20202021上海中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)-直角三角形邊角關(guān)系綜合

2020-2021上海中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)——直角三角形的邊角關(guān)系的綜合2020-2021上海中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)——直角三角形的邊角關(guān)系的綜合21/212020-2021上海中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)——直角三角形的邊角關(guān)系的綜合2020-2021上海中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)——直角三角形的邊角關(guān)系的綜合一、直角三角形的邊角關(guān)系1．如圖，海上觀察哨所B位于觀察哨所A正北方向，距離為25海里．在某時(shí)辰，哨所A與哨所B同時(shí)發(fā)現(xiàn)一走私船，其地址C位于哨所A北偏東53°的方向上，位于哨所B南偏東37°的方向上．1）求觀察哨所A與走私船所在的地址C的距離；2）若觀察哨所A發(fā)現(xiàn)走私船從C處以16海里/小時(shí)的速度向正東方向逃跑，并馬上派緝私艇沿北偏東76°的方向前去攔截．求緝私艇的速度為多少時(shí)，恰幸好D處成功攔截．（結(jié)果保留根號）（參照數(shù)據(jù)：sin37°＝cos53°≈，cos37＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈）【答案】（1）觀察哨所A與走私船所在的地址C的距離為小時(shí)617海里的速度行駛時(shí)，恰幸好D處成功攔截.

15海里；（

2）當(dāng)緝私艇以每【解析】【解析】（1）先依照三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函數(shù)定義得出AC即可；（2）過點(diǎn)

C作

CM⊥AB于點(diǎn)

M，易知，

D、C、M

在一條直線上．解

Rt△AMC，求出CM、AM．解Rt△AMD中，求出DM、AD，得出CD．設(shè)緝私艇的速度為x海里/小時(shí)，根據(jù)走私船行駛CD所用的時(shí)間等于緝私艇行駛AD所用的時(shí)間列出方程，解方程即可．【詳解】（1）在△ABC中，ACB180BBAC180375390.在RtVABC中，sinBAC，所以ACABsin3725315（海里）.AB5答：觀察哨所A與走私船所在的地址C的距離為15海里.（2）過點(diǎn)C作CMAB，垂足為M，由題意易知，D、C、M在一條直線上.在RtVACM中，CMACsinCAM412，155AMACcosCAM1539.5在Rt△ADM中，tanDAMMD，AM所以MDAMtan7636.所以ADAM2MD292362917，CDMDMC24.設(shè)緝私艇的速度為v海里/小時(shí)，則有24917，解得v617.16v經(jīng)檢驗(yàn)，v617是原方程的解.答：當(dāng)緝私艇以每小時(shí)617海里的速度行駛時(shí)，恰幸好D處成功攔截.【點(diǎn)睛】此題觀察認(rèn)識直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，結(jié)合航海中的實(shí)責(zé)問題，將解直角三角形的相關(guān)知識有機(jī)結(jié)合，表現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)質(zhì)生活的思想．2．（6分）某海域有A，B兩個(gè)港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口里，有一艘船從A港口出發(fā)，沿東北方向行駛一段距離后，到達(dá)位于B港口南偏東向的C處，求該船與B港口之間的距離即CB的長（結(jié)果保留根號）．

60海75°方【答案】．【解析】試題解析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，獲取AD=BD=，求出∠C=60°，依照正切的定義求出CD的長，獲取答案．試題解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45，°又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75，°∠ABC=45，°∴∠C=60，°在∴BC=

Rt△ACD中，∠C=60，°AD=．故該船與B港口之間的距離

，則tanC=CB的長為

，∴CD=

=海里．

，考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題．3．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜邊AC交⊙O于點(diǎn)D，且AD=DC，延長CB交⊙O于點(diǎn)E．（1）圖1的A、B、C、D、E五個(gè)點(diǎn)中，可否存在某兩點(diǎn)間的距離等于線段CE的長？請說明原由；2）如圖2，過點(diǎn)E作⊙O的切線，交AC的延長線于點(diǎn)F．①若CF=CD時(shí)，求sin∠CAB的值；②若CF=aCD（a＞0）時(shí)，試猜想sin∠CAB的值．（用含a的代數(shù)式表示，直接寫出結(jié)果）【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．【解析】試題解析：（1）連接AE、DE，如圖1，依照圓周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，依照垂直均分線的性質(zhì)可得AE=CE；（2）連接AE、ED，如圖2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直徑，依照切線的性質(zhì)可得∠AEF=90，°進(jìn)而可證到△ADE∽△AEF，爾后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可得=AD?AF．①當(dāng)CF=CD時(shí)，可得，進(jìn)而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中運(yùn)用三角函數(shù)可得sin∠CED=，依照圓周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②當(dāng)CF=aCD（a＞0）時(shí)，同①即可解決問題．試題解析：（1）AE=CE．原由：連接AE、DE，如圖1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，AE=CE；（2）連接AE、ED，如圖2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直徑，∵EF是⊙OO的切線，∴∠AEF=90，°∴∠ADE=∠AEF=90，°又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=AD?AF．①當(dāng)CF=CD時(shí)，AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC?3DC=，∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED===；②當(dāng)CF=aCD（a＞0）時(shí)，sin∠CAB=．∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴=DC?（a+2）DC=（a+2），∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED==．考點(diǎn)：1．圓的綜合題；2．研究型；3．存在型．4．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，過CD延長線上一點(diǎn)E作⊙O的切線交AB的延長線于切點(diǎn)為G，連接AG交CD于K．1）求證：KE=GE；2）若KG2=KD?GE，試判斷AC與EF的地址關(guān)系，并說明原由；（3）在（2）的條件下，若sinE=，AK=，求FG的長．【答案】（1）證明見解析；（2）AC∥EF，證明見解析；（3）FG=．【解析】試題解析：（1）如圖1，連接OG．依照切線性質(zhì)及CD⊥AB，可以推出∠KGE=∠AKH=∠GKE，依照等角同等邊獲取KE=GE；2）AC與EF平行，原由于：如圖2所示，連接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KD?GE，利用兩邊對應(yīng)成比率且夾角相等的兩三角形相似可得出△GKD與△EKG相似，又利用同弧所對的圓周角相等獲取∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，進(jìn)而獲取AC∥EF；3）如圖3所示，連接OG，OC，先求出KE=GE，再求出圓的半徑，依照勾股定理與垂徑定理可以求解；爾后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的長度．試題解析：（1）如圖1，連接OG．∵EG為切線，∴∠KGE+∠OGA=90，°∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90，°又∵OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE．（2）AC∥EF，原由于連接GD，如圖2所示．∵KG2=KD?GE，即，∴，又∵∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK，∴∠E=∠AGD，又∵∠C=∠AGD，∴∠E=∠C，∴AC∥EF；（3）連接OG，OC，如圖3所示，∵EG為切線，∴∠KGE+∠OGA=90，°∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90，°又∵OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE．sinE=sin∠ACH=，設(shè)AH=3t，則AC=5t，CH=4t，∵KE=GE，AC∥EF，CK=AC=5t，HK=CK-CH=t．在Rt△AHK中，依照勾股定理得AH2+HK2=AK2，即（3t）2+t2=（2）2，解得t=．設(shè)⊙O半徑為r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-3t，CH=4t，由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即（r-3t）2+（4t）2=r2，解得r=t=．∵EF為切線，∴△OGF為直角三角形，在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH=，F(xiàn)G=【點(diǎn)睛】此題觀察了切線的性質(zhì)，相似三角形的判斷與性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，圓周角定理，平行線的判斷，以及等腰三角形的判斷，熟練掌握定理及性質(zhì)是解此題的要點(diǎn)．5．已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，D是弧BC上一點(diǎn)，OD⊥BC，垂足為H．1）如圖1，當(dāng)圓心O在AB邊上時(shí)，求證：AC=2OH；2）如圖2，當(dāng)圓心O在△ABC外面時(shí)，連接AD、CD，AD與BC交于點(diǎn)P，求證：∠ACD=∠APB；（3）在（2）的條件下，如圖3，連接BD，E為⊙O上一點(diǎn)，連接DE交BC于點(diǎn)Q、交AB于點(diǎn)N，連接OE，BF為⊙O的弦，BF⊥OE于點(diǎn)R交DE于點(diǎn)G，若∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，AC=，BN=，tan∠ABC=，求BF的長．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）24.【解析】試題解析：（1）易證OH為△ABC的中位線，可得AC=2OH；（2）∠APB=∠PAC+∠ACP，∠ACD=∠ACB+∠BCD，又∵∠PAC=∠BCD，可證∠ACD=∠APB；（3）連接AO延長交于⊙O于點(diǎn)I，連接IC，AB與OD訂交于點(diǎn)M，連接OB，易證∠GBN=∠ABC，所以BG=BQ.在Rt△BNQ中，依照tan∠ABC=，可求得NQ、BQ的長.利用圓周角定理可求得IC和AI的長度，設(shè)QH=x，利用勾股定理可求出QH和HD的長度，利用垂徑定理可求得ED的長度，最后利用tan∠OED=即可求得RG的長度，最后由垂徑定理可求得BF的長度．試題解析：（1）在⊙O中，∵OD⊥BC，∴BH=HC，∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴AC=2OH；2）在⊙O中，∵OD⊥BC，∴弧BD=弧CD，∴∠PAC=∠BCD，∵∠APB=∠PAC+∠ACP，∠ACD=∠ACB+∠BCD，∴∠ACD=∠APB；（3）連接AO延長交于⊙O于點(diǎn)I，連接IC，AB與OD訂交于點(diǎn)M，連接OB，∵∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，∴∠ACD﹣∠BDN=∠ABD+∠BDN，∵∠ABD+∠BDN=∠AND，∴∠ACD﹣∠BDN=∠AND，∵∠ACD+∠ABD=180，°∴2∠AND=180，°∴∠AND=90，°∵tan∠ABC=，∴，∴，∴，∵∠BNQ=∠QHD=90°，∴∠ABC=∠QDH，∵OE=OD，∴∠OED=∠QDH，∵∠ERG=90，°∴∠OED=∠GBN，∴∠GBN=∠ABC，∵AB⊥ED，∴BG=BQ=，GN=NQ=，∵∠ACI=90，°tan∠AIC=tan∠ABC=，∴，∴IC=，∴由勾股定理可求得：AI=25，設(shè)QH=x，∵tan∠ABC=tan∠ODE=，∴，∴HD=2x，∴OH=OD﹣HD=，BH=BQ+QH=，∵OB2=BH2+OH2，∴，解得：，當(dāng)QH=時(shí)，∴QD=，∴ND=，∴MN=，MD=15,∵，∴QH=不吻合題意，舍去，當(dāng)QH=時(shí)，∴QD=∴ND=NQ+QD=，ED=，∴GD=GN+ND=,∴EG=ED﹣GD=，∵tan∠OED=，∴，∴EG=RG，∴RG=，∴BR=RG+BG=12,∴BF=2BR=24．考點(diǎn)：1圓；2相似三角形；3三角函數(shù)；4直角三角形.6．（此題滿分14分，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分5分，第（3）小題滿分5分）已知：如圖，AB是半圓O的直徑，弦CD//AB，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段OC、CD上，且DQOP，AP的延長線與射線OQ訂交于點(diǎn)E、與弦CD訂交于點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)C、不重合），AB20，cosAOC4y．D5．設(shè)OPx，CPF的面積為1）求證：APOQ；2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；（3）當(dāng)OPE是直角三角形時(shí)，求線段OP的長．【答案】（1）證明見解析；（23x260x30050）y(x10)；（3）OP8x13【解析】【解析】（1）證明線段相等的方法之一是證明三角形全等，經(jīng)過解析已知條件，

OPDQ，聯(lián)系OD后還有OADO，再結(jié)合要證明的結(jié)論APOQ，則可必定需證明三角形全等，尋找已知對應(yīng)邊的夾角，即POAQDO即可；（2）依照PFC∽PAO，將面積轉(zhuǎn)變成相似三角形對應(yīng)邊之比的平方來求；（3）分成三種情況談?wù)?，充分利用已知條件cosAOC4、以及（1）（2）中已證的結(jié)論，注5意要對不吻合（2）中定義域的答案舍去．【詳解】（1）聯(lián)系OD，∵OCOD，∴OCDODC，CD//AB，OCDCOA，∴POAQDO．在AOP和ODQ中，OPDQ{POAQDO，OADOAOP≌ODQ，APOQ；（2）作PHOA，交OA于H，∵cosAOC4，5∴OH443OPx，PHx，555∴SAOP1AOPH3x．2CD//AB，PFC∽PAO，∴y(CP)2(10x)2，SAOPOPx∴y3x260x300，當(dāng)F與點(diǎn)D重合時(shí)，x∵CD2OCcosOCD2104，165∴xx10，解得x50，101613∴y3x260x300(50x10)；x13（3）①當(dāng)OPE90o時(shí)，OPA90o，∴OPOAcosAOC1048；590o時(shí)，CQOC101025②當(dāng)POEcosQCOcosAOC42，5∴OPDQCDCQCD251625722，250OP10，∵13∴OP7（舍去）；2③當(dāng)PEO90o時(shí)，∵CD//AB，∴AOQDQO，AOP≌ODQ，∴DQOAPO，AOQAPO，∴AEOAOP90o，此時(shí)弦CD不存在，故這種情況不吻合題意，舍去；綜上，線段OP的長為8．7．如圖，將一副直角三角形拼放在一起獲取四邊形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，連接AE，將△ADE沿AE所在直線翻折獲取△AD′E，D′E交AC于F點(diǎn)．若AB=6cm．1）AE的長為cm；2）試在線段AC上確定一點(diǎn)P，使得DP+EP的值最小，并求出這個(gè)最小值；3）求點(diǎn)D′到BC的距離．【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm．【解析】試題解析：（1）第一利用勾股定理得出AC的長，進(jìn)而求出邊上的中線等于斜邊的一半進(jìn)而得出答案：∵∠BAC=45，°∠B=90，°∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．

CD的長，利用直角三角形斜∵∠ACD=30，°∠DAC=90，°AC=12cm，∴（cm）．∵點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，∴AE=DC=cm．（2）第一得出△ADE為等邊三角形，進(jìn)而求出點(diǎn)E，D′關(guān)于直線AC對稱，連接DD′交于點(diǎn)P，依照軸對稱的性質(zhì)，此時(shí)DP+EP值為最小，進(jìn)而得出答案．（3）連接CD′，BD′，過點(diǎn)D′作D′G⊥BC于點(diǎn)G，進(jìn)而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），則∠D′BG=45，D°′G=GB，進(jìn)而利用勾股定理求出點(diǎn)D′到BC邊的距離．試題解析：解：（1）．

AC2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，∵E為CD邊上的中點(diǎn)，∴DE=AE．∴△ADE為等邊三角形．2．勾股定理；3．直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；4．等邊5．軸對稱的應(yīng)用（最短線路問題）；6．全等三角形的判斷∵將△ADE沿AE所在直線翻折得△AD′E，∴△AD′E為等邊三角形，∠AED′=60°．∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30，°∴∠EFA=90，°即AC所在的直線垂直均分線段ED′．∴點(diǎn)E，D′關(guān)于直線AC對稱．如答圖1，連接DD′交AC于點(diǎn)P，∴此時(shí)DP+EP值為最小，且DP+EP=DD′．∵△ADE是等邊三角形，AD=AE=，∴，即DP+EP最小值為12cm．3）如答圖2，連接CD′，BD′，過點(diǎn)D′作D′G⊥BC于點(diǎn)G，∵AC垂直均分線ED′，∴AE=AD，′CE=CD，′∵AE=EC，∴AD′=CD′=．在△ABD′和△CBD′中，∵，∴△ABD′≌△CBD′（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45．°∴D′G=GB．設(shè)D′G長為xcm，則CG長為cm，在Rt△GD′C中，由勾股定理得，解得：（不合題意舍去）．∴點(diǎn)D′到BC邊的距離為cm．考點(diǎn)：1．翻折和單動(dòng)點(diǎn)問題；三角形三角形的判斷和性質(zhì)；和性質(zhì)；7．方程思想的應(yīng)用．8．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜邊BC上的高，垂足為D，BE=1cm．點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)E出發(fā)，與點(diǎn)M同時(shí)同方向以同樣的速度運(yùn)動(dòng)，以

MN

為邊在

BC的上方作正方形

MNGH．點(diǎn)

M到達(dá)點(diǎn)

D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)

N到達(dá)點(diǎn)

C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

t（s）．（1）當(dāng)

t為何值時(shí)，點(diǎn)

G恰好落在線段

AD上？（2）設(shè)正方形

MNGH與

Rt△ABC重疊部分的圖形的面積為

S，當(dāng)重疊部分的圖形是正方形時(shí)，求出

S關(guān)于

t的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量

t的取值范圍．（3）設(shè)正方形

MNGH

的邊

NG所在直線與線段

AC交于點(diǎn)

P，連接

DP，當(dāng)

t為何值時(shí)，△CPD是等腰三角形？【答案】（1）3；（2）；（3）t=9s或t=（15﹣6）s.【解析】試題解析：（1）求出ED的距離即可求出相對應(yīng)的時(shí)間t.（2）先求出t的取值范圍，分為H在AB上時(shí)，此時(shí)BM的距離，進(jìn)而求出相應(yīng)的時(shí)間．同樣當(dāng)G在AC上時(shí)，求出MN的長度，既而算出EN的長度即可求出時(shí)間，再經(jīng)過正方形的面積公式求出正方形的面積.3）分DP=PC和DC=PC兩種情況，分別由EN的長度即可求出t的值．試題解析：∵∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm∴AB=8cm，BD=4cm，AC=8cm，DC=12cm，AD=4cm.1）∵當(dāng)G恰好落在線段AD上時(shí)，ED=BD﹣BE=3cm∴t=s=3s．（2）∵當(dāng)MH沒有到達(dá)AD時(shí)，此時(shí)正方形上，則∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1

MNGH是邊長為

1的正方形，令

H點(diǎn)在

AB∴BM=cm.∴t=s.當(dāng)MH到達(dá)AD時(shí)，那么此時(shí)的正方形在AC上，

MNGH的邊長隨著

N點(diǎn)的連續(xù)運(yùn)動(dòng)而增大，令

G點(diǎn)設(shè)MN=xcm，則GH=DH=x，AH=x，∵AD=AH+DH=x+x=x=4，x=3．當(dāng)≤t≤4時(shí)，SMNGN=1cm2．當(dāng)4＜t≤6時(shí)，SMNGH=（t﹣3）2cm2∴S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為：.（3）分兩種情況：①∵當(dāng)DP=PC時(shí)，易知此時(shí)N點(diǎn)為DC的中點(diǎn)，∴MN=6cm∴EN=3cm+6cm=9cm.∴t=9s故當(dāng)t=9s的時(shí)候，△CPD為等腰三角形；②當(dāng)DC=PC時(shí)，DC=PC=12cmNC=6cmEN=16cm﹣1cm﹣6cm=（15﹣6）cmt=（15﹣6）s故當(dāng)t=（15﹣6）s時(shí)，△CPD為等腰三角形．綜上所述，當(dāng)t=9s或t=（15﹣6）s時(shí)，△CPD為等腰三角形．考點(diǎn)：1.雙動(dòng)點(diǎn)問題；2.銳角三角函數(shù)定義；3.特別角的三角函數(shù)值；4.正方形的性質(zhì)；5.由實(shí)責(zé)問題列函數(shù)關(guān)系式；6.等腰三角形的性質(zhì)；7.分類思想的應(yīng)用.9．如圖，拋物線y=﹣x2+3x+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)D在拋物線上且橫坐標(biāo)為3．1）求tan∠DBC的值；2）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且∠DBP=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）tan∠DBC=；（2）P（﹣，）．【解析】試題解析：（1）連接CD，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E．利用拋物線解析式可以求得點(diǎn)A、BCD的坐標(biāo)，則可得CD//AB，OB=OC∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°、、，所以．由直角三角形的性質(zhì)、勾股定理和圖中相關(guān)線段間的關(guān)系可得BC=4，BE=BC﹣DE=．由此可知tan∠DBC=；2）過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F．由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC，利用（1）中的結(jié)果獲?。簍an∠PBF=．設(shè)P（x，﹣x2+3x+4），則利用銳角三角函數(shù)定義推知=，經(jīng)過解方程求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，）．試題解析：1）令y=0，則﹣x2+3x+4=﹣（x+1）（x﹣4）=0，解得x1=﹣1，x2=4．∴A（﹣1，0），B（4，0）．當(dāng)x=3時(shí)，y=﹣32+3×3+4=4，∴D（3，4）．如圖，連接CD，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E．∵C（0，4），CD//AB，∴∠BCD=∠ABC=45．°在直角△OBC中，∵OC=OB=4，∴BC=4．在直角△CDE中，CD=3．∴CE=ED=，∴BE=BC﹣DE=．∴tan∠DBC=；2）過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F．∵∠CBF=∠DBP=45，°∴∠PBF=∠DBC，∴tan∠PBF=．設(shè)P（x，﹣x2+3x+4），則=，解得x1=﹣，x2=4（舍去），∴P（﹣，）．考點(diǎn)：1、二次函數(shù)；2、勾股定理；3、三角函數(shù)10．如圖，已知二次函數(shù)y1x2bxc的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-36），并與x軸交于點(diǎn)B2，-1，0）和點(diǎn)C，極點(diǎn)為點(diǎn)P．1）求這個(gè)二次函數(shù)解析式；2）設(shè)D為x軸上一點(diǎn)，滿足∠DPC=∠BAC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）作直線AP，在拋物線的對稱軸上可否存在一點(diǎn)M，在直線AP上可否存在點(diǎn)N，使AM+MN的值最??？若存在，求出M、N的坐標(biāo)：若不存在，請說明原由．【答案】（1）點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P（1，-2）；（2）點(diǎn)P（7，0）；（3）點(diǎn)N（-，14）．55【解析】【解析】（1）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；（211）利用S△ABC=×AC×BH=×BC×yA，求出sinα=22MDx1△PMD中，tanα==x22，即可求解；PM2

BH2211，在AB2105，則tanα=2（3）作點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)A′（5，6），過點(diǎn)A′作A′N⊥AP分別交對稱軸與點(diǎn)M、交AP于點(diǎn)N，此時(shí)AM+MN最小，即可求解．【詳解】693b13b（1）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：2，解得：3，10ccb22故：拋物線的表達(dá)式為：y=1x2-x-3，2令y=0，則x=-1或3，令x=0，則y=-3，2故點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P（1，-2）；（2）過點(diǎn)B作BH⊥AC交于點(diǎn)H，過點(diǎn)P作PG⊥x軸交于點(diǎn)G，設(shè)：∠DPC=∠BAC=α，由題意得：AB=210，AC=62，BC=4，PC=22，11S△ABC=×AC×BH=×BC×yA，22解得：BH=22，BH2211sinα===，則tanα=，AB21052由題意得：GC=2=PG，故∠PCB=45°，延長PC，過點(diǎn)D作DM⊥PC交于點(diǎn)M，則MD=MC=x，MDx=1在△PMD中，tanα==，PMx222解得：x=22，則CD=2x=4，故點(diǎn)P（7，0）；（3）作點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)A′（5，6），過點(diǎn)A′作A′N⊥AP分別交對稱軸與點(diǎn)M、交AP于點(diǎn)N，此時(shí)AM+MN最小，直AP表達(dá)式中的k：8=-2，直A′N表達(dá)式中的k1，421x+b，直A′N的表達(dá)式：y=2將點(diǎn)A′坐代入上式并求解得：b=7，2故直A′N的表達(dá)式：y=1x+7?①，22當(dāng)x=1，y=4，故點(diǎn)M（1，4），同理直AP的表達(dá)式：y=-2x?②，立①②

兩個(gè)方程并求解得：

x=-7，5故點(diǎn)N（-7，14）．5【點(diǎn)睛】本考的是二次函數(shù)合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、解直角三角形等知，其中（3），利用稱點(diǎn)求解最小，是此目的一般方法．11．關(guān)于三角函數(shù)有以下的公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①cos（α+）β=cosαcosβsinαsinβ②tan（α+）β=③利用些公式可將某些不是特別角的三角函數(shù)化特別角的三角函數(shù)來求，如：tan105°=tan（45°+60°）==（2+）．依照上面的知，你可以合適的公式解決下面的：如，直升機(jī)在一建筑物

CD上方

A點(diǎn)得建筑物端

D點(diǎn)的俯角α=60°，底端

C點(diǎn)的俯角β=75°，此直升機(jī)與建筑物

CD的水平距離

BC42m，求建筑物

CD的高．【答案】建筑物CD的高為84米．【解析】解析：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，由題意易得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，∠ADE=60，°這樣在

Rt△ABC和在

Rt△ADE中，結(jié)合題中所給關(guān)系式分別求出

AB和

AE的長，即可由

CD=BE=AB-AE求得結(jié)果了

.詳解