機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

關(guān)于機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)方法第1頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第一章：緒論優(yōu)化設(shè)計(jì)（OptimumDesign)是60年代發(fā)展起來(lái)的一門新的設(shè)計(jì)方法，是最優(yōu)化技術(shù)和計(jì)算技術(shù)在設(shè)計(jì)領(lǐng)域中應(yīng)用的結(jié)果。

解析法數(shù)值計(jì)算法優(yōu)化方法微分求極值迭代逼近最優(yōu)值計(jì)算機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)第2頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五

機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)是使某項(xiàng)機(jī)械設(shè)計(jì)在規(guī)定的各種設(shè)計(jì)限制條件下，優(yōu)選設(shè)計(jì)參數(shù)，使某項(xiàng)或幾項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)獲得最優(yōu)值。什么叫機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)工程設(shè)計(jì)上的“最優(yōu)值”(Optimum)或“最佳值”系指在滿足多種設(shè)計(jì)目標(biāo)和約束條件下所獲得的最令人滿意和最適宜的值。第3頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五一、從傳統(tǒng)設(shè)計(jì)到優(yōu)化設(shè)計(jì)

機(jī)械設(shè)計(jì)一般需要經(jīng)過(guò)調(diào)查研究(資料檢索)、擬訂方案(設(shè)計(jì)模型)、分析計(jì)算(論證方案)、繪圖和編制技術(shù)文件等一系列的工作過(guò)程。圖1-1傳統(tǒng)的機(jī)械設(shè)計(jì)過(guò)程第4頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五圖1－3機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程框圖第5頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五優(yōu)化設(shè)計(jì)與傳統(tǒng)設(shè)計(jì)相比，具有如下三個(gè)特點(diǎn)：(1)設(shè)計(jì)的思想是最優(yōu)設(shè)計(jì)；(2)設(shè)計(jì)的方法是優(yōu)化方法；(3)設(shè)計(jì)的手段是計(jì)算機(jī)。二、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的發(fā)展概況近幾十年來(lái)，隨著數(shù)學(xué)規(guī)劃論和電子計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展而產(chǎn)生的，它首先在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、化學(xué)工程、航空和造船等部門得到應(yīng)用。1.優(yōu)化設(shè)計(jì)的應(yīng)用領(lǐng)域第6頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五國(guó)內(nèi)近年來(lái)才開始重視，但發(fā)展迅速，在機(jī)構(gòu)綜合、機(jī)械的通用零部件的設(shè)計(jì)、工藝設(shè)計(jì)方面都得到應(yīng)用。2.目前機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的應(yīng)用領(lǐng)域在機(jī)械設(shè)計(jì)方面的應(yīng)用較晚，從國(guó)際范圍來(lái)說(shuō)，是在上世紀(jì)60年代后期才得到迅速發(fā)展的。優(yōu)化設(shè)計(jì)本身存在的問(wèn)題和某些發(fā)展趨勢(shì)主要有以下幾方面：第7頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五1)目前優(yōu)化設(shè)計(jì)多數(shù)還局限在參數(shù)最優(yōu)化這種數(shù)值量?jī)?yōu)化問(wèn)題。結(jié)構(gòu)型式的選擇還需進(jìn)一步研究解決。第8頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五2)優(yōu)化設(shè)計(jì)這門新技術(shù)在傳統(tǒng)產(chǎn)業(yè)中普及率還不高。3)把優(yōu)化設(shè)計(jì)與CAD、專家系統(tǒng)結(jié)合起來(lái)是優(yōu)化設(shè)計(jì)發(fā)展的趨勢(shì)之一。第9頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五三、本課程的主要內(nèi)容1.建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型2.選擇合適的優(yōu)化方法3.編制計(jì)算機(jī)程序，求得最佳設(shè)計(jì)參數(shù)第10頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第一章機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)概述第一節(jié)應(yīng)用實(shí)例機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題來(lái)源于生產(chǎn)實(shí)際?，F(xiàn)在舉典型實(shí)例來(lái)說(shuō)明優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本問(wèn)題。圖1-1所示的人字架由兩個(gè)鋼管構(gòu)成，其頂點(diǎn)受外力2F=3×N。人字架的跨度2B=152cm,鋼管壁厚T=0.25cm,鋼管材料的彈性模量E=2.1×Mpa，材料密度ρ=7.8×

/，許用壓應(yīng)力=420MPa。求在鋼管壓應(yīng)力不超過(guò)許用壓應(yīng)力和失穩(wěn)臨界應(yīng)力的條件下，人字架的高h(yuǎn)和鋼管平均直徑D，使鋼管總質(zhì)量m為最小。第11頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五圖2-2人字架的受力第12頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五人字架的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題歸結(jié)為：使結(jié)構(gòu)質(zhì)量但應(yīng)滿足強(qiáng)度約束條件穩(wěn)定約束條件第13頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五鋼管所受的壓力失穩(wěn)的臨界力鋼管所受的壓應(yīng)力第14頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五鋼管的臨界應(yīng)力強(qiáng)度約束條件可以寫成穩(wěn)定約束條件可以寫成第15頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五人字架的總質(zhì)量這個(gè)優(yōu)化問(wèn)題是以D和h為設(shè)計(jì)變量的二維問(wèn)題，且只有兩個(gè)約束條件，可以用解析法求解。除了解析法外，還可以采用作圖法求解。第16頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五

1-3人字架優(yōu)化設(shè)計(jì)的圖解第17頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第三節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型一、設(shè)計(jì)變量

在優(yōu)化設(shè)計(jì)的過(guò)程中，不斷進(jìn)行修改、調(diào)整，一直處于變化的參數(shù)稱為設(shè)計(jì)變量。設(shè)計(jì)變量的全體實(shí)際上是一組變量，可用一個(gè)列向量表示：第18頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五圖2-4設(shè)計(jì)空間第19頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五二、約束條件一個(gè)可行設(shè)計(jì)必須滿足某些設(shè)計(jì)限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡(jiǎn)稱約束。約束性能約束側(cè)面約束針對(duì)性能要求只對(duì)設(shè)計(jì)變量的取值范圍限制（又稱邊界約束）（按性質(zhì)分）按數(shù)學(xué)表達(dá)形式分：第20頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五約束等式約束不等式約束可行域：凡滿足所有約束條件的設(shè)計(jì)點(diǎn)，它在設(shè)計(jì)空間的活動(dòng)范圍。一般情況下，其設(shè)計(jì)可行域可表示為：第21頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五圖2-5二維問(wèn)題的可行域第22頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五三、目標(biāo)函數(shù)

目標(biāo)函數(shù)是設(shè)計(jì)變量的函數(shù)，是設(shè)計(jì)中所追求的目標(biāo)。如：軸的質(zhì)量，彈簧的體積，齒輪的承載能力等。

在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，用目標(biāo)函數(shù)的大小來(lái)衡量設(shè)計(jì)方案的優(yōu)劣，故目標(biāo)函數(shù)也可稱評(píng)價(jià)函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)的一般表示式為：第23頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五

優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的就是要求所選擇的設(shè)計(jì)變量使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最佳值，即使通常目標(biāo)函數(shù)單目標(biāo)設(shè)計(jì)問(wèn)題多目標(biāo)設(shè)計(jì)問(wèn)題

目前處理多目標(biāo)設(shè)計(jì)問(wèn)題的方法是組合成一個(gè)復(fù)合的目標(biāo)函數(shù)，如采用線性加權(quán)的形式，即第24頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五四、優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型是對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)抽象。優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式為：第25頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五數(shù)學(xué)模型的分類：(1)按數(shù)學(xué)模型中設(shè)計(jì)變量和參數(shù)的性質(zhì)分：確定型模型隨機(jī)型模型設(shè)計(jì)變量和參數(shù)取值確定設(shè)計(jì)變量和參數(shù)取值隨機(jī)(2)按目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的性質(zhì)分：a.目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)都是設(shè)計(jì)變量的線形函數(shù)稱為線性規(guī)劃問(wèn)題，其數(shù)學(xué)模型一般為：第26頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五b.若目標(biāo)函數(shù)是設(shè)計(jì)變量的二次函數(shù)、約束是線性函數(shù)，則為二次規(guī)劃問(wèn)題。其一般表達(dá)式為：第27頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五五、優(yōu)化問(wèn)題的幾何解釋無(wú)約束優(yōu)化：在沒有限制的條件下，對(duì)設(shè)計(jì)變量求目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)。其極小點(diǎn)在目標(biāo)函數(shù)等值面的中心。約束優(yōu)化：在可行域內(nèi)對(duì)設(shè)計(jì)變量求目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)。其極小點(diǎn)在可行域內(nèi)或在可行域邊界上。第28頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第29頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第30頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第31頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第32頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第33頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第四節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的基本解法求解優(yōu)化問(wèn)題的方法：解析法數(shù)值法數(shù)學(xué)模型復(fù)雜時(shí)不便求解可以處理復(fù)雜函數(shù)及沒有數(shù)學(xué)表達(dá)式的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題第34頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五圖1-11尋求極值點(diǎn)的搜索過(guò)程第35頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第二章優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)機(jī)械設(shè)計(jì)問(wèn)題一般是非線性規(guī)劃問(wèn)題。實(shí)質(zhì)上是多元非線性函數(shù)的極小化問(wèn)題，因此，機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)是建立在多元函數(shù)的極值理論基礎(chǔ)上的。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題分為：無(wú)約束優(yōu)化約束優(yōu)化無(wú)條件極值問(wèn)題條件極值問(wèn)題第36頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第一節(jié)多元函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)

從多元函數(shù)的微分學(xué)得知，對(duì)于一個(gè)連續(xù)可微函數(shù)f(x)在某一點(diǎn)的一階偏導(dǎo)數(shù)為：，，，…它表示函數(shù)f(x)值在點(diǎn)沿各坐標(biāo)軸方向的變化率。有一個(gè)二維函數(shù)，如圖2-1所示。第37頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五圖2-1函數(shù)的方向?qū)?shù)第38頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五其函數(shù)在點(diǎn)沿d方向的方向?qū)?shù)為第39頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五二、二元函數(shù)的梯度對(duì)于二維函數(shù)在點(diǎn)處的梯度設(shè)為d方向的單位向量，則有第40頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五即第41頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五三、多元函數(shù)的梯度沿d方向的方向向量即第42頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五圖2-5梯度方向與等值面的關(guān)系第43頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五若目標(biāo)函數(shù)f(x)處處存在一階導(dǎo)數(shù)，則極值點(diǎn)的必要條件一階偏導(dǎo)數(shù)等于零，即滿足此條件僅表明該點(diǎn)為駐點(diǎn)，不能肯定為極值點(diǎn)，即使為極值點(diǎn)，也不能判斷為極大點(diǎn)還是極小點(diǎn)，還得給出極值點(diǎn)的充分條件設(shè)目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)至少有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則在這一點(diǎn)的泰勒二次近似展開式為：第二節(jié)多元函數(shù)的泰勒展開第44頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五為N維函數(shù)f(x)在點(diǎn)處的Hesse矩陣第45頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五泰勒展開寫成向量矩陣形式∵∵第46頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五（1）▽F(X*)=0；必要條件（2）Hesse矩陣G(X*)為正定。充分條件多元函數(shù)f(x)在處取得極值，則極值的條件為為無(wú)約束極小點(diǎn)的充分條件其Hesse矩陣G(X*)為正定的。則極小點(diǎn)必須滿足為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的極值條件第47頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五同學(xué)考慮二元函數(shù)在處取得極值的充分必要條件。各階主子式大于零例：求函數(shù)的極值第48頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃前面我們根據(jù)函數(shù)極值條件確定了極小點(diǎn)則函數(shù)f(x)在附近的一切x均滿足不等式所以函數(shù)f(x)在處取得局部極小值，稱為局部極小點(diǎn)。而優(yōu)化問(wèn)題一般是要求目標(biāo)函數(shù)在某一區(qū)域內(nèi)的全局極小點(diǎn)。函數(shù)的局部極小點(diǎn)是不是一定是全局極小點(diǎn)呢？第49頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五圖2-7下凸的一元函數(shù)第50頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五一、凸集的線段都全部包含在該集合內(nèi)，就稱該點(diǎn)集為凸集，否則為非凸集。一個(gè)點(diǎn)集（或區(qū)域），如果連接其中任意兩點(diǎn)第51頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五凸集的性質(zhì)二、凸函數(shù)函數(shù)f(x）為凸集定義域內(nèi)的函數(shù)，若對(duì)任何的及凸集域內(nèi)的任意兩點(diǎn)存在如下不等式：第52頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五稱是定義在凸集上的一個(gè)凸函數(shù)。第53頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五三、凸性條件1.根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)（函數(shù)的梯度）來(lái)判斷函數(shù)的凸性設(shè)f(x)為定義在凸集R上，且具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f(x)在R上為凸函數(shù)的充要條件是對(duì)凸集R內(nèi)任意不同兩點(diǎn)，不等式恒成立。2.根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)（

Hesse矩陣)來(lái)判斷函數(shù)的凸性第54頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五設(shè)f(x)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f(x)在R上為凸函數(shù)的充要條件Hesse矩陣在R上處處半正定。四、凸規(guī)劃對(duì)于約束優(yōu)化問(wèn)題若都為凸函數(shù)，則此問(wèn)題為凸規(guī)劃。第55頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五凸規(guī)劃的性質(zhì)：1.若給定一點(diǎn)，則集合為凸集。2.可行域?yàn)橥辜?.凸規(guī)劃的任何局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解第56頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第五節(jié)等式約束優(yōu)化問(wèn)題的極值條件約束優(yōu)化等式約束不等式約束求解這一問(wèn)題的方法消元法拉格朗日乘子法第57頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五1.消元法（降維法）以二元函數(shù)為例討論。二、拉格朗日乘子法（升維法）對(duì)于具有L個(gè)等式約束的n維優(yōu)化問(wèn)題處有將原來(lái)的目標(biāo)函數(shù)作如下改造：第58頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五拉格朗日函數(shù)待定系數(shù)新目標(biāo)函數(shù)的極值的必要條件例2-4用拉格朗日乘子法計(jì)算在約束條件的情況下，目標(biāo)函數(shù)的極值點(diǎn)坐標(biāo)。第59頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第六節(jié)不等式約束優(yōu)化問(wèn)題的極值條件在工程中大多數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，可表示為不等式約束條件的優(yōu)化問(wèn)題。有必要引出非線性優(yōu)化問(wèn)題的重要理論，是不等式約束的多元函數(shù)的極值的必要條件。庫(kù)恩-塔克（Kuhn-Tucker）條件一、一元函數(shù)在給定區(qū)間上的極值條件一元函數(shù)f(x)在給定區(qū)間[a,b]上的極值問(wèn)題，可以寫成下列具有不等式約束條件的優(yōu)化問(wèn)題：第60頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五拉格朗日乘子法，除了可以應(yīng)用于等式的極值問(wèn)題，還可以用于不等式的極值問(wèn)題。需引入松弛變量，將不等式約束變成等式約束。設(shè)a1和b1為兩個(gè)松弛變量，則上述的不等式約束可寫為：第61頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五則該問(wèn)題的拉格朗日函數(shù)根據(jù)拉格朗日乘子法，此問(wèn)題的極值條件：第62頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五由（起作用約束）（不起作用約束）同樣，來(lái)分析起作用何不起作用約束。因此，一元函數(shù)在給定區(qū)間的極值條件，可以表示為：第63頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五多元庫(kù)恩-塔克條件分析極值點(diǎn)在區(qū)間的位置，有三種情況第64頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則極值條件為第65頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五當(dāng)時(shí)，此時(shí)則極值條件為即第66頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則極值條件為即第67頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五從以上分析可以看出，對(duì)應(yīng)于不起作用的約束的拉格朗日乘子取零值，因此可以引入起作用約束的下標(biāo)集合。一元函數(shù)在給定區(qū)間的極值條件，可以改寫為：極值條件中只考慮起作用的約束和相應(yīng)的乘子。第68頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五二、庫(kù)恩-塔克條件仿照一元函數(shù)給定區(qū)間上極值條件的推導(dǎo)過(guò)程，可以得到具有不等式約束多元函數(shù)極值條件：用起作用約束的下標(biāo)集合表示第69頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五用梯度形式表示，可得或庫(kù)恩-塔克條件的幾何意義：在約束極小點(diǎn)處，函數(shù)的負(fù)梯度一定能表示成所有起作用約束在該點(diǎn)梯度的非負(fù)線性組合。第70頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五下面以二維問(wèn)題為例，說(shuō)明K-T條件的幾何意義第71頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五從圖中可以看出，處在和角錐之內(nèi)，即線性組合的系數(shù)為正，是在取得極值的必要條件。第72頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五三、庫(kù)恩-塔克條件應(yīng)用舉例若給定優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為K-T條件第73頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第74頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第三章一維搜索方法采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求函數(shù)極值點(diǎn)的迭代計(jì)算：K+1次迭代的搜索方向搜索的最佳步長(zhǎng)因子當(dāng)搜索方向給定，求最佳步長(zhǎng)就是求一元函數(shù)的極值。稱為一維搜索。是優(yōu)化搜索方法的基礎(chǔ)。求解一元函數(shù)的極小點(diǎn)，可用解析法。第75頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五上式求α的極值，即求α導(dǎo)數(shù)為零。則從上式看，需要求導(dǎo)進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于函數(shù)關(guān)系復(fù)雜的，解析法十分不便。數(shù)值法的基本思路：確定的搜索區(qū)間，在不斷縮小區(qū)間，最終獲得近似值。第76頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第二節(jié)搜索區(qū)間的確定和區(qū)間消去法原理一、確定搜索區(qū)間的外推法第77頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五圖3-2正向搜索的外推法第78頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五圖3-3反向搜索的外推法第79頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五三、區(qū)間消去法原理第80頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第81頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五為了避免多計(jì)算函數(shù)值，將第三種情況合并到前兩種情況中。第82頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五三、一維搜索方法的分類從前面的分析可知，每次縮短區(qū)間，只需要在區(qū)間內(nèi)在插入一點(diǎn)并計(jì)算其函數(shù)值。而插入點(diǎn)的位置，可以由不同的方法來(lái)確定。就形成了不同的一維搜索方法。一維搜索方法分類試探法插值法黃金分割法二次插值法第三節(jié)一維搜索的試探法最常用的一維搜索試探法是黃金分割法，又稱0.618法。第83頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五要求插入點(diǎn)a1、a2的位置相對(duì)于區(qū)間[a,b]兩端點(diǎn)具有對(duì)稱性。除對(duì)稱要求外，黃金分割法還要求在保留下來(lái)的區(qū)間再插入一點(diǎn)所形成的區(qū)間新三段，與原來(lái)區(qū)間的三段具有相同的比例分布。第84頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五2所謂的“黃金分割”是指將一線段分成兩段的方法，使整段長(zhǎng)與較長(zhǎng)段的長(zhǎng)度比值等于較長(zhǎng)段與較短段的比值，即第85頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第86頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第四節(jié)一維搜索的插值方法假定要在某一區(qū)間內(nèi)尋找函數(shù)的極小點(diǎn)的位置，雖然沒有函數(shù)表達(dá)式，但能夠給出若干試驗(yàn)點(diǎn)處的函數(shù)值。我們可以根據(jù)這些點(diǎn)處的函數(shù)值，利用插值的方法建立函數(shù)的近似表達(dá)式，進(jìn)而求處函數(shù)的極小點(diǎn)，作為原來(lái)函數(shù)的極小點(diǎn)的近似值。這種方法稱作插值法，也稱函數(shù)逼近法。一、牛頓法（切線法）一維搜索函數(shù)，假定一給出極小點(diǎn)的一個(gè)較好的近似點(diǎn)，因?yàn)橐粋€(gè)連續(xù)可微的函數(shù)在極小點(diǎn)附近與一個(gè)二次函數(shù)很接近，因此，在點(diǎn)附近用一個(gè)二次函數(shù)逼近。第87頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五求二次函數(shù)的極小點(diǎn)作為極小點(diǎn)的新近似點(diǎn)即依次繼續(xù)下去，可得牛頓法迭代公式：第88頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五牛頓法的幾何解釋：第89頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五牛頓法的計(jì)算步驟：給定初始點(diǎn)，控制誤差，并令k=0。1）計(jì)算2）求3)若則求得近似解，停止計(jì)算，否則作4。4）令轉(zhuǎn)1。第90頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五優(yōu)點(diǎn)：收斂速度快。缺點(diǎn)：每一點(diǎn)都要進(jìn)行二階導(dǎo)數(shù)，工作量大；要求初始點(diǎn)離極小點(diǎn)不太遠(yuǎn)，否則有可能使極小化發(fā)散或收斂到非極小點(diǎn)。二、二次插值（拋物線法）利用在單谷區(qū)間中的函數(shù)值，作出如下的二次插值多項(xiàng)式它應(yīng)滿足條件（1）第91頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五從極值的必要條件求得（2）（3）要求出系數(shù)和，聯(lián)立方程組（1）、（2）、（3）。第92頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五令所以則第93頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第94頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第95頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第96頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第97頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第四章無(wú)約束優(yōu)化方法第一節(jié)概述從第一章列舉的機(jī)械設(shè)計(jì)問(wèn)題，大多數(shù)實(shí)際問(wèn)題是約束優(yōu)化問(wèn)題。約束優(yōu)化問(wèn)題的求解——轉(zhuǎn)化為一系列的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題實(shí)現(xiàn)的。因此，無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的解法是優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的基本組成部分，也是優(yōu)化方法的基礎(chǔ)。無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的極值條件第98頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五解析法數(shù)值法數(shù)學(xué)模型復(fù)雜時(shí)不便求解可以處理復(fù)雜函數(shù)及沒有數(shù)學(xué)表達(dá)式的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題搜索方向問(wèn)題是無(wú)約束優(yōu)化方法的關(guān)鍵。各種無(wú)約束優(yōu)化方法的區(qū)別：確定搜索方向的方法不同。無(wú)約束優(yōu)化方法分類利用目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)利用目標(biāo)函數(shù)值（最速下降法、共軛梯度法、牛頓法）（坐標(biāo)輪換法、鮑威爾等）第99頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第100頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第二節(jié)最速下降法優(yōu)化設(shè)計(jì)追求目標(biāo)函數(shù)值最小，若搜索方向取該點(diǎn)的負(fù)梯度方向，使函數(shù)值在該點(diǎn)附近的范圍內(nèi)下降最快。按此規(guī)律不斷走步，形成以下迭代算法：以負(fù)梯度方向?yàn)樗阉鞣较颍苑Q最速下降法或梯度法。搜索方向確定為負(fù)梯度方向，還需確定步長(zhǎng)因子即求一維搜索的最佳步長(zhǎng)，既有第101頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五由此可知，在最速下降法中，相鄰兩個(gè)迭代點(diǎn)上的函數(shù)梯度相互垂直。而搜索方向就是負(fù)梯度方向，因此相鄰兩個(gè)搜索方向互相垂直。第102頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第103頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五例4-1求目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)。第104頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第105頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第三節(jié)牛頓型方法在第三章中，我們已經(jīng)討論了一維搜索的牛頓方法。得出一維情況下的牛頓迭代公式對(duì)于多元函數(shù)，在泰勒展開，得設(shè)為函數(shù)的極小點(diǎn)，根據(jù)極值的必要條件第106頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五這是多元函數(shù)求極值的牛頓法迭代公式。例4-2用牛頓法求的極小值。對(duì)牛頓法進(jìn)行改進(jìn)，提出“阻尼牛頓法”第107頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第108頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第四節(jié)共軛方向及共軛方向法為了克服最速下降法的鋸齒現(xiàn)象，提高收斂速度，發(fā)展了一類共軛方向法。搜索方向是共軛方向。一、共軛方向的概念共軛方向的概念是在研究二次函數(shù)時(shí)引出的。首先考慮二維情況第109頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五如果按最速下降法，選擇負(fù)梯度方向?yàn)樗阉鞣较颍瑫?huì)產(chǎn)生鋸齒現(xiàn)象。為避免鋸齒的發(fā)生，取下一次的迭代搜索方向直接指向極小點(diǎn)，如果選定這樣的搜索方向，對(duì)于二元二次函數(shù)只需進(jìn)行兩次直線搜索就可以求到極小點(diǎn)。第110頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五應(yīng)滿足什么條件？對(duì)于二次函數(shù)在處取得極小點(diǎn)的必要條件等式兩邊同乘得是對(duì)G的共軛方向。第111頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五三、共軛方向法1、選定初始點(diǎn)，下降方向和收斂精度ε，k=0。2、沿方向進(jìn)行一維搜索，得3、判斷是否滿足，若滿足則打印否則轉(zhuǎn)4。4、提供新的共軛方向，使5、置，轉(zhuǎn)2。第112頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第113頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第五節(jié)共軛梯度法共軛梯度法是共軛方向法的一種，共軛向量有迭代點(diǎn)的負(fù)梯度構(gòu)造出來(lái)，所以稱共軛梯度法。從點(diǎn)出發(fā)，沿G某一共軛方向作一維搜索,到達(dá)而在點(diǎn)、處的梯度分別為：第114頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五得出共軛方向與梯度之間的關(guān)系。此式表明沿方向進(jìn)行一維搜索，其終點(diǎn)與始點(diǎn)的梯度值差與的共軛方向正交。第115頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五圖4-9共軛梯度法的幾何說(shuō)明第116頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第117頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第六節(jié)變尺度法變尺度法的基本思想：前面討論的梯度法和牛頓法，它們的迭代公式可以看作下列公式的特例。變尺度法是對(duì)牛頓法的修正，它不是計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)的矩陣和它的逆矩陣，而是設(shè)法構(gòu)造一個(gè)對(duì)稱正定矩陣H來(lái)代替Hesse矩陣的逆矩陣。并在迭代過(guò)程中，使其逐漸逼近H-1

。由于對(duì)稱矩陣H在迭代過(guò)程中是不斷修正改變的，它對(duì)于一般尺度的梯度起到改變尺度的作用，因此H又稱變尺度矩陣。第118頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五一、尺度矩陣的概念變量的尺度變換是放大或縮小各個(gè)坐標(biāo)。通過(guò)尺度變換可以把函數(shù)的偏心程度降低到最低限度。對(duì)于一般二次函數(shù)如果進(jìn)行尺度變換第119頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五則在新的坐標(biāo)系中，函數(shù)的二次項(xiàng)變?yōu)檫x擇這樣變換的目的：降低二次項(xiàng)的偏心程度。若矩陣G是正定的，則總存在矩陣Q使使得函數(shù)偏心度變?yōu)榱恪Ｓ肣-1

右乘等式兩邊，得再用Q左乘等式兩邊，得所以第120頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五說(shuō)明二次函數(shù)矩陣G的逆矩陣，可以通過(guò)尺度變換矩陣Q求得。這樣，牛頓法迭代過(guò)程中的牛頓方向可寫成：三、變尺度法的一般步驟第121頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第122頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第七節(jié)坐標(biāo)輪換法坐標(biāo)輪換法是每次搜索只允許一個(gè)變量變化，其余變量保持不變，即沿坐標(biāo)方向輪流進(jìn)行搜索的尋優(yōu)方法。它把多變量的優(yōu)化問(wèn)題輪流地轉(zhuǎn)化成單變量的優(yōu)化問(wèn)題。因此又稱變量輪換法。

其基本原理是將一個(gè)多維的無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列較低維的最優(yōu)化問(wèn)題來(lái)求解，簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是先將(n-1)個(gè)變量固定不動(dòng)，只對(duì)第一個(gè)變量進(jìn)行一維搜索得到最優(yōu)點(diǎn)x1（1）。然后，又保持(n-1)個(gè)變量不變，再對(duì)第二個(gè)變量進(jìn)行一維搜索到x2（1）等等。第123頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第124頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五圖4－12坐標(biāo)輪換法原理圖（動(dòng)畫演示）第125頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五2.搜索方向與步長(zhǎng)的確定（1）搜索方向的確定對(duì)于第k輪第i次的計(jì)算第k輪第I次的迭代方向，它輪流取n維坐標(biāo)的單位向量。第126頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五3.搜索步長(zhǎng)的確定關(guān)于值通常有以下幾種取法（1）加速步長(zhǎng)法（2）最優(yōu)步長(zhǎng)法最優(yōu)步長(zhǎng)法就是利用一維最優(yōu)搜索方法來(lái)完成每一次迭代，即此時(shí)可以采用0.618方法或二次插值方法來(lái)計(jì)算的值。第127頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五圖4－13加速步長(zhǎng)法的搜索路線第128頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五圖4－14最優(yōu)步長(zhǎng)法的搜索路線第129頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五4.坐標(biāo)輪換法存在的問(wèn)題圖4－15坐標(biāo)輪換法在各種不同情況下的效能（a）搜索有效；（b）搜索低效；（c）搜索無(wú)效第130頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第八節(jié)Powell法（方向加速法）

Powell法是利用共軛方向可以加速收斂的性質(zhì)所形成的一種搜索算法。一、共軛方向的生成第131頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第132頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五二、基本算法第133頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五三、改進(jìn)的算法在鮑維爾基本算法中，每一輪迭代都用連結(jié)始點(diǎn)和終點(diǎn)所產(chǎn)生出的搜索方向去替換原來(lái)向量組中的第一個(gè)向量，而不管它的“好壞”。改進(jìn)的算法是：首先判斷原向量組是否需要替換。如需要替換，在產(chǎn)生新的向量。第134頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第135頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五

第六章約束優(yōu)化方法

根據(jù)求解方式的不同，可分為直接解法和間接解法兩類。

機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的問(wèn)題，大多屬于約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，其數(shù)學(xué)模型為：

直接解法是在滿足不等式約束的可行設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)直接求出問(wèn)題的約束最優(yōu)解。

屬于這類方法的有：隨機(jī)實(shí)驗(yàn)法、隨機(jī)方向搜索法、復(fù)合形法、可行方向法等。第136頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五

間接解法是將約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題來(lái)解的一種方法。

由于間接解法可以選用已研究比較成熟的無(wú)約束優(yōu)化方法，并且容易處理同時(shí)具有不等式約束和等式約束的問(wèn)題。因而在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)得到廣泛的應(yīng)用。間接解法中具有代表性的是懲罰函數(shù)法。

直接解法的基本思想：

在由m個(gè)不等式約束條件gu(x)≤0所確定的可行域φ內(nèi)，選擇一個(gè)初始點(diǎn)x(0)，然后確定一個(gè)可行搜索方向S，且以適當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)沿S方向進(jìn)行搜索，取得一個(gè)目標(biāo)函數(shù)有所改善的可行的新點(diǎn)x(1)，即完成了一次迭代。以新點(diǎn)為起始點(diǎn)重復(fù)上述搜索過(guò)程，每次均按如下的基本迭代格式進(jìn)行計(jì)算：

第137頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五x(k+1)＝x(k)+α(k)S(k)(k=0,1,2,…)逐步趨向最優(yōu)解，直到滿足終止準(zhǔn)則才停止迭代。第138頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五直接解法的原理簡(jiǎn)單，方法實(shí)用，其特點(diǎn)是：1）由于整個(gè)過(guò)程在可行域內(nèi)進(jìn)行，因此，迭代計(jì)算不論何時(shí)終止，都可以獲得比初始點(diǎn)好的設(shè)計(jì)點(diǎn)。2）若目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)，可行域?yàn)橥辜瑒t可獲得全域最優(yōu)解，否則，可能存在多個(gè)局部最優(yōu)解，當(dāng)選擇的初始點(diǎn)不同，而搜索到不同的局部最優(yōu)解。3）要求可行域有界的非空集。第139頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五a)可行域是凸集；b)可行域是非凸集第140頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五間接解法的求解思路：將約束函數(shù)進(jìn)行特殊的加權(quán)處理后，和目標(biāo)函數(shù)結(jié)合起來(lái)，構(gòu)成一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù)，即將原約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)或一系列的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題。新目標(biāo)函數(shù)加權(quán)因子然后對(duì)新目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行無(wú)約束極小化計(jì)算。第141頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第142頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第二節(jié)隨機(jī)方向法隨機(jī)方向法的基本思路：在可行域內(nèi)選擇一個(gè)初始點(diǎn)，利用隨機(jī)數(shù)的概率特性，產(chǎn)生若干個(gè)隨機(jī)方向，并從中選擇一個(gè)能使目標(biāo)函數(shù)值下降最快的隨機(jī)方向作為搜索方向d。從初始點(diǎn)x0出發(fā)，沿d方向以一定步長(zhǎng)進(jìn)行搜索，得到新點(diǎn)X，新點(diǎn)x應(yīng)滿足約束條件且f(x)<f(x0)，至此完成一次迭代?；舅悸啡鐖D所示。隨機(jī)方向法程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，搜索速度快，是解決小型機(jī)械優(yōu)化問(wèn)題的十分有效的算法。第143頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第144頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五一、隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生下面介紹一種常用的產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的數(shù)學(xué)模型首先令取r=2657863，按一下步驟計(jì)算：令若則若則若則則（0，1）之間的隨機(jī)數(shù)第145頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五在任意(a,b)區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)數(shù)二、初始點(diǎn)的選擇

隨機(jī)方向法的初始點(diǎn)x0必須是一個(gè)可行點(diǎn)，既滿足全部不等式約束條件。初始點(diǎn)可以通過(guò)隨機(jī)選擇的方法產(chǎn)生。1）輸入設(shè)計(jì)變量的下限值和上限值，即2）在區(qū)間（0，1）內(nèi)產(chǎn)生n個(gè)偽隨機(jī)數(shù)3）計(jì)算隨機(jī)點(diǎn)x的各分量第146頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五4）判別隨機(jī)點(diǎn)x是否可行，若隨機(jī)點(diǎn)可行，用x代替x0為初始點(diǎn)；若非可行點(diǎn)，轉(zhuǎn)到步驟2）重新產(chǎn)生隨機(jī)點(diǎn)，只到可行為止。三、可行搜索方向的產(chǎn)生產(chǎn)生可行隨機(jī)方向的方法：從k個(gè)隨機(jī)方向中，選取一個(gè)較好的方向。其計(jì)算步驟為：1）在(-1,1)區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)，得隨機(jī)單位向量第147頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五2)取一試驗(yàn)步長(zhǎng)a0，按下式計(jì)算k個(gè)隨機(jī)點(diǎn)3）檢驗(yàn)k個(gè)隨機(jī)點(diǎn)是否為可行點(diǎn)，除去非可行點(diǎn)，計(jì)算余下的可行點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，比較其大小，選出目標(biāo)函數(shù)最小的點(diǎn)XL

。4)比較XL

和X0兩點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，若f(XL)<f(X0)，則取XL

和X0連線方向?yàn)榭尚兴阉鞣较?；若f(XL)>f(X0)，則步長(zhǎng)α0

縮小，專步驟1）重新計(jì)算，直至f(XL)<f(X0)為止。如果α0

縮小到很小，仍然找不到一個(gè)XL，使f(XL)<f(X0)則說(shuō)明X0是一個(gè)局部極小點(diǎn)，此時(shí)可更換初始點(diǎn)，轉(zhuǎn)步驟1）。第148頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五產(chǎn)生可行搜索方向的條件為：則可行搜索方向?yàn)椋核摹⑺阉鞑介L(zhǎng)的確定步長(zhǎng)由加速步長(zhǎng)法確定。第149頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五五、隨機(jī)方向法的計(jì)算步驟第三節(jié)復(fù)合形法復(fù)合形法是求解約束優(yōu)化問(wèn)題的一種重要的直接解法。

它的基本思路是在可行域內(nèi)構(gòu)造一個(gè)具有k個(gè)頂點(diǎn)的初始復(fù)合形。對(duì)該復(fù)合形各頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行比較，找到目標(biāo)函數(shù)最大的頂點(diǎn)（最壞點(diǎn)），然后按一定的法則求出目標(biāo)函數(shù)值有所下降的可行的新點(diǎn)，并用此點(diǎn)代替最壞點(diǎn)，構(gòu)成新的復(fù)合形，復(fù)合形的形狀沒改變一次，就向最優(yōu)點(diǎn)移動(dòng)一步，直至逼近最優(yōu)點(diǎn)。

由于復(fù)合形的形狀不必保持規(guī)則的圖形，對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)無(wú)特殊要求，因此這種方法適應(yīng)性強(qiáng)，在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中應(yīng)用廣泛。第150頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第151頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五初始復(fù)合形生成的方法：1）由設(shè)計(jì)者決定k個(gè)可形點(diǎn)，構(gòu)成初始復(fù)合形。設(shè)計(jì)變量少時(shí)適用。2）由設(shè)計(jì)者選定一個(gè)可形點(diǎn)，其余的k-1個(gè)可形點(diǎn)用隨機(jī)法產(chǎn)生。第152頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五3）由計(jì)算機(jī)自動(dòng)生成初始復(fù)合形的所有頂點(diǎn)。二、復(fù)合形法的搜索方法1.反射1）計(jì)算復(fù)合形各頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，并比較其大小，求出最好點(diǎn)XL、最壞點(diǎn)XH

及次壞點(diǎn)XG，即第153頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五2）計(jì)算除去最壞點(diǎn)XH

外的（k-1）個(gè)頂點(diǎn)的中心XC

3）從統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)來(lái)看，一般情況下，最壞點(diǎn)XH和中心點(diǎn)XC的連線方向?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)的下降方向。第154頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五4）判別反射點(diǎn)XR的位置

若XR

為可行點(diǎn)，則比較XR

和XH

兩點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，如果f(XR)<f(XH)，則用XR取代XH

，構(gòu)成新的復(fù)合形，完成一次迭代；如果f(XR)>=f(XH),則將α縮小0.7倍，重新計(jì)算新的反射點(diǎn)，若仍不行，繼續(xù)縮小α，直至f(XR)<f(XH)為止。

若為非可行點(diǎn)，則將α縮小0.7倍，直至可行為止。然后再重復(fù)可行點(diǎn)的步驟。2.擴(kuò)張第155頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五3.收縮第156頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第157頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第158頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第五節(jié)懲罰函數(shù)法

懲罰函數(shù)法是一種很廣泛、很有效的間接解法。它的基本原理是將約束優(yōu)化問(wèn)題中的不等式和不等式約束函數(shù)經(jīng)加權(quán)后，和原目標(biāo)函數(shù)結(jié)合為新的目標(biāo)函數(shù)——懲罰函數(shù)。

將約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題。求解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的極小值，從而得到原約束優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解。加權(quán)轉(zhuǎn)化項(xiàng)第159頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五

懲罰函數(shù)法是按一定的法則改變加權(quán)因子的值，構(gòu)成一系列的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，求一系列無(wú)約束最優(yōu)解，并不斷地逼近原約束優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解。因此又稱序列無(wú)約束極小化方法。常稱SUMT方法。根據(jù)它們?cè)趹土P函數(shù)中的作用，分別稱障礙項(xiàng)和懲罰項(xiàng)。

障礙項(xiàng)的作用是當(dāng)?shù)c(diǎn)在可行域內(nèi)時(shí)，在迭代過(guò)程中將阻止迭代點(diǎn)越出可形域。

懲罰項(xiàng)的作用是當(dāng)?shù)c(diǎn)在非可行域或不滿足等式約束條件時(shí)，在迭代過(guò)程中將迫使迭代點(diǎn)逼近約束邊界或等式約束曲面。

按照懲罰函數(shù)在優(yōu)化過(guò)程中迭代點(diǎn)是否可行，分為：內(nèi)點(diǎn)法、外點(diǎn)法及混合法。第160頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五一、內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法

內(nèi)點(diǎn)法將新目標(biāo)函數(shù)定義于可行域內(nèi)，這樣它的初始點(diǎn)及后面的迭代點(diǎn)序列必定在可行域內(nèi)。

采用內(nèi)點(diǎn)法只能求解具有不等式約束的優(yōu)化問(wèn)題。轉(zhuǎn)化后的懲罰函數(shù)形式為：障礙項(xiàng)第161頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五障礙項(xiàng)的作用是阻止迭代點(diǎn)越出可行域。例6-5用內(nèi)點(diǎn)法求問(wèn)題約束最優(yōu)解。第162頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第163頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五用內(nèi)點(diǎn)法求解，首先構(gòu)造內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)：用解析法對(duì)函數(shù)求極小值。求解得第164頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五不滿足約束條件，舍去。無(wú)約束極值點(diǎn)為：第165頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五下面介紹內(nèi)點(diǎn)法中的初始點(diǎn)、懲罰因子初值及其縮減系數(shù)的選取和收斂條件的確定。1.初始點(diǎn)的選取

初始點(diǎn)應(yīng)選離約束邊界較遠(yuǎn)的可行點(diǎn)。程序設(shè)計(jì)時(shí)，一般，考慮具有人工輸入、和計(jì)算機(jī)自動(dòng)生成可行初始點(diǎn)的兩種功能。2.懲罰因子的初值的選取懲罰因子的初值選取應(yīng)適當(dāng)，否則會(huì)影響迭代計(jì)算的正常進(jìn)行。太大會(huì)影響迭代次數(shù)，太小會(huì)使懲罰函數(shù)的形態(tài)變壞，難以收斂到極值點(diǎn)。1）取r0=1，根據(jù)試算的結(jié)果，再?zèng)Q定增加或減少r0

值。第166頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五2）按經(jīng)驗(yàn)公式

計(jì)算r0

值。這樣選取的r0

，可以是懲罰函數(shù)中的障礙項(xiàng)和原目標(biāo)函數(shù)的值大致相等，不會(huì)因障礙項(xiàng)的值太大則其支配作用，也不會(huì)因障礙項(xiàng)的值太小而被忽略掉。3.懲罰因子的縮減系數(shù)c的選取

在構(gòu)造序列懲罰函數(shù)時(shí)，懲罰因子r是一個(gè)逐次遞減到0的數(shù)列，相鄰兩次迭代的懲罰因子的關(guān)系為：第167頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五懲罰因子的縮減系數(shù)通常的取值范圍：0.1-0.7之間。4.收斂條件第168頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第169頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五

內(nèi)點(diǎn)法是將懲罰因數(shù)定義于可行域內(nèi)，而外點(diǎn)法與內(nèi)點(diǎn)法不同，是將懲罰項(xiàng)函數(shù)定義于可行區(qū)域的外部。序列迭代點(diǎn)從可行域外部逐漸逼近約束邊界上的最優(yōu)點(diǎn)。二、外點(diǎn)懲罰函數(shù)法外點(diǎn)法可以用來(lái)求解含不等式和等式約束的優(yōu)化問(wèn)題。對(duì)于約束優(yōu)化問(wèn)題第170頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五懲罰因子，它是由小到大。懲罰項(xiàng)

由懲罰項(xiàng)可知，當(dāng)?shù)c(diǎn)不可行時(shí)，懲罰項(xiàng)的值大于零。

當(dāng)?shù)c(diǎn)離約束邊界越遠(yuǎn)時(shí)，懲罰項(xiàng)愈大，這可看成是對(duì)迭代點(diǎn)不滿足約束條件的一種懲罰。轉(zhuǎn)化后的外點(diǎn)懲罰函數(shù)的形式為：第171頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第172頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五例6-6用外點(diǎn)法求問(wèn)題約束最優(yōu)解。首先構(gòu)造外點(diǎn)懲罰函數(shù)：用解析法求解第173頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五求解得第174頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五外點(diǎn)法懲罰銀子按下式遞增遞增系數(shù)，通常取c=5-10。

與內(nèi)點(diǎn)法相反計(jì)算r0

值。選取的r0

太大則會(huì)使懲罰函數(shù)等值線偏心或變形，難以取得極小值。但r0太小，勢(shì)必增加迭代次數(shù)。經(jīng)驗(yàn)計(jì)算一般取r0=1，c=10常?？梢匀〉脻M意的效果。也可以通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式獲得r0

值第175頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五外點(diǎn)法的特點(diǎn)：

1．初始點(diǎn)可以任選，但應(yīng)使各函數(shù)有定義2．對(duì)等式約束和不等式約束均可適用3．僅最優(yōu)解為可行設(shè)計(jì)方案4．一般收斂較快5．初始罰因子要選擇得當(dāng)6．懲罰因子為遞增，遞增率c有c>1。內(nèi)點(diǎn)法的特點(diǎn)：

1．初始點(diǎn)必須為嚴(yán)格內(nèi)點(diǎn) 2．不適于具有等式約束的數(shù)學(xué)模型3．迭代過(guò)程中各個(gè)點(diǎn)均為可行設(shè)計(jì)方案4．一般收斂較慢5．初始罰因子要選擇得當(dāng)6．罰因子為遞減，遞減率c有0<c<1。 第176頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五三、混合懲罰函數(shù)法1.混合懲罰函數(shù)法及其算法步驟

在構(gòu)造懲罰函數(shù)時(shí)，可以同時(shí)包括障礙項(xiàng)與懲罰項(xiàng)，并將懲罰因子統(tǒng)一用r（k）表示：

由于內(nèi)點(diǎn)法容易處理不等式約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，而外點(diǎn)法又容易處理等式約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，因而可將內(nèi)點(diǎn)法與外點(diǎn)法結(jié)合起來(lái)，處理同時(shí)具有等式約束和不等式約束的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。第177頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五

這種同時(shí)處理等式和不等式約束的懲罰函數(shù)法稱為混合懲罰函數(shù)法。混合懲罰函數(shù)法與前述內(nèi)點(diǎn)法和外點(diǎn)法一樣，也屬于序列無(wú)約束極小化(SUMT)方法中的—種方法。第178頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五第八章機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例第一節(jié)應(yīng)用技巧一、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般過(guò)程機(jī)械設(shè)計(jì)的全過(guò)程一般可分為：1.建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。2.選擇適當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法。3.編寫計(jì)算機(jī)程序。4.準(zhǔn)備必須的初始數(shù)據(jù)并上機(jī)計(jì)算。5.對(duì)計(jì)算機(jī)求得的結(jié)果進(jìn)行必要的分析。第179頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五二、建立數(shù)學(xué)模型的基本原則

數(shù)學(xué)模型的建立要求確切、簡(jiǎn)潔的反映工程問(wèn)題的客觀實(shí)際。數(shù)學(xué)模型的三要素：設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件。1.設(shè)計(jì)變量的選擇

在充分了解設(shè)計(jì)要求的基礎(chǔ)上，應(yīng)根據(jù)各設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響程度分析其主次，應(yīng)盡量減少設(shè)計(jì)變量的數(shù)目，以簡(jiǎn)化優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。應(yīng)注意各設(shè)計(jì)變量應(yīng)相互獨(dú)立，否則會(huì)使目標(biāo)函數(shù)出現(xiàn)“山脊”或“溝谷”，給優(yōu)化帶來(lái)困難。第180頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五3.約束條件的確定2.目標(biāo)函數(shù)的確定

把最重要的指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)，其余的次要的指標(biāo)可作為約束條件。對(duì)于一般機(jī)械，可按重量最輕或體積最小的要求建立目標(biāo)函數(shù)；對(duì)應(yīng)力集中現(xiàn)象尤其突出的構(gòu)件，則以應(yīng)力集中系數(shù)最小為追求的目標(biāo)。對(duì)于精密儀器，應(yīng)按其精度最高或誤差最小的要求建立目標(biāo)函數(shù)。

約束條件是就工程設(shè)計(jì)本身而提出的對(duì)設(shè)計(jì)變量取值范圍的限制條件。第181頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五三、數(shù)學(xué)模型的尺度變換1.目標(biāo)函數(shù)的尺度變換第182頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五2.設(shè)計(jì)變量的尺度變換當(dāng)各設(shè)計(jì)變量之間在量級(jí)上相差很大時(shí)，在給定的搜索方向上各自的靈敏度相差也很大。靈敏度大的搜索變化快，靈敏度小的搜索變化慢。為了消除這種差別，可以對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行重新標(biāo)度。使它成為無(wú)量綱或規(guī)格化的設(shè)計(jì)變量，這種處理稱設(shè)計(jì)變量的尺度變換。第183頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五3.約束函數(shù)的規(guī)格化約束函數(shù)的尺度變換稱規(guī)格化。

由于各約束函數(shù)所表達(dá)的意義不同，使得各約束函數(shù)值在量級(jí)上相差很大。

例如某熱壓機(jī)框架的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，許用應(yīng)力為[σ]=150MPa，而下橫梁的許用撓度[δ]=0.5mm，約束函數(shù)為：第184頁(yè)，共203頁(yè)，2022年，5月20日，1點(diǎn)17分，星期五

兩者對(duì)數(shù)