線性代數(shù)第一章行列式的知識(shí)

教材：

線性代數(shù)吳天毅等主編第一章行列式?行列式的定義?行列式的性質(zhì)?克萊姆（Cramer）法則主要內(nèi)容：?行列式按行（列）展開(kāi)§1·1行列式定義用消元法解二元一次方程組：一、二階和三階行列式

分母為的系數(shù)交叉相乘相減：定義二階行列式：主對(duì)角線元素圖示記憶法例用消元法解三元線性方程組：可得的分母為(若不為零）：定義三階行列式：＋－圖示記憶法例

解例

計(jì)算三階行列式的例子：對(duì)于數(shù)碼is和it：逆序數(shù)：一個(gè)排列中逆序的個(gè)數(shù)，例

求132、436512的逆序數(shù)解逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列，n階（級(jí)）排列：由n個(gè)不同的數(shù)碼1,2,…n組成的有序數(shù)組132是奇排列，436512是偶排列。但312是偶排列，634512、436521是奇排列。（二）排列與逆序數(shù)大前小后叫逆序(反序)記為：為奇數(shù)的稱為奇排列?？梢?jiàn)：交換任何兩個(gè)元素（對(duì)換）改變了排列的奇偶性！再分析P.5的表1-1排列123132213231312321逆序無(wú)322121，3131，3232，31，21逆序數(shù)011223奇偶性偶偶偶奇奇奇?一個(gè)對(duì)換改變排列的奇偶性；?3!個(gè)排列中，奇、偶排列各占一半。定理1

對(duì)換改變排列的奇偶性。證（1）設(shè)元素i,j相鄰：?若i<j,則新排列增加一個(gè)逆序;?若i>j,則新排列減少一個(gè)逆序。—改變了奇偶性（2）設(shè)元素i,j不相鄰：共作了2s+1次相鄰對(duì)換，由（1）知，排列改變了奇偶性。定理2

n

個(gè)數(shù)碼構(gòu)成n!

個(gè)n級(jí)排列，

奇偶排列各占一半（n!/2

個(gè)）。證設(shè)有p

個(gè)奇排列，q

個(gè)偶排列，p

個(gè)奇排列p

個(gè)偶排列q

個(gè)偶排列q個(gè)奇排列（三）n階行列式定義2階：3階：n階：1階：

幾種特殊行列式：例

解

由定義，只有左下三角形行列式右上三角形行列式等于對(duì)角線上元素之乘積(P.9)類似可得：特別：

對(duì)角形行列式等于對(duì)角線上元素之乘積(P.10)OO例的一般項(xiàng)還可記為或（定理1.3）(P.10)列標(biāo)按自然順序排列n階行列式的另外兩種表示(證明略）：例下列元素之積是否為四階行列式的項(xiàng)？否，因?yàn)榈诙杏袃蓚€(gè)元素；是，因?yàn)樗膫€(gè)元素取自不同行不同列，例

解

§1.2行列式的性質(zhì)復(fù)習(xí)：定義：的轉(zhuǎn)置行列式行變列，列變行例證D的一般項(xiàng)：它的元素在Ｄ中位于不同的行不同的列，因而在Ｄ的轉(zhuǎn)置中位于不同的列不同的行．所以這n個(gè)元素的乘積在Ｄ的轉(zhuǎn)置中應(yīng)為性質(zhì)1所以由此性質(zhì)也知：行具有的性質(zhì)．列也同樣具有．性質(zhì)2交換行列式的兩行（列）,行列式反號(hào)。證D的一般項(xiàng)：交換行以后，元素所處的列沒(méi)變，只是行標(biāo)作了交換，即行標(biāo)排列中，i和s作了對(duì)換，改變了排列的奇偶性，故反號(hào)。推論：

n階行列式某兩行（列）對(duì)應(yīng)元素全相等，則行列式等于零。證性質(zhì)3證記左邊的行列式為D1,有注：

該性質(zhì)對(duì)列也成立。

推論：

n階行列式某兩行（列）對(duì)應(yīng)元成比例，則行列式等于零。證提出比例系數(shù)后，行列式有兩行（列）對(duì)應(yīng)相等，由前面的推論知行列式為零。性質(zhì)4

注：

該性質(zhì)對(duì)列也成立。

證左邊行列式的一般項(xiàng)為：

可推廣到

m

個(gè)數(shù)的情形。性質(zhì)5（保值變換）證成比例例計(jì)算行列式思路：用保值變換化成三角形行列式將過(guò)程記在行列式符號(hào)的右邊，用“箭頭”表示。解為對(duì)稱行列式例為反對(duì)稱行列式例是反對(duì)稱行列式不是反對(duì)稱行列式兩個(gè)重要概念例證明奇數(shù)階反對(duì)稱行列式的值為零。證當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)有

用性質(zhì)計(jì)算行列式=9一般地，可以計(jì)算請(qǐng)牢記這種方法，這類題就這種做法。關(guān)于范德蒙行列式注意以下三點(diǎn)1.形式:按升冪排列,冪指數(shù)成等差數(shù)列.2.結(jié)果:可為正可為負(fù)可為零.3.共n(n-1)/2項(xiàng)的乘積.對(duì)于范德蒙行列式,我們的任務(wù)就是利用它計(jì)算行列式,因此要牢記范德蒙行列式的形式和結(jié)果.你能識(shí)別出范德蒙行列式嗎？你會(huì)用范德蒙行列式的結(jié)果做題嗎？例：范德蒙行列式有幾種變形?行列式按行（列）展開(kāi)主要內(nèi)容：1.代數(shù)余子式2.展開(kāi)定理§1.3余子式n-1階行列式Aij=(-1)i+j

Mijaij

的代數(shù)余子式（一）按某一行（列）展開(kāi)定理4

按行展開(kāi)按列展開(kāi)即：D

等于第

i

行（列）元素與對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式相乘相加。證（下面就四階行列式給出證明，方法是從特殊到一般。）(3)四階行列式按第三行展開(kāi)的結(jié)果＃n階行列式按第i行展開(kāi)：例2計(jì)算行列式解按第三列展開(kāi)其中：所以解2按第二行展開(kāi)按第一列展開(kāi)例３討論當(dāng)Ｋ為何值時(shí)解所以，當(dāng)例4求證證按第1列展開(kāi)n-1階即：第i行元素與另一行元素的代數(shù)余子式相乘相加等于零。定理5

證0=i

行s

行綜合定理4，定理5對(duì)于行：對(duì)于列：克萊姆（Cramer）法則§1.4其解：記系數(shù)行列式討論

n個(gè)方程、n個(gè)未知量的線性方程組的解一、非齊次線性方程組系數(shù)行列式：用常數(shù)項(xiàng)列替換D

的第

j

列，其余列不變。記6911定理5（克萊姆法則）對(duì)于方程組（1），若有唯一解，且?證明思路：1°

驗(yàn)證滿足各方程（存在性）；2°（1）的

解定能表成形式（唯一性）。所用結(jié)果：證1°將

Dj

按第

j

列展開(kāi)代入第1個(gè)方程的左端將4左＝（證＝b1)()D按第1行展開(kāi)＝0＝0滿足第1個(gè)方程類似驗(yàn)證第2，…，n個(gè)方程也滿足。是方程組（1）的解。2°由1°知，（1）有解，a11x1+a12x2a1nxn+…+=b1a21x1+a22x2a2nxn+…+=b2an1x1+an2x2annxn+…+=bn……用D的第j列元素的代數(shù)余子式乘兩邊AnjA2jA1jA1j這證明了（1）有解。A1jA1jA2jA2jA2jAnjAnjAnj對(duì)應(yīng)相加整理由定理4和定理5證畢例64寫(xiě)在最后成功的基礎(chǔ)在于好的學(xué)習(xí)習(xí)慣Thefoundationofsuccessliesi