專題09 圓錐曲線中的定點（原卷版）

專題09圓錐曲線中的定點、定值問題一、題型選講題型一圓錐曲線中過定點問題圓錐曲線中過定點問題常見有兩種解法：（1）、求出圓錐曲線或直線的方程解析式，研究解析式，求出定點·（2）、從特殊位置入手，找出定點，在證明該點符合題意（運用斜率相等或者三點共線）。例1、(2019蘇北三市期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，且右焦點到右準(zhǔn)線l的距離為1.過x軸上一點M(m，0)(m為常數(shù)，且m∈(0，2))的直線與橢圓C交于A，B兩點，與l交于點P，D是弦AB的中點，直線OD與l交于點Q.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)試判斷以PQ為直徑的圓是否經(jīng)過定點．若是，求出定點坐標(biāo)；若不是，請說明理由．例2、(2018蘇州期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，橢圓上動點P到一個焦點的距離的最小值為3(eq\r(2)－1)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知過點M(0，－1)的動直線l與橢圓C交于A，B兩點，試判斷以線段AB為直徑的圓是否恒過定點，并說明理由．題型二圓錐曲線中定值問題圓錐曲線中常見的定值問題，屬于難題．探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．例3、(2019鎮(zhèn)江期末）已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的長軸長為4，兩準(zhǔn)線間距離為4eq\r(2).設(shè)A為橢圓C的左頂點，直線l過點D(1，0)，且與橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點．(1)求橢圓C的方程；(2)若△AEF的面積為eq\r(10)，求直線l的方程；(3)已知直線AE，AF分別交直線x＝3于點M，N，線段MN的中點為Q，設(shè)直線l和QD的斜率分別為k(k≠0)，k′，求證：k·k′為定值．例4、(2019蘇州三市、蘇北四市二調(diào)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1，橢圓C2：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，C2與C1的長軸長之比為eq\r(2)∶1，離心率相同．(1)求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點P為橢圓C2上的一點．①射線PO與橢圓C1依次交于點A，B，求證：eq\f(PA,PB)為定值；②過點P作兩條斜率分別為k1，k2的直線l1，l2，且直線l1，l2與橢圓C1均有且只有一個公共點，求證k1·k2為定值．例5、(2018南通、揚州、淮安、宿遷、泰州、徐州六市二調(diào)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知B1，B2是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短軸端點，P是橢圓上異于點B1，B2的一動點．當(dāng)直線PB1的方程為y＝x＋3時，線段PB1的長為4eq\r(2).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點Q滿足QB1⊥PB1，QB2⊥PB2.求證：△PB1B2與△QB1B2的面積之比為定值．二、達標(biāo)訓(xùn)練1、(2019蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為eq\f(\r(3),3).(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知P(t，0)為橢圓E外一動點，過點P分別作直線l1和l2，直線l1和l2分別交橢圓E于點A，B和點C，D，且l1和l2的斜率分別為定值k1和k2，求證：eq\f(PA·PB,PC·PD)為定值．2、(2018蘇州暑假測試）如圖，已知橢圓O：eq\f(x2,4)＋y2＝1的右焦點為F，點B，C分別是橢圓O的上、下頂點，點P是直線l：y＝－2上的一個動點(與y軸的交點除外)，直線PC交橢圓于另一個點M.(1)當(dāng)直線PM經(jīng)過橢圓的右焦點F時，求△FBM的面積；(2)①記直線BM，BP的斜率分別為k1，k2，求證：k1?k2為定值；3、(2016泰州期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2＋y2＝4，橢圓C：eq\f(x2,4)＋y2＝1，A為橢圓右頂點．過原點O且異于坐標(biāo)軸的直線與橢圓C交于B，C兩點，直線AB與圓O的另一交點為P，直線PD與圓O的另一交點為Q，其中D(－eq\f(6,5)，0).設(shè)直線AB，AC的斜率分