最佳線性濾波器

關(guān)于最佳線性濾波器第1頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五最佳線性濾波概述最優(yōu)估計(jì)：在許多實(shí)際問題中，需要研究隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量或隨機(jī)矢量的估計(jì)問題，即：按照某種最優(yōu)準(zhǔn)則對(duì)隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量或隨機(jī)矢量作出估計(jì)。

——在信息與通信工程領(lǐng)域常稱為“波形估計(jì)”；

——在控制科學(xué)與工程領(lǐng)域常稱為“狀態(tài)估計(jì)”。第2頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五最優(yōu)準(zhǔn)則：包括最大后驗(yàn)準(zhǔn)則、最大似然準(zhǔn)則、均方準(zhǔn)則、線性均方準(zhǔn)則等。最佳線性濾波器采用線性均方準(zhǔn)則，通常稱為“最小均方誤差（LMS）”和“最小二乘（LS）”準(zhǔn)則。統(tǒng)計(jì)均方意義下的準(zhǔn)則，要求輸入為隨機(jī)過程（序列），通常假定“平穩(wěn)”和“各態(tài)歷經(jīng)”。第3頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五最佳線性濾波器結(jié)構(gòu)LTI(h(n))+第4頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第5頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第三章最佳線性濾波器最佳線性濾波概述Wiener-Hopf方程及其求解Wiener濾波的性能互補(bǔ)Wiener濾波器設(shè)計(jì)卡爾曼濾波器的遞推算法卡爾曼濾波器的應(yīng)用第6頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第7頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五………+-+++第8頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五Toeplitz對(duì)稱陣第9頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第10頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五觀測(cè)信號(hào)為：，試中是方差為0.45的零均值白噪聲，它與s(n）統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。設(shè)計(jì)一個(gè)長為N=3的FIR濾波器來處理x(n)，使得其輸出與s(n)的差的均方值最小。例：設(shè)信號(hào)s(n)的自相關(guān)序列為：解：第11頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第12頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五解：試設(shè)計(jì)一個(gè)長為N=4的FIR濾波器對(duì)x(n)進(jìn)行濾波得到，使得例：在測(cè)試某正弦信號(hào)的過程中疊加有零均值、方差的白噪聲，即測(cè)試結(jié)果為：它與的誤差的均方值最小。求該濾波器的沖激響應(yīng)并估計(jì)誤差平均功率（與不相關(guān)）。第13頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第14頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第15頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第16頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五Wiener-Hopf方程：雙邊Z變換在z域有最佳系統(tǒng)傳輸函數(shù)：第17頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五Wiener-Hopf方程：因i取值范圍的原因，直接求解求hopt(i)非常困難。為此，令：輸入第18頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五一般情況，x(n)不為白噪聲，需經(jīng)兩步獲得因果IIR傳輸函數(shù)：（1）利用譜分解得到（2）由第19頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五將因果IIR濾波器看成兩部分級(jí)聯(lián)白化濾波器白噪聲最小相位LTI系統(tǒng)第20頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五兩端進(jìn)行Z變換得：第21頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五歸納起來，因果IIR維納濾波器設(shè)計(jì)步驟：第22頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五例：觀測(cè)信號(hào)，式中是零均值、方差為1的白噪聲。期望信號(hào)s(n)是一個(gè)AR(1)過程：式中是零均值、方差的白噪聲。期望信號(hào)s(n)與噪聲不相關(guān)，噪聲與不相關(guān)。試設(shè)計(jì)一因果IIR維納濾波器對(duì)觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行濾波，并求的估計(jì)。解：期望信號(hào)s(n)的功率譜為AR功率譜，即：第23頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第24頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第25頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第26頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第27頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第三章最佳線性濾波器最佳線性濾波概述Wiener-Hopf方程及其求解Wiener濾波的性能互補(bǔ)Wiener濾波器設(shè)計(jì)卡爾曼濾波器的遞推算法卡爾曼濾波器的應(yīng)用第28頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五Wiener濾波器為最佳線性濾波，對(duì)應(yīng)最小均方誤差：(1).對(duì)IIR維納濾波器均方誤差的z域計(jì)算1.誤差性能第29頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第30頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第31頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五(2).FIR維納濾波器均方誤差的時(shí)域計(jì)算舉例：在上例中，F(xiàn)IR維納濾波器的時(shí)域計(jì)算第32頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五以非因果IIR線性濾波器為例，可分析和說明Wiener濾波器實(shí)現(xiàn)了最佳的線性濾波：第33頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五2.實(shí)現(xiàn)問題問題一：實(shí)現(xiàn)精確度。Wiener濾波器最優(yōu)權(quán)系數(shù)需要由輸入信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)矩陣以及輸入信號(hào)與期望輸出的互相關(guān)函數(shù)矩陣進(jìn)行計(jì)算。實(shí)際中，這兩個(gè)參數(shù)是未知的，需要通過估計(jì)得到，而一致性估計(jì)需要觀測(cè)無限長信號(hào)；問題二：計(jì)算復(fù)雜度。求最優(yōu)濾波器單位脈沖響應(yīng)時(shí)需要矩陣求逆，其計(jì)算復(fù)雜度量級(jí)是濾波器長度的三次方。第34頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五解決辦法：改進(jìn)算法。由于存在這些問題，實(shí)際實(shí)現(xiàn)Wiener濾波時(shí)，并不是直接計(jì)算得到最優(yōu)Wiener濾波器的抽頭系數(shù)，而是代之以LMS,RLS,Kalman等自適應(yīng)濾波器。Kalman濾波器的主要特點(diǎn)：Kalman濾波是Wiener濾波的發(fā)展,它最早用于隨機(jī)過程的參數(shù)估計(jì),并在各種最佳濾波器和最佳控制中獲得極其廣泛的應(yīng)用。其主要特點(diǎn)是：

(1)采用遞推算法結(jié)構(gòu)。

(2)具有RLS類自適應(yīng)濾波器的框架。

(3)具有標(biāo)量型和矢量型兩種結(jié)構(gòu)，由標(biāo)量型地推算法可直接寫出矢量型算法的矩陣形式。第35頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第三章最佳線性濾波器最佳線性濾波概述Wiener-Hopf方程及其求解Wiener濾波的性能互補(bǔ)Wiener濾波器設(shè)計(jì)卡爾曼濾波器的遞推算法卡爾曼濾波器的應(yīng)用第36頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五高通(HP)低通(LP)第37頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第38頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第39頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第三章最佳線性濾波器最佳線性濾波概述Wiener-Hopf方程及其求解Wiener濾波的性能互補(bǔ)Wiener濾波器設(shè)計(jì)卡爾曼濾波器的遞推算法卡爾曼濾波器的應(yīng)用第40頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第41頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第42頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第43頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第44頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第45頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第46頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第47頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五請(qǐng)推導(dǎo)第48頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第49頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第50頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第51頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第52頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第53頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五n0010.50.50.5x(1)20.680.4050.4050.405x(2)+0.238x(1)70.60.3750.3750.375x(7)+0.1875x(6)+......第54頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五與本PPT

P31結(jié)果一致。即：Wiener濾波輸出是Kalman濾波的穩(wěn)態(tài)解。第55頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第56頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第57頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第58頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五標(biāo)量矩陣第59頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五標(biāo)量型矢量型第60頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第三章最佳線性濾波器最佳線性濾波概述Wiener-Hopf方程及其求解Wiener濾波的性能互補(bǔ)Wiener濾波器設(shè)計(jì)卡爾曼濾波器的遞推算法卡爾曼濾波器的應(yīng)用第61頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第62頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第63頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分，星期五第64頁，共71頁，2022年，5月20日，0點(diǎn)45分