(新高考)高考數學二輪精品復習專題17《利用導數求函數的極值》(解析版)

專題17利用導數求函數的極值一、多選題1．下列命題正確的有（）A．已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的極大值和極小值的和為SKIPIF1<0D．過SKIPIF1<0的直線與函數SKIPIF1<0有三個交點，則該直線斜率的取值范圍是SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】由等式關系、指數函數的性質可求SKIPIF1<0的范圍；利用指對數互化，結合對數的運算法求SKIPIF1<0；利用導數確定零點關系，結合原函數式計算極值之和即可；由直線與SKIPIF1<0有三個交點，即可知SKIPIF1<0有兩個零點且SKIPIF1<0不是其零點即可求斜率范圍.【詳解】A選項，由條件知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；B選項，SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0；C選項，SKIPIF1<0中SKIPIF1<0且開口向上，所以存在兩個零點SKIPIF1<0且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為SKIPIF1<0兩個極值點，所以SKIPIF1<0；D選項，令直線為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有三個交點，即SKIPIF1<0有三個零點，所以SKIPIF1<0有兩個零點即可∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故選：ACD【點睛】本題考查了指對數的運算及指數函數性質，利用導數研究極值，由函數交點情況求參數范圍，屬于難題.2．對于函數SKIPIF1<0，下列說法正確的是（）A．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極大值SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0有兩個不同的零點C．SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，則SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】求得函數的導數SKIPIF1<0，根據導數的符號，求得函數的單調區(qū)間和極值，可判定A正確；根據函數的單調性和SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，可判定B不正確；由函數的單調性，得到SKIPIF1<0，再結合作差比較，得到SKIPIF1<0，可判定C正確；分離參數得到SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，令SKIPIF1<0，利用導數求得函數SKIPIF1<0的單調性與最值，可判定D正確.【詳解】由題意，函數SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，所以當SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0取得極大值，極大值為SKIPIF1<0，所以A正確；由當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，所以函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上只有一個零點，當SKIPIF1<0時，可得SKIPIF1<0，所以函數在SKIPIF1<0上沒有零點，綜上可得函數在SKIPIF1<0只有一個零點，所以B不正確；由函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，可得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以C正確；由SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，所以當SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0取得最大值，最大值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以D正確.故選：ACD.【點睛】本題主要考查導數在函數中的綜合應用，以及恒成立問題的求解，著重考查了轉化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；也可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．3．已知函數SKIPIF1<0，其導函數為SKIPIF1<0，下列命題中為真命題的是（）A．SKIPIF1<0的單調減區(qū)間是SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的極小值是﹣6C．過點SKIPIF1<0只能作一條直線與SKIPIF1<0的圖象相切D．SKIPIF1<0有且只有一個零點【答案】BCD【分析】求出函數SKIPIF1<0的導數，即可得出其單調性和極值，從而判斷ABD的真假，再根據導數的幾何意義求切線方程即可判斷C的真假．【詳解】因為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上單調遞增；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減．所以極小值為SKIPIF1<0，極大值為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0存在唯一一個零點SKIPIF1<0，A錯誤，B、D正確；設過點SKIPIF1<0的直線與SKIPIF1<0的圖象相切，切點為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以切線方程為SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上單調遞增，在SKIPIF1<0上單調遞減．因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以方程SKIPIF1<0只有一解，即過點SKIPIF1<0只能作一條直線與SKIPIF1<0的圖象相切，故C正確．故選：BCD．【點睛】本題主要考查利用導數研究函數的單調性和極值，導數的幾何意義的應用，以及零點存在性定理的應用，意在考查學生的數學運算能力，屬于中檔題．4．材料：函數是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數學模型，在現行的高等數學與數學分析教材中，對“初等函數”給出了確切的定義，即由常數和基本初等函數經過有限次的四則運算及有限次的復合步驟所構成的，且能用一個式子表示的，如函數SKIPIF1<0，我們可以作變形：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0可看作是由函數SKIPIF1<0和SKIPIF1<0復合而成的，即SKIPIF1<0為初等函數.根據以上材料，對于初等函數SKIPIF1<0的說法正確的是（）A．無極小值 B．有極小值SKIPIF1<0 C．無極大值 D．有極大值SKIPIF1<0【答案】AD【分析】將函數SKIPIF1<0的解析式變形為SKIPIF1<0，利用復合函數的求導法則可求得SKIPIF1<0，利用導數可求得函數SKIPIF1<0的極值，由此可得出結論.【詳解】根據材料知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時函數SKIPIF1<0單調遞增；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時函數SKIPIF1<0單調遞減.所以SKIPIF1<0有極大值且為SKIPIF1<0，無極小值.故選：AD.【點睛】本題考查利用導數求解函數的極值，同時也考查了復合函數的求導法則的應用，考查計算能力，屬于中等題.5．設SKIPIF1<0為函數SKIPIF1<0的導函數，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列結論不正確的是（）A．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞增 B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞增C．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有極大值SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有極小值SKIPIF1<0【答案】AC【分析】首先根據題意設SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，再求出SKIPIF1<0的單調性和極值即可得到答案.【詳解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞增，在SKIPIF1<0單調遞減即當SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0取得極小值SKIPIF1<0.故選：AC【點睛】本題主要考查利用導數研究函數的單調性和極值，同時考查了構造函數，屬于中檔題.6．已知函數SKIPIF1<0，其導函數為SKIPIF1<0，下列命題中真命題的為（）A．SKIPIF1<0的單調減區(qū)間是SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的極小值是SKIPIF1<0C．當SKIPIF1<0時，對任意的SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0D．函數SKIPIF1<0有且只有一個零點【答案】BCD【分析】由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分別求出函數的極大值和極小值，知SKIPIF1<0錯誤，SKIPIF1<0正確；由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0利用導數說明其單調性，再根據切割線的定義即可判斷，故SKIPIF1<0正確；【詳解】解：SKIPIF1<0，其導函數為SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0時，函數單調遞增，當SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0時，函數單調遞減；故當SKIPIF1<0時，函數有極小值，極小值為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，函數有極大值，極大值為SKIPIF1<0，故函數只有一個零點，SKIPIF1<0錯誤，SKIPIF1<0正確；令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0故在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，根據切割線的定義可知，當SKIPIF1<0時，對任意的SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正確；故選：SKIPIF1<0．【點睛】本題考查函數的單調區(qū)間、極值的求法，以及不等式的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想和導數性質的靈活運用．二、單選題7．設函數SKIPIF1<0在R上可導，其導函數為SKIPIF1<0，且函數SKIPIF1<0的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立的是（）A．SKIPIF1<0有極大值SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0有極小值SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0有極大值SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0有極小值SKIPIF1<0【答案】A【分析】由函數SKIPIF1<0的圖象，可得SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.由此可得函數SKIPIF1<0的單調性，則答案可求.【詳解】解：函數SKIPIF1<0的圖象如圖所示，∴SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.∴函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，在SKIPIF1<0上單調遞減，在SKIPIF1<0上單調遞減.∴SKIPIF1<0有極大值SKIPIF1<0.故選：A.【點睛】本題考查根據導函數的相關圖象求函數的單調區(qū)間，考查數形結合思想，是中檔題.8．下列關于函數SKIPIF1<0的結論中，正確結論的個數是（）①SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0是極大值，SKIPIF1<0是極小值；③SKIPIF1<0沒有最大值，也沒有最小值；④SKIPIF1<0有最大值，沒有最小值；⑤SKIPIF1<0有最小值，沒有最大值.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】直接不等式SKIPIF1<0可判斷①；對函數求導，求函數的極值，可判斷②；利用導數求函數的最值可判斷③④⑤【詳解】解：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0，所以①正確；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是極小值，SKIPIF1<0是極大值，所以②錯誤；因為SKIPIF1<0是極小值，且當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，而SKIPIF1<0是極大值，所以SKIPIF1<0有最大值，沒有最小值，所以④正確，③⑤錯誤，故選：B【點睛】此題考查導數的應用，考查函數極值和最值的求法，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎題9．函數y=f(x)的導函數y=f′(x)的圖象如圖所示，給出下列命題：①-3是函數y=f(x)的極值點；②y=f(x)在區(qū)間(-3，1)上單調遞增；③-1是函數y=f(x)的最小值點；④y=f(x)在x=0處切線的斜率小于零.以上正確命題的序號是（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】A【分析】根據導函數圖象可判定導函數的符號，從而確定函數的單調性，得到極值點，以及根據導數的幾何意義可知在某點處的導數即為在該點處的切線斜率．【詳解】根據導函數圖象可知：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，在SKIPIF1<0上單調遞增，故②正確；則SKIPIF1<0是函數SKIPIF1<0的極小值點，故①正確；∵在SKIPIF1<0上單調遞增，SKIPIF1<0不是函數SKIPIF1<0的最小值點，故③不正確；∵函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的導數大于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0切線的斜率大于零，故④不正確.故選：A【點睛】方法點睛：本題考查導函數圖象在函數單調性和極值中的應用，考查導數的幾何意義，其中利用導函數判斷單調性的步驟為：1.先求出原函數的定義域；2.對原函數求導；3.令導數大于零；解出自變量的范圍；該范圍即為該函數的增區(qū)間；同理令導數小于零，得到減區(qū)間；4.若定義域在增區(qū)間內，則函數單增；若定義域在減區(qū)間內則函數單減，若以上都不滿足，則函數不單調．10．已知函數SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0零點的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】令SKIPIF1<0，討論SKIPIF1<0的取值范圍：當SKIPIF1<0時或當SKIPIF1<0時，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，討論SKIPIF1<0的取值范圍，再利用導數研究函數的單調性，求出最值即可求解.【詳解】令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，（1）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有一個解.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以方程SKIPIF1<0無解.（2）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有一個解.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0無解.綜上，函數SKIPIF1<0有兩個零點.故選：B.【點睛】本題考查了利用導數研究函數的零點，考查了計算求解能力，屬于中檔題.11．設函數SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0有極大值且為最大值 B．SKIPIF1<0有極小值，但無最小值C．若方程SKIPIF1<0恰有3個實根，則SKIPIF1<0 D．若方程SKIPIF1<0恰有一個實根，則SKIPIF1<0【答案】C【分析】求導后求出函數的單調區(qū)間，再根據當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，畫出函數圖象草圖后數形結合逐項判斷即可得解.【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0單調遞增；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0單調遞減；SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可畫出函數圖象草圖，如圖，由圖象可知，SKIPIF1<0為函數的極大值但不是最大值，故A錯誤；SKIPIF1<0為函數的極小值，且為最小值，故B錯誤；若要使SKIPIF1<0有3個實根，則要使函數SKIPIF1<0的圖象與函數SKIPIF1<0的圖象有3個交點，則SKIPIF1<0，故C正確；若要使SKIPIF1<0恰有一個實根，則要使函數SKIPIF1<0的圖象與函數SKIPIF1<0的圖象僅有1個交點，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故D錯誤.故選：C.【點睛】本題考查了導數的綜合應用，考查了數形結合思想和推理能力，屬于中檔題.三、解答題12．已知函數SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的極值；（2）討論函數SKIPIF1<0的單調性.【答案】（1）極小值為SKIPIF1<0，無極大值；（2）答案見解析.【分析】（1）當SKIPIF1<0時，求得SKIPIF1<0，利用導數分析函數SKIPIF1<0的單調性，由此可求得函數SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的極值；（2）求得SKIPIF1<0，分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩種情況討論，分析導數的符號變化，由此可得出函數SKIPIF1<0的單調遞增區(qū)間和遞減區(qū)間.【詳解】（1）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，列表；SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0單調遞減極小單調遞增所以，SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的有極小值SKIPIF1<0，無極大值；（2）SKIPIF1<0函數SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，故函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減；當SKIPIF1<0時，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0.故函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，在SKIPIF1<0上單調遞增.綜上所述，當SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0的單調遞減區(qū)間為SKIPIF1<0，無單調遞增區(qū)間；當SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0的單調遞減區(qū)間為SKIPIF1<0，單調遞增區(qū)間為SKIPIF1<0.【點睛】方法點睛：討論含參數函數的單調性，通常以下幾個方面：（1）求導后看函數的最高次項系數是否為SKIPIF1<0，需分類討論；（2）若最高次項系數不為SKIPIF1<0，且最高次項為一次，一般為一次函數，求出導數方程的根；（3）對導數方程的根是否在定義域內進行分類討論，結合導數的符號變化可得出函數的單調性.13．設函數SKIPIF1<0.（1）當SKIPIF1<0時，求函數SKIPIF1<0的極值；（2）若函數SKIPIF1<0有2個零點，求實數SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】（1）極小值為SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，對SKIPIF1<0求導判斷單調性、即可求得極值；（2）對SKIPIF1<0求導，利用導函數得符號判斷出SKIPIF1<0的單調遞增區(qū)間是SKIPIF1<0，單調遞減區(qū)間是SKIPIF1<0，然后對參數SKIPIF1<0進行分類討論，考慮函數得最小值，從而判斷函數零點的個數，找到函數SKIPIF1<0有2個零點時實數SKIPIF1<0的取值范圍.【詳解】（1）SKIPIF1<0的定義域是SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）.所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，在SKIPIF1<0上單調遞增，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極小值，極小值為SKIPIF1<0.無極大值（2）函數的定義域為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的單調遞增區(qū)間是SKIPIF1<0，單調遞減區(qū)間是SKIPIF1<0.①令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0有唯一的零點SKIPIF1<0；②當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0不存在零點；③當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最小值SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有唯一的零點，又當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減，在SKIPIF1<0上遞增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有唯一的零點，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有2個不同的零點，綜上所述：實數SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.【點睛】方法點睛：已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.14．（1）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0圖象在點SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.（2）求函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的極值.【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）極大值為SKIPIF1<0，極小值為SKIPIF1<0.【分析】（1）由導數的幾何意義結合切點在切線上，列方程即可得解；（2）對函數求導，求得函數的單調區(qū)間后，結合極值的概念即可得解.【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0圖象在點SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；所以函數SKIPIF1<0的單調遞增區(qū)間為SKIPIF1<0，單調遞減區(qū)間為SKIPIF1<0，所以函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的極大值為SKIPIF1<0，極小值為SKIPIF1<0.15．已知函數SKIPIF1<0.(1)若函數SKIPIF1<0，求函數SKIPIF1<0的極值；(2)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時恒成立，求實數SKIPIF1<0的最小值.【答案】（1）SKIPIF1<0的極大值是SKIPIF1<0，無極大值；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）先寫函數SKIPIF1<0并求導，再利用導數正負判斷單調性和極值即可；（2）先分離參數SKIPIF1<0，再研究函數最大值得到SKIPIF1<0的取值范圍，即得結果.【詳解】解：（1）SKIPIF1<0，定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0變化時，SKIPIF1<0的變化情況如下表:SKIPIF1<0SKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0-0+SKIPIF1<0↘極小值↗由上表可得SKIPIF1<0的極大值是SKIPIF1<0，無極大值；（2）由SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時恒成立，即SKIPIF1<0，整理為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時恒成立.設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0∴當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.∴當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，在SKIPIF1<0上單調遞減，在SKIPIF1<0上單調遞增.SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.【點睛】利用導數研究函數SKIPIF1<0的單調性和極值的步驟：①寫定義域，對函數SKIPIF1<0求導SKIPIF1<0；②在定義域內，解不等式SKIPIF1<0和SKIPIF1<0③寫出單調區(qū)間，并判斷極值點.解決恒成立問題的常用方法：①數形結合法；②分離參數法；③構造函數法.16．已知函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）.（1）求函數SKIPIF1<0的極值；（2）若函數SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內有兩個零點，求正實數SKIPIF1<0的取值范圍；（3）求證：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.（說明：SKIPIF1<0是自然對數的底數，SKIPIF1<0）【答案】（1）極小值為SKIPIF1<0，無極大值；（2）SKIPIF1<0；（3）證明見解析.【分析】（1）SKIPIF1<0，利用導數求出其單調性，然后可得極值；（2）SKIPIF1<0，利用導數求出其單調性，然后可建立不等式組求解；（3）問題等價于求證SKIPIF1<0；設SKIPIF1<0，利用導數求出其最大值，然后證明SKIPIF1<0即可.【詳解】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，在SKIPIF1<0上單調遞增，所以函數SKIPIF1<0的極小值為SKIPIF1<0，無極大值.（2）函數SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0（舍去），當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增.函數SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內有兩個零點，只需SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故實數SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.（3）問題等價于SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，在SKIPIF1<0上單調遞減.∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0【點睛】方法點睛：已知函數零點個數求參數范圍時，需要結合函數的單調性和極值分析，然后建立不等式組求解.17．已知函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）設SKIPIF1<0，求函數SKIPIF1<0的極值；（2）若SKIPIF1<0，試研究函數SKIPIF1<0的零點個數．【答案】（1）極小值為SKIPIF1<0，無極大值；（2）1個．【分析】（1）先求得SKIPIF1<0，然后求SKIPIF1<0，對SKIPIF1<0分成SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩種情況進行分類討論，結合單調性求得SKIPIF1<0的極值.（2）首先判斷SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，結合零點存在性定理判斷出SKIPIF1<0的零點個數.【詳解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，①當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數，無極值．②當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調遞減；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調遞增，SKIPIF1<0的極小值SKIPIF1<0，無極大值．（2）由（1）知，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的極小值SKIPIF1<0，結合SKIPIF1<0的單調性可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒成立．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中有一個零點，SKIPIF1<0函數SKIPIF1<0的零點個數為1個．【點睛】方法點睛：利用導數解決函數零點問題的方法：1.先求出函數的單調區(qū)間和極值，根據函數的性質畫出圖像，然后將問題轉化為函數圖像與SKIPIF1<0軸交點問題，突出導數的工具作用，體現了轉化與化歸思想、數形結合的思想和分類討論的思想；2.構造新函數，將問題轉化為研究兩函數的圖像的交點問題；3.分離參變量，即由SKIPIF1<0分離參變量，得SKIPIF1<0，研究直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖像的交點問題.18．已知函數SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0時取得極值.（1）求SKIPIF1<0的值；（2）求函數SKIPIF1<0的單調區(qū)間.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）函數SKIPIF1<0的單調增區(qū)間是SKIPIF1<0，單調減區(qū)間是SKIPIF1<0.【分析】（1）利用極值定義，列式SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0值并驗證即可；（2）利用導數正負確定函數SKIPIF1<0的單調區(qū)間即可.【詳解】解：（1）函數SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，函數在SKIPIF1<0時取得極值，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0確實在SKIPIF1<0時取得極小值.故SKIPIF1<0的值是SKIPIF1<0；（2）因為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，故函數SKIPIF1<0的單調增區(qū)間是SKIPIF1<0，單調減區(qū)間是SKIPIF1<0.19．已知函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是奇函數.（1）求SKIPIF1<0的表達式；（2）求函數SKIPIF1<0的極值.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）極大值SKIPIF1<0，極小值SKIPIF1<0.【分析】（1）求導SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0的表達式，然后利用SKIPIF1<0是奇函數求解.（2）由（1）知SKIPIF1<0，求導SKIPIF1<0，再利用極值的定義求解.【詳解】（1）函數SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0是奇函數，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的表達式為SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0遞減；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0遞增；所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得極大值SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得極小值SKIPIF1<0.【點睛】本題主要考查函數導數的求法，利用奇偶性求函數解析式以及函數極值的求法，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.20．已知函數SKIPIF1<0.（1）當SKIPIF1<0時，求函數SKIPIF1<0的極值；（2）當SKIPIF1<0時，求不等式SKIPIF1<0的解集；（3）當SKIPIF1<0時，若當SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0成立，求實數SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】（1）SKIPIF1<0有極小值SKIPIF1<0，無極大值；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0.【分析】（1）先代入參數對函數求導，令SKIPIF1<0，列表判斷單調性，即得極值情況；（2）先代入參數，將不等式移項整理，構造函數求導，研究其單調性，再利用單調性解不等式SKIPIF1<0，即得結果；（3）先代入參數，將恒成立式移項整理，構造函數求導，討論其單調性，再利用單調性判斷其最值滿足題意，即得結果；【詳解】（1）當SKIPIF1<0，定義域SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0列表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0-0+SKIPIF1<0↘極小值↗∴當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有極小值SKIPIF1<0，無極大值；（2）當SKIPIF1<0令SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0列表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0-0+SKIPIF1<0↘極小值↗當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有極小值SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調