§3方向?qū)?shù)與梯度_第1頁
§3方向?qū)?shù)與梯度_第2頁
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文檔簡(jiǎn)介

§3

方向?qū)?shù)與梯度在許多問題中,不僅要知道函數(shù)在坐標(biāo)軸方向上的變化率(即偏導(dǎo)數(shù)),而且還要知道在其他特定方向上的變化率,這就是本節(jié)所要討論的方向?qū)?shù).

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方向?qū)?shù)的概念定義1

設(shè)函數(shù)導(dǎo)數(shù),記作存在,則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)沿方向的方向

若極限給※

方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)之間的一般關(guān)系當(dāng)

的方向?yàn)閤軸的負(fù)方向時(shí)，則有圖17–5

其中證設(shè)為有(參見圖17–5)在點(diǎn)沿任一方向的方向?qū)?shù)都存在,且為的方向余弦．上任一點(diǎn)，于是(2)由假設(shè)在點(diǎn)可微，則有解對(duì)于二元函數(shù)來說,相應(yīng)于(1)的結(jié)果為其中是中向量的方向角．

按公式(1)可求得例2

設(shè)函數(shù)此函數(shù)示于圖16–15,已知它在原點(diǎn)不連續(xù)(當(dāng)然也就不可微)．但在始于原點(diǎn)的任何射線上,都存在包含原點(diǎn)的充分小的一段，在這一段上f的函數(shù)值恒為零.于是由方向?qū)?shù)定義,在原點(diǎn)處沿任何方向都有說明

(i)

函數(shù)在一點(diǎn)可微是方向?qū)?shù)存在的充分條

件而不是必要條件；(ii)

函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)同樣不是方向?qū)?shù)存在的必要

條件,當(dāng)然也不是充分條件(對(duì)此讀者應(yīng)能舉出反例)．※

梯度的概念則方向?qū)?shù)計(jì)算公式(1)又可寫成的長度(或模)為在定理17.6的條件下,若記

方向上的單位向量為解1.

設(shè)函數(shù)復(fù)習(xí)思考題由§1例6已知,于是按方向?qū)?shù)的計(jì)算公式(1)，是

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