《簡(jiǎn)易方程》單元教學(xué)分析

PAGE11《簡(jiǎn)易方程》單元教學(xué)分析一、教學(xué)目標(biāo)1使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)用字母表示數(shù)的作用，發(fā)展符號(hào)意識(shí)，能夠用字母表示學(xué)過的運(yùn)算定律和計(jì)算公式，能夠在具體的情境中用字母表示常見的數(shù)量關(guān)系。初步學(xué)會(huì)根據(jù)字母所取的值，求含有字母式子的值。2使學(xué)生初步了解方程的作用，初步理解等式的基本性質(zhì)，能用等式的基本性質(zhì)解簡(jiǎn)易方程，初步體會(huì)化歸思想。3使學(xué)生感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，初步學(xué)會(huì)列方程解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，獲得數(shù)學(xué)建模的初步體驗(yàn)。培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)具體情況，靈活選擇算法的意識(shí)和能力。二、內(nèi)容安排及其特點(diǎn)1教學(xué)內(nèi)容和作用。本單元的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容是用字母表示數(shù)和解簡(jiǎn)易方程，以及簡(jiǎn)易方程在解決一些實(shí)際問題中的運(yùn)用。這些內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)了一定的算術(shù)知識(shí)（如整數(shù)、小數(shù)的四則運(yùn)算及其應(yīng)用），已初步接觸了一點(diǎn)代數(shù)知識(shí)（如用字母表示運(yùn)算定律，用○、△或口表示數(shù)）的基礎(chǔ)上，進(jìn)行學(xué)習(xí)的。用字母表示數(shù)是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式，方程是一類事物普遍適用的數(shù)學(xué)模型，在初等代數(shù)中占有重要地位。中小學(xué)生在學(xué)習(xí)代數(shù)的整個(gè)過程中，幾乎都要接觸這方面的知識(shí)。一般地說，在小學(xué)教學(xué)簡(jiǎn)易方程有以下幾方面的作用。一是有助于培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與符號(hào)意識(shí)。兒童從具體的量（三個(gè)人、四只兔）抽象出數(shù)3、4，是認(rèn)識(shí)上的一次飛躍。由于每個(gè)數(shù)都是確定的，因此學(xué)生還比較容易接受。現(xiàn)在從確定的數(shù)過渡到用字母表示數(shù)，更是認(rèn)識(shí)上的一次飛躍。這是因?yàn)樽帜副硎镜臄?shù)具有不確定性，有時(shí)可以是任意數(shù)，有時(shí)有一定的范圍，在特定場(chǎng)合下又有特定的意義。這種不確定性對(duì)于小學(xué)生來說是比較抽象的。所以說學(xué)生理解并運(yùn)用字母表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和數(shù)學(xué)規(guī)律的過程，既是提升抽象概括能力的過程，也是發(fā)展數(shù)學(xué)語(yǔ)言與符號(hào)意識(shí)的過程。二是有助于落實(shí)數(shù)學(xué)課程“四基”“四能”的培養(yǎng)目標(biāo)。學(xué)習(xí)列方程、解方程，可以體會(huì)蘊(yùn)含其中的建模思想、化歸思想，并且作為后面學(xué)習(xí)解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)工具。從算式發(fā)展到方程，這又是數(shù)學(xué)思想方法認(rèn)識(shí)上的一次飛躍。它將使學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，以及思維的靈活性提高到一個(gè)新的水平。三是有助于鞏固和加深理解所學(xué)的算術(shù)知識(shí)。通過用字母表示學(xué)過的數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算定律以及一些圖形的周長(zhǎng)、面積計(jì)算公式，可以使學(xué)生加深對(duì)這些知識(shí)的理解。同時(shí)，用字母表示比用文字表述更簡(jiǎn)明易記，也便于鞏固所學(xué)知識(shí)。四是有利于加強(qiáng)中小學(xué)數(shù)學(xué)的銜接。讓學(xué)生初步接觸一點(diǎn)代數(shù)知識(shí)，能使學(xué)生擺脫算術(shù)思維方法中的某些局限性（逆向思考，未知數(shù)不參加運(yùn)算，相當(dāng)于少用了已知條件，增加了思維的步驟），為進(jìn)一步學(xué)習(xí)代數(shù)知識(shí)作好認(rèn)識(shí)的準(zhǔn)備和鋪墊。本單元的內(nèi)容分為兩節(jié)，第一節(jié)的主要內(nèi)容是用字母表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系、表示運(yùn)算定律和計(jì)算公式。第二節(jié)的主要內(nèi)容是方程的意義、等式的性質(zhì)和解簡(jiǎn)易方程，以及列方程解決一些比較簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。這些內(nèi)容的編排體系如下表。

兩節(jié)教材各部分內(nèi)容內(nèi)在的邏輯聯(lián)系是：用“字母表示數(shù)”是學(xué)習(xí)方程的基礎(chǔ)，“方程的意義”與“等式的性質(zhì)”是學(xué)習(xí)“解方程”的基礎(chǔ)，“實(shí)際問題與方程”是“解方程”的應(yīng)用。2教材編排特點(diǎn)。（1）根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的實(shí)際情況編排用字母表示數(shù)的內(nèi)容。兒童在日常生活中，已經(jīng)先于學(xué)校的數(shù)學(xué)課程，接觸到了用字母表示數(shù)。如撲克牌中的A、J、Q、K分別表示1、11、12、13。在五年級(jí)之前的數(shù)學(xué)課中，又學(xué)習(xí)了用符號(hào)表示一個(gè)特定的數(shù)，用字母表示運(yùn)算定律。有了這些基礎(chǔ)，本單元教材的編排，就不再?gòu)挠米帜副硎咎囟ǖ臄?shù)、一般的數(shù)起步，而是直接從用含有字母的式子表示數(shù)量關(guān)系開始。用含有字母的式子表示數(shù)量關(guān)系，即根據(jù)數(shù)量關(guān)系的陳述寫出代數(shù)式，這是進(jìn)一步學(xué)習(xí)代數(shù)的基本技能。對(duì)小學(xué)生來說，起初會(huì)有一些困惑。例如，已知父親年齡比女兒大30歲，用a表示女兒歲數(shù)，那么a＋30既表示父親歲數(shù)總是比女兒歲數(shù)大30的數(shù)量關(guān)系，又表示父親的歲數(shù)。這是學(xué)生初學(xué)時(shí)的一個(gè)難點(diǎn)。首先，他們要理解父女年齡之間的關(guān)系，把用語(yǔ)言敘述的這一關(guān)系改用含有字母的式子表示；其次，他們往往不習(xí)慣將a＋30視為一個(gè)量，常有學(xué)生認(rèn)為這是一個(gè)式子，不是結(jié)果。而用一個(gè)式子表示一個(gè)量恰恰是學(xué)習(xí)列方程不可或缺的一個(gè)基礎(chǔ)。因此，為了突破難點(diǎn)，保證基礎(chǔ)，教材加強(qiáng)了用字母表示數(shù)的教學(xué)。除了原有的兩個(gè)例題，例l（父女年齡的相差關(guān)系用“和”的形式表示）、例2（物體質(zhì)量的倍數(shù)關(guān)系用“積”的形式表示）之外，還增加了例4、例5，表示稍復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，并相應(yīng)增加了一個(gè)練習(xí)。同時(shí)，還加強(qiáng)了代入求值的教學(xué)，使學(xué)生不斷看到，用含字母的式子既可以表示數(shù)量關(guān)系，又可以表示一個(gè)量，當(dāng)用一個(gè)合適的數(shù)代替字母并求值，就得到了一個(gè)具體的數(shù)。從而幫助學(xué)生逐步感悟、適應(yīng)字母代數(shù)的特點(diǎn)。（2）以等式的基本性質(zhì)為基礎(chǔ)，而不是依據(jù)逆運(yùn)算關(guān)系解方程。過去，在小學(xué)教學(xué)簡(jiǎn)易方程，方程變形的依據(jù)是加減運(yùn)算的關(guān)系或乘除運(yùn)算的關(guān)系。這實(shí)際上是用算術(shù)的思路求未知數(shù)，只適合解一些簡(jiǎn)單的方程。到了中學(xué)又要另起爐灶，引入等式的基本性質(zhì)或方程的同解原理，然后重新學(xué)習(xí)依據(jù)等式的基本性質(zhì)或方程的同解原理解方程，而且，小學(xué)的思路及其算法掌握的越牢固，對(duì)中學(xué)代數(shù)起步教學(xué)的負(fù)遷移就越明顯?，F(xiàn)在，根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)（2022）》的要求，從小學(xué)起就引入等式的基本性質(zhì)，并以此為基礎(chǔ)導(dǎo)出解方程的方法。這就較為徹底地避免了同一內(nèi)容兩種思路、兩種算理解釋的現(xiàn)象，有利于改善和加強(qiáng)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接。由于解方程的算術(shù)思路走不遠(yuǎn)，一到中學(xué)就被徹底拋棄，所以除了小學(xué)數(shù)學(xué)教師之外，一般成年人留在記憶里的，都是依據(jù)等式性質(zhì)的方程解法。也就是說，只要學(xué)生能夠接受、理解，用通性、通法替代過渡性的、很快被淘汰的知識(shí)，符合可持續(xù)的發(fā)展觀。近年來的教學(xué)實(shí)踐表明，小學(xué)生對(duì)以天平為直觀形象載體的等式性質(zhì)，感到新奇、有趣，樂意接受，也容易理解。這是改革能夠成功的必要條件，實(shí)踐證明了改革的可行性。通過教學(xué)實(shí)踐還進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)號(hào)以等式性質(zhì)為依據(jù)，能夠促進(jìn)學(xué)生同時(shí)考慮等號(hào)的兩邊，從整體上理解方程的含義。這就有利于學(xué)生理解方程所揭示的等量關(guān)系，有助于逐步感悟方程的實(shí)質(zhì)、等價(jià)思想和建模思想。（3）凸顯利用等式基本性質(zhì)解方程的優(yōu)勢(shì)。利用等式基本性質(zhì)解方程，除了滲透數(shù)學(xué)思想方法的優(yōu)勢(shì)之外，它的優(yōu)越性也能在一些解方程的過程中顯現(xiàn)。例如，解形如＋a＝b與－a＝b的方程，都可以歸結(jié)為，等式兩邊減去與加上a，得＝b－a與＝b＋a；解形如a＝b與，÷a＝b的方程，都可以歸結(jié)為，等式兩邊除以與乘上a，得＝b÷a與＝ab。顯然比原來依據(jù)逆運(yùn)算關(guān)系解方程，思路更為統(tǒng)一。由于小學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)正負(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，形如a－＝b的簡(jiǎn)易方程，可以依據(jù)等式的性質(zhì)1，先變形為a＝b＋。形如a÷＝b的簡(jiǎn)易方程，可以依據(jù)等式性質(zhì)2，先變形為a＝b。到了中學(xué)，學(xué)習(xí)了有理數(shù)的四則運(yùn)算，a－＝b與a＋＝b的區(qū)別，就不復(fù)存在。形如a÷＝b的方程，本質(zhì)上是分式方程，需要先去分母。一般來說，去分母不宜作為小學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。事實(shí)上，即使回避這兩種類型的簡(jiǎn)易方程，也不影響學(xué)生列方程解決實(shí)際問題。因?yàn)楫?dāng)需要列出形如a－＝b或a÷＝b的方程時(shí)，總可以根據(jù)實(shí)際問題的等量關(guān)系，列成形如＋b＝a或b＝a的方程。這也體現(xiàn)了列方程解決問題，常常可以化逆向思維為順向思維的優(yōu)勢(shì)。（4）加強(qiáng)列方程解決實(shí)際問題的教學(xué)，適當(dāng)分散難點(diǎn)。本單元教材的第1節(jié)，加強(qiáng)了用含字母的式子表示數(shù)量關(guān)系的教學(xué)，為學(xué)習(xí)列方程解決實(shí)際問題奠定了更為堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。第2節(jié)，將“實(shí)際問題與方程”這部分內(nèi)容單列，并有所加強(qiáng)。這部分的五道例題，如果用算術(shù)方法解答，都需要逆向思維，從而便于突出等量關(guān)系的分析，突出列方程解決實(shí)際問題的特點(diǎn)。解方程的教學(xué)與列方程解決實(shí)際問題的教學(xué)，如果結(jié)合在一起進(jìn)行，雖有利于呈現(xiàn)從數(shù)學(xué)抽象到數(shù)學(xué)應(yīng)用的完整過程，但容易出現(xiàn)難點(diǎn)集中的弊端。這一一弊端已被實(shí)踐所證實(shí)。因此，為了便于學(xué)與教，在“解方程”這部分內(nèi)容中，教材沒有刻意題題都從現(xiàn)實(shí)情境引出方程，而是充分借助實(shí)物直觀、幾何直觀，發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì)，幫助學(xué)生理解方程變形、求解的過程。待學(xué)生有了一定的解方程基礎(chǔ)后，在“實(shí)際問題與方程”這部分內(nèi)容中，再由實(shí)際問題引入前面沒有出現(xiàn)過的方程。這樣處理，兩部分內(nèi)容各有側(cè)重，既分散了教學(xué)的難點(diǎn)，又關(guān)注了數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，有利于提高教學(xué)的有效性，切實(shí)加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)。三、教學(xué)建議1關(guān)注由具體到一般的抽象概括過程。本單元的知識(shí)大多比較抽象。教學(xué)時(shí)要充分利用學(xué)生原有的相關(guān)認(rèn)知基石出，關(guān)注由具體實(shí)例到一般意義的抽象概括過程。無論是學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)量關(guān)系，還是學(xué)習(xí)方程的概念或等式的性質(zhì)，既要發(fā)揮具體實(shí)例對(duì)于抽象概括的支撐作用，又要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生超脫實(shí)例的具體性，實(shí)現(xiàn)必要的抽象概括。2有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)的思想方法。本單元的內(nèi)容蘊(yùn)含較為豐富的數(shù)學(xué)思想，如抽象思想、推理思想、化歸（轉(zhuǎn)化）思想、等價(jià)思想、模型思想等。抽象是數(shù)學(xué)最基本的思想方法，也是數(shù)學(xué)最主要的特點(diǎn)之一。在本單元的教學(xué)中，從一開始就應(yīng)有意識(shí)地利用教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，滲透數(shù)學(xué)抽象思想，啟發(fā)學(xué)生在抽象概括數(shù)量關(guān)系的過程中理解結(jié)論的一般性，體會(huì)字母、符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式。解方程的過程實(shí)際上是一連串依據(jù)等式性質(zhì)的演繹推理過程，最終將原方程轉(zhuǎn)化為與其等價(jià)的“＝”的形式?！埃健笔欠匠套冃蔚哪繕?biāo)。教學(xué)時(shí)，應(yīng)要求學(xué)生做得對(duì)、說得清，從而在理解變形依據(jù)、過程的基礎(chǔ)上掌握所學(xué)方程的解法。列方程的過程實(shí)際上是一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)提煉現(xiàn)實(shí)生活中特定父系的過程，也就是數(shù)學(xué)建模過程。教學(xué)時(shí)，應(yīng)啟發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)把日常生活中的自然語(yǔ)言等價(jià)地轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，得到方程，進(jìn)而解決有關(guān)問題。學(xué)會(huì)“化歸”方法，領(lǐng)悟“建?！彼枷耄侵行W(xué)方程教學(xué)共同的核心目標(biāo)。此外，用含字母的式子表示數(shù)量關(guān)系，式子的值隨著字母取值的變化而變化，形成一一對(duì)應(yīng)，反映了變量間的依存、對(duì)應(yīng)關(guān)系，這是函數(shù)思想的重要內(nèi)涵。其中很多問題要求思考字母的取值范圍，其數(shù)學(xué)背景是求函數(shù)的定義域。3重視概念與原理的教學(xué)。建立方程的概念是學(xué)習(xí)解方程的基礎(chǔ)。雖然有關(guān)方程的幾個(gè)概念，教材只作描述，不下定義，但這并沒有削弱理解概念對(duì)于掌握方法的作用。比如，只有理解了“方程”的含義，它是一個(gè)“含有未知數(shù)的等式”，才有可能明確，所謂解方程，實(shí)際上就是解決這樣一個(gè)問題：當(dāng)取什么數(shù)值時(shí)，能使等式成立。類似地，只要理解了“方程的解”的含義，也就明確了應(yīng)當(dāng)怎樣女檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)數(shù)是不是方程的解。同樣道理，為使等式的基本性質(zhì)成為解方程的認(rèn)知基礎(chǔ)，就應(yīng)當(dāng)重視對(duì)它的理解。教學(xué)時(shí)，應(yīng)充分利用天平的直觀性，幫助學(xué)生感悟怎樣才能使天平的兩端保持平衡。學(xué)生理解了等式的摹本性質(zhì)，就能有效地避免解方程時(shí)的機(jī)械模仿和死記硬背。4重視解決實(shí)際問題能力的培養(yǎng)。用方程解決實(shí)際問題的思考過程比較直接、簡(jiǎn)明，能使某些實(shí)際問題的解決化難為易。所以有利于減少學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，克服解決實(shí)際問題的畏難情緒，提高解決實(shí)際問題的能力。又由于算術(shù)方法和用方程解決問題的思路有所不同，從而能使學(xué)生在掌握新的解決問題思考方法的過程中開闊思路，這同樣有助于發(fā)展學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。由于列方程解決實(shí)際問題的起步教學(xué)所給出的問題都比較簡(jiǎn)單，沿用算術(shù)解法只需進(jìn)一步計(jì)算，因此學(xué)生常常覺得列方程解更“麻煩”“不簡(jiǎn)便”。對(duì)此，一方面有必要適當(dāng)解釋，所謂“麻煩”，只是增加了書寫量；另一方面，應(yīng)著力使學(xué)生隨著學(xué)習(xí)的進(jìn)展，逐步體會(huì)列方程解決問題具有變逆向思考為順向思考的優(yōu)勢(shì)。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生掌握列方程解決問題的基本步驟，并注意引導(dǎo)他們逐步學(xué)會(huì)根據(jù)問題特點(diǎn)，靈活選擇便于思考的簡(jiǎn)便解法，進(jìn)而豐富解題策略，發(fā)展思維的靈活性。5注意掌握教學(xué)目標(biāo)的適切性。從代數(shù)角度考察本單元的教學(xué)內(nèi)容，不難發(fā)現(xiàn)內(nèi)容本身有很大的發(fā)展空間。因此，教師在確定各課時(shí)的教學(xué)日標(biāo)時(shí)，應(yīng)依據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)（2022）》，參照教科書和本單元的教學(xué)日標(biāo)。同時(shí)還應(yīng)從本班學(xué)生的實(shí)際情況出發(fā)，把教學(xué)目標(biāo)定在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)。例如，在教學(xué)用方程解決問題時(shí)，教師可以補(bǔ)充一些聯(lián)系實(shí)際的問題，特別是補(bǔ)充一些具有地方特點(diǎn)的實(shí)際問題。但這些問題的數(shù)量關(guān)系不能過于復(fù)雜，必須是學(xué)生能夠理解的；由這些問題所得到的方程，形式一般不宜超過教材。以免加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，欲速而不達(dá)。6用好教材資源，適當(dāng)擴(kuò)展聯(lián)系實(shí)際的范圍。在本單元中，用字母表示數(shù)量關(guān)系和列方程解決實(shí)際問題，都是便于理論（數(shù)學(xué)知識(shí)）聯(lián)系實(shí)際（現(xiàn)實(shí)生活）的學(xué)習(xí)內(nèi)容。教材從小學(xué)高年級(jí)學(xué)生的共性著眼，精心篩選、設(shè)計(jì)了不少生動(dòng)的、富有意義的現(xiàn)實(shí)題材。如第1節(jié)中人在地球上與月球上的舉重質(zhì)量的關(guān)系，標(biāo)準(zhǔn)體重與身高的關(guān)系。又如第2節(jié)中華氏溫度與攝氏溫度的關(guān)系，地球表面、海洋面積與陸地面積的構(gòu)成等。教學(xué)時(shí)，應(yīng)充分用好教材提供的資源，進(jìn)I而從本地、本校的特色出發(fā)，適