講義注第五次為上機課-第3講符號功能

回顧與思考

生成帶有規(guī)律性的大型矩陣有幾種方法？里多項式擬合有幾種方法？

矩陣和數(shù)組的區(qū)別是什么？附加作業(yè)：

稀疏矩陣的生成方法如何中斷程序運行？Ctrl+C2013-09-292一個符號運算的例子>>

factorial(365)ans

=Inf>>simple(sym('365!'))simplify:2013-09-29068725953286607080914914411954961234791879998766990105298099996533096510005391056420000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000030000000000符號運算，你了解嗎？

誰用過符號運算？

誰對符號運算有需求？

為什么要進行符號運算？4符號計算的歷史

1993年從Waterloo大學(xué) 了Maple使用權(quán)，推出Symbolic

toolbox

1.0;版本的中symbolic

toolbox提供了

200多個功能函數(shù)，還保留了Maple接口，可進一步擴展功能。

現(xiàn)在

已改用MuPAD替代了Maple符號計算內(nèi)核5本講目標(biāo)

本講介紹

的符號運算功能。

通過本講的學(xué)習(xí)，應(yīng)該掌握符號表達(dá)式和符號矩陣的操作、符號微積分、符號線性方程和符號微分方程等運算方法和技巧。6本講重點

符號表達(dá)式和符號矩陣的操作

符號微積分

符號線性方程

符號微分方程7提

綱

符號變量、表達(dá)式和方程的生成

符號變量的基本操作

符號表達(dá)式的操作

符號矩陣及數(shù)組的生成和運算

符號極限基本知識

符號微分、求導(dǎo)和積分

符號積分變換

符號方程求解

符號函數(shù)繪圖

圖示化符號函數(shù)計算器的使用方法81.符號變量、表達(dá)式和方程的生成

字符串生成法定義符號表達(dá)式‘’

使用sym函數(shù)定義符號變量和符號表達(dá)式

使用syms函數(shù)定義符號變量和符號表達(dá)式

符號方程的生成9(1)sym變

>>

sqrt(2)

ans

=

1.4142

>>

a=sqrt(sym(2))

a=

2^(1/2)

>>

sym(2)/sym(5)

ans

=

2/5

>>2/5+1/3

ans

=

0.733310(2)syms

變

>>

syms

a

b

c

x

>>

f

=sym('a*x^2

+

b*x

+c')

f

=

a*x^2

+

b*x

+

c

>>

g=f^2+4*f-2

g

=

4*c

+

4*b*x

+

4*a*x^2

+

(a*x^2

+

b*x

+

c)^2

-

2

>>11(3)符號方程的生成

>>%符號方程的生成

>>%使用sym函數(shù)生成符號方程

>>

equation1=sym('sin(x)+cos(x)=1')

equation1

=

cos(x)

+

sin(x)

=

1122.符號變量的基本操作

findsym函數(shù)用于尋找符號變量

任意精確度的符號表達(dá)式

數(shù)值型變量與符號型變量的轉(zhuǎn)換形式13(1)findsym函數(shù)用于尋找符號變量

>>

syms

a

alpha b

x1

y

>>

findsym(alpha+a+b)

ans

=

a,

alpha,

b

>>findsym(cos(alpha)*b*x1+

14*y,2)

ans

=

x1,y

>>

findsym(y*(4+3*i)

+

6*j)

ans

=

y

>>14(2)任意精確度的符號表達(dá)式

>>

r=vpa(pi)

r

=

3.9979634685442

>>

>>

q=vpa(hilb(2))

q

=

[

1.0,0.5]

[

0.5,

0.82961625624739]15(3)數(shù)值型變量與符號型變量的轉(zhuǎn)換形式%有理數(shù)形式

>>

t=0.1

t

=0.1000

>>

sym(t,'r')

ans

=

1/10

>>

sym(t,'f')

ans

=

3602879701896397/36028797018963968

>>

sym(t,'e')

ans=

eps/40

+

1/1016

>>

sym(t,'d')

ans

=

0.551115123125783.

符號表達(dá)式(符號函數(shù))的操作

四則運算

合并同類項

因式分解

表達(dá)式展開

subs函數(shù)替換求值

反函數(shù)的運算

復(fù)合函數(shù)的運算展開17(1)符號表達(dá)式的四則運算

>>

syms

x

y

a

b

>>

fun1=sin(x)+cos(y)

fun1

=

sin(x)+cos(y)

>>

fun2=a+b

fun2

=

a+b

>>

fun1+fun2

ans

=

sin(x)+cos(y)+a+b

>>fun1*fun2

ans

=

(sin(x)+cos(y))*(a+b)18(2)合并同類項(collect)

>>

syms

x

y

>>

collect(x^2*y

+

y*x

-

x^2

-

2*x)

ans

=

(y-1)*x^2+(y-2)*x

>>

f

=

-1/4*x*exp(-2*x)+3/16*exp(-2*x);

>>

collect(f)

ans

=

(-1/(4*exp(2*x)))*x

+

3/(16*exp(2*x))19(3)符號多項式的因式分解(factor)

>>

syms

x

>>

fun1=2*x^3+2*x^2-32*x+40

fun1

=

2*x^3

+

2*x^2

-

32*x

+

40

>>

factor(fun1)

ans

=

2*(x

+

5)*(x

-

2)^2

>>

fun2=x^3-6*x^2+11*x-6

fun2

=

x^3

-

6*x^2

+

11*x

-

6

>>

factor(fun2)

ans

=

(x

-

3)*(x

-

1)*(x

-2)20(4)

符號多項式的“”型分解(horner)

>>

syms

x

>>

fun1=2*x^3+2*x^2-32*x+40

fun1=

2*x^3+2*x^2-32*x+40

>>

horner(fun1)

ans

=

x*(x*(2*x+

2)

-

32)

+

40

>>

fun2=x^3-6*x^2+11*x-6

fun2

=

x^3-6*x^2+11*x-6

>>

horner(fun2)

ans

=

-6+(11+(-6+x)*x)*x

>>21(5)

符號表達(dá)式的展開(expand)

>>

syms

x

y;

>>

expand((x-2)*(x-4))22

ans

=

x^2

-

6*x

+

8

>>expand(cos(x+y))

ans

=

cos(x)*cos(y)

-

sin(x)*sin(y)

>>

expand([sin(2*x),

cos(2*x)])

ans

=

[

2*cos(x)*sin(x),

cos(x)^2

-

sin(x)^2](6)符號函數(shù)帶入求值(subs)

>>

syms

x

y

f

=

x^2*y

+

5*x*sqrt(y)

f

=

x^2*y+5*x*y^(1/2)

>>

subs(f,

x,

3)

ans

=

9*y+15*y^(1/2)

>>

subs(f,

3)

ans

=

3*x^2+5*x*3^(1/2)23(7)反函數(shù)(finverse)

>>

syms

x

y

>>f

=

x^2+y

f

=

x^2+y

>>

finverse(f,y)

ans

=

-x^2+y24(8)復(fù)合函數(shù)(compose)

>>

syms

x

y

z

t

u

>>

f

=

1/(1

+

x^2)

>>

g

=

sin(y)

>>

h

=

x^t

>>p

=exp(-y/u)

>>

compose(f,g)

ans

=

1/(1+sin(y)^2)

>>

compose(f,g,t)

ans

=

1/(1+sin(t)^2)25(9)展開(taylor)

>>

syms

x

>>

f=exp(x)

f

=

exp(x)

>>

taylor(f)

ans

=%默認(rèn)展開項為5項

x^5/120

+

x^4/24

+

x^3/6

+

x^2/2

+

x

+

1

>>taylor(f,10)

%展開項為10項

ans

=

x^9/362880

+

x^8/40320

+

x^7/5040

+

x^6/720

+

x^5/120+

x^4/24

+

x^3/6

+

x^2/2

+

x

+

1264.

符號矩陣的生成和運算

符號矩陣的生成

使用sym函數(shù)直接生成符號矩陣

用生成子矩陣的方法生成符號矩陣

由數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)換為符號矩陣

符號矩陣及符號數(shù)組的運算

符號矩陣和數(shù)組的四則運算

矩陣和數(shù)組的逆運算

矩陣和數(shù)組的冪運算

符號矩陣的秩27(1)sym函數(shù)直接生成符號矩陣

>>

a1=sym('[1/3

2/3

5/7;9/11

11/13

13/17;17/1919/23

23/29]')

a1

=

[

1/3,

2/3,

5/7]

[ 9/11,

11/13,

13/17]

[

17/19,

19/23,

23/29]

>>28(2)組合法生成符號矩陣

>>

a=

'

100

cos

x '

'

1

s,x

'

a

=

100

cos

x

[1/s,x

]

>>29(3)由數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)換為符號矩陣

>>

M=[30

1

1

1;6

15

9;9

8

25

4;32

45

62

0]

M

=301116159982543245620>>

S=sym(M)S

=[

30,

1,

1,

1]6

1

5

9[

9, 8,25,

4][32,

45,

62,

0]

此時，雖然矩陣形式?jīng)]有發(fā)生改變，但是在

的工作區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)已經(jīng)生成了一個新的矩陣，其數(shù)據(jù)類型為符號型。30(4)符號矩陣的四則運算

>>

m=sym('[x,x^2,x*2,1/x]')

m

=

[ x,

x^2,

x*2,

1/x]

>>

n=sym('[2*x,y,x,x^2]')

n

=

[

2*x,

y, x,

x^2]

>>

m+n

ans

=

[

3*x,

>>

m-n

ans

=x^2+y,3*x,

1/x+x^2]x,

1/x-x^2]

[

-x,

x^2-y,

>>31(5)符號矩陣轉(zhuǎn)置(‘)

q

=

[3,

4,

9,

6]

[

x,

y,

z,

w]

[

a,

b,

c,

d]

>>q'

ans

=

[ 3,

conj(x),

conj(a)]

[ 4,

conj(y),

conj(b)]

[ 9,

conj(z),

conj(c)]

[ 6,

conj(w),

conj(d)]32(6)符號矩陣的秩(rank)

>>a=sym('[1,1/x,x^2;xin(x),cos(x),tan(x);log(x),2,9]')

a

=

[

1,

1/x,

x^2]

[

xin(x),

cos(x),

tan(x)]

[log(x),

2,

9]

>>

rank(a)

ans

=

3335.

符號微積分

符號極限(limit)

符號微分和求導(dǎo)

diff函數(shù)的使用

jacobian函數(shù)的使用

符號積分(int)34(1)符號極限(limit)

>>

syms

x

a

t

h;

>>

limit(sin(x)/x)

ans

=

1

>>

limit((x-2)/(x^2-4),2)

ans

=

1/4

>>limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf)

ans

=

exp(6*t)35(2)Jacobian矩陣

>>

syms

x

yz

>>

a=[x^2+x*y;sin(x)*cos(y)]

a

=x^2+x*

[

sin(x)*cos(y)]

>>jacobian(a,[x,y])

ans

=

[

2*x+y,

x]

[

cos(x)*cos(y),

-sin(x)*sin(y)]36(3)符號積分int

>>

syms

x

x1

t

>>

A=[cos(x*t),sin(x*t);-sin(x*t),cos(x*t)];

>>

int(A,t)

ans

=

sin

t*x

x

-cos

t*x

x

[cos(t*x)/x,

sin(t*x)/x]

>>

int(x1*log(1+x1),0,1)

ans

=

1/4372013-09-29(4)符號微分diff

>>

syms

x

t

>>

B=[sin(t*x)/x,-cos(t*x)/x;cos(t*x)/x,sin(t*x)/x];

>>diff(B,t)

ans

=

[ cos(t*x),

sin(t*x)]

[

-sin(t*x),

cos(t*x)]

>>diff(log(x)+exp(sin(x)))

ans

=

exp(sin(x))*cos(x)

+

1/x382013-09-296.符號積分變換

Fourier變換及其逆變換

Fourier變換(fourier)

Fourier變換的逆變換(ifourier)

Laplace變換及其逆變換

Laplace變換(laplace)

Laplace逆變換(ilaplace)

Z變換及其反變換

Z變換(ztrans)

Z的逆變換(iztrans)39(1)Fourier變換的實現(xiàn)

>>

syms

t

v

wx

>>

fourier

1

t

ans

=

i*pi*(Heaviside(-w)-Heaviside(w))

>>

fourier(exp(-x^2),x,t)

ans

=

pi^(1/2)*exp(-1/4*t^2)

>>

fourier(exp(-t)*sym('Heaviside(t)'),v)

ans

=

1/(1+i*v)49(2)

Z變換的實現(xiàn)

>>

syms

k

n

w

z

>>

ztrans(2^n)

ans

=

1

2*z

1

2*z-1)

>>ztrans(sin(k*n),w)

ans

=

w*sin(k)/(w^2-2*w*cos(k)+1)

>>ztrans(cos(n*k),k,z)

ans

=

(z-cos(n))*z/(z^2-2*z*cos(n)+1)417.

符號方程的求解

符號代數(shù)方程組的求解

符號常微分方程組的求解42符號代數(shù)方程組的求解舉例

使用solve函數(shù)求解一般的符號代數(shù)方程組

>>

[x,y]

=

solve('x^2

+

x*y

+

y

=

3','x^2

-

4*x

+

3

=

0')

x

=

1

3

y

=>>

syms

a

b

c

x;>>

solve('a*x^2

+

b*x

+

c')ans=-(b

+

(b^2

-4*a*c)^(1/2))/(2*a)-(b

-

(b^2

-4*a*c)^(1/2))/(2*a)1

-3/2>>

solve('a*x^2

+

b*x

+c','b')ans=-(a*x^2

+

c)/x43符號微分方程的求解

使用dsolve函數(shù)求解一個二階微分方程求dx2d2

y

cos

2x

y

的通解及在初始條件y(0)=1,y’(0)=0的特解。

>>y1=dsolve(‘D2y=cos(2*x)-y’,‘x’)%通解

y1

=C2*cos(x)

+

C3*sin(x)

+

sin(x)*(sin(3*x)/6

+

sin(x)/2)

-(2*cos(x)*(-

3*tan(x/2