小升初工程問題全解

一項(xiàng)工程，甲、乙合作要 12天完成；如果甲先做三天后，再有乙接著做 8天，共完成這項(xiàng)工程的5/12。如果這件工程有甲、乙單獨(dú)完成各需多少天？分析:一項(xiàng)工程，甲、乙合作要 12天完成.說明:那么甲、乙兩人每天做這項(xiàng)工程的1/12.如果甲先做三天后，再有乙接著做 8天，共完成這項(xiàng)工程的12/5.說明:這時(shí)候,我們就可以將條件改變?yōu)槿绻滓覂扇讼茸?3天后,再由乙接著做8-3=5(天)，共完成這項(xiàng)工程的5/12.改變條件后,這一題便好解決多.如果甲乙兩人先做 3天后,就做了這項(xiàng)工程的(1/12)*3=1/4,那么盛夏的5/12-1/4=1/6就由乙5(天)完成任務(wù).則可以求出乙的工作效率是 (1/6)/5=1/30,單獨(dú)做就需要 1/(1/30)=30(天).則甲的工作效率是1/12-1/30=1/20,那就要1/(1/20)=20(天).工程問題是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中的重點(diǎn)，是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的引申與補(bǔ)充，是培養(yǎng)學(xué)生抽象邏輯思維能力的重要工具。它是函數(shù)一一對應(yīng)思想在應(yīng)用題中的有力滲透。工程問題也是教材的難點(diǎn)。工程問題是把工作總量看成單位“1”的應(yīng)用題，它具有抽象性，學(xué)生認(rèn)知起來比較困難。因此，在教學(xué)中，如何讓學(xué)生建立正確概念是數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵。本節(jié)課從始至終都以工程問題的概念來貫穿，目的在于使學(xué)生理解并熟練掌握概念。聯(lián)系實(shí)際談話引入。引入設(shè)懸，滲透概念。目的在于讓學(xué)生復(fù)習(xí)理解工作總量、工作時(shí)間、工作效率之間的概念及它們之間的數(shù)量關(guān)系。初步的復(fù)習(xí)再次強(qiáng)化工程問題的概念。通過比較，建立概念。在教學(xué)中充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，運(yùn)用學(xué)生已有的知識“包含除”來解決合作問題。合理運(yùn)用強(qiáng)化概念。學(xué)生在感知的基礎(chǔ)上，于頭腦中初步形成了概念的表象，具備概念的原型。一部分學(xué)生只是接受了概念，還沒有完全消化概念。所以我編擬了練習(xí)題，目的在于通過學(xué)生運(yùn)用，來幫助學(xué)生認(rèn)識、理解、消化概念，使學(xué)生更加熟練的找到了工程問題的解題方法。在學(xué)生大量練習(xí)后，引出含有數(shù)量的工作問題，讓學(xué)生自己找到問題的答案。從而又一次突出工程問題概念的核心。在日常生活中，做某一件事，制造某種產(chǎn)品，完成某項(xiàng)任務(wù)，完成某項(xiàng)工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作時(shí)間這三個(gè)量，它們之間的基本數(shù)量關(guān)系是 ——工作量=工作效率X時(shí)間.在小學(xué)數(shù)學(xué)中，探討這三個(gè)數(shù)量之間關(guān)系的應(yīng)用題，我們都叫做“工程問題”.舉一個(gè)簡單例子 .：一件工作，甲做 10天可完成，乙做 15天可完成.問兩人合作幾天可以完成？一件工作看成 1個(gè)整體，因此可以把工作量算作 1.所謂工作效率，就是單位時(shí)間內(nèi)完成的工作量，我們用的時(shí)間單位是“天”，1天就是一個(gè)單位，再根據(jù)基本數(shù)量關(guān)系式，得到所需時(shí)間=工作量+工作效率=6（天）TOC\o"1-5"\h\z兩人合作需要 6天.這是工程問題中最基本的問題，這一講介紹的許多例子都是從這一問題發(fā)展產(chǎn)生的.為了計(jì)算整數(shù)化（盡可能用整數(shù)進(jìn)行計(jì)算 ），如第三講例3和例8所用方法，把工作量多設(shè)份額.還是上題，10與15的最小公倍數(shù)是 30.設(shè)全部工作量為30份.那么甲每天完成 3份，乙每天完成 2份.兩人合作所需天數(shù)是30+（3+2）=6（天）數(shù)計(jì)算，就方便些 .:2.或者說“工作量固定，工作效率與時(shí)間成反比例”.甲、乙工作效率的比是15：10=3：2.當(dāng)知道了兩者工作效率之比， 從比例角度考慮問題，也需時(shí)間是因此，在下面例題的講述中，不完全采用通常教科書中“把工作量設(shè)為整體 1”的做法，而偏重于“整數(shù)化”或“從比例角度出發(fā)”，也許會使我們的解題思路更靈活一些一、兩個(gè)人的問題標(biāo)題上說的“兩個(gè)人”，也可以是兩個(gè)組、兩個(gè)隊(duì)等等的兩個(gè)集體 .例1一件工作，甲做 9天可以完成，乙做 6天可以完成 .現(xiàn)在甲先做了3天，余下的工作由乙繼續(xù)完成 .乙需要做幾天可以完成全部工作？解一：甲每天完成 1/9，乙每天完成 1/6。甲先做了3天，即做了整個(gè)工作的3/9，還剩下6/9,則乙完成剩余工作的天數(shù)為：6/9+1/6=4答：乙需要做 4天可完成全部工作 .解二：9與6的最小公倍數(shù)是 18.設(shè)全部工作量是 18份.甲每天完成 2份，乙每天完成 3份.乙完成余下工作所需時(shí)間是（18-2X3）+3=4（天）.解三：甲與乙的工作效率之比是6：9=2：3.甲做了3天，相當(dāng)于乙做了2天.乙完成余下工作所需時(shí)間是 6-2=4（天）.例2一件工作，甲、乙兩人合作 30天可以完成，共同做了6天后，甲離開了，由乙繼續(xù)做了40天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨(dú)完成各需要多少天？解：共做了 6天后，原來，甲做 24天，乙做24天，現(xiàn)在，甲做 0天，乙做 40=（24+16）天 .這說明原來甲24天做的工作，可由乙做 16天來代替.因此甲的工作效率如果乙獨(dú)做，所需時(shí)間是如果甲獨(dú)做，所需時(shí)間是答：甲或乙獨(dú)做所需時(shí)間分別是 75天和50天.例3某工程先由甲獨(dú)做 63天，再由乙單獨(dú)做 28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48天完成.現(xiàn)在甲先單獨(dú)做 42天，然后再由乙來單獨(dú)完成，那么乙還需要做多少天？解：先對比如下：甲做 63天，乙做 28天；甲做 48天，乙做 48天.就知道甲少做 63-48=15（天），乙要多做 48-28=20（天），由此得出甲的甲先單獨(dú)做 42天，比63天少做了63-42=21（天），相當(dāng)于乙要做因此，乙還要做28+28=56（天）.答：乙還需要做 56天.例4一件工程，甲隊(duì)單獨(dú)做 10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做 30天完成.現(xiàn)在兩隊(duì)合作，其間甲隊(duì)休息了2天，乙隊(duì)休息了8天（不存在兩隊(duì)同一天休息）.問開始到完工共用了多少天時(shí)間？解一：甲隊(duì)單獨(dú)做 8天，乙隊(duì)單獨(dú)做 2天，共完成工作量余下的工作量是兩隊(duì)共同合作的，需要的天數(shù)是2+8+1=11（天）.答：從開始到完工共用了11天.解二：設(shè)全部工作量為30份.甲每天完成 3份，乙每天完成 1份.在甲隊(duì)單獨(dú)做 8天，乙隊(duì)單獨(dú)做2天之后，還需兩隊(duì)合作（30-3X8-1X2）+（3+1）=1（天）.TOC\o"1-5"\h\z解三：甲隊(duì)做 1天相當(dāng)于乙隊(duì)做 3天.在甲隊(duì)單獨(dú)做8天后,還余下（甲隊(duì)）10-8=2（天）工作量.相當(dāng)于乙隊(duì)要做2X3=6（天）.乙隊(duì)單獨(dú)做 2天后，還余下（乙隊(duì)）6-2=4（天）工作量 .4=3+1，其中3天可由甲隊(duì) 1天完成，因此兩隊(duì)只需再合作 1天.例5一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做 20天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做 30天完成.現(xiàn)在他們兩隊(duì)一起做，其間甲隊(duì)休息了3天，乙隊(duì)休息了若干天 .從開始到完成共用了16天.問乙隊(duì)休息了多少天？解一：如果 16天兩隊(duì)都不休息，可以完成的工作量是由于兩隊(duì)休息期間未做的工作量是乙隊(duì)休息期間未做的工作量是乙隊(duì)休息的天數(shù)是答：乙隊(duì)休息了5天半.解二：設(shè)全部工作量為 60份.甲每天完成 3份，乙每天完成 2份.兩隊(duì)休息期間未做的工作量是（3+2）X16-60=20（份）.因此乙休息天數(shù)是（20-3X3）+2=（天）.TOC\o"1-5"\h\z解三：甲隊(duì)做 2天，相當(dāng)于乙隊(duì)做 3天.甲隊(duì)休息3天，相當(dāng)于乙隊(duì)休息天 .如果甲隊(duì)16天都不休息，只余下甲隊(duì) 4天工作量，相當(dāng)于乙隊(duì) 6天工作量，乙休息天數(shù)是=（天） .例6有甲、乙兩項(xiàng)工作，張單獨(dú)完成甲工作要 10天，單獨(dú)完成乙工作要 15天；李單獨(dú)完成甲工作要 8天，單獨(dú)完成乙工作要 20天.如果每項(xiàng)工作都可以由兩人合作，那么這兩項(xiàng)工作都完成最少需要多少天？解：很明顯，李做甲工作的工作效率高，張做乙工作的工作效率高.因此讓李先做甲，張先做乙.TOC\o"1-5"\h\z設(shè)乙的工作量為60份（15與20的最小公倍數(shù)），張每天完成4份，李每天完成 3份.8天，李就能完成甲工作.此時(shí)張還余下乙工作（60-4X8）份.由張、李合作需要（60-4X8）+（4+3）=4（天）.8+4=12（天） .答：這兩項(xiàng)工作都完成最少需要12天.例7一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做需10天，乙獨(dú)做需15天，如果兩人合作，他們要 8天完成這項(xiàng)工程，兩人合作天數(shù)盡可能少，那么兩人要合作多少天？解：設(shè)這項(xiàng)工程的工作量為30份，甲每天完成 3份，乙每天完成 2份.兩人合作，共完成3X+2X=（份）.因?yàn)閮扇撕献魈鞌?shù)要盡可能少，獨(dú)做的應(yīng)是工作效率較高的甲.因?yàn)橐?天內(nèi)完成，所以兩人合作的天數(shù)是（30-3X8）+（）=5（天）.很明顯，最后轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”型問題例8甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比單獨(dú)做時(shí) ，如果這件工作始終由甲一人單獨(dú)來做，需要多少小時(shí)？解：乙6小時(shí)單獨(dú)工作完成的工作量是乙每小時(shí)完成的工作量是兩人合作6小時(shí)，甲完成的工作量是甲單獨(dú)做時(shí)每小時(shí)完成的工作量甲單獨(dú)做這件工作需要的時(shí)間是答：甲單獨(dú)完成這件工作需要33小時(shí).這一節(jié)的多數(shù)例題都進(jìn)行了“整數(shù)化”的處理.但是，“整數(shù)化”并不能使所有工程問題的計(jì)算簡便.例8就是如此.例8也可以整數(shù)化，當(dāng)求出乙每有一點(diǎn)方便，但好處不大.不必多此一舉.二、多人的工程問題我們說的多人，至少有3個(gè)人，當(dāng)然多人問題要比2人問題復(fù)雜一些，但是解題的基本思路還是差不多.例9一件工作，甲、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、內(nèi)兩人合作要60天完成.問甲一人獨(dú)做需要多少天完成？解：設(shè)這件工作的工作量是1.甲、乙、丙三人合作每天完成減去乙、內(nèi)兩人每天完成的工作量，甲每天完成答：甲一人獨(dú)做需要90天完成.例9也可以整數(shù)化，設(shè)全部工作量為180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.請?jiān)囈辉?，?jì)算是否會方便些？例10一件工作，甲獨(dú)做要 12天，乙獨(dú)做要 18天，丙獨(dú)做要24天.這件工作由甲先做了若干天，然后由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3倍，再由丙接著做，丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的2倍，終于做完了這件工作.問總共用了多少天？解：甲做1天,乙就做3天，內(nèi)就做3X2=6（天）.說明甲做了2天，乙做了2X3=6（天），丙做2X6=12（天），三人一共做了TOC\o"1-5"\h\z2+6+12=20（天） .答：完成這項(xiàng)工作用了20天.本題整數(shù)化會帶來計(jì)算上的方便 .12，18，24這三數(shù)有一個(gè)易求出的最小公倍數(shù) 72.可設(shè)全部工作量為72.甲每天完成 6，乙每天完成 4，丙每天完成 3.總共用了例11一項(xiàng)工程，甲、乙、丙三人合作需要 13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做 4天，或者由甲、乙兩人合作 1天.問這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做需要多少天？解：內(nèi)2天的工作量，相當(dāng)乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的 4+2=2（倍），甲、乙合作 1天，與乙做 4天一樣.也就是甲做 1天，相當(dāng)于乙做 3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.他們共同做 13天的工作量，由甲單獨(dú)完成，甲需要答：甲獨(dú)做需要26天.事實(shí)上，當(dāng)我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是 3：2：1,就知甲做1天，相當(dāng)于乙、丙合作 1天.三人合作需 13天，其中乙、丙兩人完成的工作量，可轉(zhuǎn)化為甲再做 13天來完成.例12某項(xiàng)工作，甲組 3人8天能完成工作，乙組4人7天也能完成工作 .問甲組2人和乙組7人合作多少時(shí)間能完成這項(xiàng)工作？解一：設(shè)這項(xiàng)工作的工作量是 1.甲組每人每天能完成乙組每人每天能完成甲組2人和乙組7人每天能完成答：合作3天能完成這項(xiàng)工作解二：甲組 3人8天能完成，因此 2人12天能完成；乙組4人7天能完成，因此 7人4天能完成.現(xiàn)在已不需顧及人數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為：甲組獨(dú)做12天，乙組獨(dú)做 4天，問合作幾天完成？小學(xué)算術(shù)要充分利用給出數(shù)據(jù)的特殊性.解二是比例靈活運(yùn)用的典型，如果你心算較好，很快就能得出答數(shù) .例13制作一批零件，甲車間要 10天完成，如果甲車間與乙車間一起做只要 6天就能完成.乙車間與丙車間一起做，需要8天才能完成 .現(xiàn)在三個(gè)車間一起做，完成后發(fā)現(xiàn)甲車間比乙車間多制作零件 2400個(gè).問丙車間制作了多少個(gè)零件？解一：仍設(shè)總工作量為 1.甲每天比乙多完成因此這批零件的總數(shù)是丙車間制作的零件數(shù)目是答：丙車間制作了4200個(gè)零件.解二：10與6最小公倍數(shù)是 30.設(shè)制作零件全部工作量為30份.甲每天完成 3份，甲、乙一起每天完成 5份，由此得出乙每天完成 2份.乙、丙一起，8天完成.乙完成8X2=16（份），內(nèi)完成30-16=14（份），就知乙、丙工作效率之比是16：14=8：7.已知甲、乙工作效率之比是3：2=12：8.綜合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是12：8：7.當(dāng)三個(gè)車間一起做時(shí)，丙制作的零件個(gè)數(shù)是2400+（12-8）X7=4200（個(gè)）.例14搬運(yùn)一個(gè)倉庫的貨物，甲需要 10小時(shí)，乙需要 12小時(shí)，丙需要 15小時(shí).有同樣的倉庫A和B,甲在A倉庫、乙在B倉庫同時(shí)開始搬運(yùn)貨物，內(nèi)開始幫助甲搬運(yùn)，中途又轉(zhuǎn)向幫助乙搬運(yùn) .最后兩個(gè)倉庫貨物同時(shí)搬完.問丙幫助甲、乙各多少時(shí)間？解：設(shè)搬運(yùn)一個(gè)倉庫的貨物的工作量是 1.現(xiàn)在相當(dāng)于三人共同完成工作量 2，所需時(shí)間是答：丙幫助甲搬運(yùn) 3小時(shí)，幫助乙搬運(yùn) 5小時(shí).解本題的關(guān)鍵，是先算出三人共同搬運(yùn)兩個(gè)倉庫的時(shí)間.本題計(jì)算當(dāng)然也可以整數(shù)化，設(shè)搬運(yùn)一個(gè)倉庫全部工作量為60.甲每小時(shí)搬運(yùn) 6，乙每小時(shí)搬運(yùn) 5，丙每小時(shí)搬運(yùn) 4.三人共同搬完，需要60X2+ (6+5+4)=8(小時(shí)).甲需丙幫助搬運(yùn)(60-6X8)+4=3(小時(shí)).乙需丙幫助搬運(yùn)(60-5X8)+4=5(小時(shí)).三、水管問題從數(shù)學(xué)的內(nèi)容來看，水管問題與工程問題是一樣的.水池的注水或排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，注水量或排水量就是工作量 .單位時(shí)間里的注水量或排水量就是工作效率 .至于又有注入又有排出的問題，不過是工作量有加有減罷了.因此，水管問題與工程問題的解題思路基本相同.例15甲、乙兩管同時(shí)打開，9分鐘能注滿水池 .現(xiàn)在，先打開甲管，10分鐘后打開乙管，經(jīng)過3分鐘就注滿了水池 .已知甲管比乙管每分鐘多注入立方米水，這個(gè)水池的容積是多少立方米？甲每分鐘注入水量是乙每分鐘注入水量是因此水池容積是答：水池容積是 27立方米.例16有一些水管，它們每分鐘注水量都相等 .現(xiàn)在按預(yù)定時(shí)間注滿水池，如果開始時(shí)就打開10根水管，中途不增開水管，也能按預(yù)定時(shí)間注滿水池 .問開始時(shí)打開了幾根水答：開始時(shí)打開 6根水管.例17蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管，和乙、丁兩條排水管 .要灌滿一池水，單開甲管需 3小時(shí)，單開丙管需要 5小時(shí).要排光一池水，單開乙管需要、乙、……的順序輪流打開1小時(shí)，問多少時(shí)間后水開始溢出水池？，否則開甲管的過程中水池里的水就會溢出.以后（20小時(shí)），池中的水已有此題與廣為流傳的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉進(jìn)了枯井的青蛙，它要往上爬 30尺才能到達(dá)井口，每小時(shí)它總是爬3尺，又滑下 2尺.問這只青蛙需要多少小時(shí)才能爬到井口？看起來它每小時(shí)只往上爬 3-2=1（尺），但爬了 27小時(shí)后，它再爬 1小時(shí)，往上爬了3尺已到達(dá)井口.因此，答案是 28小時(shí)，而不是 30小時(shí).例18一個(gè)蓄水池，每分鐘流入 4立方米水.如果打開5個(gè)水龍頭，2小時(shí)半就把水池水放空，如果打開 8個(gè)水龍頭，1小時(shí)半就把水池水放空 .現(xiàn)在打開13個(gè)水龍頭，問要多少時(shí)間才能把水放空？解：先計(jì)算 1個(gè)水龍頭每分鐘放出水量 .2小時(shí)半比1小時(shí)半多60分鐘，多流入水4X60=240（立方米）.時(shí)間都用分鐘作單位，1個(gè)水龍頭每分鐘放水量是240+（5X150-8X90）=8（立方米）,8個(gè)水龍頭1個(gè)半小時(shí)放出的水量是8X8X90其中90分鐘內(nèi)流入水量是4X90,因此原來水池中存有水8X8X90-4X90=5400（立方米） .打開13個(gè)水龍頭每分鐘可以放出水8X13,除去每分鐘流入4,其余將放出原存的水，放空原存的 5400，需要5400+（8X13-4）=54（分鐘）.答：打開 13個(gè)龍頭，放空水池要 54分鐘.水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分開考慮，解本題的關(guān)鍵是先求出池中原存有的水 .這在題目中卻是隱含著的.例19一個(gè)水池，地下水從四壁滲入池中，每小時(shí)滲入水量是固定的 .打開A管，8小時(shí)可將滿池水排空，打開C管，12小時(shí)可將滿池水排空.如果打開A,B兩管，4小時(shí)可將水排空.問打開B,C兩管，要幾小時(shí)才能將滿池水排空？解：設(shè)滿水池的水量為1.A管每小時(shí)排出A管4小時(shí)排出因此，B,C兩管齊開，每小時(shí)排水量是B,C兩管齊開，排光滿水池的水，所需時(shí)間是答：B，C兩管齊開要 4小時(shí)48分才將滿池水排完.本題也要分開考慮，水池原有水（滿池）和滲入水量.由于不知具體數(shù)量，像工程問題不知工作量的具體數(shù)量一樣 .這里把兩種水量分別設(shè)成“1”.但這兩種量要避免混淆 .事實(shí)上，也可以整數(shù)化，把原有水設(shè)為8與12的最小公倍數(shù) 24.17世紀(jì)英國偉大的科學(xué)家牛頓寫過一本《普遍算術(shù)》一書，書中提出了一個(gè)“牛吃草”問題，這是一道饒有趣味的算術(shù)題.從本質(zhì)上講，與例18和例19是類同的.題目涉及三種數(shù)量：原有草、新長出的草、牛吃掉的草 .這與原有水量、滲入水量、水管排出的水量，是完全類同的.例20有三片牧場，場上草長得一樣密，而且長得一 草；21頭牛9星期吃完第二片牧場的草.問多少頭牛 18星期才能吃完第三片牧場的草？解：吃草總量=一頭牛每星期吃草量X牛頭數(shù)X星期數(shù).根據(jù)這一計(jì)算公式，可以設(shè)定“一頭牛每星期吃草量”作為草的計(jì)量單位 .原有草+4星期新長的草=12X4.原有草+9星期新長的草=7X9.由此可得出，每星期新長的草是(7X9-12X4)+(9-4)=3.那么原有草是7X9-3X9=36(或者12X4-3X4).對第三片牧場來說，原有草和18星期新長出草的總量是這些草能讓90X+18=36(頭)牛吃18個(gè)星期.答：36頭牛18個(gè)星期能吃完第三片牧場的草 .例20與例19的解法稍有一點(diǎn)不一樣 .例20把“新長的”具體地求出來，把“原有的”與“新長的”兩種量統(tǒng)一起來計(jì)算.事實(shí)上，如果例19再有一個(gè)條件，例如：“打開B管，10小時(shí)可以將滿池水排空 .”也就可以求出“新長的”與“原有的”之間數(shù)量關(guān)系.但僅僅是例 19所求，是不需要加這一條件 .好好想一想，你能明白其中的道理嗎？“牛吃草”這一類型問題可以以各種各樣的面目出現(xiàn) .限于篇幅，我們只再舉一個(gè)例子 .例21畫展9點(diǎn)開門，但早有人排隊(duì)等候入場 .從第一個(gè)觀眾來到時(shí)起，每分鐘來的觀眾人數(shù)一樣多.如果開3個(gè)入場口，9點(diǎn)9分就不再有人排隊(duì)，如果開 5個(gè)入場口，9點(diǎn)5分就沒有人排隊(duì) .問第一個(gè)觀眾到達(dá)時(shí)間是 8點(diǎn)幾分？解：設(shè)一個(gè)入場口每分鐘能進(jìn)入的觀眾為1個(gè)計(jì)算單位 .從9點(diǎn)至9點(diǎn)9分進(jìn)入觀眾是3X9,從9點(diǎn)至9點(diǎn)5分進(jìn)入觀眾是5X5.因?yàn)橛^眾多來了9-5=4(分鐘)，所以每分鐘來的觀眾是(3X9-5X5)+(9-5)=.9點(diǎn)前來的觀眾是5XX5=.這些觀眾來到需要+=45(分鐘).答：第一個(gè)觀眾到達(dá)時(shí)間是 8點(diǎn)15分.例1、挖一條水渠，甲、乙兩隊(duì)合挖要六天完成。甲隊(duì)先挖三天，乙隊(duì)接著挖一天，可挖這條水渠的3/10，兩隊(duì)單獨(dú)挖各需幾天？例2、分析:甲乙合作1天后,甲又做了2天共3/10-1/6=4/30例3、2+(3/10-1/6)例4、=2+4/30例5、=15(天)例6、1+(1/6-1/15)=10(天)例7、答:甲單獨(dú)做要 15天,乙單獨(dú)做要 10天.例2.一件工作，如果甲單獨(dú)做，那么甲按規(guī)定時(shí)間可提前 2天完成，乙則要超過規(guī)定時(shí)間3天才完成?，F(xiàn)在甲乙二人合作二天后，剩下的乙單獨(dú)做，剛好在規(guī)定日期內(nèi)完成。若甲乙二人合作，完成工作需多長時(shí)間？解設(shè)：規(guī)定時(shí)間為X天.(甲單獨(dú)要X-2天，乙單獨(dú)要X+3天，甲一共做了2天，乙一共做了X天)1/(X-2)X2+X/(X+3)=1X=12規(guī)定要12天完成1+[1/(12-2)+1/(12+3)]=1+(1/6)=6天答:兩人合作完成要 6天.例3：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做 63天，再由乙做 28天完成，甲乙合作需要 48天完成。甲先做42天，乙做還要幾天？答：設(shè)甲的工效為x,乙的工效為y63x+28y=148x+48y=1x=1/84y=1/112乙還要做（1-42/84）/（1/112）=56（天）【含義】工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時(shí)間三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項(xiàng)工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時(shí)，常常用單位 “1”表示工作總量?！緮?shù)量關(guān)系】解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作 “1，這樣，工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)”（它表示單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時(shí)間三者之間的關(guān)系列出算式。工作量=工作效率 X工作時(shí)間工作時(shí)間=工作量 扛作效率工作時(shí)間=總工作量 +（甲工作效率+乙工作效率）【解題思路和方法】變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。例1、一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需要 10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊(duì)合作，需要幾天完成？解題中的“一項(xiàng)工程”是工作總量，由于沒有給出這項(xiàng)工程的具體數(shù)量，因此，把此項(xiàng)工程看作單位“1。由于甲隊(duì)獨(dú)做需” 10天完成，那么每天完成這項(xiàng)工程的1/10；乙隊(duì)單獨(dú)做需15天完成，每天完成這項(xiàng)工程的1/15；兩隊(duì)合做，每天可以完成這項(xiàng)工程的（1/10＋1/15）。由此可以列出算式： 1+（1/10+1/15）=1+1/6=6（天）答：兩隊(duì)合做需要 6天完成。例2、一批零件，甲獨(dú)做 6小時(shí)完成，乙獨(dú)做 8小時(shí)完成?，F(xiàn)在兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲比乙多做 24個(gè)，求這批零件共有多少個(gè)？解設(shè)總工作量為 1，則甲每小時(shí)完成 1/6，乙每小時(shí)完成