專題08 立體幾何中的計算(原卷版)

專題08立體幾何中的計算1、【2019年江蘇數(shù)】.如圖，長方體的體積是120，E為的中點，則三棱錐E-BCD的體積是_____.2、【2018年高考江蘇數(shù)】.如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為________．3、【2019年高考全國Ⅰ卷文數(shù)】已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點，PC=2，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為___________．4、【2019年高考全國Ⅱ卷文數(shù)】中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有________個面，其棱長為_________．（本題第一空2分，第二空3分．）5、【2019年高考全國Ⅲ卷文數(shù)】學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型．如圖，該模型為長方體挖去四棱錐O?EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點，，3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為___________g.6、【2019年高考北京卷文數(shù)】已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：__________．7、【2019年高考天津卷文數(shù)】已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為.若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為__________.8、【2018年高考全國II卷文數(shù)】已知圓錐的頂點為，母線，互相垂直，與圓錐底面所成角為，若的面積為，則該圓錐的體積為__________．一、柱、錐、臺和球的側(cè)面積和體積面積體積圓柱S側(cè)＝2πrhV＝Sh＝πr2h圓錐S側(cè)＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圓臺S側(cè)＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S側(cè)＝ChV＝Sh正棱錐S側(cè)＝eq\f(1,2)Ch′V＝eq\f(1,3)Sh正棱臺S側(cè)＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3注意：(1)在求多面體的側(cè)面積時，應對每一側(cè)面分別求解后再相加，對于組合體的表面積應注意重合部分的處理.(2)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.二、在求解一些不規(guī)則的幾何體的體積以及兩個幾何體的體積之比時，常常需要用到分割法.在求一個幾何體被分成兩部分的體積之比時，若有一部分為不規(guī)則幾何體，則可用整個幾何體的體積減去規(guī)則幾何體的體積求出其體積.(1)解決空間幾何體表面上的最值問題的根本思路是“展開”，即將空間幾何體的“面”展開后鋪在一個平面上，將問題轉(zhuǎn)化為平面上的最值問題.(2)如果已知的空間幾何體是多面體，則根據(jù)問題的具體情況可以將這個多面體沿多面體中某條棱或者兩個面的交線展開，把不在一個平面上的問題轉(zhuǎn)化到一個平面上.如果是圓柱、圓錐則可沿母線展開，把曲面上的問題轉(zhuǎn)化為平面上的問題.三、方法與技巧(1)棱柱、棱錐要掌握各部分的結(jié)構特征，計算問題往往轉(zhuǎn)化到一個三角形中進行解決.旋轉(zhuǎn)體要抓住“旋轉(zhuǎn)”特點，弄清底面、側(cè)面及展開圖形狀.(2)要注意將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.(3)求幾何體的體積，要注意分割與補形.將不規(guī)則的幾何體通過分割或補形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解.(4)一些幾何體表面上的最短距離問題，常常利用幾何體的展開圖解決.四、失誤與防范（1）幾何體展開、折疊問題，要抓住前后兩個圖形間的聯(lián)系，找出其中的量的關系.（2）與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)量關系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.題型一多面體的表面積與體積求多面體的表面積與體積常用方法：1、公式法：可以運用規(guī)則的幾何體；2、割補法：把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，或者把幾何體補成熟悉的幾何體。3、等積法：通過轉(zhuǎn)換頂點，換成底面積或者高易求的幾何體。例1、(2017徐州、連云港、宿遷三檢）．如圖，在正三棱柱中，已知，點在棱上，則三棱錐的體積為．AABCPA1B1C1例2、(2019南京、鹽城一模）如圖，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝4，AC＝eq\r(3)，BC＝1，E，F(xiàn)分別為AB，PC的中點，則三棱錐BEFC的體積為________．例3、(2018南通、泰州一調(diào)）如圖，銅質(zhì)六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的．已知正六棱柱的底面邊長、高都為4cm，圓柱的底面積為9eq\r(3)cm2.若將該螺帽熔化后鑄成一個高為6cm的正三棱柱零件，則該正三棱柱的底面邊長為________cm(不計損耗)．題型二旋轉(zhuǎn)體的表面積與體積旋轉(zhuǎn)體主要就是圓柱、圓錐、球等幾何體，根據(jù)不同的幾何體運用不同的求法。例4、(2019蘇州期末）如圖，某種螺帽是由一個半徑為2的半球體挖去一個正三棱錐構成的幾何體，該正三棱錐的底面三角形內(nèi)接于半球底面大圓，頂點在半球面上，則被挖去的正三棱錐體積為________．例5、(2019常州期末）已知圓錐SO，過SO的中點P作平行于圓錐底面的截面，以截面為上底面作圓柱PO，圓柱的下底面落在圓錐的底面上(如圖)，則圓柱PO的體積與圓錐SO的體積的比值為________．例6、(2019蘇北四市、蘇中三市三調(diào)）已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=3cm，BC=1cm，CD=2cm．將此直角梯形繞AB邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，由此形成的幾何體的體積為cm3．例7、(2018鹽城三模）若一圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面積是底面積的3倍，則該圓錐的體積為．題型三幾何體展開與折疊問題幾何體的折疊問題和展開問題要緊緊抓住折疊或展開的前后過程中不變的量來處理。解決這類組合體的問題基本方法就是講組合體分解若部分，分別計算。例8、(2018南京、鹽城、連云港二模）在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)剪去四個全等的等腰三角形(如圖1中陰影部分)，折疊成底面邊長為eq\r(2)的正四棱錐SEFGH(如圖2)，則正四棱錐SEFGH的體積為________．（圖1）（圖2）例9、(2017南京三模）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，點D為側(cè)棱BB1上的動點．當AD＋DC1最小時，三棱錐D－ABC1的體積為．AACBA1B1C1D1、(2019揚州期末）底面半徑為1，母線長為3的圓錐的體積是________．2、(2019鎮(zhèn)江期末）已知一個圓錐的底面積為π，側(cè)面積為2π，則該圓錐的體積為________3、(2019宿遷期末）設圓錐的軸截面是一個邊長為2cm的正三角形，則該圓錐的體積為________cm3.4、(2019南通、泰州、揚州一調(diào)）已知正四棱柱的底面長是3cm，側(cè)面的對角線長是3eq\r(5)cm，則這個正四棱柱的體積為________cm3.5、(2019泰州期末）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，點M為棱AA1的中點，記三棱錐A1MBC的體積V1，四棱錐A1BB1C1C的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是________．6、(2019通州、海門、啟東期末）已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長均為2，點D在棱AA1上，則三椎錐D－BB1C1的體積為________．7、(2018無錫期末）直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，AA1＝5，若三棱柱的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積為________．8、（2016蘇州期末）將半徑為5的圓分割成面積之比為1∶2∶3的三個扇形作為三個圓錐的側(cè)面，設這三個圓錐的底面半徑依次為r1，r2，r3，則r1＋r2＋r3＝________.9、(2018蘇中三市、蘇北四市三調(diào)）現(xiàn)有一正四棱柱形鐵塊，底面邊長為高的倍，將其熔化鍛造成一個底面積不變的正四棱錐形鐵件（不計材料損耗）．設正四棱柱與正四棱錐的側(cè)面積分別為,,則的值為．10、(2018常州期末）已知圓錐的高為6，體積為8.用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的圓臺體積是7，則該圓臺的高為________．11、（2016南通、揚州、淮安、宿遷、泰州二調(diào)）在體積為eq\f(\r(3),2)的四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，AB＝1，BC＝2，BD＝3，則CD長度的所有可能值為________．12、(2016蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）設棱長為a的正方體的體積和表面積分別為V1，S1，底面半徑和高均為r的圓錐的體積和側(cè)面積分別為V2，S2，若eq\f(V1,V2)＝eq\f(3,π)，則eq\f(S1,S2)的值為________．13、(2018蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）在棱長為2的正四面體中，，分別為，的中點，點是線段上一點，且，則三棱錐的體積為．14、(2019蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研（一））已知圓柱的軸截面的對角線長為2，則這個圓柱的側(cè)面積的最大值為________．15、（2016無錫期末）如圖，在圓錐VO中，O