數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育捷克摩拉維亞狼骨（約三萬(wàn)年前）捷克摩拉維亞狼骨（約三萬(wàn)年前）甲骨文數(shù)字

(1600B.C.)甲骨文數(shù)字

(1600B.C.)形的抽象形的抽象數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件幾何學(xué)的不同文化起源古代埃及—土地丈量古代中國(guó)—天文觀測(cè)古代印度—宗教禮儀

幾何學(xué)的不同文化起源古代埃及—土地丈量河谷文明與數(shù)學(xué)的起源尼羅河兩河流域—幼發(fā)拉底河與底格里斯河恒河與印度河長(zhǎng)江與黃河

河谷文明與數(shù)學(xué)的起源尼羅河古埃及的數(shù)學(xué)非洲的尼羅河是世界上最長(zhǎng)的河流之一．早在公元前3000年左右，在這條河的中下游，古埃及人建立起了早期的奴隸制國(guó)家，其地理位置與現(xiàn)在的埃及區(qū)別不大．打獵、漁業(yè)及畜牧業(yè)是古埃及人最初的謀生方式．一年一度的尼羅河的洪水給這片谷地帶來(lái)了肥沃的淤泥，那些以游牧為生的古埃及人便在這里定居下來(lái)，由狩獵轉(zhuǎn)向耕種．在發(fā)展農(nóng)業(yè)的同時(shí)，手工業(yè)與貿(mào)易也隨之迅速發(fā)展起來(lái)，這些都推動(dòng)了自然科學(xué)各學(xué)科知識(shí)的積累．

古埃及的數(shù)學(xué)非洲的尼羅河是世界上最長(zhǎng)的河流之一．早在公元前3法老時(shí)代的尼羅河流域圖法老時(shí)代的尼羅河流域圖

作為世界七大奇跡之一的胡夫金字塔，是埃及最大的金字塔，大約建于公元前2500年左右．該金字塔呈正四棱錐形，底面正方形面向東西南北四個(gè)正方向，邊長(zhǎng)230.5m，塔高146.6m(現(xiàn)高約137m)．近年來(lái)，科學(xué)家們通過(guò)使用精密的儀器對(duì)這一金字塔進(jìn)行了測(cè)量，驚奇地發(fā)現(xiàn)，其底基正方形邊長(zhǎng)的相對(duì)誤差不超過(guò)1：14000，即不超過(guò)2cm；四底角的相對(duì)誤差不超過(guò)1：27000，即不超過(guò)12″，四個(gè)方向的誤差也僅在2′～5′之間，這些都說(shuō)明當(dāng)時(shí)的測(cè)量水平已相當(dāng)高.

作為世界七大奇跡之一的胡夫金字塔，是埃及最大的金字塔，大約胡夫金字塔（公元前2500年左右）胡夫金字塔（公元前2500年左右）流傳至今的古埃及文獻(xiàn)，大部分是以僧侶文書(shū)寫(xiě)在紙草上保存下來(lái)的，人們通常稱(chēng)其為紙草書(shū).保存至今有關(guān)數(shù)學(xué)的紙草書(shū)主要有兩種，都是公元前2000年前后的作品。

一種是陳列于英國(guó)倫敦大不列顛博物館東方展室中的蘭德紙草書(shū)，這是由英國(guó)人蘭德1858年搜集到的；蘭德紙草書(shū)長(zhǎng)544cm,寬33cm,共載有85個(gè)問(wèn)題。

另一種收藏于俄國(guó)莫斯科美術(shù)博物館，被稱(chēng)為莫斯科紙草書(shū)，這是由俄羅斯人郭列尼舍夫于1893年搜集到的.莫斯科紙草書(shū)長(zhǎng)544cm,寬8cm，共載有25個(gè)問(wèn)題.流傳至今的古埃及文獻(xiàn)，大部分是以僧侶文書(shū)寫(xiě)在紙草上保存下來(lái)的萊茵德紙草書(shū)(1650B.C.)

大英博物館萊茵德紙草書(shū)莫斯科紙草書(shū)(1890B.C.)莫斯科普希金博物館莫斯科紙草書(shū)(1890B.C.)莫斯科普希金博物館羅賽塔石碑

(1799發(fā)現(xiàn))1799年，拿破侖遠(yuǎn)征軍的士兵在距離亞歷山大城不遠(yuǎn)的記述的古港口羅賽塔地方發(fā)現(xiàn)一塊石碑，碑上刻有三種文字——希臘文、埃及僧侶文和象形文記述的同一銘文。19世紀(jì)初，法國(guó)文字學(xué)家商博良和英國(guó)物理學(xué)家托馬斯·楊

利用這塊碑文，破譯了古埃及文字。羅賽塔石碑

(1799發(fā)現(xiàn))1799年，拿破侖遠(yuǎn)征軍的士兵古埃及人使用的是十進(jìn)記數(shù)制，并且有數(shù)字的專(zhuān)門(mén)符號(hào).在當(dāng)一個(gè)數(shù)中出現(xiàn)某個(gè)數(shù)碼的若干倍時(shí)，就將它的符號(hào)重復(fù)寫(xiě)若干次，即遵守加法的法則。古埃及的記數(shù)制與算術(shù)古埃及的記數(shù)制與算術(shù)古埃及人已有了分?jǐn)?shù)的概念，但他們僅使用單位分?jǐn)?shù)也就是分子為1的分?jǐn)?shù)。在整數(shù)上方簡(jiǎn)單地畫(huà)一個(gè)長(zhǎng)橢圓，就表示該整數(shù)的倒數(shù)。只有2/3是一個(gè)例外.

1/7:

2/3:古埃及的記數(shù)制與算術(shù)1/7:2/3:古埃及的記數(shù)制與算術(shù)古埃及人的乘法運(yùn)算與除法運(yùn)算是通過(guò)疊加來(lái)進(jìn)行的．例如計(jì)算：26×33．他們先將33的倍數(shù)列表，然后從左邊一列中選取出和為26的數(shù)2，8和16，再將右邊一列中它們各自對(duì)應(yīng)的數(shù)相加，即將66，264，528相加得到858即為所求．又如計(jì)算：19÷8．他們將8的倍數(shù)與部分列表，再?gòu)挠疫呉涣兄羞x取出其和為19的16，2，1這三個(gè)數(shù)，并將其對(duì)應(yīng)的左邊一列中的三個(gè)數(shù)2，1/4,1/8相加即為所求。古埃及人的乘法運(yùn)算與除法運(yùn)算是通過(guò)疊加來(lái)進(jìn)行的．古埃及紙草書(shū)中出現(xiàn)的“計(jì)算若干”的問(wèn)題，實(shí)際上相當(dāng)于方程問(wèn)題，其解法是試位法．例如對(duì)于方程

，先給

選定一個(gè)數(shù)值，譬如說(shuō)7，于是

，而不是24，因?yàn)?必須乘以3才是24，故

的正確的值一定是7乘以3即21．古埃及人還用它來(lái)解二次甚至更高次的方程．例如在卡洪(Kahun)發(fā)現(xiàn)的一份大約是公元前1950年的紙草書(shū)中記載了下列問(wèn)題：將給定的100單位的面積分為兩個(gè)正方形，使二者的邊長(zhǎng)之比為4:3．設(shè)此二正方形的邊長(zhǎng)分別為

，且

，由題設(shè)

首先取,則

，

此時(shí)

而不是100，因此

的取值需修正．事實(shí)上，只需將原數(shù)值加倍，即可得方程的解

古埃及的代數(shù)古埃及紙草書(shū)中出現(xiàn)的“計(jì)算若干”的問(wèn)題，實(shí)際上相當(dāng)于方程問(wèn)題在古埃及紙草書(shū)中還有有關(guān)數(shù)列問(wèn)題的記載．如蘭德紙草書(shū)中有這樣一個(gè)問(wèn)題：今將10斗麥子分給10個(gè)人，每人依次遞降l／8斗，問(wèn)各得多少?這是已知一個(gè)等差數(shù)列的前若干項(xiàng)和、項(xiàng)數(shù)以及公差求其各項(xiàng)的問(wèn)題．

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件

蘭德紙草書(shū)中給出一個(gè)階梯圖形(如圖)，對(duì)此，數(shù)學(xué)史家康托爾是這樣解釋的：在一個(gè)人的財(cái)產(chǎn)中，有七間房子，每間房子里七只貓，每只貓能捉七只老鼠，每只老鼠能吃七穗大麥，而每穗大麥又能長(zhǎng)出七俄斗大麥，問(wèn)這份財(cái)產(chǎn)中房子、貓、老鼠、麥穗和麥子總共有多少?按照這樣的解釋?zhuān)@然是一個(gè)公比為7的等比數(shù)列求和問(wèn)題，階梯圖形給出的是這個(gè)數(shù)列中的各項(xiàng)．?dāng)?shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件古埃及人在建筑規(guī)模宏大的教堂、金字塔和修建復(fù)雜的灌溉系統(tǒng)時(shí)，都需要測(cè)量；尼羅河水泛濫后沖刷去了許多邊界標(biāo)記，洪水退后也需要重新勘測(cè)土地的界線;……所有這一切，為他們認(rèn)識(shí)基本幾何形狀和形成幾何概念提供了實(shí)際背景．因此，古埃及人的幾何學(xué)知識(shí)較為豐富.

在上述兩種紙草書(shū)的110個(gè)問(wèn)題中，有26個(gè)是幾何問(wèn)題，其中大部分是計(jì)算土地的面積與谷物的體積，還有許多與金字塔有關(guān)．例如，古埃及人知道，任何三角形的面積均為底與高的乘積的一半；圓的面積等于直徑的8/9的平方，由此可知，他們把圓周率近似地取為3.16；直圓柱的體積為底面積與高的乘積．古埃及的幾何學(xué)古埃及人在建筑規(guī)模宏大的教堂、金字塔和修建復(fù)雜的灌溉系統(tǒng)時(shí)，在蘭德紙草書(shū)中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“已知金字塔的陡度為每肘五手又一指(一肘為七手，一手為五指)，底面邊長(zhǎng)為140肘，求其高．”在莫斯科紙草書(shū)中還有這樣一個(gè)問(wèn)題：“如果告訴你一個(gè)截頂金字塔的垂直高度為6，底邊為4，頂邊為2，求其體積．”

古埃及人的算法是：4的平方為16，4的二倍為8，2的平方是4，把16，8和4相加得28，取6的三分之一為2，取28的二倍為56，則它的體積就是這個(gè)數(shù)．由此我們可以看出，古埃及人是通過(guò)具體問(wèn)題說(shuō)明了高為h、底邊長(zhǎng)為a和b的正四棱臺(tái)的體積公式是

在蘭德紙草書(shū)中有這樣一個(gè)問(wèn)題：古巴比倫，又稱(chēng)美索波達(dá)米亞，位于亞洲西部的幼發(fā)拉底與底格里斯兩河流域，大體上相當(dāng)于今天的伊拉克。大約是在公元前3000年左右，古巴比倫人在這里建立起了自己的奴隸制王國(guó)。在過(guò)去相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)，人們對(duì)于古巴比倫數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)是通過(guò)古希臘文化中的零星資料得到的。19世紀(jì)后期，考古學(xué)家開(kāi)始發(fā)掘美索波達(dá)米亞遺址。在發(fā)掘的過(guò)程中，人們發(fā)現(xiàn)了數(shù)以萬(wàn)計(jì)的不同時(shí)期的泥板，它們是用膠泥制成的。一塊完整的泥板與手掌的大小差不多，上面寫(xiě)有符號(hào)。這種符號(hào)是用斷面呈三角形的尖棍刻寫(xiě)的，呈楔形，故人們稱(chēng)之為楔形文字。古巴比倫的數(shù)學(xué)古巴比倫，又稱(chēng)美索波達(dá)米亞，位于亞洲西部的幼發(fā)拉底與底格里斯普林頓322號(hào)泥板書(shū)(1600B.C.)普林頓322號(hào)泥板書(shū)(1600B.C.)古巴比倫人很早就有了數(shù)的寫(xiě)法，他們用楔形文字中較?。ㄘQ寫(xiě)）

的

代表1，較大的（豎寫(xiě)）

代表60.由此可知，古巴比倫人的記數(shù)系統(tǒng)是60進(jìn)制.他們還用較小的（橫寫(xiě)）

代表10，較大的（橫寫(xiě)）

代表100.

古巴比倫人也使用分?jǐn)?shù)，他們總是用60作分母，例如

作為分?jǐn)?shù)來(lái)記時(shí)可以表示20/60，而

作為分?jǐn)?shù)來(lái)記時(shí)可以表示21/60=20/60+1/60.因此,古巴比倫人的分?jǐn)?shù)系統(tǒng)是不成熟的.古巴比倫的記數(shù)制與算術(shù)古巴比倫的記數(shù)制與算術(shù)與古埃及人相仿，古巴比倫人的算術(shù)運(yùn)算也是借助于各種各樣的表來(lái)進(jìn)行的.在已發(fā)現(xiàn)的泥板書(shū)中，大約有200塊是乘法表、倒數(shù)表、平方表、立方表，甚至還有指數(shù)表.倒數(shù)表用于把除法轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行，指數(shù)表和插值法一起用來(lái)解決復(fù)利問(wèn)題的.例如，設(shè)有本金為1，利率為20%，問(wèn)需要多久即可使利息與本金相等.這需要求解指數(shù)方程由指數(shù)表，古巴比倫人首先確定出

的取值范圍是：

然后使用一次插入法求出4與

的差，相當(dāng)于：

故得(年)．與古埃及人相仿，古巴比倫人的算術(shù)運(yùn)算也是借助于各種各樣的表來(lái)

在公元前2000年前后，古巴比倫數(shù)學(xué)己出現(xiàn)了用文字?jǐn)⑹龅拇鷶?shù)問(wèn)題．如英國(guó)大不列顛博物館13901號(hào)泥板記載了這樣一個(gè)問(wèn)題：“我把我的正方形的面積加上正方形邊長(zhǎng)的三分之二得,求該正方形的邊長(zhǎng)．”這個(gè)問(wèn)題相當(dāng)于求解方程該泥板上給出的解法是：1的三分之二是，其一半是,將它自乘得,并把它加到上得，其平方根是，再?gòu)闹袦p去的一半得，于是

就是所求正方形的邊長(zhǎng)。古巴比倫的代數(shù)古巴比倫的代數(shù)這一解法相當(dāng)于將方程

的系數(shù)代入公式

求解，只不過(guò)在計(jì)算時(shí)用的是60進(jìn)制．又如，已知兩個(gè)正方形的面積之和為1000，其中一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為另一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的

減去10，求這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)．設(shè)較大的正方形的邊長(zhǎng)為

，則另一正方形的邊長(zhǎng)為

，故只需解二次方程這一解法相當(dāng)于將方程古巴比倫人將這一解法所需的步驟簡(jiǎn)單地?cái)⑹鰹椤捌椒?0，得100；1000減去100，就得900，開(kāi)平方得30”，求得該正方形的邊長(zhǎng)為30，另一個(gè)正方形邊長(zhǎng)為10．這就是說(shuō)，古巴比倫人那時(shí)可能已經(jīng)知道某些類(lèi)型的一元二次方程的求根公式．由于他們沒(méi)有負(fù)數(shù)的概念，二次方程的負(fù)根不予考慮．至于他們是如何得到上述這些解法的，泥板書(shū)上沒(méi)有具體說(shuō)明．他們還討論了某些三次方程和雙二次方程的解法．在一塊泥板上，他們給出這樣的數(shù)表，它不僅包含了從1到30的整數(shù)的平方和立方，還包含這個(gè)范圍內(nèi)的整數(shù)組合

，專(zhuān)家經(jīng)研究認(rèn)為，這個(gè)數(shù)表是用來(lái)解決形如

的三次方程的．

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件此外，在洛佛爾博物館的一塊泥板上，人們還發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)級(jí)數(shù)問(wèn)題．用現(xiàn)代形式可表述為最令人感興趣的是哥倫比亞大學(xué)普林頓收集館中收藏的第322號(hào)泥板，該泥板已缺損了一部分，在殘留的部分上刻有三列數(shù)，專(zhuān)家研究認(rèn)為：這是一張勾股數(shù)(即

的整數(shù)解)表，并且極有可能用到了下列參數(shù)式：

這正是在一千多年以后古希臘數(shù)學(xué)中一個(gè)極為重要的成就．?dāng)?shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件在古巴比倫人的心目中，幾何是不重要的，因?yàn)閷?shí)際中的幾何問(wèn)題都很容易轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題．他們的面積和體積計(jì)算是按照一些固定的法則和公式給出的．例如古巴比倫人在公元前2000年到公元前1600年，就已熟悉了長(zhǎng)方形、直角三角形、等腰三角形以及直角梯形面積的計(jì)算．他們還掌握了長(zhǎng)方體以及特殊梯形為底的直棱柱體積計(jì)算的一般規(guī)則，他們知道取直徑的三倍為圓周的長(zhǎng)，取圓周平方的1/12為圓的面積，還用底和高相乘求得直圓柱的體積．在泥板中有足夠的證據(jù)表明，古巴比倫人還有把相當(dāng)復(fù)雜的圖形拆成一些簡(jiǎn)單圖形的組合的本領(lǐng).但他們錯(cuò)誤地認(rèn)為，圓臺(tái)或棱臺(tái)的體積是兩底之和的一半與高的乘積．這一事實(shí)表明，古巴比倫的計(jì)算方法還是經(jīng)驗(yàn)型的，這些結(jié)果都沒(méi)有經(jīng)過(guò)證明．古巴比倫的幾何古巴比倫的幾何在公元前5000年到公元前4000年間，古巴比倫人就已開(kāi)始使用年、月、日的天文歷法，他們的年歷是從春分開(kāi)始的，一年有12個(gè)月，第一個(gè)月是以“金牛座”命名的，每月有30天，每6年加上第13個(gè)月作為閏月．一個(gè)星期有7天，這7天是以太陽(yáng)、月亮和金、木、水、火、土七星來(lái)命名的，每個(gè)星神主管一天，如太陽(yáng)神主管星期日．因此，所謂“星期”也就是指星的日期，我們現(xiàn)在的“星期制”就是在古巴比倫時(shí)代所創(chuàng)立的，這種表示方法在今天的英語(yǔ)單詞中還能找到一些痕跡．此外，圓周分為360度，每度60分，每分60秒，1小時(shí)60分，1分60秒的記法，也是來(lái)自古巴比倫．古巴比倫的天文學(xué)古巴比倫的天文學(xué)小結(jié)

古代美索不達(dá)米亞數(shù)學(xué)與埃及數(shù)學(xué)主要是解決各類(lèi)具體問(wèn)題的實(shí)用知識(shí)，處于原始算法積累時(shí)期。幾何學(xué)作為一門(mén)獨(dú)立的學(xué)問(wèn)甚至還不存在。埃及紙草書(shū)和巴比倫泥版文書(shū)中匯集的各種幾何圖形面積、體積的計(jì)算法則，本質(zhì)上屬于算術(shù)的應(yīng)用。古代實(shí)用算法積累到一定階段，對(duì)它們進(jìn)行系統(tǒng)整理與理論概括必然形成趨勢(shì)，但這一任務(wù)并不是由早期河谷文明本身來(lái)?yè)?dān)當(dāng)?shù)?。向理論?shù)學(xué)的過(guò)渡，是大約公元前6世紀(jì)在地中海沿岸開(kāi)始的，歷史學(xué)家常稱(chēng)之為“海洋文明”，帶來(lái)了初等數(shù)學(xué)的第一個(gè)黃金時(shí)代，即以論證幾何為主的希臘數(shù)學(xué)時(shí)代。小結(jié)古代美索不達(dá)米亞數(shù)學(xué)與埃及數(shù)學(xué)主要是解決各類(lèi)印度數(shù)學(xué)

地處恒河流域的印度與古巴比倫、埃及和中國(guó)一樣，也是人類(lèi)文明的發(fā)樣地之一。印度文明最早可以上溯到公元前3500年左右居住在印度河流域的達(dá)羅毗荼人的哈拉帕青銅文化。大約在5000年前印度人就興建起了具有相當(dāng)規(guī)模的城市與宮殿，并且有了書(shū)寫(xiě)、計(jì)算和度量衡的體系。由于印度以農(nóng)業(yè)為經(jīng)濟(jì)來(lái)源，很早就開(kāi)始觀察星象，編造歷書(shū)，因而帶動(dòng)了數(shù)學(xué)研究。另外，印度是一個(gè)宗教盛行的國(guó)家，釋迦牟尼創(chuàng)建的佛教曾流傳到中國(guó)等地，這一教派的“繩法經(jīng)”在科學(xué)文化方面有較高的水平，也是在數(shù)學(xué)史上有意義的為數(shù)不多的宗教作品之一。印度數(shù)學(xué)公元3世紀(jì)至12世紀(jì)是印度數(shù)學(xué)的繁榮時(shí)期，而其繁榮的標(biāo)志表現(xiàn)為出現(xiàn)了一些著名的天文學(xué)家兼數(shù)學(xué)家。他們主要是：

阿耶波多

婆羅門(mén)笈多

摩訶毗羅

婆什迦羅數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件阿耶波多寫(xiě)了一部關(guān)于天文學(xué)的著作《阿耶波多文集》，其中有一章專(zhuān)講數(shù)學(xué)，介紹了比例、開(kāi)方、二次方程、一次不定方程、算術(shù)級(jí)數(shù)等問(wèn)題，他得出了圓周率為3.1416的較精確的近似值。婆羅門(mén)笈多30歲時(shí)寫(xiě)成一部重要著作《婆羅門(mén)修正體系》，包括“算術(shù)講義”、“不定方程講義”等章，其中有算術(shù)、勾股定理、面積、體積等內(nèi)容，并討論了二次方程，線性方程組及一次和二次不定方程的解法。他還利用內(nèi)插公式造了一張正弦表，其著作曾譯成阿拉伯文，對(duì)伊斯蘭教國(guó)家的數(shù)學(xué)和天文學(xué)都產(chǎn)生過(guò)重大影響。阿耶波多

摩訶毗羅著有《數(shù)學(xué)九章》一書(shū)，其內(nèi)容主要是算術(shù)運(yùn)算、開(kāi)平方和開(kāi)立方、二次方程及組合問(wèn)題，也講到解二次不定方程等。

婆什迦羅著有《麗羅娃提》和《算法本原》。這兩部著作除了整理前人的成果之外還論述了有理數(shù)的四則運(yùn)算、線性方程組和不定方程。他指出二次方程有兩個(gè)根，并對(duì)形如

的二次不定方程提出解法。他的著作還被譯成波斯文，影響很大。

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件在印度數(shù)學(xué)中最值得稱(chēng)道的是印度數(shù)碼和10進(jìn)位值制記數(shù)法。人們所說(shuō)的“阿拉伯?dāng)?shù)碼”實(shí)際上最早是由印度人發(fā)明的，這是他們對(duì)數(shù)學(xué)乃至整個(gè)人類(lèi)文化的重要貢獻(xiàn)．印度數(shù)碼的完善是經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的發(fā)展過(guò)程．印度的算術(shù)在印度數(shù)學(xué)中最值得稱(chēng)道的是印度數(shù)碼和10進(jìn)位值制記數(shù)法。人們印度古代數(shù)碼字的演變印度古代數(shù)碼字的演變印度人也很早就引進(jìn)了負(fù)數(shù)．婆羅門(mén)笈多在628年左右系統(tǒng)地給出了負(fù)數(shù)四則運(yùn)算的正確法則．婆什伽羅在《根的計(jì)算》中又進(jìn)一步討論了負(fù)數(shù)，他把負(fù)數(shù)叫做“負(fù)債”或“損失”，并用在數(shù)碼上加一點(diǎn)表示負(fù)數(shù)，在數(shù)碼的右下方加一點(diǎn)表示減號(hào)，例如

(用現(xiàn)代數(shù)碼表示)即－3－2＝5；

即3－(－2)＝5．不過(guò)，當(dāng)一個(gè)問(wèn)題得出正負(fù)兩個(gè)解的時(shí)候，他會(huì)解釋說(shuō)：“負(fù)數(shù)解不合適，因?yàn)槿藗儾毁澇韶?fù)數(shù)，故應(yīng)舍棄．”印度人分?jǐn)?shù)的概念也是較早的，除了在天文學(xué)中的分?jǐn)?shù)仍沿用巴比倫的60進(jìn)制記號(hào)外，他們?cè)谄渌麍?chǎng)合都用整數(shù)之比表示分?jǐn)?shù)．他們會(huì)對(duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，在分?jǐn)?shù)相加減時(shí)取分母的乘積為公分母而不求它們的最小公倍數(shù)．在著名的巴克沙里手稿中，印度人將分子記在分母之上，無(wú)分?jǐn)?shù)線分隔．在帶分?jǐn)?shù)的情形，則把整數(shù)部分寫(xiě)在分子之上．例如：印度人也很早就引進(jìn)了負(fù)數(shù)．婆羅門(mén)笈多在628年左右系統(tǒng)地給出開(kāi)平方和開(kāi)立方的方法最早見(jiàn)于阿耶波多的著作．當(dāng)開(kāi)方不盡時(shí)，他們用近似值表示，如巴克沙里手稿中取

他們還給出了相當(dāng)于婆什伽羅“按照整數(shù)那樣”對(duì)無(wú)理數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，并給出具體的運(yùn)算法則．開(kāi)平方和開(kāi)立方的方法最早見(jiàn)于阿耶波多的著作．當(dāng)開(kāi)方不盡時(shí)，他在阿耶波多的著作中還給出了一些級(jí)數(shù)求和公式，

例如遺憾的是，我們還不能搞清楚他們是如何得到這些計(jì)算公式的。

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件印度數(shù)學(xué)家使用縮寫(xiě)文字和記號(hào)來(lái)記述代數(shù)方程，有時(shí)也用于其他場(chǎng)合．他們使用符號(hào)的程度大體上要比丟番圖的簡(jiǎn)寫(xiě)代數(shù)稍有進(jìn)步，不過(guò)兩者使用的符號(hào)是完全不同的．例如婆什伽羅使用“yavat-tavat”(那么多)的前兩個(gè)字母“ya”表示未知數(shù)，在含有多個(gè)未知數(shù)的場(chǎng)合，再使用表示顏色的詞，如用calaca(黑)，nilaca(藍(lán))，pitaca(黃)，lohitaca(紅)，haritaca(綠)等的前兩個(gè)字母表示其他未知數(shù)．不過(guò)，不同數(shù)學(xué)家使用的符號(hào)也不盡相同．

印度的代數(shù)印度數(shù)學(xué)家使用縮寫(xiě)文字和記號(hào)來(lái)記述代數(shù)方程，有時(shí)也用于其他場(chǎng)印度數(shù)學(xué)家常用假設(shè)法作為解方程或方程組的工具．婆什伽羅提供了這樣一個(gè)例子：兩數(shù)立方之和為一平方數(shù)，兩數(shù)平方之和為一立方數(shù)，求這兩個(gè)數(shù)．用現(xiàn)代記號(hào)即求解方程組(為自然數(shù)．)婆什伽羅先假設(shè)滿足(1)但不滿足(2)，為此必須在的兩端同乘上5的乘冪，使右端變成立方數(shù)同時(shí)滿足方程(1)和(2)．他用試驗(yàn)法，在(2)的兩邊同乘以獲得成功，結(jié)果得

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件二次方程是印度數(shù)學(xué)家最感興趣的課題之一，他們?cè)试S方程的某些系數(shù)是負(fù)數(shù)，從而可以把二次方程歸結(jié)為標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型婆羅門(mén)笈多求得這個(gè)方程的一個(gè)根為這與現(xiàn)代的求根公式完全相同．不定方程的研究可能是使印度數(shù)學(xué)家自己最值得自豪的．阿耶波多在他的文集中最先提出方程（是正整數(shù)，互素）的正整數(shù)解的求法．此外婆羅門(mén)笈多和婆什伽羅還研究過(guò)二次不定方程，特別是后者研究了這樣一個(gè)問(wèn)題，其可歸結(jié)為所得的解為

二次方程是印度數(shù)學(xué)家最感興趣的課題之一，他們?cè)试S方程的某些系印度數(shù)學(xué)家在公元11世紀(jì)給出了所謂金字塔圖，這就是由二項(xiàng)式展開(kāi)式系數(shù)所構(gòu)成的三角形，從中他們發(fā)現(xiàn)組合數(shù)公式印度數(shù)學(xué)家在公元11世紀(jì)給出了所謂金字塔圖，這就是由二項(xiàng)式展在印度數(shù)學(xué)中，幾何相對(duì)于代數(shù)來(lái)說(shuō)，顯得有些平淡無(wú)奇，主要是一些常見(jiàn)的幾何體的體積公式，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如希臘人所達(dá)到的水平．印度的三角學(xué)研究繼承并發(fā)展了希臘人的工作．他們雖然沿用古希臘數(shù)學(xué)家托勒密的方法，把圓分成360度或21600分，但不像托勒密那樣把直徑分為120等分，而是把半徑分為120等分．他們計(jì)算的是半弦的長(zhǎng)而不是全弦，這樣，他們的“正弦”就相當(dāng)于現(xiàn)在的正弦線，與今天的正弦僅相差r(r為半徑)倍．此外，婆羅門(mén)笈多還首次利用內(nèi)插法編制了一張正弦表，所用的內(nèi)插公式在計(jì)算效能上與牛頓—斯特林公式是等價(jià)的．

印度的幾何與三角印度的幾何與三角此課件下載可自行編輯修改，僅供參考！

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(1600B.C.)甲骨文數(shù)字

(1600B.C.)形的抽象形的抽象數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件幾何學(xué)的不同文化起源古代埃及—土地丈量古代中國(guó)—天文觀測(cè)古代印度—宗教禮儀

幾何學(xué)的不同文化起源古代埃及—土地丈量河谷文明與數(shù)學(xué)的起源尼羅河兩河流域—幼發(fā)拉底河與底格里斯河恒河與印度河長(zhǎng)江與黃河

河谷文明與數(shù)學(xué)的起源尼羅河古埃及的數(shù)學(xué)非洲的尼羅河是世界上最長(zhǎng)的河流之一．早在公元前3000年左右，在這條河的中下游，古埃及人建立起了早期的奴隸制國(guó)家，其地理位置與現(xiàn)在的埃及區(qū)別不大．打獵、漁業(yè)及畜牧業(yè)是古埃及人最初的謀生方式．一年一度的尼羅河的洪水給這片谷地帶來(lái)了肥沃的淤泥，那些以游牧為生的古埃及人便在這里定居下來(lái)，由狩獵轉(zhuǎn)向耕種．在發(fā)展農(nóng)業(yè)的同時(shí)，手工業(yè)與貿(mào)易也隨之迅速發(fā)展起來(lái)，這些都推動(dòng)了自然科學(xué)各學(xué)科知識(shí)的積累．

古埃及的數(shù)學(xué)非洲的尼羅河是世界上最長(zhǎng)的河流之一．早在公元前3法老時(shí)代的尼羅河流域圖法老時(shí)代的尼羅河流域圖

作為世界七大奇跡之一的胡夫金字塔，是埃及最大的金字塔，大約建于公元前2500年左右．該金字塔呈正四棱錐形，底面正方形面向東西南北四個(gè)正方向，邊長(zhǎng)230.5m，塔高146.6m(現(xiàn)高約137m)．近年來(lái)，科學(xué)家們通過(guò)使用精密的儀器對(duì)這一金字塔進(jìn)行了測(cè)量，驚奇地發(fā)現(xiàn)，其底基正方形邊長(zhǎng)的相對(duì)誤差不超過(guò)1：14000，即不超過(guò)2cm；四底角的相對(duì)誤差不超過(guò)1：27000，即不超過(guò)12″，四個(gè)方向的誤差也僅在2′～5′之間，這些都說(shuō)明當(dāng)時(shí)的測(cè)量水平已相當(dāng)高.

作為世界七大奇跡之一的胡夫金字塔，是埃及最大的金字塔，大約胡夫金字塔（公元前2500年左右）胡夫金字塔（公元前2500年左右）流傳至今的古埃及文獻(xiàn)，大部分是以僧侶文書(shū)寫(xiě)在紙草上保存下來(lái)的，人們通常稱(chēng)其為紙草書(shū).保存至今有關(guān)數(shù)學(xué)的紙草書(shū)主要有兩種，都是公元前2000年前后的作品。

一種是陳列于英國(guó)倫敦大不列顛博物館東方展室中的蘭德紙草書(shū)，這是由英國(guó)人蘭德1858年搜集到的；蘭德紙草書(shū)長(zhǎng)544cm,寬33cm,共載有85個(gè)問(wèn)題。

另一種收藏于俄國(guó)莫斯科美術(shù)博物館，被稱(chēng)為莫斯科紙草書(shū)，這是由俄羅斯人郭列尼舍夫于1893年搜集到的.莫斯科紙草書(shū)長(zhǎng)544cm,寬8cm，共載有25個(gè)問(wèn)題.流傳至今的古埃及文獻(xiàn)，大部分是以僧侶文書(shū)寫(xiě)在紙草上保存下來(lái)的萊茵德紙草書(shū)(1650B.C.)

大英博物館萊茵德紙草書(shū)莫斯科紙草書(shū)(1890B.C.)莫斯科普希金博物館莫斯科紙草書(shū)(1890B.C.)莫斯科普希金博物館羅賽塔石碑

(1799發(fā)現(xiàn))1799年，拿破侖遠(yuǎn)征軍的士兵在距離亞歷山大城不遠(yuǎn)的記述的古港口羅賽塔地方發(fā)現(xiàn)一塊石碑，碑上刻有三種文字——希臘文、埃及僧侶文和象形文記述的同一銘文。19世紀(jì)初，法國(guó)文字學(xué)家商博良和英國(guó)物理學(xué)家托馬斯·楊

利用這塊碑文，破譯了古埃及文字。羅賽塔石碑

(1799發(fā)現(xiàn))1799年，拿破侖遠(yuǎn)征軍的士兵古埃及人使用的是十進(jìn)記數(shù)制，并且有數(shù)字的專(zhuān)門(mén)符號(hào).在當(dāng)一個(gè)數(shù)中出現(xiàn)某個(gè)數(shù)碼的若干倍時(shí)，就將它的符號(hào)重復(fù)寫(xiě)若干次，即遵守加法的法則。古埃及的記數(shù)制與算術(shù)古埃及的記數(shù)制與算術(shù)古埃及人已有了分?jǐn)?shù)的概念，但他們僅使用單位分?jǐn)?shù)也就是分子為1的分?jǐn)?shù)。在整數(shù)上方簡(jiǎn)單地畫(huà)一個(gè)長(zhǎng)橢圓，就表示該整數(shù)的倒數(shù)。只有2/3是一個(gè)例外.

1/7:

2/3:古埃及的記數(shù)制與算術(shù)1/7:2/3:古埃及的記數(shù)制與算術(shù)古埃及人的乘法運(yùn)算與除法運(yùn)算是通過(guò)疊加來(lái)進(jìn)行的．例如計(jì)算：26×33．他們先將33的倍數(shù)列表，然后從左邊一列中選取出和為26的數(shù)2，8和16，再將右邊一列中它們各自對(duì)應(yīng)的數(shù)相加，即將66，264，528相加得到858即為所求．又如計(jì)算：19÷8．他們將8的倍數(shù)與部分列表，再?gòu)挠疫呉涣兄羞x取出其和為19的16，2，1這三個(gè)數(shù)，并將其對(duì)應(yīng)的左邊一列中的三個(gè)數(shù)2，1/4,1/8相加即為所求。古埃及人的乘法運(yùn)算與除法運(yùn)算是通過(guò)疊加來(lái)進(jìn)行的．古埃及紙草書(shū)中出現(xiàn)的“計(jì)算若干”的問(wèn)題，實(shí)際上相當(dāng)于方程問(wèn)題，其解法是試位法．例如對(duì)于方程

，先給

選定一個(gè)數(shù)值，譬如說(shuō)7，于是

，而不是24，因?yàn)?必須乘以3才是24，故

的正確的值一定是7乘以3即21．古埃及人還用它來(lái)解二次甚至更高次的方程．例如在卡洪(Kahun)發(fā)現(xiàn)的一份大約是公元前1950年的紙草書(shū)中記載了下列問(wèn)題：將給定的100單位的面積分為兩個(gè)正方形，使二者的邊長(zhǎng)之比為4:3．設(shè)此二正方形的邊長(zhǎng)分別為

，且

，由題設(shè)

首先取,則

，

此時(shí)

而不是100，因此

的取值需修正．事實(shí)上，只需將原數(shù)值加倍，即可得方程的解

古埃及的代數(shù)古埃及紙草書(shū)中出現(xiàn)的“計(jì)算若干”的問(wèn)題，實(shí)際上相當(dāng)于方程問(wèn)題在古埃及紙草書(shū)中還有有關(guān)數(shù)列問(wèn)題的記載．如蘭德紙草書(shū)中有這樣一個(gè)問(wèn)題：今將10斗麥子分給10個(gè)人，每人依次遞降l／8斗，問(wèn)各得多少?這是已知一個(gè)等差數(shù)列的前若干項(xiàng)和、項(xiàng)數(shù)以及公差求其各項(xiàng)的問(wèn)題．

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件

蘭德紙草書(shū)中給出一個(gè)階梯圖形(如圖)，對(duì)此，數(shù)學(xué)史家康托爾是這樣解釋的：在一個(gè)人的財(cái)產(chǎn)中，有七間房子，每間房子里七只貓，每只貓能捉七只老鼠，每只老鼠能吃七穗大麥，而每穗大麥又能長(zhǎng)出七俄斗大麥，問(wèn)這份財(cái)產(chǎn)中房子、貓、老鼠、麥穗和麥子總共有多少?按照這樣的解釋?zhuān)@然是一個(gè)公比為7的等比數(shù)列求和問(wèn)題，階梯圖形給出的是這個(gè)數(shù)列中的各項(xiàng)．?dāng)?shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件古埃及人在建筑規(guī)模宏大的教堂、金字塔和修建復(fù)雜的灌溉系統(tǒng)時(shí)，都需要測(cè)量；尼羅河水泛濫后沖刷去了許多邊界標(biāo)記，洪水退后也需要重新勘測(cè)土地的界線;……所有這一切，為他們認(rèn)識(shí)基本幾何形狀和形成幾何概念提供了實(shí)際背景．因此，古埃及人的幾何學(xué)知識(shí)較為豐富.

在上述兩種紙草書(shū)的110個(gè)問(wèn)題中，有26個(gè)是幾何問(wèn)題，其中大部分是計(jì)算土地的面積與谷物的體積，還有許多與金字塔有關(guān)．例如，古埃及人知道，任何三角形的面積均為底與高的乘積的一半；圓的面積等于直徑的8/9的平方，由此可知，他們把圓周率近似地取為3.16；直圓柱的體積為底面積與高的乘積．古埃及的幾何學(xué)古埃及人在建筑規(guī)模宏大的教堂、金字塔和修建復(fù)雜的灌溉系統(tǒng)時(shí)，在蘭德紙草書(shū)中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“已知金字塔的陡度為每肘五手又一指(一肘為七手，一手為五指)，底面邊長(zhǎng)為140肘，求其高．”在莫斯科紙草書(shū)中還有這樣一個(gè)問(wèn)題：“如果告訴你一個(gè)截頂金字塔的垂直高度為6，底邊為4，頂邊為2，求其體積．”

古埃及人的算法是：4的平方為16，4的二倍為8，2的平方是4，把16，8和4相加得28，取6的三分之一為2，取28的二倍為56，則它的體積就是這個(gè)數(shù)．由此我們可以看出，古埃及人是通過(guò)具體問(wèn)題說(shuō)明了高為h、底邊長(zhǎng)為a和b的正四棱臺(tái)的體積公式是

在蘭德紙草書(shū)中有這樣一個(gè)問(wèn)題：古巴比倫，又稱(chēng)美索波達(dá)米亞，位于亞洲西部的幼發(fā)拉底與底格里斯兩河流域，大體上相當(dāng)于今天的伊拉克。大約是在公元前3000年左右，古巴比倫人在這里建立起了自己的奴隸制王國(guó)。在過(guò)去相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)，人們對(duì)于古巴比倫數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)是通過(guò)古希臘文化中的零星資料得到的。19世紀(jì)后期，考古學(xué)家開(kāi)始發(fā)掘美索波達(dá)米亞遺址。在發(fā)掘的過(guò)程中，人們發(fā)現(xiàn)了數(shù)以萬(wàn)計(jì)的不同時(shí)期的泥板，它們是用膠泥制成的。一塊完整的泥板與手掌的大小差不多，上面寫(xiě)有符號(hào)。這種符號(hào)是用斷面呈三角形的尖棍刻寫(xiě)的，呈楔形，故人們稱(chēng)之為楔形文字。古巴比倫的數(shù)學(xué)古巴比倫，又稱(chēng)美索波達(dá)米亞，位于亞洲西部的幼發(fā)拉底與底格里斯普林頓322號(hào)泥板書(shū)(1600B.C.)普林頓322號(hào)泥板書(shū)(1600B.C.)古巴比倫人很早就有了數(shù)的寫(xiě)法，他們用楔形文字中較?。ㄘQ寫(xiě)）

的

代表1，較大的（豎寫(xiě)）

代表60.由此可知，古巴比倫人的記數(shù)系統(tǒng)是60進(jìn)制.他們還用較小的（橫寫(xiě)）

代表10，較大的（橫寫(xiě)）

代表100.

古巴比倫人也使用分?jǐn)?shù)，他們總是用60作分母，例如

作為分?jǐn)?shù)來(lái)記時(shí)可以表示20/60，而

作為分?jǐn)?shù)來(lái)記時(shí)可以表示21/60=20/60+1/60.因此,古巴比倫人的分?jǐn)?shù)系統(tǒng)是不成熟的.古巴比倫的記數(shù)制與算術(shù)古巴比倫的記數(shù)制與算術(shù)與古埃及人相仿，古巴比倫人的算術(shù)運(yùn)算也是借助于各種各樣的表來(lái)進(jìn)行的.在已發(fā)現(xiàn)的泥板書(shū)中，大約有200塊是乘法表、倒數(shù)表、平方表、立方表，甚至還有指數(shù)表.倒數(shù)表用于把除法轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行，指數(shù)表和插值法一起用來(lái)解決復(fù)利問(wèn)題的.例如，設(shè)有本金為1，利率為20%，問(wèn)需要多久即可使利息與本金相等.這需要求解指數(shù)方程由指數(shù)表，古巴比倫人首先確定出

的取值范圍是：

然后使用一次插入法求出4與

的差，相當(dāng)于：

故得(年)．與古埃及人相仿，古巴比倫人的算術(shù)運(yùn)算也是借助于各種各樣的表來(lái)

在公元前2000年前后，古巴比倫數(shù)學(xué)己出現(xiàn)了用文字?jǐn)⑹龅拇鷶?shù)問(wèn)題．如英國(guó)大不列顛博物館13901號(hào)泥板記載了這樣一個(gè)問(wèn)題：“我把我的正方形的面積加上正方形邊長(zhǎng)的三分之二得,求該正方形的邊長(zhǎng)．”這個(gè)問(wèn)題相當(dāng)于求解方程該泥板上給出的解法是：1的三分之二是，其一半是,將它自乘得,并把它加到上得，其平方根是，再?gòu)闹袦p去的一半得，于是

就是所求正方形的邊長(zhǎng)。古巴比倫的代數(shù)古巴比倫的代數(shù)這一解法相當(dāng)于將方程

的系數(shù)代入公式

求解，只不過(guò)在計(jì)算時(shí)用的是60進(jìn)制．又如，已知兩個(gè)正方形的面積之和為1000，其中一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為另一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的

減去10，求這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)．設(shè)較大的正方形的邊長(zhǎng)為

，則另一正方形的邊長(zhǎng)為

，故只需解二次方程這一解法相當(dāng)于將方程古巴比倫人將這一解法所需的步驟簡(jiǎn)單地?cái)⑹鰹椤捌椒?0，得100；1000減去100，就得900，開(kāi)平方得30”，求得該正方形的邊長(zhǎng)為30，另一個(gè)正方形邊長(zhǎng)為10．這就是說(shuō)，古巴比倫人那時(shí)可能已經(jīng)知道某些類(lèi)型的一元二次方程的求根公式．由于他們沒(méi)有負(fù)數(shù)的概念，二次方程的負(fù)根不予考慮．至于他們是如何得到上述這些解法的，泥板書(shū)上沒(méi)有具體說(shuō)明．他們還討論了某些三次方程和雙二次方程的解法．在一塊泥板上，他們給出這樣的數(shù)表，它不僅包含了從1到30的整數(shù)的平方和立方，還包含這個(gè)范圍內(nèi)的整數(shù)組合

，專(zhuān)家經(jīng)研究認(rèn)為，這個(gè)數(shù)表是用來(lái)解決形如

的三次方程的．

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件此外，在洛佛爾博物館的一塊泥板上，人們還發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)級(jí)數(shù)問(wèn)題．用現(xiàn)代形式可表述為最令人感興趣的是哥倫比亞大學(xué)普林頓收集館中收藏的第322號(hào)泥板，該泥板已缺損了一部分，在殘留的部分上刻有三列數(shù)，專(zhuān)家研究認(rèn)為：這是一張勾股數(shù)(即

的整數(shù)解)表，并且極有可能用到了下列參數(shù)式：

這正是在一千多年以后古希臘數(shù)學(xué)中一個(gè)極為重要的成就．?dāng)?shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件在古巴比倫人的心目中，幾何是不重要的，因?yàn)閷?shí)際中的幾何問(wèn)題都很容易轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題．他們的面積和體積計(jì)算是按照一些固定的法則和公式給出的．例如古巴比倫人在公元前2000年到公元前1600年，就已熟悉了長(zhǎng)方形、直角三角形、等腰三角形以及直角梯形面積的計(jì)算．他們還掌握了長(zhǎng)方體以及特殊梯形為底的直棱柱體積計(jì)算的一般規(guī)則，他們知道取直徑的三倍為圓周的長(zhǎng)，取圓周平方的1/12為圓的面積，還用底和高相乘求得直圓柱的體積．在泥板中有足夠的證據(jù)表明，古巴比倫人還有把相當(dāng)復(fù)雜的圖形拆成一些簡(jiǎn)單圖形的組合的本領(lǐng).但他們錯(cuò)誤地認(rèn)為，圓臺(tái)或棱臺(tái)的體積是兩底之和的一半與高的乘積．這一事實(shí)表明，古巴比倫的計(jì)算方法還是經(jīng)驗(yàn)型的，這些結(jié)果都沒(méi)有經(jīng)過(guò)證明．古巴比倫的幾何古巴比倫的幾何在公元前5000年到公元前4000年間，古巴比倫人就已開(kāi)始使用年、月、日的天文歷法，他們的年歷是從春分開(kāi)始的，一年有12個(gè)月，第一個(gè)月是以“金牛座”命名的，每月有30天，每6年加上第13個(gè)月作為閏月．一個(gè)星期有7天，這7天是以太陽(yáng)、月亮和金、木、水、火、土七星來(lái)命名的，每個(gè)星神主管一天，如太陽(yáng)神主管星期日．因此，所謂“星期”也就是指星的日期，我們現(xiàn)在的“星期制”就是在古巴比倫時(shí)代所創(chuàng)立的，這種表示方法在今天的英語(yǔ)單詞中還能找到一些痕跡．此外，圓周分為360度，每度60分，每分60秒，1小時(shí)60分，1分60秒的記法，也是來(lái)自古巴比倫．古巴比倫的天文學(xué)古巴比倫的天文學(xué)小結(jié)

古代美索不達(dá)米亞數(shù)學(xué)與埃及數(shù)學(xué)主要是解決各類(lèi)具體問(wèn)題的實(shí)用知識(shí)，處于原始算法積累時(shí)期。幾何學(xué)作為一門(mén)獨(dú)立的學(xué)問(wèn)甚至還不存在。埃及紙草書(shū)和巴比倫泥版文書(shū)中匯集的各種幾何圖形面積、體積的計(jì)算法則，本質(zhì)上屬于算術(shù)的應(yīng)用。古代實(shí)用算法積累到一定階段，對(duì)它們進(jìn)行系統(tǒng)整理與理論概括必然形成趨勢(shì)，但這一任務(wù)并不是由早期河谷文明本身來(lái)?yè)?dān)當(dāng)?shù)?。向理論?shù)學(xué)的過(guò)渡，是大約公元前6世紀(jì)在地中海沿岸開(kāi)始的，歷史學(xué)家常稱(chēng)之為“海洋文明”，帶來(lái)了初等數(shù)學(xué)的第一個(gè)黃金時(shí)代，即以論證幾何為主的希臘數(shù)學(xué)時(shí)代。小結(jié)古代美索不達(dá)米亞數(shù)學(xué)與埃及數(shù)學(xué)主要是解決各類(lèi)印度數(shù)學(xué)

地處恒河流域的印度與古巴比倫、埃及和中國(guó)一樣，也是人類(lèi)文明的發(fā)樣地之一。印度文明最早可以上溯到公元前3500年左右居住在印度河流域的達(dá)羅毗荼人的哈拉帕青銅文化。大約在5000年前印度人就興建起了具有相當(dāng)規(guī)模的城市與宮殿，并且有了書(shū)寫(xiě)、計(jì)算和度量衡的體系。由于印度以農(nóng)業(yè)為經(jīng)濟(jì)來(lái)源，很早就開(kāi)始觀察星象，編造歷書(shū)，因而帶動(dòng)了數(shù)學(xué)研究。另外，印度是一個(gè)宗教盛行的國(guó)家，釋迦牟尼創(chuàng)建的佛教曾流傳到中國(guó)等地，這一教派的“繩法經(jīng)”在科學(xué)文化方面有較高的水平，也是在數(shù)學(xué)史上有意義的為數(shù)不多的宗教作品之一。印度數(shù)學(xué)公元3世紀(jì)至12世紀(jì)是印度數(shù)學(xué)的繁榮時(shí)期，而其繁榮的標(biāo)志表現(xiàn)為出現(xiàn)了一些著名的天文學(xué)家兼數(shù)學(xué)家。他們主要是：

阿耶波多

婆羅門(mén)笈多

摩訶毗羅

婆什迦羅數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件阿耶波多寫(xiě)了一部關(guān)于天文學(xué)的著作《阿耶波多文集》，其中有一章專(zhuān)講數(shù)學(xué)，介紹了比例、開(kāi)方、二次方程、一次不定方程、算術(shù)級(jí)數(shù)等問(wèn)題，他得出了圓周率為3.1416的較精確的近似值。婆羅門(mén)笈多30歲時(shí)寫(xiě)成一部重要著作《婆羅門(mén)修正體系》，包括“算術(shù)講義”、“不定方程講義”等章，其中有算術(shù)、勾股定理、面積、體積等內(nèi)容，并討論了二次方程，線性方程組及一次和二次不定方程的解法。他還利用內(nèi)插公式造了一張正弦表，其著作曾譯成阿拉伯文，對(duì)伊斯蘭教國(guó)家的數(shù)學(xué)和天文學(xué)都產(chǎn)生過(guò)重大影響。阿耶波多

摩訶毗羅著有《數(shù)學(xué)九章》一書(shū)，其內(nèi)容主要是算術(shù)運(yùn)算、開(kāi)平方和開(kāi)立方、二次方程及組合問(wèn)題，也講到解二次不定方程等。

婆什迦羅著有《麗羅娃提》和《算法本原》。這兩部著作除了整理前人的成果之外還論述了有理數(shù)的四則運(yùn)算、線性方程組和不定方程。他指出二次方程有兩個(gè)根，并對(duì)形如

的二次不定方程提出解法。他的著作還被譯成波斯文，影響很大。

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育教學(xué)提綱課件在印度數(shù)學(xué)中最值得稱(chēng)道的是印度數(shù)碼和10進(jìn)位值制記數(shù)法。人們所說(shuō)的“阿拉伯?dāng)?shù)碼”實(shí)際上最早是由印度人發(fā)明的，這是他們對(duì)數(shù)學(xué)乃至整個(gè)人類(lèi)文化的重要貢獻(xiàn)．印度數(shù)碼的完善是經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的發(fā)展過(guò)程．印度的算術(shù)在印度數(shù)學(xué)中最值得稱(chēng)道的是印度數(shù)碼和10進(jìn)位值制記數(shù)法。人們印度古代數(shù)碼字的演變印度古代數(shù)碼字的演變印度人也很早就引進(jìn)了負(fù)數(shù)．婆羅門(mén)笈多在628年左右系統(tǒng)地給出了負(fù)數(shù)四則運(yùn)算的正確法則．婆什伽羅在《根的計(jì)算》中又進(jìn)一步討論了負(fù)數(shù)，他把負(fù)數(shù)叫做“負(fù)債