小浪底水力發(fā)電站渦輪發(fā)電機的最優(yōu)化

一個微積分中的Project問題——小浪底水力發(fā)電站渦輪發(fā)電機的最優(yōu)化章棟恩評注:這個問題在我講最優(yōu)化一講時作為習題留給大家，但一直沒有學生回應，是否會解也不清楚。這次我在中外微積分教材比較研究中，整理一些Project,我認為解這個問題很有意義。它的解法體現了從一般的數學應用題到建模的轉變、提升。因為解這個問題，不僅僅是用一次拉格朗日乘子法，而是對一個參數（總水流量）在某區(qū)間上按一定步長全程用拉格朗日乘子法求解最優(yōu)值。而且配合作圖才能更好地理解。這樣就必須用計算機求解。這是數學建模的特點之一。因為沒有機會給這一屆學生講了，所以在這里簡略地作一個解答。為了方便，我使用了Mathematica軟件，理論上說，用Matlab也是沒有問題的（一般說,大家掌握Matlab就足夠了。）。希望同學們（每組中負責計算機與數學模型的同學更應練練）按照下面題解的思路，試試Matlab是否能解出來。本課題來自Stewart編《Calculus》（第5版）下冊p.282的第十四章：多元函數的偏導數部分。水力偶檜直電機的囁優(yōu)祀小汛底呆屮國苗河上著名的水力垸電站-丈壩內的水通過麻道流人垃電站.朮斑通竝管道的速啟俄賴于帰師的罷件而亜優(yōu)?假設妊電站有二子不同的水力禍鴕蠱電機運訐.毎1令渦魏機有一牛已知｛惟一＞的電力崗（L它給出了帰牠機產生電力的總扯卜迅通過常晁肌水瀟的帚然.離人發(fā)申站的水可厲并配巒每亍帰酒機不冋的廉積?冋踽是如何岫定術朮左制輪機之間分配方秦F任盤的水嫌棉誼能產生展玄的汕電追山實際的繪驗和怕勢利卉如果水址彙杳扳宦的允許范FW內I下面的一-lfc桂塩確龍T毎牛雇義SI的社力產河：g=（-18.894Q. 127 7^ -4.OS - 10^）（170-1.6-10弋｝KW2呂（-24.51rQ. 135 現-丄旳? 10-3t^）（L7tl-1.6?Wp；｝W=（-27.0Z+U. 13S 他-3,■&4 ? -1.6-1。"*｝25◎咗0咗1]|&r 250WEWI I]趴？刃莊①吃0225這里 ◎產通過謁輪機i的水乳嵐（匝覽川”由jEP, 機i產生燉電力I單世丄裁）缶二通竝冶葩站的總水新*（單位:護＞＞1I.如果三平満乾機鄙悅用■我們弗蟲圖龍恵產生謹大總規(guī)電戰(zhàn)時，對加一牛禍牲機的水說盤?的限制擠冬T水訛的總和屈獗等于息氷5C丼B■給宦的定文域限制宓初讖足?利用拉格帆R凝了方法孝每個據能肌地水蠻（山的更數「便棉在匕'Q,+礙限制站件Q喪毎個認的定義站陽制徹足吋熄的發(fā)電武最大.5.半⑴慰什隹値的時蚊I恃的培握毎有就的「?1如杲水肚箍為文告M帖丹"佛宦制輪機的朮瀟分布.井驗證（通過嘗試略近腫一些分布）林的站黑囲實圮一丁堆尢荷一4.直到現在我們愷就所科的謁輪機都在運轉■妊苦在英些情況■下儀儀使m—T罰雜機能產生更零的氐力？皓岀三嚴電力陌數的闔堰井用它題皿判斷：斗水朿撾杲1“皿ft7s時、血謨怎樣分布給三亍隔雜機我窖迪只恰機.（如果怖確定貝麼川一亍輪機'那盤迪郎一個竹如呆水淹.￡6D0ft3/?呢￥5對于某種程畏的水匱掘可相便用兩個■禍輪抗更好■如果水南氏星150Q 用郎網個潤帶桃￥蔣用扯格朗日乘子方志確定忒流左這兩個鴉範抗才間應裁履鮮分配才嶺便側發(fā)虹忻血光「對于毬釋閃兩牛柯輪機迪不經出睦用匚個更有軟&如果水蚪址圧耳4W護西時I傑會向運琶益刃握山件蟲建誼？解1.設三個渦輪機都使用。因為每個渦輪機的電力產量為

KW二(—18.98+0.1277Q-4.08-10-5Q2)(170-1.6-10-6Q2)11TKW二(-24.51+0.1358Q-4.69-10-5Q2)(170-1.6-10-6Q2)22TKW二(-27.02+0.1380Q-3.84-10-5Q2)(170-1.6-10-6Q2)3 3 T所以目標函數為f二KW+KW+KW123其約束條件有不等式約束250<Q<1110,250<Q<1110,250<Q<1225123及等式約束q+Q2+Q3二Qt其中Q還是一個參數。為了簡化問題，先不考慮不等式約束，只考慮等式約束。用拉格朗T日乘子方法求極值。引入輔助函數F二KW+KW+KW-X(Q+Q+Q-Q)1 2 3 1 2 3T=0=0=0==0=0=0=0莎對方程組1araQ對方程組<2araQ3aF、ax用數學軟件Mathematica（其他軟件也可以）雖然可以得到形式上的解，但是由于Q是參數T以及表示式的復雜性，其結果沒有實際意義。因此考慮把方程組中總的水流量￡用一些數值代入，再求得使總的發(fā)電量最大時各臺渦輪機的水流量Q（i=1,2,3）.下面的圖就是當iQ從850ft3/s到3500他/s時，發(fā)電量最大時各臺渦輪機的水流量Q（i=1,2,3）的最優(yōu)Ti值（每個Q都要用拉格朗日乘子法計算）分配圖（用Matlab編程，試試）。100080060040020010001500200025003000100080060040020010001500200025003000經計算當955<Q<3230時上述結果是有效的。T當總水流量Q=2500時，三臺渦輪機的水流分布為二762.6,Q二960.13這時最大發(fā)電量為28411.7KW.當水流量為1000時，如果使用三臺渦輪機發(fā)電，最大發(fā)電量只有8397KW（拉格朗日乘子法）。而考慮只用一臺渦輪機發(fā)電（第三臺）則最大發(fā)電量為12222.5KW.如果水流量為600,則只用第一臺，最大發(fā)電量為7292KW。這是根據單臺渦輪機發(fā)電量函數計算出來的。它們的圖形如下KWi1400012000100008000?彩/0 / 800 1000 1200 1400有些情況下采用兩臺渦輪機發(fā)電更好。當水流量為1500時，若采用三臺渦輪機發(fā)電，則最大發(fā)電量只有16538.7（拉格朗日乘子法）。考慮采用兩臺發(fā)電機，則使用第一和第三臺發(fā)電機時，最大發(fā)電量為18208.3KW（也用拉格朗日乘子法，最優(yōu)水流量分配為

Q二662.247,Q二837.753）；使用第二和第三臺發(fā)電機時，最大發(fā)電量為17720.6KW；13使用第一和第二臺發(fā)電機時，最大發(fā)電量為17454.8