2008年考研數(shù)學(xué)一真題及答案

18小題，每小題4分，共32分。下列每題給出的四設(shè)函數(shù),則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(A)0(C)2(B)1(D)3【答案】B?！窘馕觥壳沂俏ㄒ坏牧泓c(diǎn)綜上所述，本題正確答案是B?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)積分學(xué)—積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)函數(shù)在點(diǎn)處的梯度等于A)C)B)(D)【答案】A?！窘馕觥烤x文庫所以綜上所述，本題正確答案是?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—多元函數(shù)微分學(xué)—方向?qū)?shù)和梯度在下列微分方程中，以為通解的是A)C)B)D)【答案】?！窘馕觥坑赏ń獗磉_(dá)式可知其特征根為可見其對(duì)應(yīng)特征方程為故對(duì)應(yīng)微分方程為綜上所述，本題正確答案是?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—常微分方程—高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程--2精選文庫設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界，為數(shù)列，下列命題正確的是(A)若收斂，則(B)若單調(diào)，則收斂收斂(C)若(D)若收斂，則收斂單調(diào)，則收斂【答案】B?！窘馕觥俊痉椒ㄒ弧坑捎趩握{(diào)，單調(diào)有界，則數(shù)列收斂。單調(diào)有界，根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則知數(shù)列【方法二】,則顯然單調(diào)，收斂，但，顯然,顯然不收斂，排除A。若取不收斂，排除C和。綜上所述，本題正確答案是B。--3精選文庫【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—函數(shù)、極限、連續(xù)—函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性，極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則設(shè)為階非零矩陣，為階單位矩陣，若,則(A)(B)(C)(D)不可逆，不可逆，可逆，不可逆可逆可逆可逆，不可逆【答案】C?！窘馕觥恳?yàn)樗钥芍赡?，可逆綜上所述，本題正確答案是?！究键c(diǎn)】線性代數(shù)—矩陣—矩陣的概念和性質(zhì)，矩陣可逆的充分必要條件設(shè)為3階實(shí)對(duì)稱矩陣，如果二次曲面方程精選文庫在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)方程的圖形如右圖所示，則的正特征值的個(gè)數(shù)為A)B)1()3C)2【答案】B?！窘馕觥克o圖形為雙葉雙曲線，標(biāo)準(zhǔn)方程為二次型正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)，其平方項(xiàng)的系數(shù)就是的特征值，可知的正特征值的個(gè)數(shù)為1綜上所述，本題正確答案是B?！究键c(diǎn)】線性代數(shù)—二次型—次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，且的分布函數(shù)為,則的分布函數(shù)為A)C)B)D)--5精選文庫【答案】A?！窘馕觥烤C上所述，本題正確答案是。【考點(diǎn)】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)—多維隨機(jī)變量及其分布—隨機(jī)變量的獨(dú)立性和不相關(guān)性，兩個(gè)及兩個(gè)以上隨機(jī)變量簡(jiǎn)單函數(shù)的分布設(shè)隨機(jī)變量,且相關(guān)系數(shù)則A)C)B)D)【答案】。【解析】由相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可知：如果可得則必有已知又,所以,得--6精選文庫而所以即綜上所述，本題正確答案是?！究键c(diǎn)】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)—隨機(jī)變量的數(shù)字特征—隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)及其性質(zhì)二、填空題（914小題，每小題4分，共24微分方程滿足條件的解是?！敬鸢浮俊！窘馕觥糠蛛x變量得,l兩邊積分有利用條件，，解得綜上所述，本題正確答案是。【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—常微分方程—變量可分離的微分方程--7精選文庫(10)曲線在點(diǎn)處的切線方程是。【答案】【解析】先求曲線在點(diǎn)處的斜率等式兩端對(duì)求導(dǎo)得在上式中，將代入可得所以曲線在該點(diǎn)處的切線方程為綜上所述，本題正確答案是即?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)微分學(xué)—導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義(11)已知冪級(jí)數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，則冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤！敬鸢浮俊窘馕觥?。在?-8精選文庫發(fā)散,即時(shí)，冪級(jí)數(shù)收斂。，則收斂區(qū)間為對(duì)于冪級(jí)數(shù)又冪級(jí)數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，所以對(duì)于冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)?。。綜上所述，本題正確答案是【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—無窮級(jí)數(shù)—冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間指開區(qū)間和收斂域(12)設(shè)曲面是的上側(cè)，則?！敬鸢浮??！窘馕觥垦a(bǔ)曲面,取下側(cè)，記則--9精選文庫綜上所述，本題正確答案是?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—多元函數(shù)積分學(xué)—二重積分與三重積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算和應(yīng)用，兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算(13)設(shè)為2階矩陣，為線性無關(guān)的2維列向量，，，則的非零特征值為?！敬鸢浮??！窘馕觥俊痉椒ㄒ弧慷x法：由可得矩陣的特征值為，因此的非零特征值為?！痉椒ǘ?-10精選文庫矩陣相似：可知，的特征值易得為，所以可得矩陣的特征值為，因此的非零特征值為。綜上所述，本題正確答案是?！究键c(diǎn)】線性代數(shù)—矩陣的特征值和特征向量—矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)，相似變換、相似矩陣的概念及性質(zhì)(14)設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為1的泊松分布，則?！敬鸢浮俊窘馕觥坑梢阎?，有所以,所以綜上所述，本題正確答案是?！究键c(diǎn)】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)—隨機(jī)變量的數(shù)字特征—一維隨機(jī)變量及函數(shù)的數(shù)字特征三、解答題：小題，共94分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過--11精選文庫程或演算步驟。(15)（本題滿分9分）求極限【解析】【方法一】（等價(jià)無窮小代（洛必達(dá)法則）換）（）(等價(jià)無窮小代換)【方法二】（等價(jià)無窮小代換）（變量代換）（洛必達(dá)法則）--12精選文庫（等價(jià)無窮小代換）【方法三】由泰勒公式,可得則，上式【方法四】（拉格朗日中值定理）【方法五】由于當(dāng)時(shí),,則--13精選文庫所以【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—函數(shù)、極限、連續(xù)—無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較，極限的四則運(yùn)算法則(16)（本題滿分9分）計(jì)算曲線積分,其中是曲線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段?！窘馕觥俊痉椒ㄒ弧俊痉椒ǘ刻砑虞S上從點(diǎn)區(qū)域，則到點(diǎn)的直線段，為與圍成的封閉--14精選文庫【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—多元函數(shù)積分學(xué)—二重積分與三重積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算和應(yīng)用，兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算，格林(Green)公式(17)（本題滿分11分）已知曲線求曲線距面最遠(yuǎn)和最近的點(diǎn)。【解析】設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到面的距離為，即原題化為求在條件下的最值點(diǎn)，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)--15精選文庫解方程組得，從而得可能極值點(diǎn)：有上存在距依次為。【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—多元函數(shù)微分學(xué)—多元函數(shù)的極值和條件極值(18)（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)連續(xù)，(I)利用定義證明函數(shù)可導(dǎo)，且；(II)當(dāng)是以2為周期的周期函數(shù)時(shí)，證明函數(shù)也是以2為周期的周期函數(shù)?！窘馕觥?I)對(duì)于任意的,由于函數(shù)連續(xù)，所以--16精選文庫（積分中值定理）其中介于和又之間。,可知可導(dǎo)，且(II)【方法一】對(duì)于任意的，有所以，從而有（常數(shù)）--17精選文庫又則，也是以2為周期的周期函數(shù)。【方法二】對(duì)于任意的，有則故也是以2為周期的周期函數(shù)。【方法三】對(duì)于任意的，有--18精選文庫由于所以以2為周期，則故也是以2為周期的周期函數(shù)?！痉椒ㄋ摹繉?duì)于任意的，有則故也是以2為周期的周期函數(shù)?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)—函數(shù)、極限、連續(xù)—函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)積分學(xué)—積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)--19精選文庫(19)（本題滿分11分）將函數(shù)展開成余弦級(jí)數(shù)，并求的和?！窘馕觥恳?yàn)槭桥己瘮?shù)，于是,對(duì)有所以令,故里葉級(jí)數(shù)，函數(shù)在上的正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)(20)（本題滿分10分）--20精選文庫設(shè)為3維列向量，矩陣的轉(zhuǎn)置。證明：,其中分別是(I)秩；(II)若線性相關(guān)，則秩【解析】。(I)因?yàn)闉?維列向量，所以都是3階矩陣，且秩那么(II)線性相關(guān)，則設(shè)于是，【考點(diǎn)】線性代數(shù)—矩陣—矩陣的秩(21)（本題滿分12分）設(shè)元線性方程組，其中--21精選文庫(I)證明行列式；(II)當(dāng)為何值時(shí)，該方程組有唯一解，并求；(III)當(dāng)為何值時(shí)，該方程組有無窮多解，并求通解?！窘馕觥?I)數(shù)學(xué)歸納法：記階行列式的值為當(dāng)當(dāng)設(shè)當(dāng)時(shí),命題正確；時(shí)，,命題正確時(shí)，命題正確時(shí)，按第一列展開，則有--22精選文庫命題正確，所以。(II)由克拉默法則，時(shí)方程組有唯一解，且用克拉默法則，有(III)當(dāng)由,方程組有無窮多解，其通解為,其中為任意常數(shù)。(22)（本題滿分11分）設(shè)二維隨機(jī)變量相互獨(dú)立，的概率密度為，的概率為記。(Ⅰ求；--23精選文庫(Ⅱ求概率密度【解析】。(