2023年湖北省-高考理科數(shù)學試題(真題與答案解析)

2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試〔湖北卷〕數(shù)學〔理工農(nóng)醫(yī)類〕一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分．在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的．1．如果的展開式中含有非零常數(shù)項，那么正整數(shù)的最小值為〔〕Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．102．將的圖象按向量平移，那么平移后所得圖象的解析式為〔〕Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．3．設和是兩個集合，定義集合，如果，，那么等于〔〕Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．4．平面外有兩條直線和，如果和在平面內(nèi)的射影分別是和，給出以下四個命題：①； ②；③與相交與相交或重合；④與平行與平行或重合．其中不正確的命題個數(shù)是〔〕Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．45．和是兩個不相等的正整數(shù)，且，那么〔〕A．0 B．1 C． D．6．假設數(shù)列滿足〔為正常數(shù)，〕，那么稱為“等方比數(shù)列〞．甲：數(shù)列是等方比數(shù)列； 乙：數(shù)列是等比數(shù)列，那么〔〕A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件7．雙曲線的左準線為，左焦點和右焦點分別為和；拋物線的準線為，焦點為與的一個交點為，那么等于〔〕A． B． C． D．8．兩個等差數(shù)列和的前項和分別為A和，且，那么使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)是〔〕A．2 B．3 C．4 D．59．連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為和，記向量與向量的夾角為，那么的概率是〔〕A． B． C． D．10．直線〔是非零常數(shù)〕與圓有公共點，且公共點的橫坐標和縱坐標均為整數(shù)，那么這樣的直線共有〔〕A．60條 B．66條 C．72條 D．78條二、填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分．把答案填在答題卡相應位置上．11．函數(shù)的反函數(shù)是，那么；．12．復數(shù)，且，假設是實數(shù)，那么有序?qū)崝?shù)對可以是．〔寫出一個有序?qū)崝?shù)對即可〕13．設變量滿足約束條件那么目標函數(shù)的最小值為．〔毫克〕〔小時〕14．某籃運發(fā)動在三分線投球的命中率是，他投球10次，恰好投進3個球的概率．〔用數(shù)值作答〕〔毫克〕〔小時〕15．為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒．藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量〔毫克〕與時間〔小時〕成正比；藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關系式為〔為常數(shù)〕，如下圖．據(jù)圖中提供的信息，答復以下問題：〔=1\*ROMANI〕從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量〔毫克〕與時間〔小時〕之間的函數(shù)關系式為；〔=2\*ROMANII〕據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時，學生方可進教室，那么藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過小時后，學生才能回到教室．三、解答題：本大題共6小題，共75分．解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16．〔本小題總分值12分〕的面積為，且滿足，設和的夾角為．〔=1\*ROMANI〕求的取值范圍；分組頻數(shù)合計〔=2\*ROMANII〕求函數(shù)的最大值與最小值．17．〔本小題總分值12分〕在生產(chǎn)過程中，測得纖維產(chǎn)品的纖度〔表示纖維粗細的一種量〕共有100個數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)分組如右表：〔=1\*ROMANI〕在答題卡上完成頻率分布表，并在給定的坐標系中畫出頻率分布直方圖；〔=2\*ROMANII〕估計纖度落在中的概率及纖度小于的概率是多少？〔=3\*ROMANIII〕統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值〔例如區(qū)間的中點值是〕作為代表．據(jù)此，估計纖度的期望．18．〔本小題總分值12分〕如圖，在三棱錐中，底面，，是的中點，且，．〔I〕求證：平面；〔II〕當解變化時，求直線與平面所成的角的取值范圍．BBVADC19．〔本小題總分值12分〕在平面直角坐標系中，過定點作直線與拋物線〔〕相交于兩點．〔I〕假設點是點關于坐標原點的對稱點，求面積的最小值；〔II〕是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？假設存在，求出的方程；假設不存在，說明理由．AABxyNCO〔此題不要求在答題卡上畫圖〕20．〔本小題總分值13分〕定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，，其中．設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同．〔I〕用表示，并求的最大值；〔II〕求證：〔〕．21．〔本小題總分值14分〕為正整數(shù)，〔I〕用數(shù)學歸納法證明：當時，；〔II〕對于，，求證，求證，；〔III〕求出滿足等式的所有正整數(shù)．參考答案與解析一、選擇題：此題考查根底知識和根本運算．每題5分，總分值50分．1．答案：選Ｂ解析：由展開式通項有由題意得，故當時，正整數(shù)的最小值為5，應選Ｂ點評：此題主要考察二項式定理的根本知識，以通項公式切入探索，由整數(shù)的運算性質(zhì)易得所求。此題中“非零常數(shù)項〞為干擾條件。易錯點：將通項公式中誤記為，以及忽略為整數(shù)的條件。2．答案：選Ａ解析：法一由向量平移的定義，在平移前、后的圖像上任意取一對對應點，，那么，帶入到解析式中可得選Ａ法二由平移的意義可知，先向左平移個單位，再向下平移2個單位。點評：此題主要考察向量與三角函數(shù)圖像的平移的根本知識，以平移公式切入，為簡單題。易錯點：將向量與對應點的順序搞反了，或死記硬背以為是先向右平移個單位，再向下平移2個單位，誤選Ｃ3．答案：選Ｂ解析：先解兩個不等式得，。由定義，應選Ｂ點評：此題通過考察兩類簡單不等式的求解，進一步考察對集合的理解和新定義的一種運算的應用，表達了高考命題的創(chuàng)新趨向。此處的新定義一般稱為兩個集合的差。易錯點：對新定義理解不全，忽略端點值而誤選Ａ，以及解時出錯。4．答案：選Ｄ解析：由射影的概念以及線線垂直關系的判定方法，可知①②③④均錯,具體可觀察如圖的正方體：但不垂直，故①錯；但在底面上的射影都是故②錯；相交，但異面，故③錯；但異面，故④錯點評：此題主要考察空間線面之間位置關系，以及射影的意義理解。關鍵是要理解同一條直線在不同平面上的射影不同；線在面內(nèi)，線面平行，線面相交的不同位置下，射影也不相同。要從不用的方向看三垂線定理，充分發(fā)揮空間想象力。易錯點：空間想象力不夠，容易誤判③、④正確，而錯選Ｂ或Ｃ5．答案：選C解析：法一特殊值法，由題意取，那么，可見應選C法二令，分別取和，那么原式化為所以原式=〔分子、分母1的個數(shù)分別為個、個〕點評：此題考察數(shù)列的極限和運算法那么，可用特殊值探索結論，即同時考察學生思維的靈活性。當不能直接運用極限運算法那么時，首先化簡變形，后用法那么即可。此題也表達了等比數(shù)列求和公式的逆用。易錯點：取特值時忽略和是兩個不相等的正整數(shù)的條件，誤選B；或不知變形而無法求解，或者認為是型而誤選B，看錯項數(shù)而錯選D6．答案：選B解析：由等比數(shù)列的定義數(shù)列，假設乙：是等比數(shù)列，公比為，即那么甲命題成立；反之，假設甲：數(shù)列是等方比數(shù)列，即即公比不一定為，那么命題乙不成立，應選B點評：此題主要考察等比數(shù)列的定義和創(chuàng)新定義的理解、轉(zhuǎn)換。要是等比數(shù)列，那么公比應唯一確定。易錯點：此題是易錯題。由，得到的是兩個等比數(shù)列，而命題乙是指一個等比數(shù)列，忽略等比數(shù)列確實定性，容易錯選C7．答案：選A解析：由題設可知點同時滿足雙曲線和拋物線的定義，且在雙曲線右支上,故由定義可得故原式，選A點評：此題主要考察雙曲線和拋物線的定義和性質(zhì)，幾何條件列方程組，消元后化歸曲線的根本量的計算，表達數(shù)形結合方法的重要性。易錯點：由于畏懼心理而胡亂選擇，不能將幾何條件有機聯(lián)系轉(zhuǎn)化，缺乏消元意識。8．答案：選D解析：由等差數(shù)列的前項和及等差中項，可得，故時，為整數(shù)。應選D點評：此題主要考察等差數(shù)列的性質(zhì)，等差中項的綜合應用，以及局部分式法，數(shù)的整除性是傳統(tǒng)問題的進一步深化，對教學研究有很好的啟示作用。易錯點：不能將等差數(shù)列的項與前項和進行合理轉(zhuǎn)化，胡亂選擇。9．答案：選C解析：由向量夾角的定義，圖形直觀可得，當點位于直線上及其下方時，滿足，點的總個數(shù)為個，而位于直線上及其下方的點有個，故所求概率，選C點評：此題綜合考察向量夾角，等可能事件概率的計算以及數(shù)形結合的知識和方法。易錯點：不能數(shù)形直觀，確定點的位置，或忽略夾角范圍中的，而誤選A10．答案：選A解析：可知直線的橫、縱截距都不為零，即與坐標軸不垂直，不過坐標原點，而圓上的整數(shù)點共有12個，分別為，，前8個點中，過任意一點的圓的切線滿足，有8條；12個點中過任意兩點，構成條直線，其中有4條直線垂直軸，有4條直線垂直軸，還有6條過原點〔圓上點的對稱性〕，故滿足題設的直線有52條。綜上可知滿足題設的直線共有條，選A點評：此題主要考察直線與圓的概念，以及組合的知識，既要數(shù)形結合，又要分類考慮，要結合圓上點的對稱性來考慮過點的直線的特征。是較難問題易錯點：不能準確理解題意，甚至混淆。對直線截距式方程認識不明確，認識不到三類特殊直線不能用截距式方程表示；對圓上的整數(shù)點探索不準確，或分類不明確，都會導致錯誤，胡亂選擇。二、填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分．把答案填在答題卡相應位置上．11．答案：解析：由互反函數(shù)點之間的對稱關系，取特殊點求解。在上取點，得點在上，故得；又上有點，那么點在點評：此題主要考察反函數(shù)的概念及其對稱性的應用。直接求反函數(shù)也可，較為簡單。易錯點：運算錯誤導致填寫其他錯誤答案。12．答案：或滿足的任意一對非零實數(shù)對解析：由復數(shù)運算法那么可知，由題意得，答案眾多，如也可。點評：此題主要考察復數(shù)的根本概念和運算，有一般結論需要寫出一個具體結果，屬開放性問題。易錯點：復數(shù)運算出錯導致結果寫錯，或?qū)忣}馬虎，只寫出，不合題意要求。13．答案：解析：由約束條件得如下圖的三角形區(qū)域，令，顯然當平行直線過點時，取得最小值為點評：此題主要考察線性規(guī)劃的根本知識，考察學生的動手能力作圖觀察能力。易錯點：不能準確畫出不等式組的平面區(qū)域，把上下位置搞錯，以及把直線間的相對位置搞錯，找錯點的位置而得到錯誤結果。14．答案：解析：由題意知所求概率點評：此題考察次獨立重復試驗中，某事件恰好發(fā)生次的概率，直接用公式解決。易錯點：把“恰好投進3個球〞錯誤理解為某三次投進球，忽略“三次〞的任意性。15答案：〔I〕〔II〕解析：〔I〕由題意和圖示，當時，可設〔為待定系數(shù)〕，由于點在直線上，；同理，當時，可得〔II〕由題意可得，即得或或，由題意至少需要經(jīng)過小時后，學生才能回到教室．點評：此題考察函數(shù)、不等式的實際應用，以及識圖和理解能力。易錯點：只單純解不等式，而忽略題意，在〔II〕中填寫了其他錯誤答案。三、解答題：本大題共6小題，共75分．16．本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計算、解三角形、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)等根本知識，考查推理和運算能力．解：〔Ⅰ〕設中角的對邊分別為，那么由，，可得，．〔Ⅱ〕．，，．即當時，；當時，．17．本小題主要考查頻率分布直方圖、概率、期望等概念和用樣本頻率估計總體分布的統(tǒng)計方法，考查運用概率統(tǒng)計知識解決實際問題的能力．解：〔Ⅰ〕分組頻數(shù)頻率40.04250.25300.30290.29100.1020.02合計1001.00樣本數(shù)據(jù)樣本數(shù)據(jù)頻率/組距1.301.341.381.421.461.501.54〔Ⅱ〕纖度落在中的概率約為，纖度小于1.40的概率約為．〔Ⅲ〕總體數(shù)據(jù)的期望約為．18．本小題主要考查線面關系、直線與平面所成角的有關知識，考查空間想象能力和推理運算能力以及應用向量知識解決數(shù)學問題的能力．解法1：〔Ⅰ〕，是等腰三角形，又是的中點，，又底面．．于是平面．又平面，平面平面．〔Ⅱ〕過點在平面內(nèi)作于，那么由〔Ⅰ〕知平面．連接，于是就是直線與平面所成的角．在中，；設，在中，，．，ADBCHADBCHV又，．即直線與平面所成角的取值范圍為．解法2：〔Ⅰ〕以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如下圖的空間直角坐標系，那么，于是，，，．從而，即．同理，即．又，平面．又平面．平面平面．ADBCVxyz〔Ⅱ〕設直線與平面所成的角為，平面ADBCVxyz那么由．得可取，又，于是，，，．又，．即直線與平面所成角的取值范圍為．解法3：〔Ⅰ〕以點為原點，以所在的直線分別為軸、軸，建立如下圖的空間直角坐標系，那么，，于是，，．從而，即．同理，即．又，平面．又平面，平面平面．〔Ⅱ〕設直線與平面所成的角為，平面的一個法向量為，那么由，得ADBCVxADBCVxy于是，，，．又，，即直線與平面所成角的取值范圍為．解法4：以所在直線分別為軸、軸、軸，建立如下圖的空間直角坐標系，那么．設．ADBCVxADBCVxyz，即．，即．又，平面．又平面，平面平面．〔Ⅱ〕設直線與平面所成的角為，設是平面的一個非零法向量，那么取，得．可取，又，于是，，關于遞增．，．即直線與平面所成角的取值范圍為．19．本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的根底知識，考查綜合運用數(shù)學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力．解法1：〔Ⅰ〕依題意，點的坐標為，可設，NOACByx直線的方程為，與聯(lián)立得消去得．NOACByx由韋達定理得，．于是．，當時，．〔Ⅱ〕假設滿足條件的直線存在，其方程為，的中點為，與為直徑的圓相交于點，的中點為，NOACByxlNOACByxl，，，．令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．解法2：〔Ⅰ〕前同解法1，再由弦長公式得，又由點到直線的距離公式得．從而，當時，．〔Ⅱ〕假設滿足條件的直線存在，其方程為，那么以為直徑的圓的方程為，將直線方程代入得，那么．設直線與以為直徑的圓的交點為，那么有．令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．20．本小題主要考查函數(shù)、不等式和導數(shù)的應用等知識，考查綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力．解：〔Ⅰ〕設與在公共點處的切線相同．，，由題意，．即由得：，或〔舍去〕．即有