數(shù)學(xué)第四章 排列、組合與概率02課件

4.3組合在一個(gè)4人（甲、乙、丙、?。﹨⒓拥男⌒凸ぷ鲿?huì)議上，任何一位與會(huì)者都要同其他與會(huì)者每人握手一次．下表已給出兩次握手的雙方名單，請(qǐng)補(bǔ)充列出其他各次握手的雙方名單．實(shí)例考察4.3組合列出各次握手的雙方名單就是要從4個(gè)人中選出兩人，且不計(jì)兩人間的順序，并將各種選法羅列出來．要從甲、乙、丙3名工人中選取2名，共同值晚班，有多少種選擇方法？請(qǐng)逐一列出．一般地，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素（n，m∈N*，m≤n），不考慮順序組成一組，稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)C表示．mn4.3組合

一、組合與組合數(shù)的概念4.3組合

（2）除去守門員，從19位球員中選10人出陣，因?yàn)?0人將分別擔(dān)當(dāng)右后衛(wèi)、左前鋒等不同職責(zé)，因此與順序有關(guān)，是排列問題，共有Ｐ種不同的首發(fā)陣容；選助陣?yán)?duì)員與順序無關(guān)，是組合問題，共有Ｃ種挑選方案．10192050560解（1）一般來說，專業(yè)知識(shí)競(jìng)賽的選手之間無分工問題．所以選擇過程與順序無關(guān)，是組合問題，共有C種選法．課堂練習(xí)１1．把下列的問題歸結(jié)為組合問題，并寫出相應(yīng)的組合數(shù)的符號(hào)：

（1）6位朋友互相握手道別，共握手多少次？

（2）6道習(xí)題任意選做4道題，有多少種不同的選法？

（3）正16邊形有多少條對(duì)角線？4.3組合2．按要求寫出下列組合：

（1）從5個(gè)元素a，b，c，d，e中任取2個(gè)元素的所有組合．

（2）從4個(gè)元素a，b，c，d中任取3個(gè)元素的所有組合．4.3組合4.3組合

二、組合數(shù)公式34

第1步，從４個(gè)不同元素中取出３個(gè)元素作組合，共有Ｃ種。34從４個(gè)不同元素中?。硞€(gè)元素的排列數(shù)Ｐ：

由此得到組合數(shù)公式：4.3組合mn第2步，求每一個(gè)組合中m個(gè)元素的全排列數(shù)P.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得例題解析4.3組合例1計(jì)算：解解設(shè)與會(huì)的人數(shù)為n．根據(jù)題意，互相握手的次數(shù)為C＝15，即解得所以，共有6人參加這次集會(huì)．

2n4.3組合

例3一次小型聚會(huì)，每一個(gè)與會(huì)者都和其他與會(huì)者握一次手，共有15次握手，問有多少人參加這次聚會(huì)？例4100件商品中含有3件次品，其余都是正品，從中任取3件：（1）3件都是正品，有多少種不同的取法？

（2）3件中恰有1件次品，有多少種不同的取法？

（3）3件中最多有1件次品，有多少種不同的取法？

（4）3件中至少有1件次品，有多少種不同的取法？

解

（１）因?yàn)?件都是正品，所以應(yīng)從97件正品中取，

所有不同取法的種數(shù)是

4.3組合4.3組合解從97件正品中取2件，有C種取法；從3件次品中取1件，有C種取法．因此，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，任取的3件中恰有1件次品的不同取法的種數(shù)是29713（2）3件中恰有1件次品，有多少種不同的取法？解３件中最多有１件次品的取法，包括只有１件是次品和沒有次品兩種，其中只有１件是次品的取法有CC種，沒有次品的取法有C種，因此，3件中最多有1件次品的取法的種數(shù)是132973974.3組合（3）3件中最多有1件次品，有多少種不同的取法？解3件中至少有1件次品的取法，包括1件是次品，2件是次品和3件是次品，因此3件中至少有1件次品的取法的種數(shù)是4.3組合（4）3件中至少有1件次品，有多少種不同的取法？4.3組合

三、組合數(shù)的性質(zhì)在一般情況下：從n個(gè)元素中選出m個(gè)元素的組合數(shù)，與從n個(gè)元素中選出n－m個(gè)元素的組合數(shù)是相等的．

由此，得到組合數(shù)的一種重要性質(zhì)：例題解析4.3組合解例1計(jì)算課堂練習(xí)34.3組合1.計(jì)算：（1）（2）2.已知，求n.專題閱讀抽屜原理與電腦算命一:引子《晏子春秋》里有一個(gè)“二桃殺三士”的故事，大意是：齊景公養(yǎng)著三名勇士，他們名叫田開疆、公孫接和古冶子。這三名勇士都力大無比，武功超群，為齊景公立下過不少功勞。但他們也剛愎自用，目中無人，得罪了齊國(guó)的宰相晏嬰。晏子便勸齊景公殺掉他們，并獻(xiàn)上一計(jì)：以齊景公的名義賞賜三名勇士?jī)蓚€(gè)桃子，讓他們自己評(píng)功，按功勞的大小吃桃。古冶子見了，后悔不迭。仰天長(zhǎng)嘆道：如果放棄桃子而隱瞞功勞，則有失勇士尊嚴(yán)；為了維護(hù)自己而羞辱同伴，又有損哥們義氣。如今兩個(gè)伙伴都為此而死了，我獨(dú)自活著，算什么勇士！說罷，也拔劍自殺了。晏子采用借“桃”殺人的辦法，不費(fèi)吹灰之力，便達(dá)到了他預(yù)定的目的，可說是善于運(yùn)用權(quán)謀。漢朝的一位無名氏在一首詩中曾不無諷刺的寫道：“……一朝被讒言，二桃殺三士。誰能為此謀，相國(guó)務(wù)晏子!”值得指出的是，在晏子的權(quán)謀之中，包含了一個(gè)重要的數(shù)學(xué)原理——抽屜原理。抽屜原理的一般含義為：“如果每個(gè)抽屜代表一個(gè)集合，每一個(gè)蘋果就可以代表一個(gè)元素，假如有n＋1或多于n＋1個(gè)元素放到n個(gè)集合中去，其中必定至少有一個(gè)集合里至少有兩個(gè)元素。”

二、抽屜原理常識(shí)桌上有十個(gè)蘋果，要把這十個(gè)蘋果放到九個(gè)抽屜里，無論怎樣放，有的抽屜可以放一個(gè)，有的可以放兩個(gè)，有的可以放五個(gè)，但最終我們會(huì)發(fā)現(xiàn)至少我們可以找到一個(gè)抽屜里面至少放兩個(gè)蘋果。這一現(xiàn)象就是我們所說的抽屜原理。三、抽屜原理應(yīng)用抽屜原理雖然簡(jiǎn)單，但在數(shù)學(xué)中卻有廣泛而深刻的運(yùn)用。例１：400人中至少有兩個(gè)人的生日相同.解：將一年中的366天視為366個(gè)抽屜，400個(gè)人看作400個(gè)物體，由抽屜原理可以得知：至少有兩人的生日相同.又如：我們從街上隨便找來13人，就可斷定他們中至少有兩個(gè)人屬相相同.“從任意5雙手套中任取6只，其中至少有2只恰為一雙手套?！笔攀兰o(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克雷（Dirichlet，1805—1859）首先利用抽屜原理來建立有理數(shù)的理論，以后逐漸地應(yīng)用到引數(shù)論、集合論、組合論等數(shù)學(xué)分支中，所以現(xiàn)在抽屜原理又稱為狄里克雷原理。1947年，匈牙利數(shù)學(xué)家把這一原理引進(jìn)到中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，當(dāng)年匈牙利全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽有一道這樣的試題：“證明：任何六個(gè)人中，一定可以找到三個(gè)互相認(rèn)識(shí)的人，或者三個(gè)互不認(rèn)識(shí)的人?！边@個(gè)問題乍看起來，似乎令人匪夷所思。但如果你懂得抽屜原理，要證明這個(gè)問題是十分簡(jiǎn)單的：我們用A、B、C、D、E、F代表六個(gè)人，從中隨便找一個(gè)，例如A吧，把其余五個(gè)人放到“與A認(rèn)識(shí)”和“與A不認(rèn)識(shí)”兩個(gè)“抽屜”里去，根據(jù)抽屜原理，至少有一個(gè)抽屜里有三個(gè)人。不妨假定在“與A認(rèn)識(shí)”的抽屜里有三個(gè)人，他們是B、C、D。如果B、C、D三人互不認(rèn)識(shí)，那么我們就找到了三個(gè)互不認(rèn)識(shí)的人；如果B、C、D三人中有兩個(gè)互相認(rèn)識(shí)，例如B與C認(rèn)識(shí)，那么，A、B、C就是三個(gè)互相認(rèn)識(shí)的人。不管哪種情況，本題的結(jié)論都是成立的。四、抽屜原理與電腦算命

所謂“電腦算命”不過是把人為編好的算命語句象中藥柜那樣事先分別一一存放在各自的柜子里，誰要算命，即根據(jù)出生的年、月、日、性別的不同的組合按不同的編碼機(jī)械地到電腦的各個(gè)“柜子”里取出所謂命運(yùn)的句子。其實(shí)這充其量不過是一種電腦游戲而已。我們用數(shù)學(xué)上的抽屜原理很容易說明它的荒謬。如果以70年計(jì)算，按出生的年、月、日、性別的不同組合數(shù)應(yīng)為70×365×2＝51100，我們把它作為“抽屜”數(shù)。我國(guó)人口按11億計(jì)，我們把它作為“物體”數(shù)。由于1.1億=21526×51100+21400，根據(jù)原理，存在21526個(gè)以上的人，盡管他們的出身、經(jīng)歷、天資、機(jī)遇各不相同，但他們卻具有完全相同的“命”，這真是荒謬絕倫！

1.某班37名同學(xué)，至少有幾個(gè)同學(xué)在同一個(gè)月過生日？

4個(gè)2.42只鴿子飛進(jìn)5個(gè)籠子里，可以保證至少有一個(gè)籠子中可以有幾只鴿子？

9只3.口袋中有紅、黑、白、黃球各10個(gè)，它們的外型與重量都一樣，至少要摸出幾個(gè)球，才能保證有4個(gè)顏色相同的球？

13個(gè)4.飼養(yǎng)員給10只猴子分蘋果，其中至少要有一只猴子得到7個(gè)蘋果，飼養(yǎng)員至少要拿來多少個(gè)蘋果？

61個(gè)5.一個(gè)布袋中有40塊相同的木塊，其中編上號(hào)碼1，2，3，4的各有10塊。問：一次至少要取出多少木塊，才能保證其中至少有3塊號(hào)碼相同的木塊？9塊

6.一個(gè)班有40名同學(xué)，現(xiàn)在有課外書125本。把這些書分給同學(xué)，是否有人會(huì)得到4件或4件以上的玩具？

是六年級(jí)有100名學(xué)生，他們都訂閱甲、乙、丙三種雜志中的一種、二種或三種。問：至少有多少名學(xué)生訂閱的雜志種類相同？分析與解：首先應(yīng)當(dāng)弄清訂閱雜志的種類共有多少種不同的情況。

訂一種雜志有：訂甲、訂乙、訂丙3種情況；

訂二種雜志有：訂甲乙、訂乙丙、訂丙甲3種情況；

訂三種雜志有：訂甲乙丙1種情況。

總共有3＋3＋1=7（種）訂閱方法。我們將這7種訂法看成是7個(gè)“抽屜”，把100名學(xué)生看作100件物品。因