[例]：請建立下列連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)當(dāng)采樣周期為T時(shí)的離散化模型。76離散化方程的近似形式為：用差商代替微商其中：G(T)、H(T)、C、D為常矩陣：說明：采樣周期非常小時(shí)，這種近似的精度可以接受。推導(dǎo)過程：仿導(dǎo)數(shù)定義，即用四、近似離散化模型2.6連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化離散化方程的近似形式為：用差商代替微商其中：G(T)、H(T77線性時(shí)變系統(tǒng)初始狀態(tài)為狀態(tài)方程的解為五、線性時(shí)變系統(tǒng)的離散化2.6連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化線性時(shí)變系統(tǒng)初始狀態(tài)為狀態(tài)方程的解為五、線性時(shí)變系統(tǒng)的離散化78令，，則（1）（2）再令，，則將（2）式兩邊都左乘（3）2.6連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化令，79（1）減（3）并且整理后，得到令：2.6連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化（1）減（3）并且整理后，得到令：2.6連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表80考慮到于是省略T，得到（4）輸出方程離散化，令，即可以得到（5）2.6連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化考慮到于是省略T，得到（4）輸出方程離散化，令81用MATLAB求解系統(tǒng)方程1線性齊次狀態(tài)方程的解使用MATLAB可以方便地求出狀態(tài)方程的解。我們通過例子來說明。例已知線性系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為初始條件求系統(tǒng)狀態(tài)方程的解。解用以下MATLAB程序計(jì)算齊次狀態(tài)方程的解，其中collect()函數(shù)的作用是合并同類項(xiàng)，而ilaplace()函數(shù)的作用是求取拉普拉斯逆變換，函數(shù)det()的作用是求方陣的行列式。用MATLAB求解系統(tǒng)方程1線性齊次狀態(tài)方程的解82程序執(zhí)行結(jié)果這表示程序執(zhí)行結(jié)果這表示832線性非齊次狀態(tài)方程的解例已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為解用以下MATLAB程序求系統(tǒng)方程的解。其中，語句phi=subs(phi0,’t’,(t-tao))表示將符號變量phi0中的自變量t用(t-tao)代換就構(gòu)成了符號變量phi，而語句x2=int(F,tao,0,t)表示符號變量F對tao在0到t的積分區(qū)間上求積分，運(yùn)算結(jié)果返回到x2。2線性非齊次狀態(tài)方程的解例已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為解84程序執(zhí)行結(jié)果為這表示3連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的離散化在MATLAB中，函數(shù)c2d（）的功能就是將連續(xù)時(shí)間的系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換成離散時(shí)間的系統(tǒng)模型。其調(diào)用格式為：sysd=c2d(sysc,T,method)。其中，輸入?yún)⒘縮ysc為連續(xù)時(shí)間的系統(tǒng)模型；T為采樣周期（秒）；method用來指定離散化采用的方法?！畓oh’——采用零階保持器；‘foh’——采用一階保持器；‘tustin’——采用雙線性逼近方法；‘prewarm’——采用改進(jìn)的tustin方法；程序執(zhí)行結(jié)果為這表示3連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的離散化在MA85‘matched’——采用SISO系統(tǒng)的零極點(diǎn)匹配方法；當(dāng)method為缺省時(shí)（即：調(diào)用格式為sysd=c2d(sysc,T)時(shí)），默認(rèn)的方法是采用零階保持器。例某線性連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中采用零階保持器將其離散化，設(shè)采樣周期為0.1秒。求離散化的狀態(tài)方程模型。解輸入以下語句，其中D=zeros(2)表示，將D賦值為2×2維的全零矩陣。‘matched’——采用SISO系統(tǒng)的零極點(diǎn)匹配方法；例86語句執(zhí)行的結(jié)果為計(jì)算結(jié)果表示系統(tǒng)離散化后的狀態(tài)方程為語句執(zhí)行的結(jié)果為計(jì)算結(jié)果表示系統(tǒng)離散化后的狀態(tài)方程為87第2章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解2.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2.3線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解2.4線性時(shí)變系統(tǒng)的解2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2.6連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化第2章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解2.1線性定常齊次狀態(tài)88本章要求要求理解及掌握內(nèi)容：正確理解連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化。線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解方法要求了解內(nèi)容：線性離散系統(tǒng)及時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解方法。重點(diǎn)：

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和狀態(tài)方程的求解。本章要求89

本章通過求解系統(tǒng)方程的解來研究系統(tǒng)性能。由于系統(tǒng)的狀態(tài)方程是矩陣微分方程，而輸出方程是矩陣代數(shù)方程。因此，只要求出狀態(tài)方程的解，就很容易地得到系統(tǒng)的輸出，進(jìn)而研究系統(tǒng)的性能。本章通過求解系統(tǒng)方程的解來研究系統(tǒng)性能。901）、自由運(yùn)動：線性定常系統(tǒng)在沒有控制作用，即u＝0時(shí)，由初始狀態(tài)引起的運(yùn)動稱自由運(yùn)動。齊次狀態(tài)方程的解：2）、強(qiáng)迫運(yùn)動：線性定常系統(tǒng)在控制u作用下的運(yùn)動，稱為強(qiáng)迫運(yùn)動。非齊次狀態(tài)方程的解：2.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）1、線性定常系統(tǒng)的運(yùn)動1）、自由運(yùn)動：線性定常系統(tǒng)在沒有控制作用，即u＝0時(shí)，由初912、齊次狀態(tài)方程：滿足初始狀態(tài)的解是：滿足初始狀態(tài)的解是：2.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）2、齊次狀態(tài)方程：滿足初始狀態(tài)的92線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為（1）（2）先考察標(biāo)量齊次微分方程的冪級數(shù)解法假設(shè)其解為一冪級數(shù)（3）將（3）式代入（2）式這時(shí)系統(tǒng)的輸入為零2.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為（1）（2）先考察標(biāo)量齊次微分方程93等式兩邊t的同次冪的系數(shù)相等，因此有而因?yàn)閯t解為（4）模仿標(biāo)量齊次微分方程的解法，假設(shè)線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程（1）的解為（5）將（5）式代入（1）式2.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）等式兩邊t的同次冪的系數(shù)相等，因此有而因?yàn)閯t解為（4）模仿94等式兩邊t同次冪的系數(shù)相等，因此有而記作則線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程（1）的解為（6）則（7）2.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）等式兩邊t同次冪的系數(shù)相等，因此有而記作則線性定常系統(tǒng)齊次95如果則（8）將（8）式代入（1）式驗(yàn)證和矩陣指數(shù)函數(shù)又稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，記作由于系統(tǒng)沒有輸入向量，是由初始狀態(tài)激勵(lì)的。因此，這時(shí)的運(yùn)動稱為自由運(yùn)動。的形態(tài)由決定，即是由矩陣A

唯一決定的。2.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解（自由解）如果則（8）將（8）式代入（1）式驗(yàn)證和矩陣指數(shù)函數(shù)96一、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程：滿足初始狀態(tài)的解是：滿足初始狀態(tài)的解是：已知：線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣令：則有：2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣一、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程：滿足初始狀態(tài)97說明1：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣必須滿足以下兩個(gè)條件：1）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣初始條件：2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣滿足狀態(tài)方程本身：說明2：對于線性定常系統(tǒng)來說，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣就是矩陣指數(shù)函數(shù)本身。說明3：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的物理意義：從時(shí)間角度看，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣使?fàn)顟B(tài)向量隨著時(shí)間的推移不斷作坐標(biāo)變換，不斷在狀態(tài)空間中作轉(zhuǎn)移，故稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣說明1：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣必須滿足以下兩個(gè)條件：1）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣初982.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣自由運(yùn)動也即零輸入響應(yīng)的屬性：1、幾何表征為狀態(tài)空間中由初始狀態(tài)點(diǎn)出發(fā)和由各個(gè)時(shí)刻變換點(diǎn)構(gòu)成的一條軌跡；2、運(yùn)動屬性狀態(tài)隨著時(shí)間演化軌跡，屬于由偏離系統(tǒng)平衡狀態(tài)的初始狀態(tài)引起的自由運(yùn)動；（典型例子：人造衛(wèi)星在末級火箭脫落后的運(yùn)動軌跡屬于以脫落時(shí)刻運(yùn)動狀態(tài)為初始狀態(tài)的自由運(yùn)動。）2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣自由運(yùn)動也即零輸入響應(yīng)的992.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣3、形態(tài)自由運(yùn)動軌跡的形態(tài)，由且僅由系統(tǒng)的矩陣指數(shù)函數(shù)唯一決定。不同的系統(tǒng)矩陣，導(dǎo)致不同形態(tài)的矩陣指數(shù)函數(shù)，從而導(dǎo)致不同形態(tài)的軌跡。這表明，矩陣指數(shù)函數(shù)即系統(tǒng)矩陣包含了自由運(yùn)動形態(tài)的全部信息。4、趨向平衡狀態(tài)x=0屬性自由運(yùn)動軌跡最終趨向于系統(tǒng)平衡狀態(tài)，當(dāng)且僅當(dāng)矩陣指數(shù)函數(shù)最終趨向于0；（漸近穩(wěn)定）2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣3、形態(tài)1001）即2）即二、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣不發(fā)生時(shí)間推移下的不變性微分性和交換性1）即2）即二、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)2.2矩陣指數(shù)函數(shù)—1013）可逆性即4）傳遞性即5）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣又稱組合性分解性6）倍時(shí)性3）可逆性即4）傳遞性即5）當(dāng)且僅當(dāng)102三、幾個(gè)特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)（1）設(shè)，即A為對角陣且具有互異元素時(shí)，有2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣三、幾個(gè)特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)（1）設(shè)103（2）若A能通過非奇異變換為對角陣時(shí)，即2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣（2）若A能通過非奇異變換為對角陣時(shí)，即2.2矩陣指數(shù)函數(shù)104則有

（3）設(shè)A為約當(dāng)陣，即2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣則有（3）設(shè)A為約當(dāng)陣，即2.2105則有

（4）設(shè)A為約當(dāng)陣，即2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣則有（4）設(shè)A為約當(dāng)陣，即106四、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算直接求解法：根據(jù)定義標(biāo)準(zhǔn)型法求解：對角線標(biāo)準(zhǔn)型和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型拉氏反變換法待定系數(shù)法：凱萊－哈密頓定理2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣四、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算直接求解法：根據(jù)定義2.2矩陣指數(shù)107求出的解不是解析形式，適合于計(jì)算機(jī)求解。1、根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義求解：對所有有限的t值來說，這個(gè)無窮級數(shù)都是收斂的。2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣求出的解不是解析形式，適合于計(jì)算機(jī)求解。1、根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣1082、標(biāo)準(zhǔn)型法求解：思路：根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣性質(zhì)：對A進(jìn)行非奇異線性變換，得到：聯(lián)立上兩式，得到：有二種標(biāo)準(zhǔn)形式：對角線矩陣、約當(dāng)矩陣2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2、標(biāo)準(zhǔn)型法求解：思路：根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣性質(zhì)：對A進(jìn)行非奇異109其中：T為使A化為對角線標(biāo)準(zhǔn)型的非奇異變換矩陣。（1）當(dāng)A的特征值為兩兩相異時(shí)：對角線標(biāo)準(zhǔn)型求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的步驟：1）先求得A陣的特征值。2）求對應(yīng)于的特征向量，并得到T陣及T的逆陣。3）代入上式即可得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的值。2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣其中：T為使A化為對角線標(biāo)準(zhǔn)型的非奇異變換矩陣。（1）當(dāng)A110（2）當(dāng)A具有n重特征根：約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型

其中：T為使A化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的非奇異變換矩陣。求矩陣指數(shù)函數(shù)的步驟：此時(shí)的步驟和對角線標(biāo)準(zhǔn)型情況相同：求特征值、特征向量和變換陣T。說明的是：對于所有重特征值，構(gòu)造約當(dāng)塊，并和非重特征值一起構(gòu)成約當(dāng)矩陣,根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)，求得。2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣（2）當(dāng)A具有n重特征根：約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型其中：T為1113、待定系數(shù)法：將化為A的有限項(xiàng)多項(xiàng)式來求解：設(shè)n×n維矩陣A的特征方程為：（1）凱萊－哈密頓（以下簡稱C-H）定理：則矩陣A滿足其自身的特征方程，即：2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣3、待定系數(shù)法：將化為A的有限項(xiàng)多項(xiàng)式來求解：設(shè)n×n112由定理可知：A所有高于(n-1)次的冪都可以由A的0～(n-1)次冪線性表出。并令即可得到如下的結(jié)論：即：將此式代入的定義中：

其中：為t的標(biāo)量函數(shù)，可按A的特征值確定。2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣由定理可知：A所有高于(n-1)次的冪都可以由A的0～(n-113（2）將化為A的有限項(xiàng)多項(xiàng)式來求解

根據(jù)C-H定理，可將化為A的有限項(xiàng)表達(dá)式，即封閉形式：

其中：為t的標(biāo)量函數(shù)，可按A的特征值確定。2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣（2）將化為A的有限項(xiàng)多項(xiàng)式來求解根據(jù)C-H1141）A的特征值兩兩相異時(shí)，注意求逆推導(dǎo)：利用了A可化為對角陣的矩陣指數(shù)函數(shù)求法。注意：推導(dǎo)時(shí)可以看到：2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣1）A的特征值兩兩相異時(shí)，注意求逆推115注意求逆2）A的特征值為(n重根）推導(dǎo)：此時(shí)只有一個(gè)方程：缺少n-1個(gè)獨(dú)立方程，故需要對上式求導(dǎo)n-1次，得到其余n-1個(gè)方程.說明：不管特征值互異、還是具有重根，只需要記住式(3)。對于特征值互異，對于每個(gè)特征值，直接得到方程；對于特征值m重根，則求m-1次導(dǎo)數(shù)，補(bǔ)充缺少的m-1個(gè)方程，聯(lián)立方程可以求出系數(shù)。2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣注意求逆2）A的特征值為(n重根）推導(dǎo)：此時(shí)只有一個(gè)方1164、用拉氏變換法求解：關(guān)鍵是必須首先求出（sI-A）的逆，再進(jìn)行拉氏反變換。2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣4、用拉氏變換法求解：關(guān)鍵是必須首先求出（sI-A）的逆，再117例：求以下矩陣A的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣[解]：1）直接算法（略）2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣?yán)呵笠韵戮仃嘇的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣[解]：2.2矩陣指數(shù)函數(shù)—1182）用拉氏變換法求解：

2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2）用拉氏變換法求解：2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩1193）用標(biāo)準(zhǔn)型法求解：得：，具有互異特征根，用對角線標(biāo)準(zhǔn)型法。且A為友矩陣形式。先求特征值：2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣3）用標(biāo)準(zhǔn)型法求解：得：1202.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣121

4）用待定系數(shù)法求解.在第3種方法中已經(jīng)求得特征根，所以得：求得矩陣指數(shù)函數(shù)如下：2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣4）用待定系數(shù)法求解.在第3種方法中已經(jīng)求得特征根，所以得122或者：由和得到：從而求出系數(shù)2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣或者：由和2.2矩陣123例用凱萊-哈密頓定理計(jì)算解由凱-哈定理：所以2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣?yán)脛P萊-哈密頓定理計(jì)算解由凱-哈定理：所以2.2124求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。例線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為解用凱萊-哈定理計(jì)算A

的特征值為2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣于是求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。例線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為解用凱萊125狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣126補(bǔ)充：矩陣A可以經(jīng)過線性變換成為模態(tài)形陣，計(jì)算如果矩陣A的特征值為共軛復(fù)數(shù)經(jīng)過線性變換，可轉(zhuǎn)換為模態(tài)矩陣M其中系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為2.2矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣補(bǔ)充：矩陣A可以經(jīng)過線性變換成為模態(tài)形陣，計(jì)算如果矩陣A127若線性定常系統(tǒng)的非奇次狀態(tài)方程的解存在，則解形式如下：一、線性系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律初始狀態(tài)引起的響應(yīng)，零輸入響應(yīng)輸入引起的響應(yīng),零狀態(tài)響應(yīng)說明：與線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解不同，齊次狀態(tài)方程的解僅由初始狀態(tài)引起的響應(yīng)組成。2.3線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解若線性定常系統(tǒng)的非奇次狀態(tài)方程一、線性系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律初始狀態(tài)128[證]：1）先把狀態(tài)方程寫成3）對上式在區(qū)間內(nèi)進(jìn)行積分，得:2）兩邊左乘，利用的性質(zhì)2.3線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解[證]：1）先把狀態(tài)方程129系統(tǒng)的運(yùn)動包括兩個(gè)部分。第一部分是輸入向量為零時(shí)，初始狀態(tài)引起的，即相當(dāng)于自由運(yùn)動。第二部分是初始狀態(tài)為零時(shí)，輸入向量引起的，稱為強(qiáng)迫運(yùn)動。正是由于第二部分的存在，為系統(tǒng)提供這樣的可能性，即通過選擇適當(dāng)?shù)妮斎胂蛄?，使的形態(tài)滿足期望的要求。2.3線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解系統(tǒng)的運(yùn)動包括兩個(gè)部分。2.3線性定常130例線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為解在以前例子中已求得2.3線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解例線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為解在以前例子中已求得2.3線性131系統(tǒng)的輸出方程為則或可見，系統(tǒng)的輸出由三部分組成。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣求出后，不同輸入狀態(tài)向量作用下的系統(tǒng)輸出即可以求出，進(jìn)而就可以分析系統(tǒng)的性能了。2.3線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解系統(tǒng)的輸出方程為則或可見，系統(tǒng)的輸出由三部分組1322.3線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解解:2.3線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解解:1332.3線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解2.3線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解134二、特定輸入下的狀態(tài)響應(yīng)1、脈沖響應(yīng)2、階躍響應(yīng)3、斜坡響應(yīng)2.3線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解二、特定輸入下的狀態(tài)響應(yīng)1、脈沖響應(yīng)2、階躍響應(yīng)3、斜坡響應(yīng)135線性時(shí)變系統(tǒng)方程為一、時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程解的特點(diǎn)2.4線性時(shí)變方程的解其解為注意：只有當(dāng)上式才能成立。線性時(shí)變系統(tǒng)方程為一、時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程解的特點(diǎn)2.4線性時(shí)136齊次狀態(tài)方程初始狀態(tài)為其中，是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，且滿足以下方程:滿足初始條件假設(shè)線性時(shí)變齊次系統(tǒng)的解具有以下形式，然后加以證明2.4線性時(shí)變方程的解二、線性時(shí)變齊次矩陣微分方程的解（1）齊次狀態(tài)方程初始狀態(tài)為其中，是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，137證明（1）式兩邊對t求導(dǎo)并且時(shí)即2.4線性時(shí)變方程的解證明（1）式兩邊對t求導(dǎo)并且時(shí)即2.41381）滿足自身的矩陣微分方程及初始條件，即2）可逆性2.4線性時(shí)變方程的解三、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)3）傳遞性4）1）滿足自身的矩陣微分方程及初始139其解為或2.4線性時(shí)變方程的解四、線性時(shí)變系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解（證明見書73頁）其解為或2.4線性時(shí)變方程的解四、線性時(shí)變系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方140因此，用級數(shù)近似法計(jì)算計(jì)算系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣?yán)€性時(shí)變系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為2.4線性時(shí)變方程的解五、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算一般情況下：因此，用級數(shù)近似法計(jì)算計(jì)算系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣?yán)€性時(shí)變系統(tǒng)141解將代入計(jì)算公式其中：2.4線性時(shí)變方程的解解將代入計(jì)算公式其142或2.4線性時(shí)變方程的解六、系統(tǒng)的輸出或2.4線性時(shí)變方程的解六、系統(tǒng)的輸出143系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為：其中，x(k)為n維狀態(tài)向量采用迭代法可以求出系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解其中系統(tǒng)的輸出2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解1、線性定常離散系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為：其中，x(k)為n維狀態(tài)向量采用迭代法144若系統(tǒng)初始狀態(tài)為，通過將其轉(zhuǎn)移到狀態(tài)，故稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。1）的基本性質(zhì)(1)滿足自身的矩陣差分方程及初始條件(2)傳遞性(3)可逆性2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣若系統(tǒng)初始狀態(tài)為，通過1452）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算有4種狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算方法：

①按定義計(jì)算；②用z反變換計(jì)算；③應(yīng)用凱-哈定理計(jì)算；④通過線性變換計(jì)算。2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算有4種狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算方法146僅討論用以下2種方法來求解線性定常離散系統(tǒng)：1、遞推法(迭代法)：適合于線性定常和時(shí)變系統(tǒng)；2、Z變換法：僅適合于線性定常系統(tǒng)。2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解僅討論用以下2種方法來求解線性定常離散系統(tǒng)：2.5離散時(shí)間147給定時(shí)的初始狀態(tài)x(0)，及任意時(shí)刻u(k)。狀態(tài)方程：一、遞推法由迭代法得：初始狀態(tài)引起的響應(yīng)輸入引起的響應(yīng)2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解給定時(shí)的初始狀態(tài)x(0)，及任意時(shí)刻u(k)。1481）解的表達(dá)式的狀態(tài)軌跡線是狀態(tài)空間中一條離散軌跡線。它與連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)的解很相似。解的第一部分只與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)，它是由起始狀態(tài)引起的自由運(yùn)動分量。解的第二部分是由輸入的各次采樣信號引起的強(qiáng)迫分量，其值與控制作用u的大小、性質(zhì)及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有關(guān)。幾點(diǎn)說明：

2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解1）解的表達(dá)式的狀態(tài)軌跡線是狀態(tài)空間中一條離散軌跡線。它與連1492）在輸入引起的響應(yīng)中，第k個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)只取決于所有此刻前的輸入采樣值，與第k個(gè)時(shí)刻的輸入采樣值無關(guān)。2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2）在輸入引起的響應(yīng)中，第k個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)只取決于所有此刻前的1503）與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)對照，在離散時(shí)間系統(tǒng)中，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣定義為，有：利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，解可寫成：2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解3）與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)對照，在離散時(shí)間系統(tǒng)中，利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，151離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程：對上式兩邊進(jìn)行Z變換：對上式兩邊進(jìn)行Z反變換將上式和迭代法的結(jié)果比較二、Z變換法：

2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程：對上式兩邊進(jìn)行Z變換：對上式兩邊進(jìn)行Z反152得：證明：2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解得：證明：2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解153求該離散系統(tǒng)在單位階躍輸入下狀態(tài)方程的解。[例]：式中：給定初始狀態(tài)為：已知定常離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為由于輸入為單位階躍函數(shù)，所以：[解]：1）迭代法2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解求該離散系統(tǒng)在單位階躍輸入下狀態(tài)方程的解。[例]：式中：給1542.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解155由于輸入為單位階躍函數(shù)，所以有：2）Z變換法x(k)的Z變換為：將G、H、U(z)、x(0)代入x(k)的Z變換式有:2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解由于輸入為單位階躍函數(shù)，所以有：2）Z變換法x(k)的Z變換156整理得：上式Z反變換有：2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解整理得：上式Z反變換有：2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解157

計(jì)算機(jī)所需要的輸入和輸出信號是數(shù)字式的，時(shí)間上是離散的；當(dāng)采樣周期極短時(shí)，離散系統(tǒng)可近似地用連續(xù)系統(tǒng)特性來描述。一、問題的提出1、離散化的必要性2.6連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化計(jì)算機(jī)所需要的輸入和輸出信號是數(shù)字式的，時(shí)間1582、離散化方法：(采樣器+保持器)零階保持器：將離散信號r*(t)轉(zhuǎn)為階梯信號u(t)采樣器：將連續(xù)信號r(t)調(diào)制成離散信號r*(t)。2.5離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2.6連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化2、離散