2001年高考數(shù)學(xué)(全國卷)

2001年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(02)（1）若，則在()（A）第一、二象限（B）第一、三象限（C）第一、四象限（D）第二、四象限（2）過點（A）且圓心在直線（B）上的圓的方程是()（C）（D）（3）設(shè)是遞增等差數(shù)列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項是()（A）1（B）2（C）4（D）6（4）若定義在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)滿足（C）（，+）（D）（0，+）的圖形是()，則的取值范圍是()（A）（0，）（B）（0，(5)極坐標(biāo)方程（A）（B）（C）（D）（6）函數(shù)（A）的反函數(shù)是()（B）（C）（D）（7）若橢圓經(jīng)過原點，且焦點為，則其離心率為()（A）（B）（C）（D）（8）若，，，則()（A）（B）（C）（D）（9）在正三棱柱中，若，則與所成的角的大小為()（A）60°（B）90°（C）105°（D）75°（10）設(shè)若都是單調(diào)函數(shù)，有如下四個命題：單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，則單調(diào)遞減，則單調(diào)遞增，則單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；單調(diào)遞減；若若若單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，則單調(diào)遞減；其中，正確的命題是（A）（B）（C）（D）（11）一間民房的屋頂有如圖三種不同的蓋法：單向傾斜；雙向傾斜；四向傾斜.記三種蓋法屋頂面積分別為.若屋頂斜面與水平面所成的角都是，則()（A）（B）（C）（D）（12）如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點，結(jié)點之間的連線表示它們有網(wǎng)線相聯(lián)。連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量?，F(xiàn)從結(jié)點向結(jié)點傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞。則單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為()（A）26（B）24（C）20（D）19（13）若一個橢圓的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個橢圓的側(cè)面積是（14）雙曲線為.的兩個焦點為，點在雙曲線上.若⊥，則點到x軸的距離（15）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，是它的前n項和.若是等差數(shù)列，則.（16）圓周上有2n個等分點（），以其中三個點為頂點的直角三角形的個數(shù)為.(17)如圖，在底面是直角梯形的四棱錐中，∠°，⊥面，，.(Ⅰ)求四棱錐(Ⅱ)求面的體積；與面所成的二面角的正切值.(18)(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù).(Ⅰ)求；(Ⅱ)當(dāng)復(fù)數(shù)滿足（19）(本小題滿分12分)及，求的最大值.設(shè)拋物線的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于經(jīng)過原點.兩點.點在拋物線的準(zhǔn)線上，且∥x軸.證明直線（20）(本小題滿分12分)已知是正整數(shù)，且；.(Ⅰ)證明(Ⅱ)證明.(21)(本小題滿分12分)從社會效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少.本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加.(Ⅰ)設(shè)n年內(nèi)（本年度為第一年）總投入為萬元，旅游業(yè)總收入為萬元.寫出的表達(dá)式；(Ⅱ)至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入?(22)(本小題滿分14分)設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，對任意，都有，且.(Ⅰ)求及;(Ⅱ)證明是周期函數(shù)；(Ⅲ)記，求.2001年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類）參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：一.本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生物解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則．二.對計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定部分的給分，但不得超過該部分正確解答得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分．三.解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．四.只給整數(shù)分?jǐn)?shù)．選擇題和填空題不給中間分．一.選擇題：本題考查基本知識和基本運算．每小題5分，滿分60分．（1）B（6）A（11）D（2）C（7）C（12）D（3）B（8）A（4）A（9）B（5）C（10）C二.填空題：本題考查基本知識和基本運算．每小題4分，滿分16分．（13）2π（14）（15）1（16）2n(n－1)三.解答題：（17）本小題考查線面關(guān)系和棱錐體積計算，以及空間想象能力和邏輯推理能力．滿分12分．解：（Ⅰ）直角梯形ABCD的面積是M底面，……2分∴四棱錐S—ABCD的體積是M底面．……4分（Ⅱ）延長BA、CD相交于點E，連結(jié)SE則SE是所求二面角的棱．……6分∵AD∥BC，BC=2AD，∴EA=AB=SA，∴SE⊥SB，∵SA⊥面ABCD，得SEB⊥面EBC，EB是交線，又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，∴CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角．……10分∵，BC=1，BC⊥SB，∴tan∠BSC．即所求二面角的正切值為．……12分（18）本小題考查復(fù)數(shù)基本性質(zhì)和基本運算，以及分析問題和解決問題的能力．滿分12分．解：（Ⅰ）z1=i(1－i)3=2－2i，將z1化為三角形式，得，∴，．……6分（Ⅱ）設(shè)z=cosα＋isinα，則z－z1=(cosα－2)＋(sinα＋2)i，()，……9分當(dāng)sin()=1時，取得最大值．從而得到的最大值為．……12分（19）本小題考查拋物線的概念和性質(zhì)，直線的方程和性質(zhì)，運算能力和邏輯推理能力．滿分12分．證明一：因為拋物線y2=2px(p＞0)的焦點為F(，0)，所以經(jīng)過點F的直線的方程可設(shè)為；……4分代入拋物線方程得y2－2pmy－p2=0，若記A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1，y2是該方程的兩個根，所以y1y2=－p2．……8分因為BC∥x軸，且點c在準(zhǔn)線x=－上，所以點c的坐標(biāo)為（－，y2），故直線CO的斜率為．即k也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點O．……12分證明二：如圖，記x軸與拋物線準(zhǔn)線l的交點為E，過A作AD⊥l，D是垂足．則AD∥FE∥BC．……2分連結(jié)AC，與EF相交于點N，則，……6分根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，，，……8分∴，即點N是EF的中點，與拋物線的頂點O重合，所以直線AC經(jīng)過原點O．……12分（20）本小題考查排列、組合、二項式定理、不等式的基本知識和邏輯推理能力．滿分12分．（Ⅰ）證明：對于1＜i≤m有=m·…·(m－i＋1)，…，同理…，……4分由于m＜n，對整數(shù)k=1，2…，i－1，有，所以，即．……6分（Ⅱ）證明由二項式定理有，，……8分由(Ⅰ)知＞(1＜i≤m＜n＝，而，，……10分所以，(1＜i≤m＜n＝．因此，又．，，．∴．即(1＋m)n＞(1＋n)m．……12分（21）本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識；考查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力．滿分12分．解：（Ⅰ）第1年投入為800萬元，第2年投入為800×（1－）萬元，……，第n年投入為800×（1－）n－1萬元．所以，n年內(nèi)的總投入為an=800＋800×（1－）＋…＋800×（1－）n－1=4000×[1－()n]；……3分第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400×（1＋）萬元，……，第n年旅游業(yè)收入為400×（1＋）n－1萬元．所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為bn=400＋400×（1＋）＋…＋400×（1＋）n－1=1600×[()n－1]．……6分（Ⅱ）設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此bn－an＞0，即1600×[（）n－1]－4000×[1－（）n]＞0．化簡得5×（）n＋2×（）n－7＞0，……9分設(shè)（）n，代入上式得5x2－7x＋2＞0，解此不等式，得，x＞1(舍去)．即（）n＜，由此得n≥5．答：至少經(jīng)過5年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入．……12分（22）本小題主要考查函數(shù)的概念、圖像，函數(shù)的奇偶性和周期性以及數(shù)列極限等基礎(chǔ)知識；考查運算能力和邏輯思維能力．滿分14分．（Ⅰ）解：因為對x1，x2∈[0，]，都有f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)，所以f()·f()≥0，x∈[0，1]．∵f()=f()·f()=[f()]2，f()f()=f()·f()=[f()]2．……3分，∴f()，f()．……6分（Ⅱ）證明：依題設(shè)y=f(x)關(guān)于直線x=1對稱，故f(x)=f(1＋1－x)，即f(x)=f(2－x)，x∈R．……8分又由f(x)是偶函數(shù)知f(－x)=f(x)，x∈R，∴f(－x)=f(2－x)，x∈R，將上式中－x以x代換，得f(x)=f(x＋2)，x∈R．這表明f(x)是R上