郵電概率論與隨機過程課件-4班第講

以下

的前提是A是的集代數(shù)，是A上的測度1、F?上的外測度*(A)

*

A

inf

An：A

An

,An

A（1.2.1）

n1

n1

其中A

F?，稱F?上的v*是由A上的v所引出的外測度。(可列多個集合的并集合覆蓋A，該可列多個集合的測度和的下確界，即為集合A的外測度。）還需回顧下確界的性質2013-10-202

n1

n1A

n

*

An

*下面

外測度的性質：引理1.2.1

由集代數(shù)A上的測度引出的F?上的外測度*，滿足：（1）A

A

，*AA，*

0（2）若A

B

，*A*B（3）若An

，n

1,2,，因此：證明：（1）因AìA，由外測度定義，有：*

(A)

(A)因此，只需證明*

(A)

(A)2013-10-2032013-10-204

n1

n1

A

A

An

n

nAA

，且AA

A

，n

1,2,n1A

A，若A

An，An

A，n

1,2,

n1A*A綜上所述(A)=

*(A)A

AAn

An

n1因此，只需證明*

(A)

(A)（2）

A

B

2013-10-205必有：A

An，An

A

，n

1,2,n1n1即覆蓋B的集合序列一定覆蓋A

v*

A

v*

B

即：外測度是單調上升的函數(shù)。若B

An，An

A

，n

1,2,2013-10-206n1若An

，由外測度的定義和下確界的性質，有：n1若An

，結論顯然成立；k

1*

An

A

，A

Ak2nn

n

nkk

1*A

n

（3）若An

，n

1,2,

0和每個An，An

A

，k

1,2,，使得：k

2013-10-207nkA

A*

n1

k

1n

n1

n1

n1n

*

A

n

A*

2n

由的任意性，即得外測度的次可加性成立。但nA

nkA

，則由外測度的定義，有：n1

n1

k

1為了把那些滿足可加性的集合挑選出來，我們引入*可測集的概念，并構成一個新的集合類，該集合類A*不僅為-代數(shù)，而且*

是A

*上的測度。2013-10-208問題：外測度*

在F?上未必滿足-可加性？2、*可測集A是*可測集

D

，有：2013-10-209引理1.2.2*D*

AD*

AD證明：必要性顯然成立下面簡單說明充分性：設A

，若對任意的D

，都有：*D*

AD*

AD則稱A是*可測集*可測集具有下列性質：（1.2.3）（1.2.4）由引理1.2.1，有*()=0由引理1.2.1(3)知外測度函數(shù)*具有次可加性，則在引理1.2.1(3)中取取A1

AD，A2

AD，An則：*

D*

D*

DA

A

*

AD

*

AD

，n

3,4,綜合已知條件，充分性得證記A

*為所有*可測集組成的集合類。2013-10-2010引理1.2.3

A

*滿足：（1）

A

*是-代數(shù)；證明：（1）首先證明A

*是集代數(shù)a、∵

*()=0，D

，有：*D*

D*

*

D*

D

A

*b、A

A

*，則對D

，有：*D*

AD*

AD，顯然：A

A

*（1.2.4）式的定義具有對稱性2013-10-2011c、A，BA

*，有：A∪BA

*若A，BA

*，則對D

，有：v*

D

v*

AD

v*

AD

v*

AD

v*

ADB

v*

ADB

v*

A

AB

D

v*

A

B

Dv*ABDv*ABD

（1.2.5）則有：AèB?

A

*綜上所述知A

*是集代數(shù)。2013-10-2012下面說明A*是s-代數(shù)，只需證A*對可列不交并運算封閉。（解釋原因？集代數(shù)+

單調類T

s-代數(shù)）設An

?

A

*，n=1,2,…，Ai

Aj=，i1j，則：對DìW，有：****1

21

21n1

n1

2

n1

n

v

A

D

v

A

A

D

v

A

A

A A

D

v

A

A

A A

D

v

A

D

v

A

A

D

v

A

A

D

***11

21

211v*

D

v*

A

D

v*

ADA

Dn

k

k

1n****

v

A

D

v

A

D

v

A

D

v1

22013-10-2013

A

Dv

A

Dv*nk

1k*

k

k

1令n

?

￥

，有：則：Ak

A

*

，則A

*是s-代數(shù)。k

1v*

D

k

1A

Dvv

A

D*k*

k

k

1

vA

D

k

k

1*k

*

A

D

v

k

1

（1.2.6）2013-10-2014

A

Dv

A

D

vv

D*n**

k

k

1kk

1由前面結論，有：引理1.2.3

A

*滿足：（2）若A

A

*，n

1,2,，A

A

，i

jn

i

j*2013-10-2015**

n

n

1

n

n

1

A

D

D

A

D

D

，有：*nA

An1*是

代數(shù)，則A

證明：由An1A

n*

A

D*

AD

A

，D

，有

nn1由前面的結論，有:***

n1

n1

D

An

D

An

D

A

DAk

D

k**

k

A

D

k

1

k

1*k*k

1則：

A

D

k

12013-10-2016

k

k

1*

*

k

1

Ak

D

Ak

D

Ak

D

k

1**k

1

A

D

*

D由（1.2.6）式：*k*

A

D

AD

A

D

*

k

k

1

k

1則：結論得證。（3）欲證

*是A

*上的測度，只須說明

*在A*上滿足-可加性。2013-10-2017在（2）的結論中取D

A

n1

n1

*

An考慮到v*()=0，所以"A?

A

*上，有：v*(A)30則v*是A*上的測度。整個引理的證明完畢。n1

*

A

n*n

A

A

，則對D

3、測度擴張定理2013-10-2018問題：A*是否是包含A的-代數(shù)？若是，則

*便是定義在A上的測度在A*的一個擴張；進一步地，這樣的擴張唯一嗎？為了保證唯一性，不必將擴張到A

*上，而只需擴張到(A)即可。定理1.2.4設是?的集代數(shù)A上的測度，則在(A)上存在一個擴張；如果在A上是-有限的，則在(A)上的擴張是唯一的。證明：由前面的一系列引理，只須說明A

ì

A

*即可證明：顯然第一部分只需證：

A

ì

A

**

**nn

n1

A

A

**n1*

A

A

A

A

A

A

AD

ADn

n

n1

n1

使得*

n1nnD

A

，且A

A

，D，>0，存在AD

A中集序列An，n=1,2,?n1

由n是A上的測度，且

AD

An

A，AD

An

A

*

D

An1

Ann

An1n1

A

A

n1

n

A A

A

n

n1

n1由A

是集代數(shù)，因此A，An

A，An

A

A

，則：2013-10-2019由e的任意性，則有：*

D

*

AD

*

AD2013-10-2020即：A?A

*，則A

ì

A

*第二部分：唯一性A是集代數(shù)，n是A上的s-有限測度，則存在：首先證明：若n1，n2是n在s(A)上的任意兩個擴張，證明對"A?

s(A)及任意的正整數(shù)n，有：n1(ADn)=n2

(ADn)

（1.2.8）2013-10-2021第二部分：唯一性A是集代數(shù)，n是A上的s-有限測度，則存在：Dn

A

，n

1,2,，Di

Dj

，i

j，使得：D

，且nD

，n

1,2,

nn1對給定的n，令：m={A：A?

s(A)，

n1(ADn)=n2

(ADn)}顯然m

é

A

，且m

s(A)。（∵

A?

A

s(A)，因A

為集代數(shù)，則：ADn

?

A，必有：n1(ADn)=n2

(ADn)，則A?

m

）若能證明m為單調類，則m

é

m(A)另：A為集代數(shù)，則：m(A)=s(A)所以：m

é

s(A)，即：

m

=

s(A)，結論得證。2013-10-2022下面證明m為單調類：Ak?

，Ak

：A?

s(A)，則：n1(Ak

Dn)=n2

(Ak

Dn)n2

(Dn)=n(Dn)<+，k=1,2,2013-10-2023根據(jù)測度的連續(xù)性，有：類似也可證明：Ak

，Ak

，有：Ak

k

1

k

1

k

1k

lim

A

D

Ak

D2

k

n

2

n，則：

Ak

1

k

nk

limA

D

k

n1

k

1

kn

k

1

A

D

lim

A

D

一般情形：2013-10-2024利用1.2.8式及測度的完全可加性，對AA

，有

2ADn

2An1即：1，2在A

原本就是同一測度，唯一性得證。結論：在集代數(shù)A上的概率P滿足擴張定理的條件，因此在(A)上存在P的一個唯一的擴張P*！

1

1

1A

A

A Dn

1

ADnn1

n1

三、測度的完全化初等概率中

遇到這樣的問題：考慮某一集合B

ì

A

?

A

，A\

BìN

?

A

，且P(N)=0，但B未必屬于A

，即B未必是事件，未必有概率。為了克服這個問題，必須將A上的測度完全化。即根本的問題在于零測集的子集未必有概率。前面已經(jīng)舉例說明：概率為零的隨機事件的子集合，未必是隨機事件。A

,,A,

A2013-10-2025定義1.2.42013-10-2026設是-代數(shù)A

(或集代數(shù)A

)上的測度,如果A?A，(A)=0，BìA，則B?

A

，因)上的完全測而必有(B)=0，則稱為A

(或度。以下介紹如何將-代數(shù)A上的測度完全化？定理1.2.5（測度的完全化）設是-代數(shù)A上的測度，記：~

~~F

AN：A

F，N

B，B

F，且B

0則：F

是

代數(shù)。若在F

上定義：ANA

~ ~

~

~

則

A

A

F

的定義是合理的。~

~

~2013-10-2027且：A是F

的完全測度，其中AN

AN

AN

AN

AN

AN則由如下重要等式：A

N

A

\

BBA

N

AN

A

\

B

BAN

2013-10-2028證明過程略。證明：若A,B

F，N

B，且B

0主要證明思路：2013-10-2029~

~~

~再證明是F

上的測度；最后證明是F

上的完全測度。~

~~

~（2）其次證明~（1）首先證明F

為

代數(shù)；A（A

F）是合理的；

具體證明過程略~

~

~事實上：F

F，且是在F上的擴張且該擴張是完全化的測度第三節(jié)L-S測度和L測度2013-10-2030簡單回顧測度的基本概念本節(jié)先給出Lebesque-Stieltjes測度（簡稱L-S測度）的構造方法，其特殊情況就是L測度。第三節(jié)L-S測度和L測度2013-10-2031一、n維L-S測度前面介紹過n維Borel域（由開區(qū)間(a,b]生成的最小-代數(shù)）

B

(n)：利用n維廣義分布函數(shù)F(x1

,x2

,xn)，有：B

(n)上構造F類似地也可利用分布函數(shù)構造：B

(n)上的測度利用測度擴張定理和完全化定理，可以唯一確定一個完全化的測度，這就是著名的kolmogorov定理。定義1.3.1若n元函數(shù)F

x1,x2

,

xn

滿足：關于每個xi右連續(xù)；若

ai

bi，i

1,2,

n，且

ai，

bi

R，

a

a1，an

，b

b1，bn

，記：2013-10-2032b

，bF

,

b

,

a

,

b

nn1

j

1

j j

1

n1

na,b

F

F

b

，b

F

b1，b

j

1,

a

j

,

b

j

1,,

bk

1,

ak

,

bk

1,,

bn

j

kj,k

2

1n

F

a1，an

0稱F

x1,x2

,

xn

為n元廣義分布函數(shù)j

1可以證明：對于n元函數(shù)F(x1,x2,…xn)，在B

(n)上存在唯一的測度F，滿足：F((a,b])=D(a,b]F，其中a,b?

R(n)下面簡單地闡述構造的步驟和方法：若a,b?

R(n)，則定義F((a,b])=D(a,b]F2013-10-2033

~

n

a'

,ba'

a

lim

vF若a

R \

R

n

，b

R

n

，定義vF

a,b~

n

若a

R

n

，

b

R \

R

n

，定義

vFb'

bFa,b

lim

v

a,b

'''n~

na'

ab'

bFa,b

lim

v

a

,bF若a,b

R \

R

，定義v

B

(n)上的每個集合可表為互不相交的(a,b]的有限并，即：2013-10-2034A

mvF

A

vF

ak

,bk

k

1mk

1k

ka

,b

，定義，由前面兩步在A上定義的測度是s-有限的，由擴張定理，可以將F唯一地擴張到s(A)=B

(n)上，且使得：F((a,b])=D(a,b]F，其中a,b?

R(n)將B

(n)上的測度F完全化，記B

(n)關于F的完全化的s-代數(shù)為B

(n)

，定義在B

(n)

上的完全化測2013-10-2035F

F度仍記用F

。綜上所述，稱這樣定義的測度F為由廣義分布函數(shù)F產(chǎn)生的Lebesque-Stieltjes測度（簡稱L-S測度）。L-S測度的特殊情況是L測度，當取：

F(x1,x2,…xn)=x1x2…xn當n=1，L測度即為區(qū)域(a,b]的長度當n=2，L測度即為區(qū)域(a,b]的面積當n=3，L測度即為區(qū)域(a,b]的體積此時：D

(a,b]F=b1b2b3-a1b2b3-b1a2b3-b1b2a3+a1a2b3+a1b2a3+b1a2a3-a1a2a3=(b3-a3)

(b2-a2)

(b1-a1)2013-10-2036當?。篎(x1,x2,…xn)為n維隨量x的分布函數(shù),則由F生成的B

(n)

上的測度記為P

，它是B

(n)

上F

F

F的概率測度，PF(R(n))=1。這個結論其實正是概率論中著名的Kolmogorov定理。2013-10-2037二、無窮維Borel域B

(T)

上的測度1、分布函數(shù)的相容性（簡單介紹）2、B

(T)上的測度PF第四節(jié)概率空間（簡單說明可測空間、測度空間、概率空間的概念，其余內容

）第五節(jié)條件概率空間和事件的獨立性（略，）習題：P22-1,2,3,4,5,6,7,9,102013-10-2038本章先介紹一般的可測函數(shù)，把隨機變量作為其特殊情況，再隨量的性質。第二章隨數(shù)

隨量和可測函量的分布2013-10-2039

0，x

x

0

同時

，

，

，x

x任意無意義

，x

0x

x

0，

x

0隨

量是取有限值的可測函數(shù)，而可測函數(shù)可為無窮大，因此

約定：

x

x

，x

，x

02013-10-2040第一節(jié)可測函數(shù)和隨量一、及其逆象定義2

.1.1

設，R為兩個非空集合，若對每一個w?

，在R中存在一個元素x與之對應，稱這種對應關系為由到

R上的，記為：x=f

(w)，并稱f

為到R上的。Rx

f

R

f

Bf

1Bf

1B

:f

B為B在f下的逆象2013-10-2041逆象具有如下性質：f

1R

，f

1

f

1B

f

1B，B

Rf

1B1

\

B2

f

1B1\

f

1B2

，B1，B2

R2013-10-2042BB

f

Bt

，Bt

R，t

T

T是任一指標集tTtt

tT

tT

tTf11ttT是任一指標集

f

B

，B

R，t

T

f1f

1

B

f

1

B

，B

R

f

1

B

f

f

1

B

f

1

B

f

1

B

2013-10-2043f

1

B

類似地可證：由逆象的定義

x

B使得

x

即

x

B

，有

x

f

則

f

1

B

即

f

1

B

即

f

1

B

f

1

B

證明：對選證以下性質：定理2.1.1

設f

為到R上的⑴

如果B是R上的-代數(shù)，則f

-1(B)是上的s

-代數(shù)證明：(1)根據(jù)逆象的性質和-代數(shù)即可證明∵R

B

，則：

f

-1(R)

f

-1(B)

而：f

-1(R)=則：

f

-1(B)若A

f

-1(B)，有f

(A)

B，則：f

AB，則：f

1

f

A

f

1

B

，即：f

1

f

A

A

f

1

B

1A

fB

11f

B

n111f

f

A

n1

n1B

nn1n

f

A

fnn

f

B

f

A

（，則n

1,2,）B設A（n

1,2,）則：fn